資源簡介

第九章 平面向量（知識歸納+題型突破）
1．理解向量的相關概念．掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念．
2．理解兩個向量相等的含義以及共線向量的概念．理解向量夾角的概念和范圍．
3．理解向量加法的概念以及向量加法的幾何意義．
4．掌握向量加法的交換律和結合律，會利用它們進行計算．
5．掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，會利用它們解決實際問題．
6．掌握向量減法的運算法則及其幾何意義，會求兩個向量的差．
7．理解向量數乘的定義及幾何意義，掌握向量數乘的運算律．
8．掌握向量共線定理，會判斷或證明兩個向量共線．
9．理解平面向量數量積的含義并會計算．理解向量a在向量b上的投影向量的概念．
10．掌握平面向量數量積的性質及其運算律，并會應用．
11．理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義．
12．掌握平面向量基本定理，會用基底表示平面向量．
13．理解向量坐標表示的意義．掌握兩個向量的和、差及向量數乘的坐標運算法則．
14．理解坐標表示的平面向量共線的條件，并會解決向量共線問題．
15．掌握向量數量積的坐標表示，會用向量的坐標形式求數量積．
16．能根據向量的坐標計算向量的模、夾角及判定兩個向量垂直．
17．理解兩平行向量的坐標之間的關系，會用向量的坐標運算解決向量平行問題．
18．能根據向量的坐標運算解決與三點共線有關的問題．
1．向量的概念及表示
（1）概念：我們把既有大小又有方向的量叫作向量．
（2）向量常用一條有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．以A為起點、B為終點的向量記為．向量也可用小寫字母a，b，c來表示．
2．向量的有關概念
（1）向量的長度(模)：向量的大小稱為向量的長度(或稱為模)，記作||．
（2）零向量：我們規定，長度為0的向量稱為零向量，記作0，零向量的方向是任意的．
（3）單位向量：長度等于1個單位長度的向量．
3．兩個向量間的關系
（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量，又稱為共線向量．若向量a與向量b平行，記作a∥b．
規定零向量與任一向量平行．
（2）相等向量：所有長度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，而不管它們的起點位置如何．向量a與b是相同的向量，也稱a與b相等，記作a＝b．
（3）相反向量：我們把與向量a長度相等，方向相反的向量叫作a的相反向量，記作－a，
規定零向量的相反向量仍是零向量．任意一個向量a，總有－(－a)＝a．
4．向量的夾角
對于兩個非零向量a和b，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a與b的夾角．
當θ＝0°時，a與b同向；
當θ＝180°時，a與b反向；
當θ＝90°時，則稱向量a與b垂直，記作a⊥b．
5．向量加法的定義及運算法則
定義 求兩個向量和的運算叫作向量的加法
法則 三角形法則 前提 已知向量a，b
作法 在平面內任取一點O，作＝a，＝b
結論 向量叫作a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝
圖形
平行四邊形法則 前提 任意兩個不共線的非零向量a，b
作法 作＝a，＝b，以OA，OC為鄰邊作 OABC
結論 以O為起點的對角線表示的向量就是向量a與b的和
圖形
規定 零向量與任一向量a的和都有a＋00a＝a
6．向量加法的運算律
交換律 a＋b＝b＋a
結合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
7．向量的減法
（1）定義：若b＋x＝a，則向量x叫作a與b的差，記為a－b．求兩個向量差的運算，叫作向量的減法．a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量．
（2）作法：在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則向量＝a－b，如圖所示．
（3）幾何意義：a－b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量．
8．向量的數乘的定義
一般地，實數λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度和方向規定如下：
（1）|λa|＝|λ||a|．
（2）若a≠0，則當λ＞0時，λa與a方向相同；當λ＜0時，λa與a方向相反；實數λ與向量a相乘的運算，叫作向量的數乘．特別地，當λ＝0時，0a＝；當a＝0時，λ0＝．
9．向量數乘的運算律
設 a， b為向量，λ，μ為實數，那么：
（1）λ(μ a)＝(λμ)a．
（2）(λ＋μ)a＝λa＋μa．
（3）λ(a＋b)＝λa＋λb．
10．向量的線性運算及向量共線定理
（1）向量的加法、減法和數乘統稱為向量的線性運算．
（2）向量共線定理
設a為非零向量，如果有一個實數λ，使b＝λa．那么b與a是共線向量；反之，如果b與a是共線向量，那么有且只有一個實數λ，使b＝λa．
11．向量的數量積
已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，我們把數量|a||b|cos θ叫作向量a和b的數量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．
規定零向量與任一向量的數量積為0．
12．投影向量
設a，b是兩個非零向量，如圖，表示向量a，表示向量b，過點A作所在直線的垂線，垂足為點A1，我們將上述由向量a得到向量OA1的變換稱為向量a向向量b投影，向量OA1稱為向量a在向量b上的投影向量．
13．數量積的變形關系式
設a，b是非零向量，它們的夾角是θ，則
（1）cos θ＝
（2）a⊥b a·b＝0．
（3）a·a＝|a|2或|a|＝．
14．向量數量積的運算律
（1）a·b＝b·a(交換律)．
（2）(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b(結合律)．
（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
15．平面向量基本定理
條件 e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量
結論 對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 兩個不共線的向量e1，e2叫作這個平面的一組基底
（1）e1，e2是同一平面內的兩個不共線的向量，e1，e2的選取不唯一，即一個平面可以有多組基底．
（2）基底e1，e2確定后，實數λ1，λ2是唯一確定的．
16．正交分解
平面內任一向量a可以用一組基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式．我們稱λ1e1＋λ2e2為向量a的分解．當e1，e2所在直線互相垂直時，這種分解也稱為向量a的正交分解．
17．向量的坐標表示
如圖1，在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對有序實數(x，y)，使得a＝xi＋yj．
我們把有序實數對(x，y)稱為向量a的(直角)坐標，記作a＝(x，y)．
如圖2，作＝a，即有＝xi＋yj，則的坐標(x，y)就是終點A的坐標；反過來，點A的坐標(x，y)就是向量的坐標．
由向量坐標的定義知，兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標對應相等，即a＝b x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
18．平面向量的坐標運算
（1）已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和實數λ，那么
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；
a－b＝(x1－x2，y1－y2)；
λa＝(λx1，λy1)．
（2）一個向量的坐標等于該向量終點的坐標減去起點的坐標．
19．向量數量積的坐標表示
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2．
即兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和．
公式a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉與a·b＝x1x2＋y1y2都是用來求兩向量的數量積的，沒有本質區別，只是書寫形式上的差異，兩者可以相互推導．
20．兩個公式、一個充要條件
（1）向量的模長公式
設a＝(x，y)，則a2＝x2＋y2，即|a|＝．
（2）向量的夾角公式
設兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它們的夾角為θ，由向量數量積的定義，可得cos θ＝＝．
（3）兩個向量垂直的充要條件
設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b x1x2＋y1y2＝0．
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝，即A，B兩點間的距離為．
21．平面平行的坐標表示
設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，則a∥b x1y2－x2y1＝0．
兩個向量共線的坐標表示還可以寫成＝ (x2≠0，y2≠0)，即兩個不平行于坐標軸的共線向量的對應坐標成比例．
題型一　向量的相關概念
【例1】
1．下列結論正確的個數是（ ）
①溫度含零上和零下，所以溫度是向量；
②向量的模是一個正實數；
③若向量與不共線，則與都是非零向量；
④若，則．
A．0 B．1
C．2 D．3
思維升華
（1）判斷一個量是否為向量的兩個關鍵條件
①大小；②方向．兩個條件缺一不可．
（2）理解零向量和單位向量應注意的問題
①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；
②單位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
鞏固訓練：
2．在下列結論中，正確的為
A．兩個有共同起點的單位向量，其終點必相同
B．向量與向量的長度相等
C．向量就是有向線段
D．零向量是沒有方向的
題型二　共線向量與相等向量
【例2】
3．已知為非零向量，且與不共線，若，則與必定 ．
4．如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且，，在每兩點所確定的向量中．
(1)與的長度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)與共線的向量有哪些？
思維升華
相等向量與共線向量的判斷
（1）如果兩個向量所在的直線平行或重合，那么這兩個向量是共線向量．
（2）共線向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共線向量．
（3）非零向量共線具有傳遞性，即向量a，b，c為非零向量，若a∥b，b∥c，則可推出a∥c．
[注意]　對于共線向量所在直線的位置關系的判斷，要注意直線平行或重合兩種情況．
鞏固訓練：
5．已知向量與向量共線，則下列關于向量的說法中，正確的是（ ）
A．向量與向量一定同向
B．向量，向量，向量一定共線
C．向量與向量一定相等
D．以上說法都不正確
6．如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E，F，D分別是AC，AB，BC的中點.
（1）寫出與共線的向量；
（2）寫出與的模大小相等的向量；
（3）寫出與相等的向量.
題型三　平面向量加法及其幾何意義
【例3】
7．如圖，已知三個向量，試用三角形法則和平行四邊形法則分別作向量．

思維升華
（1）應用三角形法則求向量和的基本步驟
①平移向量使之“首尾相接”，即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合；
②以第一個向量的起點為起點，并以第二個向量的終點為終點的向量，即為兩個向量的和．
（2）應用平行四邊形法則求向量和的基本步驟
①平移兩個不共線的向量使之共起點；
②以這兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形；
③平行四邊形中，與兩向量共起點的對角線表示的向量為兩個向量的和．
鞏固訓練：
8．如圖，已知向量，，求作向量＋．
題型四　平面向量的加法運算
【例4】
9．化簡：
(1)．
(2)．
思維升華
向量運算中化簡的兩種方法
（1）代數法：借助向量加法的交換律和結合律，將向量轉化為“首尾相接”，向量的和即為第一個向量的起點指向最后一個向量終點的向量．
（2）幾何法：通過作圖，根據三角形法則或平行四邊形法則化簡．
鞏固訓練：
10．如圖,平行四邊形ABCD中,O為對角線AC,BD的交點,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點.化簡下列各式:

(1);
(2).
題型五　向量加法的實際應用
【例5】
11．某人在靜水中游泳，速度為千米/小時，他在水流速度為千米/小時的河中游泳．他必須朝哪個方向游，才能沿與水流垂直的方向前進？實際前進的速度大小為多少？
思維升華
應用向量解決平面幾何和物理學問題的基本步驟
（1）表示：用向量表示有關量，將所要解答的問題轉化為向量問題．
（2）運算：應用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將相關向量進行運算，解答向量問題．
（3）還原：根據向量的運算結果，結合向量共線、相等等概念回答原問題．
鞏固訓練：
12．在某地抗震救災中，一架飛機從A地按北偏東35°的方向飛行到達B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55°的方向飛行送往C地醫院，求這架飛機飛行的路程及兩次位移的和．
題型六　向量的減法運算
【例6】
13．化簡下列各向量的表達式：
(1)；
(2)；
(3)；
思維升華
向量減法運算的常用方法
鞏固訓練：
14．在平行四邊形中，為上任一點，則等于（ ）
A． B． C． D．
15．化簡下列各式：
(1)；
(2)．
題型七　向量的減法及其幾何意義
【例7】
16．如圖，已知向量，，不共線，求作向量．
思維升華
求作兩個向量的差向量的兩種思路
（1）可以轉化為向量的加法來進行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
（2）可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量．
鞏固訓練：
17．如圖，已知向量，，，求作向量．

題型八　向量模的運算
【例8】
18．已知，為兩個非零向量，
(1)求作向量，；
(2)當向量，成什么位置關系時，滿足？(不要求證明)
思維升華
有關模的運算
（1）主要是利用向量加減法的幾何意義，首先作出向量的和與差，然后再求出向量的模；
（2）當向量a，b不共線時：－<<＋．
鞏固訓練：
19．已知，，求：
(1)的取值范圍；
(2)的取值范圍．
題型九　向量的線性運算
【例9】
20．（1）計算：
①；
②；
③．
（2）設向量，求．
思維升華
向量的線性運算的基本方法
（1）類比方法：向量的線性運算可類似于代數多項式的運算．例如，實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數看作是向量的系數．
（2）方程方法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數，利用代數方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當運用運算律，簡化運算．
鞏固訓練：
21．化簡下列各式：
(1)3；
(2)；
(3)2．
22．若，其中為已知向量，求未知向量．
題型十　用已知向量表示其他向量
【例10】
23．如圖，ABCD是一個梯形，且，M，N分別是DC，AB的中點，已知，，試用表示下列向量.
（1）＝ ；
（2）＝ .
思維升華
用已知向量表示其他向量的兩種方法
（1）直接法
（2）方程法
當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程．
鞏固訓練：
24．如圖，四邊形是一個梯形，且，M，N分別是的中點，已知，試用表示向量．

25．如圖，在梯形ABCD中，，，，G為對角線AC，BD的交點，E，F分別是腰AD，BC的中點，求向量和．
題型十一　平面向量的數量積運算
【例11】
26．（1）已知，與的夾角為60°，求．
（2）如圖，在 ABCD中，，，，求：
①；
②．
思維升華
向量數量積的求法
（1）求兩個向量的數量積，首先確定兩個向量的模及向量的夾角，其中準確求出兩向量的夾角是求數量積的關鍵．
（2）根據數量積的運算律，向量的加、減與數量積的混合運算類似于多項式的乘法運算．
鞏固訓練：
27．如圖，在中，求．

28．已知菱形的邊長為,,則等于 .
29．已知，，與的夾角為． 求：
(1)；
(2)；
(3)．
題型十二　向量模與夾角的有關計算
【例12】
30．已知平面向量與的夾角為60°，||＝2，||＝4，則|＋4|＝（ ）
A．10 B．2
C．10 D．4
(2020·高考全國卷Ⅲ)
31．已知向量，滿足，，，則（　　）
A． B．
C． D．
思維升華
（1）求向量的模的常見思路及方法
①求模問題一般轉化為求模的平方，與向量數量積聯系，并靈活應用a2＝|a|2，勿忘記開方．
②a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以實現實數運算與向量運算的相互轉化．
（2）求向量a與b夾角的思路
①求向量a與b夾角的關鍵是計算a·b及|a||b|，在此基礎上結合數量積的定義或性質計算cos θ＝，最后借助 θ∈[0，π]，求出θ的值．
②在個別含有|a|，|b|與a·b的等量關系中，常利用消元思想計算cos θ的值．
鞏固訓練：
32．已知向量與的夾角為120°，且，則 ，| ．
33．已知向量滿足，則| ．
題型十三　證明兩向量垂直
【例13】
34．已知是非零向量，當的模取最小值時，求證：．
題型十四　利用夾角和垂直求參數
【例14】
35．已知且向量與互相垂直，則k的值為（ ）
A． B．
C． D．1
36．已知，，為單位向量，且滿足，與的夾角為，則實數λ＝ ．
思維升華
與垂直有關的計算主要是利用a⊥b a·b＝0這個公式，要熟練掌握這個公式．
鞏固訓練：
37．已知兩個單位向量的夾角為60°，，若，則t＝ ．
題型十五　平面向量基本定理的理解
【例15】
38．設，是不共線的兩個向量，則下列各組向量能作為一組基底的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
思維升華
對基底的理解
（1）兩個向量能否作為一個基底，關鍵是看這兩個向量是否共線．若共線，則不能作基底，反之，則可作基底．
（2）一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以用這組基底唯一線性表示出來．設向量a與b是平面內兩個不共線的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，則
（3）一個平面的基底不是唯一的，同一個向量用不同的基底表示，表達式不一樣．
鞏固訓練：
39．設O點是平行四邊形ABCD兩對角線的交點，下列向量組中可作為這個平行四邊形所在平面上表示其他所有向量的基底的是（ ）
①與；②與；③與；④與．
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
40．如圖所示，點O為正六邊形ABCDEF的中心，則可作為基底的一對向量是（ ）
A． B．
C． D．
題型十六　用基底表示平面向量
【例16】　
41．如圖，已知在梯形ABCD中，，E，F分別是AD，BC邊上的中點，且，＝，＝．試用基底，表示，．
思維升華
用基底表示向量的兩種方法
（1）運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉化，直至用基底表示為止．
（2）通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
鞏固訓練：
42．如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點C，D是半圓弧的兩個三等分點，若，，則＝（ ）
A． B．
C． D．
43．如圖，在△OBC中，點A是BC的中點，點D是OB上靠近點B的一個三等分點，DC和OA交于點E.設.
(1)用向量表示，
(2)若＝λ，求實數λ的值．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】
①根據向量的概念可判斷；②根據向量模的概念可判斷；③根據零向量與任何向量共線可判斷；④根據向量的性質可判斷.
【詳解】
①錯，溫度只有大小，沒有方向，是數量不是向量；
②錯，的模等于0；
③正確，根據零向量與任何向量共線可以判斷正確；
④錯，向量不能比較大小．
故選：B．
2．B
【分析】逐一分析選項，得到答案.
【詳解】A.單位向量的方向任意，所以當起點相同時，終點在以起點為圓心的單位圓上，終點不一定相同，所以選項不正確；
B. 向量與向量是相反向量，方向相反，長度相等，所以選項正確；
C.向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向線段表示，但不能說向量就是有向線段，所以選項不正確；
D.規定零向量的方向任意，而不是沒有方向，所以選項不正確.
故選B.
【點睛】本題考查了向量的基本概念，屬于基礎題型.
3．不共線
【分析】
由平面向量平行的傳遞性判斷.
【詳解】因為為非零向量，與不共線，，
所以與不共線.
故答案為：不共線.
4．(1)答案見解析；
(2)答案見解析 ．
【分析】
（1）由相反向量的概念即可求解；
（2）由共線向量的概念即可求解.
【詳解】（1）
與的長度相等、方向相反的向量有，，，．
（2）
與共線的向量有，，，，，，，，．
5．B
【分析】
利用向量共線的概念逐一判斷.
【詳解】
根據共線向量的定義，可知，，這三個向量一定為共線向量，但方向不確定是同向還是反向，大小也不確定，故ACD錯誤，B正確.
故選：B．
6．（1），，，，，，；（2），，，，；（3）與.
【分析】（1）利用共線向量的定義，結合中位線的性質，得到答案；（2）利用中位線的性質結合點是的中點，得到答案；（3）結合相等向量的定義，得到答案.
【詳解】（1）因為E，F分別是AC，AB的中點，
所以.所以與共線的向量有：，，，，，，；
（2）由（1）知且，又D是BC的中點，故與模相等的向量有： ，，，，；
（3）與相等的向量有：與.
7．作圖見解析
【分析】
利用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作圖。
【詳解】
利用三角形法則作，如圖①所示，作，以A為起點，作，
再以B為起點，作，則，
利用平行四邊形法則作，如圖②所示，作，，，
以，為鄰邊作，則，
再以，為鄰邊作，則．

8．作圖見解析
【分析】
（1）（2）（3）利用向量的加法的三角形法則畫圖即可.
【詳解】
（1）作，則，如圖（1）．
（2）作，則，如圖（2）．
（3）作，則，如圖（3）．
9．(1).
(2).
【分析】
（1）（2）直接利用向量的加法運算律即可求解.
【詳解】（1）.
（2）.
10．(1).(2)
【解析】(1)根據向量的線性運算法則求解即可.
(2)根據向量的線性運算與平行四邊形法則求解即可.
【詳解】解:(1).
(2)
【點睛】本題主要考查了平面向量的線性運算與平行四邊形法則,屬于基礎題型.
11．答案見解析
【分析】作出圖形，利用平面向量加法的平行四邊形法則可得結論.
【詳解】如圖，設此人的實際速度為，水流速度為，游速為，則，
在中，，，則，.
故此人沿向量的方向游（即逆著水流且與河岸所成夾角的余弦值為），實際前進的速度大小為千米/小時．
12．，方向為北偏東80°．
【分析】利用方位角的概念作出圖形，向量的模長表示兩地的距離，再從圖形中利用勾股定理進行求解.
【詳解】如圖，設表示飛機從A地按北偏東35°的方向飛行，表示從B地按南偏東55°的方向飛行．
則飛機飛行的路程指的是，兩次飛行的位移的和指的是．
依題意，有．
又，，，
所以，
其中，所以方向為北偏東．
從而飛機飛行的路程是，兩次飛行的位移和的大小為，方向為北偏東80°．
【點睛】本題考查向量加法與減法的幾何意義，考查數形結合思想，求解時注意勾股定理的運用，屬于基礎題.
13．(1).
(2).
(3)
【分析】
根據平面向量的加法運算和減法運算法則可求出結果.
【詳解】（1）.
（2）
.
（3）
.
14．AB
【分析】利用平面向量的加法法則結合相等向量可得結果.
【詳解】．
故選：AB．
15．(1)
(2)
【分析】（1）由向量的加減法運算即可得答案；
（2）由向量的加減法運算即可得答案.
【詳解】（1）．
（2）.
16．作圖見解析
【分析】
利用平行四邊形法則和三角形法則作圖即可得解.
【詳解】
方法一：如圖①，在平面內任取一點O，作，，，連接BC，
則．過點A作，且，連接，則，
所以．
方法二：如圖②，在平面內任取一點O，作，，
連接OB，則，再作，連接CB，則．
方法三：如圖③，在平面內任取一點O，作，，連接OB，
則，再作，連接OC，則．
17．作圖見解析
【分析】
根據向量減法的三角形法則作出圖形.
【詳解】
在平面內任取一點，作向量，，則向量，
再作向量，則向量，即為所求作向量.

18．(1)作圖見解析
(2)
【分析】（1）根據三角形法則和平行四邊形法則作出圖形；
（2）根據向量數量積的運算律可以證明得到.
【詳解】（1）當兩個向量，不共線時，作平行四邊形ABCD，
使得，，，，
所以如圖1所示，，.

當兩個向量，同向且共線時，作，，
所以如圖2，；

如圖3，，

當兩個向量，反向且共線時，作，，
所以如圖4，；

如圖5，.

（2）當時，滿足.
因為，
所以，
故，即，
因為，為兩個非零向量，
所以.
19．(1)
(2)
【分析】
（1）由向量運算的三角形法則即可求解，注意等號成立的條件；
（2）由向量運算的三角形法則即可求解，注意等號成立的條件；
【詳解】（1）
因為，
且，所以，
當與同向時，；
當與反向時，；
所以的取值范圍為．
（2）
由，
且，所以，
當與同向時，；
當與反向時，．
所以的取值范圍為．
20．（1）①；②；③；（2）．
【分析】（1）按照向量的加法、減法法則和數乘運算律計算可求第①②③題；
（2）先將化簡，再代入關于的表達式整理即得.
【詳解】（1）①；
②；
③．
（2）.
21．(1)
(2)
(3)
【分析】
利用向量的數乘運算計算即可.
【詳解】（1）；
（2）
；
（3）
.
22．
【分析】
將向量方程展開，合并同類向量，移項后將的系數化為1即得.
【詳解】
由可得：，
即，解得：．
23． .
【分析】（1）根據向量的三角形法則，即可求得答案.
（2）因為，結合題干條件，化簡計算，即可得答案.
【詳解】因為且，所以，即.
（1）根據三角形法則可得：.
（2）.
故答案為：；
24．
【分析】
根據題意，分別用向量表示出和，再運用向量的減法法則表示，代入化簡即得.
【詳解】

如圖，連接，因且，M，N分別是的中點，
則
又因可得,則，
故
25．；
【分析】
利用封閉圖形向量加法、減法運算聯立方程組可得，再利用三角形相似求得比例關系即可得.
【詳解】
因為E，F分別是腰AD，BC的中點，所以，
因為①，②，
可得，
因為，，，
所以，
，
因為，故，而，
故，故；
可得
26．（1）192 ；（2）①9 ；②－6 ．
【分析】（1）根據數量積的運算律，結合數量積公式，即可求解；
（2）①先求出與的夾角，再由數量積公式，即可求解；②先求出與的夾角，再由數量積公式，即可求解.
【詳解】（1）
．
（2）①因為，且方向相同，所以與的夾角是0°，為相等向量．
所以．
②因為與的夾角為60°，所以與的夾角為120°．
所以．
27．－7
【分析】
將向量分別用表示，再進行求數量積即得.
【詳解】

如圖，連接,
又，
故
28．
【詳解】
∵菱形的邊長為,，
∴，
.
∴.
故答案為.
29．(1)－20
(2)88
(3)156
【分析】
根據數量積概念和運算律可得.
【詳解】（1）；
（2）
；
（3）
.
30．B
【分析】
利用展開計算即可.
【詳解】
.
故選：B.
31．D
【分析】
借助向量數量積的計算及夾角公式計算即可得.
【詳解】
，
，
故.
故選：D.
32．
【分析】已知結合數量積的運算律以及定義，即可得出.然后根據數量積的運算律，展開，即可得出答案.
【詳解】∵向量與的夾角為，且，，
∴，，，
因為，
所以．
因為
.
所以．
故答案為：；.
33．
【分析】
由兩邊平方后求得，利用向量的模的公式計算即得.
【詳解】
由兩邊平方展開得：
因，則，故．
故答案為：.
34．證明見解析
【分析】
根據題意，由平面向量的模長公式，代入計算，即可證明.
【詳解】
因為，
所以當時，有最小值．
此時，
所以．
35．B
【分析】
根據向量垂直時數量積為0，結合數量積的運算律，列方程求解，即可求得答案.
【詳解】
因為向量與互相垂直，
所以．所以，
因為，所以，
所以，解得，
故選：B
36．或5
【分析】
根據，可得，兩邊平方即可求解.
【詳解】
由，可得，
即，而，，為單位向量，
則，則，
即，解得或λ＝5．
故答案為：或5
37．2
【分析】
結合，將向量等式兩邊與作數量積，再利用向量數量積的定義式展開計算即得.
【詳解】
將的兩邊分別與作數量積得：
化簡得：，即，解得：
故答案為：2.
38．ABD
【分析】
先判斷與，與，與不共線，即可判斷此三組向量可以分別作為一組基底；
與共線，故此組向量不能作為一組基底.
【詳解】
A．設，則無解，所以與不共線，即與能作為一組基底．
B．設，則無解，
所以與不共線，即與能作為一組基底．
C．因為，所以與共線，即與不能作為一組基底．
D．設，則無解，
所以與不共線，即與能作為一組基底．
故選：ABD
39．B
【分析】判斷是否共線，只要不共線的兩個向量就可作為基底．
【詳解】只要是平面上不共線的兩個向量都可以作為基底，與，與都是不共線向量．
與，與是共線向量．
故選：B．
40．B
【分析】利用基底的定義求解.
【詳解】由題中圖形可知：與，與，與共線，不能作為基底向量，
與不共線，可作為基底向量．
故選：B.
41．，
【分析】
利用向量的數乘運算及幾何運算求解即可.
【詳解】
連接FA，DF．因為，且，
所以．所以，
因為．所以，
所以，
.
42．D
【分析】
利用圓的性質，結合向量加法的平行四邊形法則求解即得.
【詳解】
連接，由點C，D是半圓弧的三等分點，得垂直平分，且是正三角形，
于是四邊形是菱形，所以.
故選：D
43．(1)
(2)
【分析】
（1）根據平面向量的線性運算求解；
（2）根據三點共線結合平面向量基本定理運算求解.
【詳解】（1）∵點A是BC的中點，則，即，
整理得，
可得，
故.
（2）由題意可得：，
∵三點共線，則，且，
則，
可得，解得，
故.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁第九章 平面向量（知識歸納+題型突破）
題型十七　平面向量的坐標表示
【例17】
1．已知O是坐標原點，點A在第一象限，，，
(1)求向量的坐標；
(2)若，求的坐標．
思維升華
求點和向量坐標的常用方法
（1）求一個點的坐標，可以轉化為求該點相對于坐標原點的位置的坐標．
（2）求一個向量的坐標時，可以首先求出這個向量的始點坐標和終點坐標，再運用終點坐標減去始點坐標得到該向量的坐標．
鞏固訓練：
2．已知長方形ABCD的長為4，寬為3，建立如圖所示的平面直角坐標系，是x軸上的單位向量,是y軸上的單位向量，試求和的坐標．
題型十八　平面向量的坐標運算
【例18】
3．已知向量，，若滿足，則（　　）
A． B．
C． D．
4．已知，，，且，，求點M，N的坐標．
思維升華
平面向量坐標（線性）運算的方法
（1）若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數乘的運算法則進行．
（2）若已知有向線段兩端點的坐標，則必須先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算．
（3）向量的線性坐標運算可類比數的運算進行．　
鞏固訓練：
5．已知，，的坐標分別為，，，則 ， ．
6．已知向量a=(2，1)，b=(1， 2)．若ma＋nb=(9， 8)(m，n∈R)，則m n的值為 ．
題型十九　數量積的坐標運算
【例19】
7．已知向量，，求：
(1)；
(2)；
(3).
思維升華
數量積坐標運算的兩個途徑
一是先將各向量用坐標表示，直接進行數量積運算；二是先利用數量積的運算律將原式展開，再依據已知條件計算．　
鞏固訓練：
8．已知向量，則 ．
9．已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，點F在AD上，，則 .
題型二十　平面向量的模
【例20】
10．已知向量，，且，則（　　）
A． B．5
C． D．
（2021·江蘇南京市金陵中學高三月考）
11．已知向量,,若,則 ．
思維升華
求向量的模的兩種基本策略
（1）字母表示下的運算
利用|a|2＝a2，將向量的模的運算轉化為向量與向量的數量積的問題．
（2）坐標表示下的運算
若a＝（x，y），則a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.　
鞏固訓練：
12．已知平面向量與的夾角為，，，則（　　）
A． B．
C． D．
題型二十一　平面向量的夾角
【例21】
13．已知，.
(1)求；
(2)設，的夾角為，求的值；
(3)若向量與互相垂直，求的值．
思維升華
利用數量積求兩向量夾角的步驟
　
鞏固訓練：
14．已知向量，，則向量，的夾角為（　　）
A． B．
C． D．
15．已知，，若與的夾角為鈍角，求的取值范圍．
題型二十二　向量共線的判定
【例22】
16．已知向量，.若，則 ．
17．已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判斷與是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？
思維升華
向量共線的判定方法
鞏固訓練：
18．已知向量，.判斷向量與是反向還是同向？
19．已知向量，.若與平行，則（　　）
A． B．
C．7 D．
20．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分別為DC，AB的中點，求，的坐標，并判斷，是否共線.
題型二十三　三點共線問題
【例23】
21．已知向量，，．
（1）若點，，三點共線，求的值；
（2）若為直角三角形，且為直角，求的值．
思維升華
判斷向量（或三點）共線的三個步驟
　
鞏固訓練：
22．已知，，三點共線，且，，若點的縱坐標為，則點的橫坐標為（　　）
A． B．
C． D．
23．設點，，，，當為何值時，與共線且方向相同，此時，，，，能否在同一條直線上？
題型二十四　向量共線的應用
【例24】
24．在中，已知點，，與交于點，求點的坐標．
思維升華
應用向量共線的坐標表示求解幾何問題的步驟
　
鞏固訓練：
25．如圖，已知，，分別是的中點，且與交于，求.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)；
(2)．
【分析】（1）設出點的坐標，根據給定條件，直接求出向量的坐標.
（2）由（1）的結論，利用向量的坐標表示即可得解.
【詳解】（1）設點，則，，
所以向量的坐標是.
（2）由（1）知，，由，得，
所以.
2．，
【分析】由題得，即得的坐標. 再根據求的坐標．
【詳解】由題圖知，軸，軸．
∵，，∴，
∴．
∵，
∴，∴．
【點睛】本題主要考查平面向量的三角形法則和平行四邊形法則，考查向量坐標的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.
3．A
【分析】
根據向量線性運算的坐標運算直接得解.
【詳解】
因為，，且滿足，
所以，
故選：A.
4．；
【解析】根據題意，設出點、的坐標，結合、的坐標計算可得向量、、、的坐標，又由，，結合數乘向量的坐標計算公式可得、的坐標．
【詳解】解： ∵，，，
∴，．
∵，，，．
設，，∴，，
∴解得∴，．
【點睛】本題考查數乘向量的坐標運算，關鍵是掌握數乘向量的計算公式，屬于基礎題．
5．
【分析】
根據向量的坐標運算公式直接可得解.
【詳解】
由，，，
所以，，，
所以，，
故答案為：；.
6． 3
【詳解】由a=(2，1)，b=(1， 2)，可得ma＋nb=(2m，m)＋(n， 2n)=(2m＋n，m 2n)，
由已知可得，解得，從而m n= 3.
7．(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根據向量數量積的坐標計算公式直接計算；
（2）根據向量的線性運算及模長公式直接計算；
（3）根據向量的線性運算及數量積公式直接計算.
【詳解】（1）由已知，，
得；
（2）方法一：，所以；
方法二：，
所以；
（3）方法一：因為，，所以；
方法二：.
8．4
【分析】
根據向量的坐標運算求解.
【詳解】
由向量減法坐標運算可得，
由向量數量積的坐標運算可得.
故答案為：4.
9．
【分析】建系，根據平面向量的坐標運算求解.
【詳解】建立平面直角坐標系如圖所示，則，
因為，則，可得，
所以.
故答案為：.
10．B
【分析】
根據向量垂直的坐標運算求出，再根據向量加減的坐標運算和向量模的計算公式即可.
【詳解】
由，可得，代入坐標運算可得，解得，
所以，得，
故選：B．
11．1
【分析】
先分別計算出和,利用向量的模的運算求出和,根據等式即可求出的值.
【詳解】
因為,,
則,
,
因為,所以,
解得：.
故答案為：.
12．B
【分析】根據向量的數量積公式及模長公式直接求解.
【詳解】由，得，
又，
所以，
所以，
所以，
故選：B.
13．(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根據向量線性運算的坐標運算直接可得解；
（2）利用夾角公式直接可得解；
（3）根據向量垂直可得數量積，進而可得參數值.
【詳解】（1）由已知，，
則；
（2）由已知可得，，，
則；
（3）由向量與互相垂直，
則，
解得.
14．B
【分析】
根據向量線性運算的坐標運算，結合向量夾角公式可得解.
【詳解】
由，，可知，
所以，，
且，
設，的夾角為，
則，
又因為，所以，
故選：B.
15．
【分析】
轉化為并去掉兩向量共線反方向的情況.
【詳解】因為與的夾角為鈍角，所以且與不共線（反向），
則，解得，
當時，，解得，此時兩向量共線且方向相反，
所以，
所以的取值范圍是．
16．
【分析】利用平面向量的坐標運算和向量共線得到方程，解出即可.
【詳解】，，
因為，所以，所以.
故答案為：.
17．與共線；與的方向相同.
【分析】先求與的坐標，根據平面向量共線定理即可判斷結果．
【詳解】因為，
，因為，
所以，所以與共線，
又，所以與的方向相同．
18．同向
【分析】
根據共線解出，再根據向量的坐標運算計算即可.
【詳解】
由向量與共線，得，解得，
所以，
所以向量與同向．
19．D
【分析】
根據平面向量的坐標運算和向量共線的充要條件得到方程，解出即可.
【詳解】
，
由與平行，可得，解得.
故選：D.
20．，，和共線.
【分析】先求坐標，進而求得，，再結合向量共線坐標公式檢驗即可.
【詳解】解　由已知可得，，
所以，，
由，所以和共線.
21．（1）；（2）．
【解析】（1）由點，，三點共線可得和共線，解關于的方程可得答案；
（2）由為直角三角形可得，即，解關于的方程可得答案．
【詳解】（1），，，
，
點，，三點共線，和共線，
，解得；
（2）為直角三角形，且為直角，
，，
解得．
【點睛】方法點睛：利用向量的位置關系求參數是出題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.
22．A
【分析】
根據向量共線定理可得解.
【詳解】
設，
因為，，三點共線，所以，
又，，
所以，
所以，
故選：A.
23．，，，，不在同一條直線上．
【分析】
首先求出、、的坐標，根據向量共線的坐標表示求出的值，再檢驗，從而確定的值，再判斷與不共線，即可得解.
【詳解】
因為，，，，
所以，，
，
由與共線，所以，解得，
當時，，此時，即與共線同向；
當時，，此時，即與共線反向；
綜上可得.
此時，，，而，所以與不共線，
所以，，三點不在同一條直線上．
所以，，，不在同一條直線上．
24．
【詳解】
25．
【詳解】試題分析：根據題意，因為是的中點，所以=，是的中點，所以
試題解析：，.
又是的中點，.
又分別是的中點，
是的中點，
.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑