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清單03 第六章 兩個計數原理及排列組合
（9個考點梳理+題型解讀+提升訓練）
【考點題型一】兩個計數原理綜合
（1）定義：完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.
（2）定義：完成一件事需要兩個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.
【例1】（2023高二下·湖北襄陽·期中）如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是（　　）
A．48 B．18 C．24 D．36
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用分類加法計數原理列式計算作答.
【詳解】正方體的兩個頂點確定的直線有棱、面對角線、體對角線，
對于每一條棱，都可以與兩個側面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有（個）；
對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個，
不存在四個頂點確定的平面與體對角線垂直，
所以正方體中“正交線面對”共有（個）.
故選：D
【例2】（23-24高二下·遼寧大連·階段練習）有兩排座位，前排10個座位，后排10個座位，現安排2人就座，規定前排中間的兩個座位不能坐，并且這兩人不左右相鄰，那么不同的坐法的種數是
【答案】276
【分析】分情況討論，結合分類計數原理可得答案.
【詳解】分為下列三類情況：
第一類：兩人分別坐前后兩排，共有種；
第二類：兩人都坐后排，共有種；
第三類：兩人都坐前排，共有三種情況，分坐左右4個座位有32種；都坐左邊4個座位有6種；都坐右邊4個座位也有6種；共有種；
由分類加法計數原理可得，共有種.
故答案為：276
【變式1-1】.（2024高二下·全國·專題練習）用1，2，3，4四個數字組成無重復數字的四位數，其中比2000大的偶數共有（ ）
A．16個 B．12個 C．9個 D．8個
【答案】D
【分析】利用分類計數原理分類討論計算即可.
【詳解】比2000大，故千位為2，3，4，
若千位為2，則個位為4，有（個）符合題意的四位數；
若千位為3，則個位為2或4，有（個）符合題意的四位數；
若千位為4，則個位為2，有（個）符合題意的四位數．
根據分類加法計數原理得，一共有（個）符合題意的四位數．
故選:D．
【變式1-2】.（22-23高二下·山東菏澤·階段練習）實數2160所有正因數有 個．
【答案】40
【分析】先分析出，從而利用分步乘法計數原理進行求解.
【詳解】，故2160的正因數可表示為，
其中共5種情況，共4種情況，共2種情況，
由分步乘法計數原理可得，2160所有正因數有個.
故答案為：40
【考點題型二】排列數計算
排列數公式
①（連乘形式）：，，
②（階乘形式），，
【例1】（多選）（22-23高二下·新疆喀什·階段練習）下列等式中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】計算出排列數和組合數后判斷.
【詳解】，，，A正確；
，B錯；
，，C正確；
，，D正確．
故選：ACD．
【例2】（22-23高二上·全國·課時練習）解下列方程或不等式．
(1)=2；
(2).
【答案】(1)n=5
(2)x=8
【分析】（1）根據條件，利用排列數公式即可求出結果；
（2）先利用排列數公式得到 ，從而得到，對根據排列數公式要求，求出的范圍，進而求出結果.
【詳解】（1）因為=2，
由，解得，
由原式可得，解得或或．
又因為，所以．
（2）因為<6，
由，解得且，
由原不等式可得，
化簡可得，解得，
又且，所以．
【變式2-1】.（22-23高二下·甘肅武威·階段練習）解下列方程.
(1)；
(2).
【答案】(1)5
(2)或.
【分析】（1）根據排列數與組合數的計算公式，化簡方程，可得答案；
（2）根據組合數的性質，化簡方程，可得方程.
【詳解】（1）因為，所以，
所以，解得.
（2）因為，所以，
即，…，，所以，
所以或，
解得或.
【變式2-2】.（22-23高二下·江蘇徐州·階段練習）（1）解方程：
（2）解不等式；
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用組合數的性質及計算公式解方程作答.
（2）利用排列數公式化簡不等式，再求解不等式作答.
【詳解】（1）由組合數性質及，得，
而，則，
因此，即，解得，
所以原方程的解為.
（2）由，得且，解得，
又，化簡得，解得，因此，
所以不等式的解為.
【考點題型三】捆綁法和插空法
相鄰捆綁，不相鄰插空
【例1】（23-24高三下·山東菏澤·開學考試）一對夫妻帶著3個小孩和一個老人，手拉著手圍成一圈跳舞，3個小孩不相鄰的站法種數是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．36
【答案】B
【分析】根據插空法即可求解.
【詳解】將老人位置固定，夫妻兩人在老人左右，此時有種站法，
將三個孩子插入兩兩大人之間的空隙中，有種站法，
故總的站法有.
故選：B
【例2】（2024高三下·江蘇·專題練習）陽春三月，草長鶯飛；絲絳拂堤，盡飄香玉.三個家庭的3位媽媽帶著3名女寶和2名男寶共8人踏春.在沿行一條小溪時，為了安全起見，他們排隊前進，三位母親互不相鄰照顧孩子；3名女寶相鄰且不排最前面也不排最后面；為了防止2名男寶打鬧，2人不相鄰，且不排最前面也不排最后面.則不同的排法種數共有 種（用數字作答）.
【答案】288
【分析】根據給定條件，利用分步乘法計數原理，結合相鄰與不相鄰問題，列式計算即得.
【詳解】第一步：先將3名母親作全排列，共有種排法；
第二步：將3名女寶“捆綁”在一起，共有種排法；
第三步：將“捆綁”在一起的3名女寶作為一個元素，在第一步形成的2個空中選擇1個插入，有種排法；
第四步：首先將2名男寶之中的一人，插入第三步后相鄰的兩個媽媽中間，
然后將另一個男寶插入由女寶與媽媽形成的2個空中的其中1個，共有種排法.
所以不同的排法種數有：（種）.
故答案為：288
【例3】（23-24高三下·內蒙古赤峰·開學考試）小王一次買了兩串冰糖葫蘆，其中一串有兩顆冰糖葫蘆，另一串有三顆冰糖葫蘆．若小王每次隨機從其中一串吃一顆，則只有兩顆冰糖葫蘆的這串先吃完的概率為 ．
【答案】/
【分析】由題意將問題等價轉換為滿足題意的間隔插空或者捆綁插空的概率，結合排列組合知識即可求解.
【詳解】將串在一起的兩顆冰糖葫蘆編號為1，2（最下面那顆），串在一起的三顆冰糖葫蘆編號為3，4，5（最下面那顆），
現在可將題目等價轉換為首先從左到右固定3，4，5的排列順序，問將1，2間隔插空或者捆綁插空，且1，2都在5的左邊的概率，
若1，2間隔插空或者捆綁插空，共有種排列，
其中滿足1，2都在5的左邊的排列，共有，
所以只有兩顆冰糖葫蘆的這串先吃完的概率為.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：將問題等價轉換為間隔插空或者捆綁插空是解題的關鍵.
【變式3-1】.（23-24高三下·廣東佛山·開學考試）某人進行年度體檢，有五個檢查項目，為了體檢數據的準確性，A項目必須作為第一個項目完成，而B和C兩項不連在一起接著檢查．則不同順序的檢查方案一共有（ ）
A．6種 B．12種 C．18種 D．24種
【答案】B
【分析】利用分步乘法原理，結合插空法即可得解.
【詳解】依題意，將兩個項目全排列，有種情況，
再將兩個項目排在排列所形成的3個空位中，有種情況，
最后將項目放在第一位，有1種情況，
所以共有種情況.
故選：B.
【變式3-2】.（23-24高二下·安徽宿州·開學考試）若A，B，C，D，E，F六人站隊照相，要求A B相鄰且C D不相鄰，則所有不同的站法有（ ）
A．36 B．72 C．108 D．144
【答案】D
【分析】根據相鄰元素的捆綁法與不相鄰元素的插空法即可得不同的站法數.
【詳解】由于A B相鄰捆綁再一起有種方法，
再與E，F一起安排有種方法，最后插空安排不相鄰的C D有種方法，
根據分步乘法計數原理可得所有不同的站法有種.
故選：D.
【變式3-3】.（22-23高二下·全國·開學考試）小陳同學準備將新買的《大學》《左傳》《孟子》《論語》《詩經》《中庸》六本書立起來放在書架上，若要求《大學》《中庸》兩本書相鄰，則不同的擺放種數為 ．（用數字作答）
【答案】240
【分析】利用捆綁法進行求解.
【詳解】先將《大學》《中庸》兩書捆綁看作一個整體，則可以看作共5個位置的全排列，
排法種數為；最后排好《大學》《中庸》，兩書的排法種數為，
故不同的擺放方法有種．
故答案為：240
【考點題型四】特殊元素法
哪個元素特殊，哪個元素優先
【例1】（23-24高三下·江西·開學考試）某班級舉辦元旦晚會，一共有個節目，其中有個小品節目．為了節目效果，班級規定中間的個節目不能安排小品，且個小品不能相鄰演出，則不同排法的種數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先確定個小品的安排方式，再安排其余個節目，根據分步乘法計數原理可求得結果.
【詳解】用表示不安排中間且不相鄰的位置，則有，，，，，，，，，，，共種情況，
個小品有種安排方式；再安排其余個節目，共有種安排方式；
不同排法的種數有種.
故選：C.
【例2】（23-24高三上·江蘇南通·期末）有5輛車停放6個并排車位，貨車甲車體較寬，?？繒r需要占兩個車位，并且乙車不與貨車甲相鄰停放，則共有（ ）種停放方法．
A．72 B．144 C．108 D．96
【答案】A
【分析】對特殊車輛貨車甲的停放方法分類討論，再停入乙車，最后停入其它車即可得.
【詳解】先停入貨車甲，若貨車甲不靠邊，共有種停法，則乙車有種停法，
除甲、乙外的其它三輛車共有種停法；
若貨車甲靠邊，共有種停法，則乙車有種停法，
除甲、乙外的其它三輛車的排法共有種，
故共有種停放方法.
故選：A.
【例3】（23-24高二上·山東青島·期末）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行唱歌比賽，決出第一名到第五名．丙和丁去詢問成績，回答者對丙說：很遺憾，你和丁都沒有得到冠軍，對丁說：你當然不會是最差的從這兩個回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）
A．24種 B．54種 C．96種 D．120種
【答案】B
【分析】根據題意，分2種情況討論：
①丙是最后一名，則丁可以為第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，
②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，由加法原理計算可得答案．
【詳解】根據題意，丙丁都沒有得到冠軍，而丁不是最后一名，
分2種情況討論：
①丙是最后一名，則丁可以為第二、三、四名，即丁有3種情況，
剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，
此時有種名次排列情況；
②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有種情況，
剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，
此時有種名次排列情況；
則一共有種不同的名次情況，
故選：B．
【變式4-1】.（23-24高三下·重慶·階段練習）某班一天上午有五節課，下午有兩節課，現要安排該班一天中語文 數學 物理 英語 地理 體育 藝術7堂課的課程表，要求藝術課排在上午第5節，體育課排在下午，數學與物理不相鄰，則不同的排法種數是（ ）
A．128 B．148 C．168 D．188
【答案】C
【分析】利用特殊元素優先法，不相鄰元素插空法，再結合分類加法計數原理、分步乘法計數原理可得結果.
【詳解】藝術課一定在上午第5節只一種排法，體育課在下午共種排法；
因數學與物理不相鄰，分兩類：
第一類：數學與物理有一科在下午，另一科在上午，與其他科排列共種排法；
第二類：數學與物理均在上午且不相鄰，先在語文 英語 地理中選一科排在下午有，
再把剩下2科排在上午種排法，在它們中間及兩端共3個空位安排數學與物理，共種排法，
由分步乘法計數原理共種，
所以共有,
故選：C.
【變式4-2】.（2024高二下·全國·專題練習）5人排一個5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相鄰兩天不能排同一人，值日表排法的總數為（ ）
A．120 B．324 C．720 D．1280
【答案】D
【分析】利用分步乘法計數原理計算即可.
【詳解】第一天可以排5個人中的任意一個，有5種排法；
第二天可以排另外4個人中任意一個，有4種排法；
第三天同上，有4種排法；
第四天同上，有4種排法；
第五天同上，有4種排法．
根據分步乘法計數原理得所有的排法總數為．
故選:D．
【變式4-3】.（23-24高三下·廣東·開學考試）某班元旦晚會準備了8個節目，其中歌曲節目有3個，舞蹈節目有2個，小品、相聲、廆術節目各1個，要求小品、相聲、魔術這3個節目不安排在第一個表演，這3個節目中最多有2個節目連續表演，且魔術在小品后面表演，則該班元旦晚會的節目表演不同的安排方式有種 ．（用數字作答）
【答案】10800
【分析】首先排歌曲和舞蹈，再排小品、相聲、魔術，最后根據分步乘法即可得到答案.
【詳解】先將歌曲和舞蹈節目排好，有種，
再將小品、相聲、魔術這3個節目排好，有種，
則該班元旦晚會的節目表演不同的安排方式有種.
故答案為：10800.
【考點題型五】間接法
正難則反
【例1】（23-24高三下·河北·開學考試）某單位春節共有四天假期，但每天都需要留一名員工值班，現從甲、乙、丙、丁、戊、己六人中選出四人值班，每名員工最多值班一天.已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，則值班安排共有（ ）
A．184種 B．196種 C．252種 D．268種
【答案】C
【分析】采用間接法可直接得到答案.
【詳解】從甲、乙、丙、丁、戊、己六人中選出四人安排到假期的四天值班，一共有種方法；
甲在第一天值班有種方法；乙在第四天值班有種方法；
甲在第一天值班且乙在第四天值班有種方法；
因此從甲、乙、丙、丁、戊、己六人中選出四人值班，甲在第一天不值班，乙在第四天不值班共有種方法，
故選：C.
【例2】（23-24高二上·福建龍巖·期末）某學校高二（1）班上午安排語文、數學、英語、體育、物理門課，要求第一節不安排體育，語文和數學必須相鄰，則不同的排課方法共有（　?。?br/>A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】B
【分析】先考慮第一節安排體育課，語文和數學必須相鄰的排法種數，接下來考慮語文和數學必須相鄰的情形，求出兩種情況下不同的排課方法種數，結合間接法可得結果.
【詳解】先考慮第一節安排體育課，語文和數學必須相鄰，則將數學與語文捆綁，形成一個大元素，
將這個大元素與英語、物理課進行排序，共有種排法；
接下來只考慮語文和數學必須相鄰的情形，只需將數學與語文捆綁，形成一個大元素，
將這個大元素與其余門課進行排序，共有種排法.
由間接法可知，不同的排法種數為種.
故選：B.
【變式5-1】.（2024·遼寧·一模）第19屆亞運會于2023年9月至10月在杭州舉行，來自浙江某大學的4名男生和3名女生通過了志愿者的選拔，若從這7名大學生中選出2人或3人去某場館擔任英語翻譯，并且至少要選中1名女生，則不同的挑選方案共有（ ）
A．15種 B．31種 C．46種 D．60種
【答案】C
【分析】可用“間接法”解決問題.
【詳解】至少要選中一名女生的對立事件是選中的全為男生，故所求挑選方案的種數為.
故選：C
【變式5-2】.（23-24高三上·浙江寧波·期末）體育課上，老師讓2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之間至少有1名男生，則這5名學生不同的排法共有（ ）
A．24種 B．36種 C．72種 D．96種
【答案】C
【分析】利用間接法，先讓5名學生排成一排，再讓2名女生相鄰，即可得結果.
【詳解】讓2名女生和3名男生排成一排，不同的排法共有種，
讓2名女生相鄰，不同的排法共有種，
所以符合題設的不同的排法共有種.
故選：C.
【考點題型六】組合數的計算及性質的應用
【例1】（23-24高二上·福建寧德·期末）若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用組合數的性質求出的值，再利用組合數的性質可求得的值.
【詳解】因為，則，解得，
故
.
故選：D.
【例2】（23-24高二上·上?！ふn時練習）解關于正整數x的方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）（2）根據組合數的性質以及公式即可求解.
【詳解】（1）x為正整數，
由可得或，
故或，解得或或或（舍去），
又均為整數，且，
所以或符合要求，不符合要求，
故或
（2）由組合數的性質可得，
所以由可得，進而可得，
解得或（舍去），
由于，所以，故只取，舍去，
【變式6-1】.（23-24高二上·遼寧·期末）（ ）
A．120 B．119 C．110 D．109
【答案】B
【分析】由組合數公式不斷迭代即可得解.
【詳解】因為，
所以.
故選：B.
【變式6-2】.（23-24高二上·江西南昌·期末）（1）求值：．
（2）己知，求x．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）利用組合數性質，即可求出結果.
（2）利用組合數性質，即可求出結果.
【詳解】（1）因為，
（2）由，得到或，解得或，
經驗證，符合題意，所以或.
【考點題型七】分組，分配問題
①不平均②部分平均③平均
【例1】（23-24高三下·重慶·階段練習）將分別標有數字，，，，的五個小球放入，，三個盒子，每個小球只能放入一個盒子，每個盒子至少放一個小球.若標有數字1和2的小球放入同一個盒子，且盒子中只放一個小球，則不同的放法數為（ ）
A．28 B．24 C．18 D．12
【答案】C
【分析】先將五個小球分為，，或，，三組，再分配到三個盒子中.
【詳解】第一種情況，將五個小球按，，分為三組，則安排的方法有種；
第二種情況，將五個小球按，，分為三組，則安排的方法有種.
不同的放法數為18.
故選：.
【例2】（2024高二下·全國·專題練習）《數術記遺》是東漢時期徐岳編撰的一部數學專著，該書記述了我國古代14種算法，分別是：積算（即算籌） 太乙算 兩儀算 三才算 五行算 八卦算 九宮算 運籌算 了之算 成數算 把頭算 龜算 珠算 和計數.某學習小組有甲 乙 丙3人，該小組要收集九宮算 運籌算 了之算 成數算 把頭算 珠算6種算法相關資料，要求每種算法只能一人收集，每人至少收集其中一種，則不同的分配方案種數為（ ）
A．240 B．300 C．420 D．540
【答案】D
【分析】根據題意，結合分組分配問題，結合排列組合，即可求解.
【詳解】根據題意，將6種算法分成3組，有1，1，4一組，有1，2，3一組，以及2，2，2一組，
然后將這3組分配給甲乙丙三個人，
所以不同的分配方案有.
故選：D
【例3】（23-24高三下·青海西寧·開學考試）由未來科學大獎聯合中國科技館共同主辦的“同上一堂科學課”——科學點燃青春：未來科學大獎獲獎者對話青少年活動于2023年9月8日在全國各地以線上線下結合的方式舉行．現有某市組織5名獲獎者到當地三個不同的會場與學生進行對話活動，要求每個會場至少派一名獲獎者，每名獲獎者只去一個會場，則不同的派出方法有（ ）
A．60種 B．120種 C．150種 D．240種
【答案】C
【分析】根據給定條件，獲獎者按去到三個不同會場分類，利用分組分配列式計算即得.
【詳解】依題意，5名獲獎者按去到三個不同會場，有種方法，
5名獲獎者按去到三個不同會場，有種方法，
所以不同的派出方法有（種）.
故選：C
【變式7-1】.（2024高三·全國·專題練習）如圖中有一個信號源和五個接收器.接收器與信號源在同一個串聯線路中時，就能接收到信號，否則就不能接收到信號.若將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組，將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個接線點用導線連接，則這五個接收器能同時接收到信號的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先將左端的六個接線點隨機地平均分成三組可能出現的所有結果找出來，再根據五個接收器能同時接受到信號必須全部在同一個串聯線路中，求出此種情況可能出現的結果，再運用古典概型概率公式即可得出所求事件的概率.
【詳解】
由題意，設右端連線方式如圖，對于左端的六個連線點，將其隨機地平均分成三組，共有種結果，五個接收器能同時接收到信號必須全部在同一個串聯線路中，則1必須與3,4,5,6中的其中一個相接，接好后，2只有2種情況可選，剩下的接線點只有1種接法，所以共有種結果.同理，右端連線方式變化時，左端的接線方法也有15種，其中有8種可以接收到信號.故這五個接受器能同時接收到信號的概率是.
故選：D.
【變式7-2】.（2024·安徽合肥·模擬預測）中國救援力量在國際自然災害中為拯救生命作出了重要貢獻，很好地展示了國際形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽.現有5支救援隊前往，，等3個受災點執行救援任務，若每支救援隊只能去其中的一個受災點，且每個受災點至少安排1支救援隊，其中甲救援隊只能去，兩個數點中的一個，則不同的安排方法數是（ ）
A．72 B．84 C．100 D．120
【答案】C
【分析】若甲去點則剩余4人，可只去、兩個點，也可分為3組去，，3個點，按照分組分配的方法計算可得，同理求出甲去點的安排方法，再由分類加法計數原理計算可得.
【詳解】若甲去點，則剩余4人，可只去、兩個點，也可分為3組去，，3個點.
當剩余4人只去、兩個點時，人員分配為或，
此時的分配方法有；
當剩余4人分為3組去，，3個點時，
先從4人中選出2人，即可分為3組，然后分配到3個小組即可，此時的分配方法有，
綜上可得，甲去點，不同的安排方法數是.
同理，甲去點，不同的安排方法數也是，
所以，不同的安排方法數是.
故選：C.
【變式7-3】.2024高三下·江蘇·專題練習）教育扶貧是我國重點扶貧項目，為了縮小教育資源的差距，國家鼓勵教師去鄉村支教，某校選派了5名教師到A B C三個鄉村學校去支教，每個學校至少去1人，每名教師只能去一個學校，不同的選派方法數有 種（用數字作答）.
【答案】150
【分析】按照分類分步計數原理可先將5人分成3組，再將3組人員分配到3個學校去，即可計算出結果.
【詳解】由題意可知，先將5人分成三組有2類分法，
第一類：各組人數分別為1，1，3，共有種分法；
第二類：各組人數分別為1，2，2，共有種分法，
再將三組人員分配到A B C三個鄉村學校去，共有種，
所以不同的選派方法共有種.
故答案為：150
【考點題型八】隔板法
相同元素問題
【例1】（2024高三下·江蘇·專題練習）某校將8個足球賽志愿者名額分配到高一年級的四個班級，每班至少一個名額，則不同的分配方法共有 種（用數字作答）.
【答案】
【分析】根據給定條件，利用隔板法列式計算即得.
【詳解】依題意，將8個名額排成一列，有7個間隔，
在這7個間隔中插入3個隔板，可將8個名額分成4組，依次對應4個班級，
所以有種分配方法.
故答案為：
【例2】（2024高三·全國·專題練習）已知正整數，，，，滿足，則不同的有序實數對有 種可能．
【答案】126
【分析】該題本質上是相同元素的分配問題，可以用隔板法解決．
【詳解】先將拆成個，并排成一排，于是正整數，，，，表示在這個中占有的個數，
然后用四個隔板把這一列分為五組，由于這一列數中間有個空，
因此四個隔板的放置方法種數為（種）．因此不同的有序實數對有種可能．
故答案為：
【變式8-1】.（2014高二·全國·競賽）1.10塊相同的巧克力，每天至少吃一塊，5天吃完，有 種方法；若10塊相同的巧克力，每天至少吃一塊，直到吃完為止又有 種方法．（用數字作答）
【答案】 126 512
【分析】（1）相同問題至少有一個的分配問題用隔板法即可；（2）先對吃完的天數進行分情況討論，再對每一種情況用隔板法即可。
【詳解】解：由題知，關于空1：若10塊相同的巧克力，每天至少吃一塊，5天吃完，
將10塊巧克力排成一排，共有9個空格，
分成5份，只需4個隔板，
所以共有種方法；
關于空2：若10塊相同的巧克力，每天至少吃一塊，直到吃完為止，
至多吃10天，至少吃1天，
當1天吃完時，共種方法，
當2天吃完時，將10塊巧克力排成一排，共有9個空格，
分成2份，只需1個隔板，所以有種方法，
當3天吃完時，需要分成3份，只需2個隔板，所以有種方法，
當4天吃完時，需要分成4份，只需3個隔板，所以有種方法，
……，
當10天吃完時，需要分成10份，只需9個隔板，所以有種方法，
綜上：共有種方法。
故答案為：126；512
【變式8-2】.（23-24高二上·甘肅白銀·期末）現有10個運動員名額，作如下分配方案.
(1)平均分成5個組，每組2人，有多少種分配方案？
(2)分成7個組，每組最少1人，有多少種分配方案？
【答案】(1)945
(2)84
【分析】（1）根據平均分組的分配規律，結合組合數的計算，即可得答案；
（2）結合題意，利用隔板法即可求得答案.
【詳解】（1）根據平均分配規律，則平均分配5個組共有種方案.
（2）10名運動員排成一排，中間形成9個空隙，選6個位置插入隔板，
則分成7組，故分配方案共有種.
【考點題型九】涂色問題
【例1】（2023·浙江·模擬預測）五行是華夏民族創造的哲學思想，多用于哲學 中醫學和占卜方面，五行學說是華夏文明重要組成部分.古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金 木 水 火 土，彼此之間存在相生相克的關系.下圖是五行圖，現有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數有（ ）

A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
【答案】D
【分析】根據不鄰區域是否同色進行分類，確定涂色順序再分步計數即可.
【詳解】五行相克可以用同一種顏色，也可以不用同一種顏色，即無限制條件.
五行相生不能用同一種顏色，即相鄰位置不能用同一種顏色.
故問題轉化為如圖五個區域，
有種不同的顏色可用，要求相鄰區域不能涂同一種顏色，即色區域的環狀涂色問題.

分為以下兩類情況：
第一類：三個區域涂三種不同的顏色，
第一步涂區域，
從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個區域上，則有種方法，
第二步涂區域，由于顏色不同，有種方法，
第三步涂區域，由于顏色不同，則有種方法，
由分步計數原理，則共有種方法；
第二類：三個區域涂兩種不同的顏色，
由于不能涂同一色，則涂一色，或涂同一色，兩種情況方法數相同.
若涂一色，
第一步涂區域，可看成同一區域，且區域不同色，
即涂個區域不同色，
從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個區域上，則有種方法，
第二步涂區域，由于顏色相同，則有種方法，
第三步涂區域，由于顏色不同，則有種方法，
由分步計數原理，則共有種方法；
若涂一色，與涂一色的方法數相同，
則共有種方法.
由分類計數原理可知，不同的涂色方法共有種.
故選：D.
【例2】（22-23高二下·河北唐山·期中）如圖，某城區的一個街心花園共有五個區域，中心區域⑤是代表城市特點的標志性塑像，要求在周圍①②③④四個區域內種植鮮花，現有四個品種的鮮花供選擇，要求每個區域只種一個品種且相鄰區域所種品種不同，則不同的種植方法共有（ ）

A．48種 B．60種 C．84種 D．108種
【答案】C
【分析】根據四個區域所種植鮮花的種類進行分類：種植兩種鮮花，種植三種鮮花，種植四種鮮花，然后相加即可求解.
【詳解】由題意可知：四個區域最少種植兩種鮮花，最多種植四種，所以分以下三類：
當種植的鮮花為兩種時：①和③相同，②和④相同，共有種種植方法；
當種植鮮花為三種時：①和③相同或②和④相同，此時共有種種植方法；
當種植鮮花為四種時：四個區域各種一種，此時共有種種植方法，
綜上：則不同的種植方法的種數為種，
故選：C.
【變式9-1】.（22-23高三下·江西·階段練習）中國是世界上最早發明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區域，每個區域分別印有數字1，2，3，..，8，現準備給該傘面的每個區域涂色，要求每個區域涂一種顏色，相鄰兩個區域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區域（如區域1與區域5）所涂顏色相同.若有7種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（ ）

A．1050種 B．1260種 C．1302種 D．1512種
【答案】C
【分析】由題意可得，只需確定區域的顏色，先涂區域1，再涂區域2，再分區域3與區域1涂的顏色不同、區域3與區域1涂的顏色相同，最后根據分步乘法原理即可求解.
【詳解】由題意可得，只需確定區域的顏色，即可確定整個傘面的涂色.
先涂區域1，有7種選擇；再涂區域2，有6種選擇.
當區域3與區域1涂的顏色不同時，區域3有5種選擇，剩下的區域4有5種選擇.
當區域3與區域1涂的顏色相同時，剩下的區域4有6種選擇.
故不同的涂色方案有種.
故選：C
【變式9-2】.（22-23高二下·重慶沙坪壩·階段練習）用紅、黃、藍、綠四種顏色給下圖著色，要求有公共邊的兩塊不著同色．在所有著色方案中，①③⑤著相同色的方案有（ ）種

A．96 B．24 C．48 D．108
【答案】D
【分析】利用分步計數原理計算即可.
【詳解】因為①③⑤著相同的顏色，可以有種，
②④⑥按要求可隨意著與①③⑤不同色的另外三種顏色，故有種，
所以共有種.
故選：D.清單03 第六章 兩個計數原理及排列組合
（9個考點梳理+題型解讀+提升訓練）
【考點題型一】兩個計數原理綜合
（1）定義：完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.
（2）定義：完成一件事需要兩個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.
【例1】（2023高二下·湖北襄陽·期中）如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是（　　）
A．48 B．18 C．24 D．36
【例2】（23-24高二下·遼寧大連·階段練習）有兩排座位，前排10個座位，后排10個座位，現安排2人就座，規定前排中間的兩個座位不能坐，并且這兩人不左右相鄰，那么不同的坐法的種數是
【變式1-1】.（2024高二下·全國·專題練習）用1，2，3，4四個數字組成無重復數字的四位數，其中比2000大的偶數共有（ ）
A．16個 B．12個 C．9個 D．8個
【變式1-2】.（22-23高二下·山東菏澤·階段練習）實數2160所有正因數有 個．
【考點題型二】排列數計算
排列數公式
①（連乘形式）：，，
②（階乘形式），，
【例1】（多選）（22-23高二下·新疆喀什·階段練習）下列等式中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（22-23高二上·全國·課時練習）解下列方程或不等式．
(1)=2；
(2).
【變式2-1】.（22-23高二下·甘肅武威·階段練習）解下列方程.
(1)；
(2).
【變式2-2】.（22-23高二下·江蘇徐州·階段練習）（1）解方程：
（2）解不等式；
.
【考點題型三】捆綁法和插空法
相鄰捆綁，不相鄰插空
【例1】（23-24高三下·山東菏澤·開學考試）一對夫妻帶著3個小孩和一個老人，手拉著手圍成一圈跳舞，3個小孩不相鄰的站法種數是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．36
【例2】（2024高三下·江蘇·專題練習）陽春三月，草長鶯飛；絲絳拂堤，盡飄香玉.三個家庭的3位媽媽帶著3名女寶和2名男寶共8人踏春.在沿行一條小溪時，為了安全起見，他們排隊前進，三位母親互不相鄰照顧孩子；3名女寶相鄰且不排最前面也不排最后面；為了防止2名男寶打鬧，2人不相鄰，且不排最前面也不排最后面.則不同的排法種數共有 種（用數字作答）.
【例3】（23-24高三下·內蒙古赤峰·開學考試）小王一次買了兩串冰糖葫蘆，其中一串有兩顆冰糖葫蘆，另一串有三顆冰糖葫蘆．若小王每次隨機從其中一串吃一顆，則只有兩顆冰糖葫蘆的這串先吃完的概率為 ．
【變式3-1】.（23-24高三下·廣東佛山·開學考試）某人進行年度體檢，有五個檢查項目，為了體檢數據的準確性，A項目必須作為第一個項目完成，而B和C兩項不連在一起接著檢查．則不同順序的檢查方案一共有（ ）
A．6種 B．12種 C．18種 D．24種
【變式3-2】.（23-24高二下·安徽宿州·開學考試）若A，B，C，D，E，F六人站隊照相，要求A B相鄰且C D不相鄰，則所有不同的站法有（ ）
A．36 B．72 C．108 D．144
【變式3-3】.（22-23高二下·全國·開學考試）小陳同學準備將新買的《大學》《左傳》《孟子》《論語》《詩經》《中庸》六本書立起來放在書架上，若要求《大學》《中庸》兩本書相鄰，則不同的擺放種數為 ．（用數字作答）
【考點題型四】特殊元素法
哪個元素特殊，哪個元素優先
【例1】（23-24高三下·江西·開學考試）某班級舉辦元旦晚會，一共有個節目，其中有個小品節目．為了節目效果，班級規定中間的個節目不能安排小品，且個小品不能相鄰演出，則不同排法的種數是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（23-24高三上·江蘇南通·期末）有5輛車停放6個并排車位，貨車甲車體較寬，?？繒r需要占兩個車位，并且乙車不與貨車甲相鄰停放，則共有（ ）種停放方法．
A．72 B．144 C．108 D．96
【例3】（23-24高二上·山東青島·期末）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行唱歌比賽，決出第一名到第五名．丙和丁去詢問成績，回答者對丙說：很遺憾，你和丁都沒有得到冠軍，對丁說：你當然不會是最差的從這兩個回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）
A．24種 B．54種 C．96種 D．120種
【變式4-1】.（23-24高三下·重慶·階段練習）某班一天上午有五節課，下午有兩節課，現要安排該班一天中語文 數學 物理 英語 地理 體育 藝術7堂課的課程表，要求藝術課排在上午第5節，體育課排在下午，數學與物理不相鄰，則不同的排法種數是（ ）
A．128 B．148 C．168 D．188
【變式4-2】.（2024高二下·全國·專題練習）5人排一個5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相鄰兩天不能排同一人，值日表排法的總數為（ ）
A．120 B．324 C．720 D．1280
【變式4-3】.（23-24高三下·廣東·開學考試）某班元旦晚會準備了8個節目，其中歌曲節目有3個，舞蹈節目有2個，小品、相聲、廆術節目各1個，要求小品、相聲、魔術這3個節目不安排在第一個表演，這3個節目中最多有2個節目連續表演，且魔術在小品后面表演，則該班元旦晚會的節目表演不同的安排方式有種 ．（用數字作答）
【考點題型五】間接法
正難則反
【例1】（23-24高三下·河北·開學考試）某單位春節共有四天假期，但每天都需要留一名員工值班，現從甲、乙、丙、丁、戊、己六人中選出四人值班，每名員工最多值班一天.已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，則值班安排共有（ ）
A．184種 B．196種 C．252種 D．268種
【例2】（23-24高二上·福建龍巖·期末）某學校高二（1）班上午安排語文、數學、英語、體育、物理門課，要求第一節不安排體育，語文和數學必須相鄰，則不同的排課方法共有（　　）
A．種 B．種 C．種 D．種
【變式5-1】.（2024·遼寧·一模）第19屆亞運會于2023年9月至10月在杭州舉行，來自浙江某大學的4名男生和3名女生通過了志愿者的選拔，若從這7名大學生中選出2人或3人去某場館擔任英語翻譯，并且至少要選中1名女生，則不同的挑選方案共有（ ）
A．15種 B．31種 C．46種 D．60種
【變式5-2】.（23-24高三上·浙江寧波·期末）體育課上，老師讓2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之間至少有1名男生，則這5名學生不同的排法共有（ ）
A．24種 B．36種 C．72種 D．96種
【考點題型六】組合數的計算及性質的應用
【例1】（23-24高二上·福建寧德·期末）若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【例2】（23-24高二上·上?！ふn時練習）解關于正整數x的方程：
(1)；
(2)．
【變式6-1】.（23-24高二上·遼寧·期末）（ ）
A．120 B．119 C．110 D．109
【變式6-2】.（23-24高二上·江西南昌·期末）（1）求值：．
（2）己知，求x．
【考點題型七】分組，分配問題
①不平均②部分平均③平均
【例1】（23-24高三下·重慶·階段練習）將分別標有數字，，，，的五個小球放入，，三個盒子，每個小球只能放入一個盒子，每個盒子至少放一個小球.若標有數字1和2的小球放入同一個盒子，且盒子中只放一個小球，則不同的放法數為（ ）
A．28 B．24 C．18 D．12
【例2】（2024高二下·全國·專題練習）《數術記遺》是東漢時期徐岳編撰的一部數學專著，該書記述了我國古代14種算法，分別是：積算（即算籌） 太乙算 兩儀算 三才算 五行算 八卦算 九宮算 運籌算 了之算 成數算 把頭算 龜算 珠算 和計數.某學習小組有甲 乙 丙3人，該小組要收集九宮算 運籌算 了之算 成數算 把頭算 珠算6種算法相關資料，要求每種算法只能一人收集，每人至少收集其中一種，則不同的分配方案種數為（ ）
A．240 B．300 C．420 D．540
【例3】（23-24高三下·青海西寧·開學考試）由未來科學大獎聯合中國科技館共同主辦的“同上一堂科學課”——科學點燃青春：未來科學大獎獲獎者對話青少年活動于2023年9月8日在全國各地以線上線下結合的方式舉行．現有某市組織5名獲獎者到當地三個不同的會場與學生進行對話活動，要求每個會場至少派一名獲獎者，每名獲獎者只去一個會場，則不同的派出方法有（ ）
A．60種 B．120種 C．150種 D．240種
【變式7-1】.（2024高三·全國·專題練習）如圖中有一個信號源和五個接收器.接收器與信號源在同一個串聯線路中時，就能接收到信號，否則就不能接收到信號.若將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組，將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個接線點用導線連接，則這五個接收器能同時接收到信號的概率是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】.（2024·安徽合肥·模擬預測）中國救援力量在國際自然災害中為拯救生命作出了重要貢獻，很好地展示了國際形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽.現有5支救援隊前往，，等3個受災點執行救援任務，若每支救援隊只能去其中的一個受災點，且每個受災點至少安排1支救援隊，其中甲救援隊只能去，兩個數點中的一個，則不同的安排方法數是（ ）
A．72 B．84 C．100 D．120
【變式7-3】.2024高三下·江蘇·專題練習）教育扶貧是我國重點扶貧項目，為了縮小教育資源的差距，國家鼓勵教師去鄉村支教，某校選派了5名教師到A B C三個鄉村學校去支教，每個學校至少去1人，每名教師只能去一個學校，不同的選派方法數有 種（用數字作答）.
【考點題型八】隔板法
相同元素問題
【例1】（2024高三下·江蘇·專題練習）某校將8個足球賽志愿者名額分配到高一年級的四個班級，每班至少一個名額，則不同的分配方法共有 種（用數字作答）.
【例2】（2024高三·全國·專題練習）已知正整數，，，，滿足，則不同的有序實數對有 種可能．
【變式8-1】.（2014高二·全國·競賽）1.10塊相同的巧克力，每天至少吃一塊，5天吃完，有 種方法；若10塊相同的巧克力，每天至少吃一塊，直到吃完為止又有 種方法．（用數字作答）
【變式8-2】.（23-24高二上·甘肅白銀·期末）現有10個運動員名額，作如下分配方案.
(1)平均分成5個組，每組2人，有多少種分配方案？
(2)分成7個組，每組最少1人，有多少種分配方案？
【考點題型九】涂色問題
【例1】（2023·浙江·模擬預測）五行是華夏民族創造的哲學思想，多用于哲學 中醫學和占卜方面，五行學說是華夏文明重要組成部分.古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金 木 水 火 土，彼此之間存在相生相克的關系.下圖是五行圖，現有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數有（ ）

A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
【例2】（22-23高二下·河北唐山·期中）如圖，某城區的一個街心花園共有五個區域，中心區域⑤是代表城市特點的標志性塑像，要求在周圍①②③④四個區域內種植鮮花，現有四個品種的鮮花供選擇，要求每個區域只種一個品種且相鄰區域所種品種不同，則不同的種植方法共有（ ）

A．48種 B．60種 C．84種 D．108種
【變式9-1】.（22-23高三下·江西·階段練習）中國是世界上最早發明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區域，每個區域分別印有數字1，2，3，..，8，現準備給該傘面的每個區域涂色，要求每個區域涂一種顏色，相鄰兩個區域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區域（如區域1與區域5）所涂顏色相同.若有7種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（ ）

A．1050種 B．1260種 C．1302種 D．1512種
【變式9-2】.（22-23高二下·重慶沙坪壩·階段練習）用紅、黃、藍、綠四種顏色給下圖著色，要求有公共邊的兩塊不著同色．在所有著色方案中，①③⑤著相同色的方案有（ ）種

A．96 B．24 C．48 D．108

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