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第八章 平面向量題型
五：向量的模與夾角
【例5.1】
1．已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C．1 D．
【例5.2】
2．已知向量，，則的最大值為 .
【例5.3】
3．已知向量滿足，那么向量的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【例5.4】
4．若向量與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是 .
【鞏固練習】
5．已知向量，它們的夾角為，則（ ）
A．10 B． C． D．13
6．已知非零向量與的夾角為45°，，向量在向量上投影向量為，則 .
7．已知單位向量的夾角為，且，則（ ）
A． B．6 C．2 D．4
8．已知，，，則與的夾角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
9．已知，為單位向量．若，則（ ）
A． B． C． D．
10．已知平面向量滿足，，，則與的夾角為 .
11．已知，，如果與的夾角是鈍角，則的取值范圍是
題型六：向量的共線與垂直
【例6.1】
12．已知，，設，．
（1）若，求實數的值；
（2）當時，求與的夾角；
（3）是否存在實數，使，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
【鞏固練習】
13．已知向量，，若，則（ ）
A． B． C． D．3
14．已知向量，，，若，則（ ）
A．3 B．-1 C．2 D．4
15．已知平面向量，，若，則（ ）
A． B． C． D．
16．已知平面向量，滿足，，且，則實數的值為（ ）
A． B． C．2 D．3
17．已知向量，，若與平行，則m的值是 ．
題型七：平面向量在幾何中的應用
【例7.1】
18．如圖，在中，，，，分別在邊，上，且滿足，，為中點.
(1)若，求實數，的值；
(2)若，求邊的長.
【例7.2】
19．是所在平面上一點，若，則是的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【例7.3】
20．已知直角梯形中，，，，，是腰上的動點，則的最小值為 .
【鞏固練習】
21．如圖所示，在中，點為邊上一點，且，過點的直線與直線相交于點，與直線相交于點（，交兩點不重合）.若，則 ，若，，則的最小值為 .
22．已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則的軌跡一定通過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
23．已知點是所在平面上的一點，的三邊為，若，則點是的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
24．已知中，，，，在三角形所在的平面內有兩個動點和，滿足，，則的取值范圍是
題型八：平面向量在物理中的應用
【例1.1】
25．體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部分．某學生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為380N，則該學生的體重（單位kg）約為（ ）(參考數據：取重力加速度大小為10m/s2，)
A． B． C． D．
【例1.2】
26．一條河南北兩岸平行.如圖所示，河面寬度，一艘游船從南岸碼頭點出發航行到北岸.游船在靜水中的航行速度是，水流速度的大小為.設和的夾角為，北岸上的點在點的正北方向.

(1)若游船沿到達北岸點所需時間為，求的大小和的值；
(2)當時，游船航行到北岸的實際航程是多少？
【鞏固練習】
27．一質點在力，的共同作用下，由點移動到，則，的合力對該質點所做的功為（ ）
A．16 B． C．110 D．
28．如圖所示，一個物體被兩根輕質細繩拉住，且處于平衡狀態，已知兩條繩上的拉力分別是，，且，與水平夾角均為，，則物體的重力大小為
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．B
【分析】
轉化為平面向量的數量積可求出結果.
【詳解】.
故選：B
2．
【解析】求出的坐標，利用平面向量模的坐標表示結合輔助角公式可求得的最大值.
【詳解】已知向量，，則，
所以，，
其中為銳角，且，
因此，的最大值為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：給出用三角函數表示的向量坐標，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_形式，解題思路是經過向量的運算，利用三角函數在定義域內的有界性，求得最值或值域.
3．D
【分析】
利用向量的夾角公式求解即可.
【詳解】由已知得，
又，
，
故選：D.
4．
【分析】根據題意，由，求得，再由，求得，進而求得與的夾角時，實數的取值范圍，得到答案.
【詳解】由題意，向量與的夾角為銳角，
可得，解得，
又由當時，可得，解得，此時向量與的夾角為，
綜上可得且，即實數的取值范圍是.
5．C
【分析】
根據模長的計算公式即可代入求值.
【詳解】因為向量，它們的夾角為，所以，
所以.
故選：C.
6．2
【分析】
根據投影向量的概念分析運算.
【詳解】由題意可知：.
故答案為：2.
7．A
【分析】
根據模長公式即可代入求值.
【詳解】
，即.
故選：A
8．C
【分析】
利用向量夾角余弦公式進行求解.
【詳解】，
因為，
所以，
與的夾角是120°.
故選：C
9．A
【分析】
利用向量的數量積的運算以及夾角公式即可求解.
【詳解】設，的夾角為，
因為，為單位向量,且，
所以，
即，
整理得，
解得或（舍），
因為.
故選:A.
10．
【分析】根據的坐標求得其模長，再對兩邊平方求得，利用數量積即可求得向量夾角.
【詳解】因為，則，
因為，等式兩邊同時平方可得，
代入，可得，
設夾角為，
則由平面向量數量積的定義可得，
因為，所以.
故答案為：.
【點睛】本題考查利用數量積求向量夾角，涉及模長的坐標表示，屬綜合基礎題.
11．
【解析】與的夾角是鈍角,則，根據向量夾角公式列不等式，由此求得的取值范圍.
【詳解】設兩個向量的夾角為，依題意可知為鈍角，
則，即，且
由得或，
由于且，所以實數的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】本小題主要考查根據向量夾角求參數，注意利用時，要排除共線反向情況，屬于中檔題.
12．（1）；（2）；（3）存在；-6．
【分析】（1）由向量的數量積的運算公式，求得，列出方程，即可求解；
（2）當時，求得，，結合向量的夾角公式，即可求解；
（3）根據共線向量的坐標表示，列出方程，即可求解.
【詳解】（1）由題意，向量，，可得，
因為且，，
可得，解得.
（2）當時，可得，，
則，，，
所以與的夾角為，
因為，所以.
（3）由題意可得，，
若，可得，解得，
即存在，使得.
13．A
【分析】
由向量共線的坐標表示求解即可.
【詳解】向量，，
由得，，解得.
故選：A.
14．A
【分析】
運用共線向量的坐標表達式即得.
【詳解】
由，，又由，可得：，解得.
故選：A.
15．A
【分析】
根據向量垂直的坐標表示列方程，解方程即可.
【詳解】因為，
所以，
解得，
故選：A.
16．D
【分析】根據得到，列方程求解即可.
【詳解】，，
因為，所以，解得.
故選：D.
17．##
【分析】根據平面向量的坐標運算與向量平行的坐標表示列出方程求出m的值．
【詳解】∵向量，，∴，
又與平行，
∴，解得.
故答案為：．
18．(1)，.
(2)8
【分析】
（1）根據向量的線性運算以及平面向量的基本定理求得正確答案.
（2）利用轉化法化簡，從而求得的長.
【詳解】（1）
∵，，∴，
∴，∴，.
（2）
，
，
設，∵，，
，即，
解得（舍）或，∴長為8.
19．D
【分析】
利用平面向量數量積的性質推導出，進一步可得出，，即可得出結論.
【詳解】因為，則，所以，，
同理可得，，故是的垂心.
故選：D.
20．5
【分析】以為軸的正方向建立直角坐標系，利用向量的坐標表示求模長的最小值.
【詳解】
由題：以為軸的正方向建立直角坐標系，如圖所示：
設，
則
，當取得最小值.
故答案為：5
【點睛】此題考查平面向量線性運算和模長的坐標表示，恰當地建立直角坐標系將模長問題進行轉化利于解題.
21．
【分析】
根據向量的加減運算，以為基底，表示出，和已知等式比較，即可得的值，求得的值；結合已知用表示，結合三點共線可得，將化為，展開后利用基本不等式，即可求得的最小值.
【詳解】
在中，，，則，
故
，
故；
又，而，，
所以，則，
又三點共線，所以，結合已知可知，
故，
當且僅當，結合，即時，取等號；
即的最小值為，
故答案為：；
【點睛】
結論點睛：若，則三點共線.
22．A
【分析】根據題意結合向量的線性運算以及三角形的性質分析判斷
【詳解】由題意，當時，如圖
可知：點在邊上的中線所在直線上，∴動點的軌跡一定通過的重心，
故選：A．
23．B
【分析】
在，上分別取點，，使得，，以，為鄰邊作平行四邊形，即可得到四邊形是菱形，再根據平面向量線性運算法則及共線定理得到，，三點共線，即可得到在的平分線上，同理說明可得在其它兩角的平分線上，即可判斷.
【詳解】在，上分別取點，，使得，，則．
以，為鄰邊作平行四邊形，如圖，

則四邊形是菱形，且．
為的平分線．
，
即，
．
，，三點共線，即在的平分線上．
同理可得在其它兩角的平分線上，
是的內心．
故選：B．
24．
【分析】建立平面直角坐標系，設出M點的坐標，求出點的坐標，從而得到關于的三角函數，通過三角函數求最值的方法即可得出答案.
【詳解】以為原點，所在直線分別為軸，軸建立平面直角坐標系，
則，因為，所以的軌跡是以為原點，2為半徑的圓，
所以設，
因為，所以為的中點，所以，
所以，
所以，其中，
所以當時，取最小值，所以取最小值；
當時，取最大值，所以取最大值，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
25．B
【分析】
利用向量的數量積求得兩只胳膊的拉力的合力大小，再依據物理定理即可求得該學生的體重.
【詳解】由物理定理可得，該學生的重力與兩只胳膊的拉力的合力大小相等方向相反
兩只胳膊的拉力的合力大小為
則該學生的體重約為（kg）
故選：B
26．(1)，
(2)
【分析】（1）設游船的實際速度為，由速度合成的，根據求得結果即可；
（2）設到達北岸點所用時間為，根據計算長度，得出結果.
【詳解】（1）設游船的實際速度為.

由，得，.
如圖所示速度合成示意圖，由，得，
.
所以的大小為的值為.
（2）當時，設到達北岸點所用時間為，作出向量加法示意圖如圖所示，由向量數量積運算得：

. .
在Rt中，，從而.
所以.
故游船的實際航程為.
27．A
【分析】利用向量運算法則得到，，從而利用向量數量積公式計算答案.
【詳解】由題意得：，
，
則合力對該質點所做的功為.
故選：A.
28．
【分析】
根據向量的加法運算結合力的合成即可求解.
【詳解】
一個物體被兩根輕質細繩拉住，且處于平衡狀態，所以重力，
因為，與水平夾角均為，，
由向量加法的平行四邊形法則可知的方向是豎直向上的，且
，所以物體的重力大小為
故答案為:
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁第八章 平面向量
（知識歸納+題型突破）
一、 向量的有關概念
名稱 定義 備注
向量 既有大小又有方向的量； 向量的大小叫做向量的模 平面向量是自由向量
向量的模 向量的大小，也就是向量的長度 記作
零向量 長度為零的向量；其方向是任意的 記作
單位向量 模為1的向量 與非零向量同向的單位向量為
向量平行 兩個非零向量所在直線平行或重合； 或稱作向量共線 記作； 與任一向量平行
相等向量 模相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小
負向量 模相等但方向相反的向量 的負向量為
二、向量的表示
1．幾何表示：
常常把向量用有向線段(directed line-segment，即指定了方向的線段)表示出來，線段的長度就是向量的大小，線段的方向表示向量的方向．
2．字母表示
向量通常用上方加箭頭的小寫字母表示，如 ，讀作向量． 向量也可以用上方加箭頭的兩個大寫字母表示，如，讀作向量AB，其中A是向量的起點，B是向量的終點．
3．坐標表示（見：第五部分）
三、向量的運算
1．向量的線性運算
向量的加法、減法及實數與向量的乘法，統稱為向量的線性運算．從一個或幾個向量出發，通過線性運算得到的新向量稱為原來那些向量的線性組合．
向量運算 形式 法則（或幾何意義） 運算律
加法 向量加法的平行四邊形法則： 向量加法的三角形法則： （1）交換律： （2）結合律：
減法 三角形法則：
數乘 （1）是一個向量，模； （2）當時，的方向與的方向相同； 當時的方向與的方向相反； 當或時，． ； ； ．
注：①向量表達式中的零向量寫成，而不能寫成0．
②兩個向量共線要區別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關系．
2．向量的數量積
概念 定義 備注
向量的夾角 以一點為起點，作，我們把射線OA、OB的夾角稱為向量與的夾角． 記作，它的取值范圍為．特別地，當時，稱與垂直，記作．
投影向量 如果向量的起點和終點在直線上的投影分別為點和，那么向量叫做向量在直線上的投影向量，簡稱為投影．從而，一個向量在一個非零向量的方向上的投影，就是在的任意一條所在直線上的投影． 因為所有這些直線都互相平行，所以在的方向上的投影（在相等意義下）是唯一確定的．
數量投影 實數稱為向量在向量方向上的數量投影． 它是一個數量，其絕對值等于向量在向量方向上的投影的模．
向量的數量積 ，等于其中一個向量的模與另一個向量在向量的方向上的數量投影的乘積 約定：記作，即為；規定：零向量與任意向量的數量積為0； 運算律： （1） （2） （3）
特別注意：
（1）；
（2）結合律不成立：；
（3）消去律不成立，不能得到；
（4）=0，不能得到=或=0．
（5）乘法公式成立：
；
．
（6）向量夾角公式：
（7），當且僅當時等號成立．
四、向量重要定理
1．向量共線的充要條件
向量與非零向量平行的充要條件是：存在實數，使得
2．向量基本定理
如果是平面上兩個不平行的向量，那么該平面上的任意向量，都可唯一的表示為的線性組合，即存在唯一的一對實數與，使得．
給定平面上的一組向量，如果平面上的任意向量都可以唯一地表示成這組向量的線性組合，那么就稱這組向量是平面向量的一個基．
3．兩個非零向量垂直的充要條件：
4．定比分點公式與中點公式
（1）若點P是直線上的一點，且），O為直線外一點． 坐標分別為，P坐標為．則：
且：
（2）當時，，即中點公式．
五、向量的坐標表示
1．向量的正交分解與坐標表示
把向量寫成所在平面上兩個不平行向量與的線性組合的過程稱為關于與的分解．時，稱為向量的正交分解．
在平面直角坐標系中任意一個向量關于軸與軸正方向上的單位向量與的分解就是一個正交分解．這個正交分解稱為向量在這個平面直角坐標系中的坐標分解，而有序實數對則稱為向量的坐標，并直接表示成
．
并可以直接用向量的坐標代表一個向量．
一一對應：向量=向量點．
2．向量運算的坐標形式
設 與 均是坐標表示的向量， 是一個實數， 則
（1）向量相等：
（2）向量加減：
（3）數乘向量：
（4）向量的數量積：
（5）向量的模：
（6）向量的夾角公式：
六、向量的應用
1．平面幾何中的向量方法
向量在平面幾何中的應用主要有以下幾個方面：
（1）證明線段相等、平行，常運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時用到向量減法的意義．
（2）證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線（或線段）是否平行，常運用向量平行（共線）的條件：（或）．
（3）證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線（線段）是否垂直等，常運用向量垂直的條件：（或）．
（4）求與夾角相關的問題，往往利用向量的夾角公式．
（5）向量的坐標法，對于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標系，把向量用坐標表示，通過代數運算解決幾何問題．
知識點詮釋：
用向量知識證明平面幾何問題是向量應用的一個方面，解決這類題的關鍵是正確選擇基底，表示出相關向量，這樣平面圖形的許多性質，如長度、夾角等都可以通過向量的線性運算及數量積表示出來，從而把幾何問題轉化成向量問題，再通過向量的運算法則運算就可以達到解決幾何問題的目的了．
2．向量在物理中的應用舉例
（1）力學問題的向量處理方法
①解決此類問題必須用向量知識將力學問題轉化為數學問題，即將力學各量之間的關系抽象成數學模型，再利用建立的數學模型解析或回答相關物理現象；
②向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向線段可以有共同的起點，也可以沒有共同的起點．力是既有大小，又有方向的量．用向量知識解決共點力的問題，往往需要把向量平移到同一作用點上．
（2）速度、位移問題的向量處理方法
速度、加速度與位移的合成和分解，實質就是向量的加減運算，而運動的疊加也用到了向量的合成．
①向量在速度、加速度上的應用，實質是通過向量的線性運算解決物理問題，最后獲得物理結果．
②用向量解決速度、加速度和位移等問題，用的知識主要是向量的加法、減法以及數乘，有時也可借助坐標來求解．
（3）功、動量問題的向量處理方法
物理上力做功的實質是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，它的實質是力與位移的數量積，即 (為與的夾角)．功是一個標量，它可正，也可負．動量實際上是數乘向量．
題型一：向量的概念與表示
1．如圖，在長方體中，，，，以長方體的八個頂點中兩點為起點和終點的向量中．
（1）單位向量共有 個；
（2）模為的向量有 ；
（3）與相等的向量有 ；
（4）的相反向量有 ．
2．已知，，則線段中點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，若，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【鞏固練習】
4．在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點O為圓心，C為半圓上一點，且，，則等于（ ）
A．1 B． C． D．2
5．有關向量和向量，下列四個說法中：
①若，則；
②若，則或；
③若，則；
④若，則.
其中的正確的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如圖所示，在平行四邊形中成立的是（ ）

A． B．
C． D．
7．下列說法正確的是（ ）
A．若，則與的長度相等且方向相同或相反；
B．若，且與的方向相同，則
C．平面上所有單位向量，其終點在同一個圓上；
D．若，則與方向相同或相反
8．在四邊形ABCD中，若，且||=||，則四邊形ABCD為（ ）
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．不確定
9．關于向量，，，下列命題中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，，則
C．若，則 D．若，則
10．若，，則等于（　?。?br/>A． B．
C． D．
11．已知點滿足，若，，則點的坐標為 ．
題型二：向量的線性運算
12．已知四邊形是平行四邊形，則（ ）
A． B． C． D．
13．已知四邊形是邊長為1的正方形，則
14．設是不共線的向量，已知，，，若A，B，D三點共線，則實數k為 ．
15．在中，，，與交于點，，，則 （用、表示）．
【鞏固練習】
16．已知是腰長為的等腰直角三角形，其中，點是所在平面上的任意一點，則向量的模為
17．在三角形中，已知是的中點，是三角形的重心．設向量，，則向量 (結果用，表示)．
18．如圖，在中，設，，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點為P，則用、表示的式子為 .
19．設兩個非零向量與不共線．
(1)若，，求證三點共線．
(2)試確定實數，使和共線．
20．四邊形是梯形，，則等于（ ）

A． B． C． D．
題型三：向量的投影
21．已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量與投影數量分別是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
22．若是所在平面內的點，且，給出下列說法：（1）；（2）的最小值一定是；（3）點和點一定共線；（4）向量及在向量方向上的投影必定相等；其中正確的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
23．設向量，，則在上的投影為
【鞏固練習】
24．已知，，、的夾角為，則在方向上的數量投影為 ．
25．已知，，若在方向上的數量投影是2，則與的夾角的余弦值是 .
26．已知、滿足，在方向上的數量投影為，則的最小值為 ．
題型四：向量的數量積
27．已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．2
28．已知向量滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
29．如圖，已知中，弦，，則的值為
30．如圖，在直角三角形ABC中，斜邊AB＝4，，以斜邊AB為一邊向外作矩形ABMN，且BM＝2（其中點M、N與C在直線AB兩側），則的取值范圍是 ．
【鞏固練習】
31．已知向量的夾角為，且，，則（ ）
A． B． C． D．1
32．已知向量滿足，則（ ）
A．2 B． C．1 D．
33．如圖，為外接圓上一個動點，若，則的最大值為 .
34．如圖，直徑的半圓，為圓心，點在半圓弧上，，線段上有動點，則的最小值為 ．
35．四葉回旋鏢可看作是由四個相同的直角梯形圍成的圖形，如圖所示，，，，M為線段HG上一動點，則的最大值為（ ）
A．8 B．16 C． D．32
36．在邊長為8正方形中，點為的中點，是上一點，且，若對于常數，在正方形的邊上恰有個不同的點，使得，則實數的取值范圍為 .
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1． 8 、、、、、、、 、、 、、、
【分析】根據單位向量、模、相等向量、相反向量的概念結合圖形進行分析求解.
【詳解】（1）由圖可知，，所以單位向量有個；
（2）由圖可知，，所以模為的向量有：、、、、、、、；
（3）由圖可知，，所以與相等的向量有：、、；
（4）由圖可知，，所以的相反向量有：、、、；
故答案為：；、、、、、、、；、、；、、、.
2．D
【分析】
根據兩點的坐標，利用平面向量的坐標表示計算可得結果.
【詳解】設線段中點的坐標為，取，
則；
由向量的坐標表示可得，即，
解得；
所以線段中點的坐標為.
故選：D
3．A
【分析】
由題意可得是線段的中點，根據中點坐標公式求解即可.
【詳解】因為，所以是線段的中點，
所以點的坐標為，即，
故點的坐標為.
故選:A.
4．A
【分析】根據，可得，進一步得出答案.
【詳解】如圖，連接AC，
由，得.
因為為半圓上的點，所以，
所以．
故選：A.
5．B
【分析】由零向量的定義、向量的模、共線向量的定義，即可得出結果.
【詳解】由零向量的定義，可知①④正確；
由向量的模定義，可知②不正確；
由向量共線可知③不正確.
故選：B
6．D
【分析】
根據平行四邊形的性質及相等向量的定義判斷即可.
【詳解】在平行四邊形中且，且，
所以，.
故選：D
7．B
【分析】
對于A，利用向量的模的定義即可判斷；對于B，利用向量相等的定義判斷即可；對于C，考慮向量的起點位置判斷即可；對于D，考慮特殊向量即可判斷.
【詳解】
對于A，由只能判斷兩向量長度相等，不能確定它們的方向關系，故A錯誤；
對于B，因為，且 與同向，由兩向量相等的條件，可得 =，故B正確；
對于C，只有平面上所有單位向量的起點移到同一個點時，其終點才會在同一個圓上，故C錯誤；
對于D，依據規定：與任意向量平行，故當時，與的方向不一定相同或相反，故D錯誤.
故選：B.
8．B
【分析】
由向量相等的定義得出四邊形邊的關系，再由向量的模相等得四邊形對角線相等，從而可得四邊形形狀．
【詳解】
若，則AB=DC，且AB∥DC，所以四邊形ABCD為平行四邊形.
又因為||=||，即AC=BD，所以四邊形ABCD為矩形.
故選：B．
9．C
【分析】利用向量相等、向量共線的條件、向量模的定義，逐一對各個選項分析判斷即可得出結果.
【詳解】選項A，因為，只說明兩向量的模長相等，但方向不一定相同，故選項A錯誤；
選項B，當時，有，，但可以和不平行，故選項B錯誤；
選項C，若，由向量相等的條件知：，故選項C正確；
選項D，因向量不能比較大小，只有模長才能比較大小，故選項D錯誤.
故選：C
10．D
【分析】
根據直接求解.
【詳解】
因為，，
所以.
故選:D.
11．
【分析】
由知為、的中點，由中點坐標公式求解.
【詳解】解：由可得，所以為、的中點，
又，，
所以點的坐標為.
故答案為：.
12．D
【分析】
利用平面向量加法法則可化簡.
【詳解】.
故選：D.
13．
【分析】根據平面向量的加法運算求得，進而根據模長的定義即可求出結果.
【詳解】,
故答案為：.
14．
【分析】
利用向量的減法求出，再利用向量共線求出k即得.
【詳解】
由，，得，
由A，B，D三點共線，得，而，因此，解得，
所以實數k為.
故答案為：
15．
【分析】本題可結合題意繪出圖像，然后根據、、三點共線得出，根據、、三點共線得出，最后根據求出、的值，即可得出結果.
【詳解】如圖，結合題意繪出圖像：
因為、、三點共線，
所以存在實數使，
因為、、三點共線，
所以存在實數使，
則，
即，解得，，，
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：若、、三點共線，為直線外一點，則存在實數使，考查數形結合思想，考查計算能力，是中檔題.
16．
【分析】利用平面向量的線性運算以及平面向量的數量積可求得向量的模.
【詳解】由已知可得，，，且，
因為，
因此，的模為.
故答案為：.
17．；
【分析】由于是三角形的重心，可得的三等分點，從而可得，而是的中點，可得，再利用向量的加減法法則可得結果
【詳解】解：因為是的中點，所以，
因為是三角形的重心，所以，
所以
，
故答案為：
18．
【分析】根據平面向量的線性運算，以及AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點為P，，可得到，化簡整理即可求出結果.
【詳解】因為AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點為P，
所以
，
所以，即，
故答案為：.
19．(1)證明見解析；
(2)或.
【分析】(1)轉化為證明向量，共線，即可證明三點共線；
(2)由共線定理可知，存在實數，使，利用向量相等，即可求解的值.
【詳解】（1）因為，，，
所以
所以，共線，
又因為它們有公共點，
所以三點共線；
（2）因為和共線，
所以存在實數，使，
所以，
即 .
又，是兩個不共線的非零向量，
所以
所以，
所以或.
20．B
【分析】
根據向量的加法運算法則即可求解.
【詳解】,
故選：B
21．D
【分析】利用向量投影數量的概念可求得在方向上的投影數量，設在方向上的投影向量為，根據向量數量積的幾何意義可得出，求出實數的值，即可得出結論.
【詳解】設在方向上的投影向量為，則，
故，故在方向上的投影向量為，
在方向上的投影數量為.
故選：D.
22．B
【分析】根據兩個向量的數量積的定義,為定值,可得③、④正確,而①、②不一定成立,從而得到答案.
【詳解】解：根據兩個向量的數量積的定義,為定值,
而,
故①不一定成立,②也不一定成立.
向量及在向量的方向上的投影為,故④正確.
,即點在一條直線上，如圖,故③正確.
故選：B.
【點睛】本題主要考查兩個向量的數量積的定義,一個向量在另一個向量上的投影的定義,屬于中檔題.
23．
【分析】根據向量的投影公式，帶入即可得解.
【詳解】由投影公式可得在上的投影為：，
故答案為：
24．
【分析】直接按照投影的概念進行計算即可.
【詳解】由已知得，在方向上的數量投影為
因為，，、的夾角為，
所以
所以在方向上的數量投影為
故答案為：2
25．
【分析】寫出數量投影的定義，以及向量夾角公式，即可計算結果.
【詳解】由條件可知，
設與的夾角為，則.
故答案為：
26．10
【分析】根據數量投影的定義，結合平面向量數量積的運算性質進行求解即可.
【詳解】設、的夾角為，因為在方向上的數量投影為，
所以，因此，因此，所以，
，
因此有，因為，
所以當時，有最小值，最小值為，
故答案為：10
27．C
【分析】
根據數量積的定義及運算律計算即可.
【詳解】因為，
所以，
所以.
故選：C.
28．B
【分析】
利用數量積的性質，由可構造方程求得結果.
【詳解】，.
故選：B.
29．
【分析】取的中點，連接，證明出，同理可得出，結合平面向量的線性運算可求得結果.
【詳解】如下圖所示，取的中點，連接，則，
，同理，
因此，.
故答案為：.
30．
【分析】設，以為原點直線、分別為軸、軸，建立平面直角坐標系，把表示為關于的三角函數可解決此題．
【詳解】解：設，，以為原點直線、分別為軸、軸，建立平面直角坐標系，如圖所示：
則，，，
．
，，，，，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查平面向量的數量積的取值范圍問題，對于較為復雜的一些問題，建立坐標系，利用坐標法求平面向量的數量積的取值范圍是行之有效的方法．
31．A
【分析】
根據數量積的運算律以及數量積的定義即可求解.
【詳解】，
故選：A
32．A
【分析】將平方結合平面向量數量積的運算律即可得解.
【詳解】解：因為，
所以，
解得.
故選：A.
33．
【分析】先求出外接圓半徑,設，其中是在上的投影，再利用數形結合分析得解.
【詳解】由余弦定理得，
由正弦定理得外接圓半徑，
所以，其中是在上的投影，
過點作交圓于點，如圖所示，
則，
所以的最大值為.
故答案為：
【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是由題得，其中是在上的投影，再利用數形結合分析得解.
34．
【分析】設，可得出，計算得出，利用平面向量數量積的運算性質可得出關于的表達式，結合的取值范圍可求得的最小值.
【詳解】設，
則，
，，則，
所以，
.
因此，的最小值為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：求兩個向量的數量積有三種方法：
（1）利用定義：
（2）利用向量的坐標運算；
（3）利用數量積的幾何意義．
具體應用時可根據已知條件的特征來選擇，同時要注意數量積運算律的應用．
35．B
【分析】建立平面直角坐標系，標出四個點的坐標，寫出向量的坐標，利用坐標表示，結合變量的范圍，即得解
【詳解】
如圖所示以為坐標原點建立平面直角坐標系，由題意
，其中
因此：
因此當時，的最大值為16.
故選：B
【點睛】本題考查了坐標法求解向量的數量積，考查了學生數形結合，轉化劃歸，數學運算能力，屬于中檔題
36．
【分析】建立平面直角坐標系，按照點P在線段，，，上進行逐段分析的取值范圍及對應的解，然后取各個范圍的交集即可得答案．
【詳解】以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，
則，，
（1）當點P在AB上時，設，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
∴當時有一解，當時有兩解；
（2）當點P在AD上時，設，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴當或時有一解，當時有兩解；
（3）若P在DC上，設，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
∴當時有一解，當時有兩解；
（4）當點P在BC上時，設，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴當或時有一解，當時有兩解，
綜上，在正方形的四條邊上有且只有6個不同的點P，使得成立，那么m的取值范圍是，
故答案為：．
【點睛】解答本題的關鍵有兩個：一是正確理解題意，將問題轉化為判斷方程根的個數的問題求解；二是利用數形結合的思想進行求解，通過建立坐標系，將問題轉化為函數的知識求解，難度較大．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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