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第六章 三角
題型七：正余弦定理基本運算
例7.1
1．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則下列各式中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
例7.2
2．三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程的根，則三角形的另一邊長為 .
例7.3
3．在中，“”是“”的（ ）．
A．充要條件 B．充分非必要條件
C．必要非充分條件 D．既非充分又非必要條件
例7.4
4．在中，內角，，所對的邊分別是，，，若，，，則 ．
例7.5
5．在中，角、、的對邊分別為、、，其中有兩解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
例7.6
6．中，角，，的對邊分別是，，，，，若這個三角形有兩解，則的取值范圍是
【鞏固練習】
7．若在中，是的（ ）條件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
8．在中，若，則（ ）
A．25 B．5 C．4 D．
9．若中，，，，則 ．
10．在中，內角所對的邊分別是，已知，，，則的大小為（ ）
A． B．
C．或 D．或
11．在中，已知，，，b＝5，則c＝ ．
12．在中，內角、、所對的邊分別為、、，不解三角形，確定下列判斷正確的是（ ）
A．，，，有兩解 B．，，，有一解
C．，，，有一解 D．，，，無解
13．在中，內角，，所對的邊分別為，，，若，，當有兩解時，的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
14．中，角，，的對邊分別是，，，，，若這個三角形有兩解，則的取值范圍是
題型八：已知邊角關系解三角形
例8.1
15．已知的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且．若，則的外接圓半徑為 ．
例8.2
16．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例8.3
17．記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，求角B.
例8.4
18．在中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【鞏固練習】
19．的內角的對邊分別為，且，則的外接圓半徑為 .
20．在中，，則邊所對的角等于（ ）
A． B． C． D．
21．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，求角.
22．在中，，求的值
23．記的內角，，的對邊分別為，，，已知，證明：；
24．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則該三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
25．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，則是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
題型九：解三角形的實際應用
例9.1
26．一游客在處望見在正北方向有一塔，在北偏西45°方向的處有一寺廟，此游客騎車向西行后到達處，這時塔和寺廟分別在北偏東30°和北偏西15°，則塔與寺廟的距離為 .
【鞏固練習】
（2023·全國·高三專題練習）
27．山東省科技館新館目前成為濟南科教新地標（如圖1），其主體建筑采用與地形吻合的矩形設計，將數學符號“”完美嵌入其中，寓意無限未知 無限發展 無限可能和無限的科技創新.如圖2，為了測量科技館最高點A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機在點C測得點A和點B的俯角分別為75°，30°，隨后無人機沿水平方向飛行600米到點D，此時測得點A和點B的俯角分別為45°和60°（A，B，C，D在同一鉛垂面內），則A，B兩點之間的距離為 米.
28．如圖，某中學某班級課外學習興趣小組為了測量某座山峰的高度，先在山腳處測得山頂處的仰角為，又利用無人機在離地面高的處（即），觀測到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，則山高 m．

試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．C
【分析】根據正弦定理即得.
【詳解】在中，由正弦定理，
∴，，故ABD錯誤，C正確.
故選：C.
2．
【分析】解方程可得，利用余弦定理求出第三邊的長即可．
【詳解】解：解方程可得此方程的根為2或，
故夾角的余弦，
由余弦定理可得三角形的另一邊長為：．
故答案為：.
3．A
【分析】可以由反向推導得到A＞B﹒
【詳解】由得，
，
，
在中，所以，
由正弦定理得，
由大邊對大角的結論知．
所以為充要條件．
故選：A
4．
【分析】
利用余弦定理列方程求解.
【詳解】由余弦定理得即，
解得（舍），
故答案為:.
5．C
【分析】
方法1：A、B、C項通過解三角形來判斷其解的個數，D項通過大邊對大角與三角形的內角和為可判斷其解的個數.
方法2：畫圖看三角形解的個數.
【詳解】對于A項，方法1：∵，，
∴，
∴由正弦定理得：
∴a、c值唯一確定，
∴只有一解.
方法2：如圖所示，
∴只有一解. 故選項A錯誤；
對于B項，方法1：由余弦定理得：，
∴只有一解.
方法2：如圖所示，
∴只有一解. 故選項B錯誤；
對于C項，方法1：由正弦定理得：，解得：
又∵ ∴角B有兩個解.
方法2：如圖所示，
∵，
∴，
∴角B有兩個解. 故選項C正確；
對于D項 ，方法1：∵，∴，又∵，∴，
∴不存在這樣的三角形.
方法2：如圖所示，
∵，
∴
∴此時A、B、C三點不能構成三角形. 故選項D錯誤；
故選：C.
6．
【分析】
根據求解即可得答案.
【詳解】
因為這個三角形有兩解，故滿足，
即，解得.
故答案為：
7．C
【分析】
在三角形中，結合正弦定理，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷．
【詳解】
解：在三角形中，若，根據大角對大邊可得邊，由正弦定理，得．
若，則正弦定理，得，根據大邊對大角，可知．
所以，“”是“”的充要條件．
故選：C．
8．B
【分析】利用余弦定理直接求解.
【詳解】在中，若，，，
由余弦定理得.
故選：B
9．或
【分析】由已知可求得.分與兩種情況，根據余弦定理，即可求出結果.
【詳解】因為，，所以.
當時，由余弦定理，
因為，，解得；
當時，由余弦定理，
因為，，解得.
故答案為：或.
10．A
【分析】
利用正弦定理求解即可.
【詳解】在中由正弦定理可得，即，解得，
又因為，所以，
所以，
故選：A
11．2
【分析】由，得，再結合，得到角為鈍角，然后利用余弦定理求解.
【詳解】解：在中， ，b＝5，
由，得，
因為，
所以角為鈍角，則，
由余弦定理得，
即，解得或（舍去），
故答案為：2
12．D
【分析】
已知，的前提下，利用直角構造出關于的不等式，即可得出三角形的個數解.
【詳解】
因為，，如圖于，
由直角可得.
當或時，有一解；
當時，無解；
當時，有兩解.
結合四個選項，可知，選項A，B，C三項錯誤.
故選：D
13．A
【分析】先由，求得，再根據當有兩解時，，從而得出答案.
【詳解】，即, 則
由，解得,則
當有兩解時，，則，所以，
故選：.
14．
【分析】
根據求解即可得答案.
【詳解】
因為這個三角形有兩解，故滿足，
即，解得.
故答案為：
15．
【分析】
運用余弦定理和正弦定理進行求解即可.
【詳解】根據余弦定理由，
而，因此有，
因為，所以，
由正弦定理可知的外接圓半徑為，
故答案為：
16．B
【分析】由余弦定理求出答案.
【詳解】由得：，
解得：
故選：B
17．
【分析】
利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式求解即得.
【詳解】
在中，由及正弦定理得，
，則，
整理得，又，則，而，所以.
18．A
【分析】
已知條件用正弦定理邊化角，由展開后化簡得，可得出等腰三角形的結論.
【詳解】，由正弦定理，得，
即
∴，可得，
又，∴，
則的形狀為等腰三角形.
故選：A.
19．
【分析】利用正弦定理可得，進而可得，即得.
【詳解】，則，
由正弦定理，得
故，
展開化簡得：，，，
故，，
即，
∴外接圓直徑，
故外接圓半徑為.
故答案為：.
20．B
【分析】根據式子的特點，聯想平方差公式，完全平方公式，余弦定理，即可得解.
【詳解】因為，
所以，即 ，即 ，所以 .
故選：B
21．
【分析】
利用正弦定理將邊化角，再由誘導公式及兩角和的正弦公式求出，即可得解.
【詳解】
因為，由正弦定理可得，
所以，
所以，
即，又，所以，
所以，又，所以.
22．
【分析】
利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式求解即得.
【詳解】
在中，由及正弦定理，得
整理得，
而，則，又，所以.
23．證明見解析
【分析】
利用正弦定理將邊化角，再結合兩角和（差）的正弦公式得到，即可得證.
【詳解】
因為正弦定理：，
所以對于，有，
又，
所以，
即，
整理得，
所以，因為A，，為的三個內角，
所以，即.
24．A
【分析】由余弦定理得到，結合，得到，判斷出三角形為直角三角形.
【詳解】∵，
∴，
由余弦定理可得：，
整理可得：，①
∵，
∴，②
由①②得，
∴該三角形是直角三角形.
故選：A
25．C
【分析】將結合正弦定理可得到，與聯立可得到，繼而得到答案
【詳解】解：由及正弦定理得，即①，
又，即②，
將②代入①可得即③，將③代入①得，
所以，從而為等邊三角形，
故選：C
26．
【分析】
先根據題意作出簡圖，利用正弦定理求出，再利用余弦定理可得答案.
【詳解】
如圖，在中，由題意可知，，可得.
在中，，，，∴，
∴.
在中，
，
∴.
故答案為：.
27．
【分析】
根據已知角的關系，在三角形中，利用正余弦定理求解即可.
【詳解】
由題意，，所以，
所以在中，，，
又，所以，
在中，由正弦定理得，，所以，
在中，，
由余弦定理得，，
所以.
故答案為：
28．
【分析】
確定，，，在中，利用正弦定理求出，再由銳角三角函數計算得到答案.
【詳解】依題意，則，,，
故，，
在中，由正弦定理得，即，
解得，則.

故答案為：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁第六章 三角
（知識歸納+題型突破）
一、 角的概念的推廣與弧度制
1、正角、負角、零角：
正角：一條射線繞端點按逆時針方向旋轉所形成的角為正角，其度量值是正的；
負角：一條射線繞端點按順時針方向旋轉所形成的角為負角，其度量值是負的.
零角：當一條射線沒有旋轉時，稱為零角. 零角的始邊與終邊重合.
【小結】這樣，我們可將角的概念推廣到任意角，包括正角、負角與零角，也包括超過的角.
2、象限角和軸線角
（1）為了便于研究角及與其相關的問題，可將角置于平面直角坐標系中，使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與軸的正半軸重合，此時角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角，或者說這個角屬于第幾象限. 如圖，和都是第一象限角，和都是第二象限的角.
（2）當角的終邊在坐標軸上時，就說這些角不屬于任一象限，這種角稱為軸線角.
3、終邊相同的角
我們把所有所有與角終邊重合的角（包括角本身）的集合表示為
.
【小結】①終邊在軸正半軸上的角的集合為；
②終邊在軸負半軸上的角的集合為；
③終邊在軸上的角的集合為；
④終邊在軸上的角的集合為；
⑤終邊在坐標軸上的角的集合為；
⑥第二象限角的集合為.
【注意】后綴表示射線，表示直線.
二、角的度量
1、角度制
在平面幾何中，我們把周角的作為1度，用“度”作為單位來度量角的單位制叫做角度制.
2、 弧度制
（1）把弧長等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1 rad.
用“弧度”作為單位來度量角的單位制叫做弧度制.
一般地說，如果一個半徑為的圓的圓心角所對的弧長為，那么就是角的絕對值，即
，
這里的符號由它的始邊旋轉至終邊的方向決定【逆正順負】.
【注意】對于角，以頂點為圓心，分別以為半徑畫弧和，它們的長分別為和，則，因此一個角的弧度數僅與角的大小有關，而與所取弧的半徑無關.
【心得】這種定義法我們稱之為比值定義法，跟初中物理中類似.
（2）在弧度制下，每個角都是一個確定的實數，而每個實數也可以表示一個確定的角，因此在角的集合與實數集合之間建立起一種一一對應的關系.
【注意】在用弧度制表示角時，通常省略“弧度”兩字，只寫這個角所對應的弧度數. 例如，角和角的互補關系可以表示為，而則表示弧度的角的正弦.
（3）角度與弧度的換算：弧度
（4）應熟記一些常用特殊角的角度和弧度的對應關系
角度
弧度
（5）象限角的表示：
第一象限的角的集合：
第二象限的角的集合：
第三象限的角的集合：
第四象限的角的集合：
【注意】角度和弧度不可混用，如“”和“”的寫法都是不妥當的.
（6）弧長公式和扇形面積公式
引入弧度制使得扇形的弧長和面積公式變得簡潔漂亮. 當扇形的圓心角為，半徑為時，扇形的弧長和面積的公式分別為及. 在使用弧度制后，圓心角相應的弧度為，因此上述公式可分別簡化為
二、任意角的正弦、余弦、正切、余切
1、定義
在任意角的終邊上任取異于原點的一點，
設其坐標為，并令，必有.
這樣，就可以分別定義角的正弦、余弦、正切及余切為
， ，（），（）.
2、任意角的正弦、余弦、正切、余切的符號
【注意】任意角的正弦、余弦、正切、余切的符號：一全二正弦，三切四余弦
3、單位圓
根據定義，角的正弦、余弦、正切及余弦值僅與角的大小有關，而與角的終邊上的點的位置無關，因此我們可以用角的終邊上到原點距離為1（）的點來確定角的正弦、余弦、正切及余切值.
半徑為1個單位的圓稱為單位圓. 本章中，如無特別說明，單位圓通常指在平面直角坐標系中以坐標原點為圓心，以1為半徑的圓.
設角的終邊與單位圓的交于唯一的一點，則根據定義可知，
，. 因此，單位圓上點的坐標必可以寫為（）.
三、同角三角關系
1、同角三角關系
角的終邊經過異于原點的一點，并記.
由定義，有，，（），（）.
由，就有.
當時，有.
當時，有.
當、都有意義時，有.
2、常用轉化
(1)sin2α＋cos2α＝1
(2)對只含有sin α，cos α的齊次式，可根據同角三角函數的商數關系，通過除以某一齊次項，轉化為只含有正切的式子，即化弦為切，整體代入.
(3)對于形如或的分式，分子、分母同時除以cos α，cos2α，將正、余弦轉化為正切，從而求值.
(4)對于形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，將其看成分母為1的分式，再將分母1變形為sin2α＋cos2α，轉化為形如的式子求值.
四、誘導公式
處理角度與角的關系，起到角的化簡作用。結論：奇變偶不變，符號看象限：
(1)默認為銳角，則角視作正半軸（角的終邊已旋轉后再逆時針旋轉一個銳角即可），角視作正半軸（角的終邊已旋轉后再順時針旋轉一個銳角即可）；
(2)默認為銳角，則角視作負半軸（角的終邊已旋轉后再逆時針旋轉一個銳角即可），角視作正半軸（角的終邊已旋轉后再順時針旋轉一個銳角即可）；
(3)默認為銳角，類比（1）（2）則角視作角的終邊已旋轉后再逆時針旋轉一個銳角即可），角角的終邊已旋轉后再順時針旋轉一個銳角即可；
五、常用三角公式
1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
（1）兩角和與差的正弦：
:
:
（2）兩角和與差的余弦：
:
:
（3）兩角和與差的正切：
:.
:.
2、輔助角公式：
（1）對于形如的式子，可變形如下：
=
令，
則==
其中角所在象限由的符號確定，角的值由確定，
（2）對于形如的式子，也可變形如下：
=
令，
則==
其中角所在象限由的符號確定，角的值由確定，
3、積化和差與和差化積公式
（1）積化和差
（2）和差化積
4、二倍角公式及其常用變形
（1）二倍角公式
①；
②；
③；
（2）降冪公式
六、解三角形
1、正弦定理與余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓的半徑，則
正弦定理 余弦定理
適用范圍 (1)已知兩角及任意一邊. (2)已知兩邊及其中一邊的對角. (1)已知兩邊和夾角或已知三邊． (2)已知兩邊和一邊的對角．
公式
變 形 與 應 用 (1)，，. (2)，，. (3)三角形的邊長之比等于對應角的正弦比，即. (4)，， (5)大邊對大角 大角對大邊 (6)合分比： ， ， . ， ，
2、 三角形內角和及三角形常見重要關系
△ABC
ADA
3、三角形常用面積公式
haa
rRr
△ABC
4、正弦定理之齊次式結構
結構特點：每一項中都有邊或sin角且次數一致，即可實現邊和對應sin角的互化
（1）整式齊次式
①邊的齊次式：
②sin角的齊次式：
（2）分式齊次式：
5、 拆角與合角的技巧
6、常見等式的化簡



7. 三角形解的個數
唯一
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關系式
解的個數 一解 兩解 一解 一解 無解
8、判斷三角形形狀的策略
△
△
△
9、解三角形中的實際應用問題
Bα
αααα
θiiθ
題型一：任意角及其度量
例1.1
1．在平面直角坐標系中，給出下列命題：①小于的角一定是銳角；②鈍角一定是第二象限的角；③終邊不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命題的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
例1.2
2．與終邊相同的最小正角是（ ）
A． B． C． D．
例1.3
3．已知角.
(1)將改寫成的形式，并指出是第幾象限的角；
(2)在區間上找出與終邊相同的角．
例1.4
4．若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．
【鞏固練習】
5．若是第一象限角，則是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
6．從2023年12月14日13∶00到當天13∶25，某時鐘的分針轉動的弧度為（ ）
A． B． C． D．
7．（1）如圖，陰影部分表示角的終邊所在的位置，試寫出角的集合．

（2）已知角，將改寫成的形式，并指出是第幾象限角．
題型二：扇形周長與面積公式應用
例2.1
8．已知扇形的周長是，面積是，則扇形的中心角的弧度數是（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．9
例2.2
9．杭州2022年第19屆亞運會會徽（圖1）象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發展，也象征亞奧理事會大家庭團結攜手 緊密相擁 永遠向前.圖2是會徽抽象出的幾何圖形.設的長度是的長度是，幾何圖形的面積為，扇形的面積為，若，則 .

【鞏固練習】
10．已知扇形的圓心角為，弧長為，則扇形的半徑為（ ）
A． B．3
C． D．6
11．若扇形周長為10，當其面積最大時，其內切圓的半徑r為（ ）
A． B．
C． D．
題型三、任意角的正弦、余弦、正切、余切的定義與符號
例3.1
12．已知角的終邊上有一點，求的各三角函數值.
例3.2
13．求值：
(1)；
(2).
例3.3
14．已知角是第四象限角，則下列各式中一定為正的是（ ）
A． B．
C． D．
【鞏固練習】
15．若點在角的終邊上，則下列函數中不存在的是（ ）
A． B．
C． D．
16．是的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件
17．已知角的終邊經過點，求的值.
題型四、應用同角三角函數關系、常用三角變換、誘導公式化簡、求值
例4.1
18．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
例4.2
19．已知是三角形的內角，且，則的值是（ ）
A． B． C． D．
例4.3
20．化簡：
(1)－；
(2)；
(3)．
例4.4
21．（ ）
A． B． C． D．
例4.5
22．若，則 .
例4.6
23．已知，則的值為（ ）
A． B．
C． D．
例4.7
24．若，則（ ）
A． B． C． D．
例4.8
25．化簡下列各式：
(1)；
(2)．
例4.9
26．化簡：（ ）
A． B． C． D．
例4.10
27．已知，且，則（ ）．
A． B． C． D．
例4.11
28．計算：（ ）
A． B． C． D．
例4.12
29．的值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
例4.13
30．已知角的終邊過點，則（ ）
A． B． C． D．
【鞏固練習】
31．計算：
(1)已知，，求的值.
(2)已知，求，的值
32．已知為銳角，且，則（ ）
A． B． C． D．
33．（1）若是的一個內角，且，求的值;
（2）若，求的值;
34．設為第二象限角，若，則 .
35．化簡：
(1)；
(2)．
36．的值為（ ）
A． B． C． D．
37．已知，且，則的值可能是（ ）
A． B． C． D．
38．已知 則=（ ）
A． B． C． D．
39．已知為銳角，且，則（ ）
A． B． C． D．
40．已知，且，化簡并求的值.
41．若，則（ ）
A． B． C． D．
42．，，則（ ）
A． B． C． D．
43．已知，則（ ）
A． B． C． D．1
44．等于（備注：）（ ）
A．1 B．2 C． D．
45．設，，，則有（ ）
A． B． C． D．
46．已知，則a的值為（ ）
A． B． C． D．
47．已知，則 .
48．若，則（ ）
A． B． C． D．
題型五：單位圓與三角方程、三角不等式
例5.1
49．已知，且和均為鈍角，則的值為（ ）
A． B． C．或 D．
例5.2
50．設，且，則（ ）
A． B．
C． D．
例5.3
51．若，證明：
(1)；
(2).
【鞏固練習】
52．已知且.
(1)求的值；
(2)求的值．
53．已知，角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，且，則（ ）
A． B． C． D．
54．若，，，，則 .
55．若，證明：，且.
題型六：證明三角恒等式
例6.1
56．求證：.
例6.2
57．證明：.
【鞏固練習】
58．已知，．求證：．
59．求證：=.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】
結合任意角的概念分析即可.
【詳解】因為銳角，所以小于的角不一定是銳角，故①不成立；
因為鈍角，第二象限角，，所以鈍角一定是第二象限角，故②成立；
若兩個角的終邊不重合，則這兩個角一定不相等，故③成立；
例如，，但，故④不成立.
故選：B.
2．A
【分析】根據任意角的周期性，將化為，即可確定最小正角.
【詳解】因為，
所以與終邊相同的最小正角是.
故選：A.
3．(1)，第二象限角
(2)和
【分析】
（1）根據角度制與弧度制的互化公式進行求解即可；
（2）利用代入法進行求解即可.
【詳解】（1），
因為為第二象限，所以是第二象限角；
（2）與終邊相同的角可以寫出，
由，
得當時，，
當時，，
所以在區間上與終邊相同的角為和．
4．可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角
【分析】
根據象限角的表示方法，得到和的表示，進而判定其象限，得到答案.
【詳解】因為是第二象限角，所以，
可得，
所以可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角．
又由 ，
當時，，此時是第一象限角；
當時，，此時是第二象限角；
當時，，此時是第四象限角．
綜上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．
5．C
【分析】
根據象限角范圍推斷出范圍即可.
【詳解】根據題意可知角的范圍為，，
則的范圍為，，
由此可得是第三象限角.
故選：C
6．C
【分析】
根據弧度的概念求解.
【詳解】
因為分針是按照順時針方向旋轉，所以轉動的角為負角，
所以分針轉動的弧度為.
故選：C.
7．（1）答案見解析；（2）；是第一象限角．
【分析】
（1）根據終邊相同的角及角的概念求解即可得；
（2）根據弧度制與角度概念轉化書寫即可.
【詳解】（1）①
；
②．
（2）∵，∴．
又，所以與終邊相同，是第一象限角．
8．C
【分析】
根據扇形周長和面積公式進行求解即可.
【詳解】設扇形的半徑為，圓心角的度數為，
因為扇形的周長是，面積是，
所以有，或，
故選：C
9．3
【分析】
設，根據面積公式計算，則，得到答案.
【詳解】設，則，，.
故答案為：
10．D
【分析】
根據扇形的弧長公式，即可求得答案.
【詳解】由扇形的圓心角為，即為，
又弧長為，故扇形的半徑為，
故選：D
11．B
【分析】
設出扇形半徑和圓心角，根據周長得到方程，并表示出扇形面積，利用基本不等式求出最值，得到扇形的半徑和圓心角，從而結合三角函數得到，求出答案.
【詳解】設扇形的半徑為，圓心角為，則弧長，
故，則，
故扇形面積為，
由基本不等式得，當且僅當，即時，等號成立，
故，
此時，
由對稱性可知，
設內切圓的圓心為，因為，故，
過點作⊥于點，
則，在中，，即，
解得.
故選：B
12．答案見解析
【分析】根據角終邊上的點的坐標，結合任意角的三角函數定義即可求解.
【詳解】由已知，，，因為，
所以 ；
所以，，，
，，.
13．(1)
(2)
【分析】先利用誘導公式對三角函數式進行化簡，再求值即可.
【詳解】（1）
.
（2）
.
14．C
【分析】
舉反例排除A；利用三角函數在第四象限的正負情況判斷BCD.
【詳解】因為角是第四象限角，所以，
對于A，取，則，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，，則，故D錯誤.
故選：C.
15．D
【分析】
利用三角函數的定義即可得解.
【詳解】因為點在角的終邊上，
所以，，，
而此時無意義.
故選：D.
16．B
【分析】
利用充分必要條件的知識，結合正弦函數的定義即可得解.
【詳解】當時，取，則，即充分性不成立；
當時，假設，顯然此時有，矛盾，
所以假設不成立，即必有，即必要性成立；
綜上，是的必要非充分條件.
故選：B.
17．答案見解析
【分析】
分類討論與兩種情況，結合三角函數的定義即可得解.
【詳解】
因為角的終邊經過點，
當時，，，點在第四象限，
則，
,，
所以，
當時，，，點在第二象限，
則，
，，
所以，
18．B
【分析】
利用“商的關系”直接求解即可.
【詳解】因為，，
所以.
故選：B
19．B
【分析】
利用同角三角函數的平方關系及商數關系計算即可.
【詳解】因為是三角形的內角，所以，即，
又，
所以.
故選：B
20．(1)
(2)1
(3)．
【分析】（1）利用同角三角函數基本關系進行化簡；
（2）利用完全平方公式和同角三角函數基本關系進行求解；
（3）利用同角三角函數的基本關系進行化簡.
【詳解】（1）原式＝.
（2）原式＝
（3）原式＝
21．B
【分析】
根據誘導公式，結合特殊角的正弦值進行求解即可.
【詳解】.
故選：B
22．##
【分析】
根據給定條件，利用誘導公式、同角公式計算作答.
【詳解】由，得，解得，而，則，
所以.
故答案為：
23．B
【分析】
根據題意利用誘導公式結合同角三角關系運算求解.
【詳解】因為，
且，，
所以.
故選：B.
24．C
【分析】
以為整體，結合誘導公式運算求解.
【詳解】由題意可得：.
故選：C.
25．(1)1
(2)
【分析】
利用誘導公式，化簡求值.
【詳解】（1）
原式．
（2）
原式
．
26．B
【分析】
利用二倍角的正弦公式、兩角差的正弦公式可化簡所求代數式.
【詳解】
原式.
故選：B.
27．D
【分析】
根據題意利用兩角和差公式結合倍角根式整理得，兩邊平方運算求解即可.
【詳解】因為，
則，
可得，
又因為，則，可知，
可得，兩邊平方可得，
所以.
故選：D.
28．A
【分析】
根據給定條件，利用誘導公式及和角正弦公式的逆用求解即得.
【詳解】
.
故選：A
29．D
【分析】
根據正切的兩角和公式變形可得.
【詳解】
因為，
變形得，
所以.
故選：D．
30．A
【分析】
利用三角函數的定義、同角三角函數的商數關系及二倍角公式計算即可
【詳解】由題意知，所以．
故選：A．
31．(1)；
(2)答案見解析.
【分析】
（1）由商數關系及平方關系，結合角的范圍求即可；
（2）討論為第二或第三象限角，結合同角三角函數關系求正弦、正切值.
【詳解】（1）由，得：，
又，所以.
（2）因為，所以為第二或第三象限角，又.
若為第二象限角，則；
若為第三象限角，則.
32．D
【分析】注意到，利用同角三角函數的關系求角的正弦，再利用誘導公式求角的正弦、余弦，從而得到的正切.
【詳解】
因為為銳角，所以且，所以得，
由誘導公式得，.
所以.
故選:D
33．（1）（2）答案見解析
【分析】
根據同角三角函數的商數關系和平方關系求解即可；
【詳解】
解:（1）若是的一個內角，且，
所以，
所以
所以
（2）因為，所以是第一、第二象限角.
當是第一象限角時，此時；
當是第二象限角時，此時，
綜上，當是第一象限角時，;當是第二象限角時，.
34．##
【分析】
由同角三角函數的基本關系，列方程組解出，求和即可.
【詳解】為第二象限角，則，，
若，則有，解得，
所以.
故答案為：.
35．(1)
(2)
【分析】
（1）根據同角三角函數的基本關系式進行化簡，從而求得正確答案.
（2）根據同角三角函數的基本關系式、三角函數的符號等知識進行化簡，從而求得正確答案.
【詳解】（1）
原式
．
（2）
因為，所以．
原式．
36．A
【分析】
根據誘導公式及特殊角三角函數值求解.
【詳解】
，
故選：A
37．BC
【分析】由，結合分情況討論即可求解.
【詳解】由題意得，，
因為，
當時，因為，所以，
此時，故B項正確；
當時，因為，所以，
此時，故C項正確.
故選：BC.
38．C
【分析】
根據三角函數的誘導公式求解.
【詳解】因為，所以，
所以，
所以，
故選：C.
39．D
【分析】注意到，利用同角三角函數的關系求角的正弦，再利用誘導公式求角的正弦、余弦，從而得到的正切.
【詳解】
因為為銳角，所以且，所以得，
由誘導公式得，.
所以.
故選:D
40．
【分析】
利用同角三角函數的基本關系求出，然后利用誘導公式化簡可得出所求代數式的值.
【詳解】解：因為，且，則，
所以，，
故.
41．A
【分析】
由二倍角公式將式子化簡，再利用同角三角函數之間的基本關系即可計算出結果.
【詳解】
因為，
則.
故選：A.
42．A
【分析】
利用和差角的正弦公式求出，再利用同角公式計算即得.
【詳解】
由，得，即，而，
所以.
故選：A
43．B
【分析】
由三角函數的誘導公式化簡即可.
【詳解】由可得，即，
所以，
故選：B
44．C
【分析】
利用切化弦思想，利用兩角和差的三角角函數公式和二倍角公式化簡求值即可.
【詳解】
，
故選：C
45．A
【分析】先利用余弦的差角和倍角公式，正弦的二倍角公式以及商數關系，對進行化簡，再利用的性質即可得到結果.
【詳解】因為，，
，由的性質可知，，
故選：A.
46．A
【分析】
先由誘導公式化簡，再由余弦兩角和差公式即可求得.
【詳解】
故選：A
47．##
【分析】
根據弦化切得，即可由正切的和差角公式求解.
【詳解】由可得，
所以，
故答案為：
48．A
【分析】
將寫成，利用誘導公式，化為，然后利用余弦函數的二倍角公式可得出答案.
【詳解】
故選：A
49．D
【分析】
根據角度范圍求解，再求解，結合角度范圍判斷即可.
【詳解】∵和均為鈍角，
∴，．
∴．
由和均為鈍角，得，∴．
故選：D
50．B
【分析】
利用三角恒等變換可得答案.
【詳解】
因為，所以．
因為，所以，
所以，則．
故選：B.
51．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】
（1）利用正切線與余弦線的定義，結合三角形兩邊之和大于第三邊即可得證；
（2）利用三角函數線的定義，結合三角形與扇形的面積大小即可得證.
【詳解】（1）
如圖，在平面直角坐標系中作出角，角的正弦線和余弦線.

由，為直角三角形，且，，，
在中，，所以.
（2）
如圖，，分別為角的正弦線和正切線，連結，

由，顯然有，
而，，
，
所以，即.
52．(1)
(2)
【分析】
（1）由二倍角的正切公式求解即可；
（2）先求出的值，然后由兩角和的正切公式求解即可.
【詳解】（1）因為，所以．
（2）因為，
所以，所以，
所以，
因為，所以，所以．
53．A
【分析】根據三角函數的定義求出，，再由兩角差的正弦公式求出，即可得解.
【詳解】
因為角的終邊經過點，所以，，
又，所以，
所以，
因為，，所以，
所以.
故選：A
54．
【分析】
結合角度范圍及三角函數值，可求出，的角度值，進而可求
【詳解】由，，則，
，所以或，
，
，則，
當時，，則，
當時，，則，
又，.故.
故答案為：
55．證明見解析
【分析】
利用三角函數線，數形結合即可得證.
【詳解】
在單位圓中作出角及角的正弦線，余弦線和正切線.

因為在中，，，
所以，則，即；
在中，因為，，
所以，則，即.
56．證明見解析
【解析】直接利用誘導公式化簡即可.
【詳解】證明：左邊==右邊
所以原等式成立
57．證明見解析.
【分析】
根據平方關系將所證等式的左側化簡，再根據商的關系將其轉化為正切即可.
【詳解】
左邊右邊.
所以.
58．證明見解析
【分析】由切化弦，可將等式左邊化為，再通分即可證與右邊相等.
【詳解】∵，，
∴且，
，得證.
59．證明見解析
【分析】左邊由誘導公式平方關系化簡變形，右邊用誘導公式，商數關系化簡變形可證．
【詳解】左邊===，
右邊===，
所以等式成立.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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