資源簡介

8.2立體圖形的直觀圖
1．能用斜二測畫法畫簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體)的直觀圖；
2．會根據(jù)斜二測畫法規(guī)則進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算
一、斜二測畫法
空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：
第一步 在已知圖形中取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn) 畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn)，且使(或)，它們確定的平面表示水平面.
第二步 已知圖形中平行于軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸或軸的線段
第三步 已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變， 平行于軸的線段，長度為原來的一半
強(qiáng)調(diào)注意： “斜”是指在已知圖形的平面內(nèi)與x軸垂直的線段，在直觀圖中均與軸成45°或135°； “二測”是指兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于軸或軸的線段長度不變；平行于軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br/>二、直觀圖的面積與原圖面積之間的關(guān)系
①原圖形與直觀圖的面積比為，即原圖面積是直觀圖面積的倍，
②直觀圖面積是原圖面積的倍.
考點(diǎn)01畫水平放置的平面圖形的直觀圖
1．如圖有一個直角梯形，則它的水平放置的直觀圖是（ ）

A． B．
C． D．
2．用斜二測畫法畫出下列圖形：
(1)水平放置的邊長為的正方形；
(2)水平放置的梯形和平行四邊形；
3．如圖所示，在中，邊上的高，試用斜二測畫法畫出其直觀圖．

4．畫出圖中水平放置的四邊形的直觀圖，并求出直觀圖中三角形的面積.

5．畫水平放置的正五邊形和菱形的直觀圖．
考點(diǎn)02畫空間幾何體的直觀圖
6．畫正六棱柱（底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面）的直觀圖．（底面邊長尺寸不作要求，側(cè)棱長為1.5 cm）
7．畫出上、下底面邊長分別為2cm和4cm.高為2cm的正四棱臺的直觀圖.
8．在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些空間幾何體的三視圖（正視圖、側(cè)視圖、俯視圖）．如圖是某幾何體的三視圖（尺寸單位：cm），試畫出它的直觀圖．

9．已知直三棱柱，的底面是等腰直角三角形，且，側(cè)棱．在給定的坐標(biāo)系中，用斜二測畫法畫出該三棱柱的直觀圖．（不要求寫出畫法，但要標(biāo)上字母，并保留作圖痕跡）

考點(diǎn)03直觀圖的還原
10．如圖所示，是的直觀圖，其中，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形
11．如圖是斜二測畫法下水平放置的平面圖形的直觀圖，則其表示的原平面圖形是（ ）
A．任意梯形 B．直角梯形
C．任意四邊形 D．平行四邊形
12．如圖所示，為按斜二測畫法所得直觀圖，繪出原圖形．
13．如圖所示，是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其還原成平面圖形.
14．如圖所示，梯形是一平面圖形的直觀圖．若，，，．試畫出原四邊形．
考點(diǎn)04斜二測畫法的計算
15．已知水平放置的四邊形ABCD按照斜二測畫法畫出的直觀圖如圖所示，其中，，，求DC的長度，
16．一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形ABCD（如圖所示），若，，，求這個平面圖形的面積．

17．如圖，是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，
(1)畫出它的原圖形，
(2)若的面積是，求原圖形中邊上的高和原圖形的面積.
18．如圖所示，為四邊形OABC的斜二測直觀圖，其中，，．
(1)畫出四邊形的平面圖并標(biāo)出邊長，并求平面四邊形的面積；
(2)若該四邊形以O(shè)A為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積．
19．如圖，在斜二測畫法下，四邊形是下底角為45°的等腰梯形，其下底長為5，一腰長為，則原四邊形的面積是多少？

20．用斜二測法畫出如圖邊長為2的等邊三角形的直觀圖，并求直觀圖面積．
基礎(chǔ)過關(guān)練
1．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．正方形的直觀圖是正方形
B．矩形的直觀圖是矩形
C．菱形的直觀圖是菱形
D．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形
2．圖為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是（　　）
A． B． C． D．
3．如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，且，，則該平面圖形的高為（ ）
A． B．2 C． D．
4．如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，且，，則該平面圖形的高為（ ）
A． B．2 C． D．
5．（多選）關(guān)于斜二測畫法所得直觀圖的說法錯誤的是（ ）
A．直角三角形的直觀圖仍是直角三角形 B．梯形的直觀圖是平行四邊形
C．正方形的直觀圖是菱形 D．平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形
6．（多選）已知一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形，其中有一邊長為4，則此正方形的面積可能為（ ）
A．16 B．64 C．32 D．無法確定
7．如圖，平行四邊形是四邊形OABC的直觀圖.若，，則原四邊形OABC的周長為 .
8．如圖，已知菱形，用斜二測畫法作出菱形的直觀圖即四邊形，則四邊形的面積為 .

9．平面直角坐標(biāo)系xOy中點(diǎn)A位于第一象限，線段OA的長為，與x軸所成的夾角為，且，在斜二測畫法下其直觀圖為線段，則線段的長度為 ．
10．用斜二測畫法畫出下列圖形：
(1)水平放置的邊長為5cm的正方形；
(2)水平放置的梯形和平行四邊形；
(3)長、寬、高分別為5cm，2cm，3cm的長方體．
11．已知水平放置的是正三角形，其直觀圖的面積為，求的周長.
12．畫底面邊長為3cm、高為3.5cm的正三棱柱的直觀圖．
能力提升練
1．等腰三角形中，，其直觀圖可能是圖中的（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
2．下列命題中正確命題的個數(shù)是
（1）側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；
（2）三棱錐的三個側(cè)面不可能都是直角三角形；
（3）直角三角形的直觀圖可能是直角三角形；
（4）圓臺的任意兩條母線延長后一定交于一點(diǎn).
A．1 B．2 C．3. D．4
3．一個三角形的水平直觀圖在平面斜坐標(biāo)系中是邊長為6的正三角形，那么它的原圖形中，頂點(diǎn)對應(yīng)的點(diǎn)B到x軸的距離是（ ）

A． B． C．6 D．
4．（多選）如圖，四邊形的斜二測畫法的直觀圖為等腰梯形，已知，，則下列說法正確的是（ ）

A． B．四邊形的周長為
C． D．四邊形的面積為
5．已知矩形，采用斜二測畫法做出其直觀圖，若其直觀圖的面積為，則矩形的周長可以為 ．
6．在直角坐標(biāo)系中水平放置的直角梯形，如圖所示，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，在用斜二測畫法畫出的它的直觀圖中，四邊形的周長為 ．
7．如圖，已知點(diǎn)，，.求該水平放置的四邊形用斜二測畫法作出的直觀圖的面積.
8．如圖，是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，

(1)畫出它的原圖形，
(2)若的面積是，求原圖形中邊上的高和原圖形的面積.8.2立體圖形的直觀圖
1．能用斜二測畫法畫簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體)的直觀圖；
2．會根據(jù)斜二測畫法規(guī)則進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算
一、斜二測畫法
空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：
第一步 在已知圖形中取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn) 畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn)，且使(或)，它們確定的平面表示水平面.
第二步 已知圖形中平行于軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸或軸的線段
第三步 已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變， 平行于軸的線段，長度為原來的一半
強(qiáng)調(diào)注意： “斜”是指在已知圖形的平面內(nèi)與x軸垂直的線段，在直觀圖中均與軸成45°或135°； “二測”是指兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于軸或軸的線段長度不變；平行于軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br/>二、直觀圖的面積與原圖面積之間的關(guān)系
①原圖形與直觀圖的面積比為，即原圖面積是直觀圖面積的倍，
②直觀圖面積是原圖面積的倍.
考點(diǎn)01畫水平放置的平面圖形的直觀圖
1．如圖有一個直角梯形，則它的水平放置的直觀圖是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
作出直角梯形的直觀圖，即可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】作出直角梯形的直觀圖如下圖所示：

A選項(xiàng)滿足要求.
故選：A.
2．用斜二測畫法畫出下列圖形：
(1)水平放置的邊長為的正方形；
(2)水平放置的梯形和平行四邊形；
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】
根據(jù)題意，結(jié)合斜二測畫法的規(guī)則，即可畫出平面圖形的直觀圖.
【詳解】（1）解：在已知正方形中，，取所在直線為軸，
如圖所示，
畫出對應(yīng)的軸，使，，，如圖所示，
即四邊形即為正方形的直觀圖.

（2）解：取等腰梯形底邊的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
畫出對應(yīng)的軸，使，結(jié)合斜二測畫法的畫法，如圖所示，
可得等腰梯形的直觀圖為，

以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
畫出對應(yīng)的軸，使，結(jié)合斜二測畫法的畫法，如圖所示，
可得平行四邊形的直觀圖為.

3．如圖所示，在中，邊上的高，試用斜二測畫法畫出其直觀圖．

【答案】作圖見解析
【分析】
根據(jù)斜二測畫法的定義和步驟即可求解.
【詳解】
（1）在中建立如圖①所示的平面直角坐標(biāo)系，
再建立如圖②所示的坐標(biāo)系，使.
(2)在坐標(biāo)系中，在軸上截取；
在軸上截取，使.
(3)連接，擦去輔助線，得到，即為的直觀圖(如圖③所示).

4．畫出圖中水平放置的四邊形的直觀圖，并求出直觀圖中三角形的面積.

【答案】答案見解析，的面積為
【分析】
根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，即可求得四邊形的直觀圖.
【詳解】根據(jù)題意，結(jié)合斜二測畫法的規(guī)則，可得水平放置的四邊形的直觀圖，
如圖所示，則的面積為.

5．畫水平放置的正五邊形和菱形的直觀圖．
【答案】答案見解析
【分析】
根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，即可畫出正五邊形和菱形的直觀圖.
【詳解】解：作出坐標(biāo)系，使得，
連接交軸為，在軸上作線段，
在軸上分別作線段，
過作線段，且，
連接，即為正五邊形的直觀圖，如圖（1）所示.

如圖（2）所示，在軸上作線段，
則軸上分別作出線段，
連接，即為菱形的直觀圖.

考點(diǎn)02畫空間幾何體的直觀圖
6．畫正六棱柱（底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面）的直觀圖．（底面邊長尺寸不作要求，側(cè)棱長為1.5 cm）
【答案】答案見解析
【分析】
根據(jù)斜二測畫法繪制正六棱柱的直觀圖即可.
【詳解】
（1）畫軸．畫軸、軸、軸，使，．
（2）畫底面．根據(jù)軸、軸，畫正六邊形的直觀圖ABCDEF．
（3）畫側(cè)棱．過A，B，C，D，E，F(xiàn)各點(diǎn)分別作軸的平行線，
在這些平行線上分別截取、、、、、都等于1.5 cm.
（4）成圖．順次連接，，，，，，去掉輔助線，
將被遮擋的部分改為虛線，就得到正六棱柱的直觀圖．
7．畫出上、下底面邊長分別為2cm和4cm.高為2cm的正四棱臺的直觀圖.
【答案】直觀圖見解析
【分析】
根據(jù)斜二測畫法，畫出水平放置的邊長為4cm的正方形，再畫出高和上底面，即可求解.
【詳解】第一步，用斜二測畫法，畫出水平放置的邊長為4cm的正方形；
第二步，取四邊形對角線中點(diǎn)O，建立坐標(biāo)系，作平面，且2cm；
第三步，建立平面坐標(biāo)系，用斜二測畫法畫出水平放置的邊長為2cm的正方形；
第四步，連接，得四棱臺即為所求，如圖：

8．在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些空間幾何體的三視圖（正視圖、側(cè)視圖、俯視圖）．如圖是某幾何體的三視圖（尺寸單位：cm），試畫出它的直觀圖．

【答案】作圖見解析
【分析】
由幾何體的三視圖可知，這個幾何體是一個簡單組合體．它的下部是一個圓柱，上部是一個球，且圓柱橫截面的直徑與球的直徑相同．我們可以先畫出下部的圓柱，再畫出上部的球．
【詳解】
畫法 （1）畫軸．畫Ox軸，Oy軸，Oz軸，使，．
（2）畫圓柱的直觀圖．如圖（1），以點(diǎn)O為中點(diǎn)，在x軸上截取，借助橢圓模板畫出下底面的直觀圖，在z軸上截取，過點(diǎn)分別作，．以點(diǎn)為中點(diǎn)，在軸上截取，借助橢圓模板畫出上底面的直觀圖．連接與．
（3）畫球的直觀圖．如圖（2），在軸上截取，以點(diǎn)為中心，分別沿三個方向（兩兩之間的夾角為120°）畫半徑為3cm的圓的直觀圖（三個橢圓）．以點(diǎn)為圓心畫一個半徑為3cm的圓．
（4）成圖．經(jīng)過整理，就得到了所求幾何體的直觀圖，如圖（3）．

9．已知直三棱柱，的底面是等腰直角三角形，且，側(cè)棱．在給定的坐標(biāo)系中，用斜二測畫法畫出該三棱柱的直觀圖．（不要求寫出畫法，但要標(biāo)上字母，并保留作圖痕跡）

【答案】作圖見解析
【分析】根據(jù)斜二測畫法的原則，可畫出直觀圖.
【詳解】如圖所示．

考點(diǎn)03直觀圖的還原
10．如圖所示，是的直觀圖，其中，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形
【答案】B
【分析】根據(jù)斜二測畫法的作圖原則即可得到答案.
【詳解】根據(jù)斜二測畫法可得
，所以是直角三角形.
故選：B.
11．如圖是斜二測畫法下水平放置的平面圖形的直觀圖，則其表示的原平面圖形是（ ）
A．任意梯形 B．直角梯形
C．任意四邊形 D．平行四邊形
【答案】B
【分析】根據(jù)所給的圖形中，可得到原圖形為一個直角梯形．
【詳解】因?yàn)橹庇^圖中，，
所以原圖形中，
因?yàn)橹庇^圖中，
所以原圖形中，
綜上，原圖形是直角梯形，
故選：B．
12．如圖所示，為按斜二測畫法所得直觀圖，繪出原圖形．
【答案】答案見解析
【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，即可畫出原圖形.
【詳解】如圖（1）所示，設(shè)直觀圖四邊形與軸交于點(diǎn)，可得，
如圖（2）所示，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得，
過點(diǎn)作，取且，得到四邊形，
即直觀圖四邊形對應(yīng)的原圖形為.
13．如圖所示，是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其還原成平面圖形.
【答案】答案見解析
【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，即可將直觀圖還原成平面圖形.
【詳解】（1）畫出直角坐標(biāo)系，在x軸的正方向上取，即，
（2）過作軸，交軸于點(diǎn)，
在上取，過D作軸，且使；
（3）連接，得，
則即為對應(yīng)的平面圖形，如圖所示：
14．如圖所示，梯形是一平面圖形的直觀圖．若，，，．試畫出原四邊形．
【答案】圖見解析.
【分析】根據(jù)斜二測畫法可得在原圖形中，，軸，的位置不變，，的位置不變，，畫出圖形即可.
【詳解】解：如圖，建立直角坐標(biāo)系，在軸上截取，， ，在軸上截取，再過點(diǎn)與軸平行的直線上截取，連接，，便得到了原圖形（如圖）．
考點(diǎn)04斜二測畫法的計算
15．已知水平放置的四邊形ABCD按照斜二測畫法畫出的直觀圖如圖所示，其中，，，求DC的長度，
【答案】
【分析】
根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則將圖形還原后計算即可.
【詳解】根據(jù)斜二測畫法，原來的高變成了方向的線段，且長度是原高的一半，故原高為，
畫出原圖形如圖所示，過點(diǎn)D作于E，
而橫向長度不變，且梯形是直角梯形，
所以.
16．一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形ABCD（如圖所示），若，，，求這個平面圖形的面積．

【答案】
【分析】根據(jù)直觀圖還原平面圖形,再求解面積即可.
【詳解】根據(jù)斜二測畫法可知原直角梯形中,∵在直觀圖中，，可得.
∴原平面圖形是上底長為1，下底長為，高為2的直角梯形，
∴原平面圖形的面積為．
17．如圖，是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，
(1)畫出它的原圖形，
(2)若的面積是，求原圖形中邊上的高和原圖形的面積.
【答案】(1)圖形見解析
(2)，
【分析】
（1）逆用斜二測畫法的原理，平行依舊斜改垂，橫等縱二倍豎不變，即可由直觀圖得出原圖.
（2）先根據(jù)的面積求出，然后利用斜二測畫法原理求出高，由此可求出原的面積.
【詳解】（1）畫出平面直角坐標(biāo)系，在軸上取，即，
在圖①中，過作軸，交軸于，在軸上取，
過點(diǎn)作軸，并使,
連接，，則即為原來的圖形，如圖②所示：
.
（2）由（1）知，原圖形中，于點(diǎn)，則為原圖形中邊上的高，且，
在直觀圖中作于點(diǎn)，
則的面積，
在直角三角形中，，所以，
所以.
故原圖形中邊上的高為，原圖形的面積為.
18．如圖所示，為四邊形OABC的斜二測直觀圖，其中，，．
(1)畫出四邊形的平面圖并標(biāo)出邊長，并求平面四邊形的面積；
(2)若該四邊形以O(shè)A為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積．
【答案】(1)作圖見解析，4；
(2)，．
【分析】（1）根據(jù)斜二測畫法還原直觀圖，求出的邊長，即可求出四邊形的面積.
（2）由（1）可知旋轉(zhuǎn)而成的幾何體可以看成圓柱加上一個同底的圓錐，求出相關(guān)量，再利用錐體、柱體的體積與表面積公式求解.
【詳解】（1）在直觀圖中，，，
則在平面圖形中，，，于是，
所以平面四邊形的平面圖形如下圖所示：
由上圖可知，平面四邊形為直角梯形，所以面積為．
（2）直角梯形以O(shè)A為軸，旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體可以看成圓柱加上一個同底的圓錐，
由（1）可知幾何體底面圓半徑為，圓柱母線長和高都為1，即；
圓錐的高為，母線長為，
所以體積；
所以表面積.
19．如圖，在斜二測畫法下，四邊形是下底角為45°的等腰梯形，其下底長為5，一腰長為，則原四邊形的面積是多少？

【答案】
【分析】根據(jù)斜二測畫法的知識，先畫出原圖，然后計算出原圖的面積.
【詳解】如圖（1）作，垂足為；作，垂足為，
則，
所以.
將原圖復(fù)原，如圖（2），
則原四邊形為直角梯形，
，
所以四邊形的面積為.

20．用斜二測法畫出如圖邊長為2的等邊三角形的直觀圖，并求直觀圖面積．
【答案】作圖見解析，面積cm2
【分析】先在直角坐標(biāo)系中得出各邊的數(shù)值，再按“斜二測”畫法作圖，得出相關(guān)關(guān)系，再求出直觀圖的高度，求出面積.
【詳解】畫法:(1)如圖 (1),在等邊三角形中,取所在直線為軸,的垂直平分線為軸,兩軸相交于點(diǎn).在圖 (2)中,畫相應(yīng)的軸與軸,兩軸相交于點(diǎn),使.
(2)在圖 (2)中,以為中點(diǎn),在軸上取,在軸上取.
(3)連接,并擦去輔助線軸和軸,便獲得等邊三角形水平放置的直觀圖(圖 (3)).
由題意在平面直角坐標(biāo)系中，三角形是邊長為2的正三角形
∴，邊上的高為，
在三角形中，，
∴,
邊上的高，
故 ，
故直觀圖面積cm2.
基礎(chǔ)過關(guān)練
1．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．正方形的直觀圖是正方形
B．矩形的直觀圖是矩形
C．菱形的直觀圖是菱形
D．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形
【答案】D
【分析】根據(jù)平面圖形的直觀圖的畫法規(guī)則，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知，平行于坐標(biāo)軸的直線平行性不變，平行于軸的線段長度不變，平行于軸的線段長度減半.
對于A中，正方形的直角，在直觀圖中變?yōu)榛颍皇钦叫危訟錯誤；
對于B中，矩形的直角，在直觀圖中變?yōu)榛颍皇蔷匦危訠錯誤；
對于C中，菱形的對角線互相垂直平分，在直觀圖中對角線的夾角變?yōu)椋粤庑蔚闹庇^圖不是菱形，所以C錯誤；
對于D中，根據(jù)平行線不變，可知平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形，所以D正確.
故選：D.
2．圖為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)直觀圖，畫出原圖形，即可得出答案.
【詳解】
根據(jù)該平面圖形的直觀圖，該平面圖形為一個直角梯形，
且在直觀圖中平行于軸的邊與底邊垂直，
原圖形如圖所示：
此平面圖形可能是C.
故選：C.
3．如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，且，，則該平面圖形的高為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)題意，由斜二測畫法還原該平面圖形的原圖，計算可得．
【詳解】在直角梯形中，，，
則，
直角梯形對應(yīng)的原平面圖形為如圖中直角梯形，
，
所以該平面圖形的高為.
故選：C.
4．如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，且，，則該平面圖形的高為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，求出，再作出水平放置的原平面圖形作答.
【詳解】在直角梯形中，，，
則，
直角梯形對應(yīng)的原平面圖形為如圖中直角梯形，
，
所以該平面圖形的高為.
故選：C.
5．（多選）關(guān)于斜二測畫法所得直觀圖的說法錯誤的是（ ）
A．直角三角形的直觀圖仍是直角三角形 B．梯形的直觀圖是平行四邊形
C．正方形的直觀圖是菱形 D．平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形
【答案】ABC
【分析】
根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】由斜二測畫法規(guī)則可知，平行于y軸的線段長度減半，直角坐標(biāo)系變成斜坐系，而平行性沒有改變，A，B，C都不正確，D正確，
故選：ABC
6．（多選）已知一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形，其中有一邊長為4，則此正方形的面積可能為（ ）
A．16 B．64 C．32 D．無法確定
【答案】AB
【分析】正方形的直觀圖是一個平行四邊形，有一邊長為4，分兩種情況討論，根據(jù)斜二測畫法的原則，即可得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意，正方形的直觀圖如圖所示：
①若直觀圖中平行四邊形的邊,
則原正方形的邊長為，所以該正方形的面積為；
②若直觀圖中平行四邊形的邊,
則原正方形的邊長為，所以該正方形的面積為，
故選：AB.
7．如圖，平行四邊形是四邊形OABC的直觀圖.若，，則原四邊形OABC的周長為 .
【答案】14
【分析】
根據(jù)題意，將直觀圖還原，分析原圖的形狀以及邊長，進(jìn)而計算可得答案.
【詳解】
根據(jù)題意，平行四邊形是四邊形OABC的直觀圖.
若，，則原四邊形OABC為矩形，
如圖：其中OA＝3，OC＝4，
故原四邊形OABC的周長.
故答案為：14.
8．如圖，已知菱形，用斜二測畫法作出菱形的直觀圖即四邊形，則四邊形的面積為 .

【答案】
【分析】畫出菱形的平面直觀圖，計算平面直觀圖的面積即可.
【詳解】畫出菱形的平面直觀圖，如圖四邊形所示：

在菱形中，，在四邊形中，，，
所以四邊形的面積為.
故答案為：
9．平面直角坐標(biāo)系xOy中點(diǎn)A位于第一象限，線段OA的長為，與x軸所成的夾角為，且，在斜二測畫法下其直觀圖為線段，則線段的長度為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，作出圖形的直觀圖，結(jié)合勾股定理，即可求解.
【詳解】如圖（1）所示，過點(diǎn)作軸，軸，
因?yàn)榫€段OA的長為，與x軸所成的夾角為，且，
可得，且，解得，
其直觀圖，如圖（2）所示，過點(diǎn)作，垂足為，
根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得，
且，
在直角中，可得，
所以.
故答案為：.

10．用斜二測畫法畫出下列圖形：
(1)水平放置的邊長為5cm的正方形；
(2)水平放置的梯形和平行四邊形；
(3)長、寬、高分別為5cm，2cm，3cm的長方體．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
【分析】
根據(jù)斜二測畫法的特點(diǎn)求解即可.
【詳解】（1）在已知正方形中，，取所在直線為軸（如圖1（1）），
畫出對應(yīng)的，軸，使，，（如圖1（2）），
即四邊形即為正方形的直觀圖.

（2）仿照正方形的直觀圖的畫法：
水平放置的梯形（如圖2（1））的直觀圖（如圖2（2）），

水平放置的平行四邊形（如圖3（1））的直觀圖（如圖3（2）），

（3）先畫出水平放置的長、寬分別為5cm，2cm的長方形的直觀圖，其中，，
再作垂直于平面，在軸上截取，進(jìn)而補(bǔ)充出長方體即為直觀圖.

11．已知水平放置的是正三角形，其直觀圖的面積為，求的周長.
【答案】6a.
【分析】由斜二測畫法找出直觀圖與平面圖的線段長度關(guān)系，求出的邊長得到周長.
【詳解】畫出的平面圖與直觀圖如圖所示，則是的平面圖形.
設(shè)的邊長為，由斜二測畫法，
知=AB=， =OC=.
作⊥，垂足為點(diǎn).
因?yàn)?45°，
所以===，
所以 =·= =.
所以=，所以=2，
所以周長為3×2=6.
12．畫底面邊長為3cm、高為3.5cm的正三棱柱的直觀圖．
【答案】圖形見解析
【分析】
根據(jù)斜二測畫法規(guī)則，畫出該三棱柱的直觀圖即可．
【詳解】
①取的中點(diǎn)，畫，
用斜二測畫法畫出水平放置的邊長為的正三角形，其中，；
②畫平面，在上截取；
畫出，；，，且與交于點(diǎn)，如圖所示；

③連接、、，即得正三棱柱，
④最后將，，軸擦去，即可得到正三棱柱的直觀圖如下：

能力提升練
1．等腰三角形中，，其直觀圖可能是圖中的（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】D
【解析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，結(jié)合“一變兩不變”的原則，逐項(xiàng)判定，即可求解，得到答案.
【詳解】由題意及直觀圖的畫法可知當(dāng)時，等腰三角形的直觀圖是④；
當(dāng)時，等腰三角形的直觀圖是③，
綜上，等腰三角形的直觀圖可能是③④，故選D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面圖形的直觀圖的畫法以及應(yīng)用，其中解答中熟記斜二測畫法的規(guī)則，畫出平面圖形的直觀圖是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
2．下列命題中正確命題的個數(shù)是
（1）側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；
（2）三棱錐的三個側(cè)面不可能都是直角三角形；
（3）直角三角形的直觀圖可能是直角三角形；
（4）圓臺的任意兩條母線延長后一定交于一點(diǎn).
A．1 B．2 C．3. D．4
【答案】A
【分析】利用正棱錐，圓臺的性質(zhì)判斷（1），（4），利用直觀圖性質(zhì)判斷（3），利用特殊圖形判斷（2）
【詳解】若棱錐的各棱分別為，滿足側(cè)面都是等腰三角形，顯然不是正棱錐，故（1）錯誤
三棱錐的三個側(cè)面可能都是直角三角形；例如從正方體同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱組成的三棱錐；故（2）錯誤
利用直觀圖畫法知直角三角形的直觀圖不可能是直角三角形，（3）錯誤；
由圓臺的定義知（4）正確
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查正棱錐，圓臺的定義性質(zhì)，考查直觀圖的性質(zhì)，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．
3．一個三角形的水平直觀圖在平面斜坐標(biāo)系中是邊長為6的正三角形，那么它的原圖形中，頂點(diǎn)對應(yīng)的點(diǎn)B到x軸的距離是（ ）

A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，利用正弦定理求得，再由斜二測畫法規(guī)則即可得到結(jié)果.
【詳解】
過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，如圖所示，
在中，，
由正弦定理可得，，所以，
由斜二測畫法可知，在原平面圖形中，點(diǎn)B到x軸的距離是.
故選：B.
4．（多選）如圖，四邊形的斜二測畫法的直觀圖為等腰梯形，已知，，則下列說法正確的是（ ）

A． B．四邊形的周長為
C． D．四邊形的面積為
【答案】AD
【分析】根據(jù)直觀圖與平面圖的聯(lián)系還原計算各選項(xiàng)即可.
【詳解】如圖過作，

由等腰梯形可得：是等腰直角三角形，
即,即C錯誤；
還原平面圖為下圖，

即，即A正確；
過C作，由勾股定理得，
故四邊形ABCD的周長為：，即B錯誤；
四邊形ABCD的面積為：，即D正確.
故選：AD.
5．已知矩形，采用斜二測畫法做出其直觀圖，若其直觀圖的面積為，則矩形的周長可以為 ．
【答案】8（答案不唯一，大于或等于8即可）
【分析】根據(jù)題意，由直觀圖的面積與原圖的面積關(guān)系，結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)矩形的長與寬分別為，根據(jù)斜二測畫法可知，直觀圖的面積與原圖的面積之間滿足，即，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，所以矩形周長的最小值為8，故矩形的周長可以為8，9，10等．
故答案為：8
6．在直角坐標(biāo)系中水平放置的直角梯形，如圖所示，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，在用斜二測畫法畫出的它的直觀圖中，四邊形的周長為 ．
【答案】
【分析】利用斜二測畫法畫出直觀圖四邊形，再計算周長．
【詳解】如圖，畫出直觀圖，過點(diǎn)作，垂足為
因?yàn)椋?br/>所以，，，則，
故四邊形的周長為．
故答案為：
7．如圖，已知點(diǎn)，，.求該水平放置的四邊形用斜二測畫法作出的直觀圖的面積.
【答案】
【分析】首先根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，畫出四邊形的直觀圖，再結(jié)合面積公式，即可計算.
【詳解】解：由斜二測畫法可知，在直觀圖中，，，，，，，，，，
所以
.
8．如圖，是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，

(1)畫出它的原圖形，
(2)若的面積是，求原圖形中邊上的高和原圖形的面積.
【答案】(1)圖形見解析
(2)邊上的高為，原圖形的面積為.
【分析】（1）逆用斜二測畫法的原理，平行依舊斜改垂，橫等縱二倍豎不變，即可由直觀圖得出原圖.
（2）先根據(jù)的面積求出，然后利用斜二測畫法原理求出高，由此可求出原的面積.
【詳解】（1）畫出平面直角坐標(biāo)系，在軸上取，即，
在圖①中，過作軸，交軸于，在軸上取，
過點(diǎn)作軸，并使,
連接，，則即為原來的圖形，如圖②所示：

（2）由（1）知，原圖形中，于點(diǎn)，則為原圖形中邊上的高，且，
在直觀圖中作于點(diǎn)，

則的面積，
在直角三角形中，，所以，
所以.
故原圖形中邊上的高為，原圖形的面積為.

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