資源簡介

1.1 課時1 數列的概念及通項公式
【學習目標】
1.理解數列及其有關概念.(數學抽象)
2.理解數列的通項公式,并會用通項公式寫出數列的任意一項.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.數列的定義是什么
2.數列的項與項數有什么不同
3.同一個數在數列中能重復出現嗎
4.什么叫數列的通項公式
5.數列1,2,3,4,5,數列5,3,2,4,1與{1,2,3,4,5}有什么區別
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)數列1,1,1,…是無窮數列. (　　)
(2)數列中的項互換次序后還是原來的數列. (　　)
(3)有些數列沒有通項公式. (　　)
(4){an}與an的意義一樣,都表示數列. (　　)
2.已知數列{an}的通項公式為an=,那么a5=(　　).
A. B. C. D.
3.數列0,1,2,3,4,…的一個通項公式可以為(　　).
A.an=n-1 B.an=n
C.an=n+1 D.an=n2-1
4.數列{an}的通項公式為an=則a3+a6=　　　　.
【合作探究】
探究1：數列的概念與分類
情境設置
　　問題:觀察以下幾列數:
①古埃及“阿默斯”畫了一個階梯,上面的數字依次為7,49,343,2401,16807;
②戰國時期莊周引用過一句話:一尺之棰,日取其半,萬世不竭.這句話中隱藏著一列數:1,,,,,…;
③從學號1開始,記下本班的每一個同學參加高考的時間:2023,2023,…,2023;
④小明為了記住剛設置的手機密碼,不停地說:7,0,2,5,7,0,2,5,…;
⑤-的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪…依次排成一列數:-,,-,,….
你能找到上述幾列數的共同點和不同點嗎
新知生成
1.數列及其相關的概念
按照一定順序排列的一列數叫作數列,數列中的每一個數叫作這個數列的項,排在第一位的數叫作數列的首項或叫作數列的第1項,排在第二位的數叫作數列的第2項,…,排在第n位的數稱為這個數列的第n項.
2.數列的表示方法
數列的一般形式可以寫成a1,a2,…,an,…,簡記為{an}.
3.數列的分類
項數有限的數列稱為有窮數列,項數無限的數列稱為無窮數列.
新知運用
例1　下列有關數列的說法,正確的是(　　).
①數列1,2,3可以表示成{1,2,3};②數列-1,0,1與數列1,0,-1是同一數列;③數列7,7,7,…是無窮數列;④數列中的每一項都與它的序號有關.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【方法總結】　(1)數列類型的判斷一定要嚴格按照數列的定義進行;
(2)如果組成兩個數列的數相同,但順序不同,那么它們是不同的數列;
(3)同一個數可以在數列中重復出現.
鞏固訓練
　　下列說法正確的是　　　　.
①同一數列的任意兩項均不可能相同;
②數列中的項與順序無關;
③數列0,2,4,6是有窮數列;
④數列0,1,2,3,4,5,6,7,…的第8項為7.
探究2：數列的通項公式
情境設置
　　數列的一般形式是a1,a2,…,an,…,簡記為{an}.
問題1:數列{an}中的各項ak與各項序號k(k=1,2,3,…,n,…)之間的對應關系是什么
問題2:你能從函數的角度解釋這個數列的特點嗎
問題3:在數列中,符號{an}與an所表示的意義是否相同
問題4:在數列0,,,,…,,…中,是它的第幾項
新知生成
1.數列的通項公式
如果數列{an}的第n項an可以用一個關于n的公式來表示,那么這個公式叫作這個數列{an}的通項公式.
2.數列的表示
從函數觀點看,數列的通項公式就是這個數列的表達式,與函數一樣,數列還可以用列表法和圖象法來表示.
新知運用
例2　根據下面各數列的前幾項,寫出數列的一個通項公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
(2),,,,,…;
(3),2,,8,,…;
(4)5,55,555,5555,…;
(5)4,0,4,0,4,0,….
【方法總結】　(1)對于正負符號的變化,可用(-1)n或(-1)n+1來調整;
(2)對于分數形式的變化,先考慮分母的變化規律,再考慮分子與分母的關系和變化規律;
(3)對于各項中有分數又有整數的變化,應統一化為分數形式再觀察其規律;
(4)從數列5,55,555,5555,…和數列9,99,999,9999,…的關系著手.
(5)對于周期數列,可考慮拆成幾個簡單數列之和的形式,或者利用分段函數或周期函數,如三角函數等.
鞏固訓練
　　寫出下列各數列的一個通項公式,它們的前幾項分別是:
(1)1,3,7,15,31,…;
(2),,,,,…;
(3)2×3,3×4,4×5,5×6,…;
(4),1,,,….
【隨堂檢測】
1.若數列{an}的通項公式為an=2n+1,則第9項為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.9 B.13 C.17 D.19
2.數列0.9,0.99,0.999,…的一個通項公式是(　　).
A.1+n B.-1+n
C.1-n D.1-n+1
3.已知n∈N+,給出四個表達式:①an=②an=;③an=;④an=.其中能作為數列0,1,0,1,0,1,0,1,…的通項公式的是(　　).
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
4.某種樹分枝的生長規律如圖所示,第1年到第5年的分枝數分別為1,1,2,3,5,則預計第10年樹的分枝數為　　　　.
21.1 課時1 數列的概念及通項公式
【學習目標】
1.理解數列及其有關概念.(數學抽象)
2.理解數列的通項公式,并會用通項公式寫出數列的任意一項.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.數列的定義是什么
【答案】一般地,我們把按照確定的順序排列的一列數稱為數列.
2.數列的項與項數有什么不同
【答案】數列的項與項數是兩個不同的概念,數列的項是指這個數列中的某一個確定的數,它是一個函數值,即f(n);而項數是指這個數在數列中的位置序號,它是函數值f(n)對應的自變量的值,即n.
3.同一個數在數列中能重復出現嗎
【答案】能,數列中的數可以重復出現.
4.什么叫數列的通項公式
【答案】如果數列{an}的第n項an與序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫作這個數列的通項公式.
5.數列1,2,3,4,5,數列5,3,2,4,1與{1,2,3,4,5}有什么區別
【答案】數列1,2,3,4,5和數列5,3,2,4,1是兩個不同的數列,因為二者的元素順序不同.集合{1,2,3,4,5}與前兩個數列也不相同,首先,形式上不一致,其次,集合中的元素具有無序性.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)數列1,1,1,…是無窮數列. (　　)
(2)數列中的項互換次序后還是原來的數列. (　　)
(3)有些數列沒有通項公式. (　　)
(4){an}與an的意義一樣,都表示數列. (　　)
【答案】(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.已知數列{an}的通項公式為an=,那么a5=(　　).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵an=,∴a5==,故選B.
3.數列0,1,2,3,4,…的一個通項公式可以為(　　).
A.an=n-1 B.an=n
C.an=n+1 D.an=n2-1
【答案】A
【解析】結合選項可知,an=n-1,故選A.
4.數列{an}的通項公式為an=則a3+a6=　　　　.
【答案】8
【解析】a3+a6=(3+2)+(6-3)=5+3=8.
【合作探究】
探究1：數列的概念與分類
情境設置
　　問題:觀察以下幾列數:
①古埃及“阿默斯”畫了一個階梯,上面的數字依次為7,49,343,2401,16807;
②戰國時期莊周引用過一句話:一尺之棰,日取其半,萬世不竭.這句話中隱藏著一列數:1,,,,,…;
③從學號1開始,記下本班的每一個同學參加高考的時間:2023,2023,…,2023;
④小明為了記住剛設置的手機密碼,不停地說:7,0,2,5,7,0,2,5,…;
⑤-的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪…依次排成一列數:-,,-,,….
你能找到上述幾列數的共同點和不同點嗎
【答案】共同點:都是按照確定的順序進行排列的.不同點:從項數上來看,①③項數有限,②④⑤項數無限;從項的變化上來看,①每一項在依次變大,②每一項在依次變小,③項沒有發生變化,④項呈現周期性的變化,⑤項的大小交替變化.
新知生成
1.數列及其相關的概念
按照一定順序排列的一列數叫作數列,數列中的每一個數叫作這個數列的項,排在第一位的數叫作數列的首項或叫作數列的第1項,排在第二位的數叫作數列的第2項,…,排在第n位的數稱為這個數列的第n項.
2.數列的表示方法
數列的一般形式可以寫成a1,a2,…,an,…,簡記為{an}.
3.數列的分類
項數有限的數列稱為有窮數列,項數無限的數列稱為無窮數列.
新知運用
例1　下列有關數列的說法,正確的是(　　).
①數列1,2,3可以表示成{1,2,3};②數列-1,0,1與數列1,0,-1是同一數列;③數列7,7,7,…是無窮數列;④數列中的每一項都與它的序號有關.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【答案】B
【解析】①錯誤,數列和集合是不同的概念;②錯誤,數列-1,0,1與數列1,0,-1是不同的數列.故選B.
【方法總結】　(1)數列類型的判斷一定要嚴格按照數列的定義進行;
(2)如果組成兩個數列的數相同,但順序不同,那么它們是不同的數列;
(3)同一個數可以在數列中重復出現.
鞏固訓練
　　下列說法正確的是　　　　.
①同一數列的任意兩項均不可能相同;
②數列中的項與順序無關;
③數列0,2,4,6是有窮數列;
④數列0,1,2,3,4,5,6,7,…的第8項為7.
【答案】③④
【解析】①錯誤,例如無窮個3構成的常數列3,3,…,3,…;②錯誤,數列中的項與順序有關;③正確,數列0,2,4,6是有窮數列;④正確.
探究2：數列的通項公式
情境設置
　　數列的一般形式是a1,a2,…,an,…,簡記為{an}.
問題1:數列{an}中的各項ak與各項序號k(k=1,2,3,…,n,…)之間的對應關系是什么
【答案】　序號　1　2　3　…　n　…
↓ ↓ ↓ ↓
　　　　　　項　 a1 a2 a3 … an …
問題2:你能從函數的角度解釋這個數列的特點嗎
【答案】數列{an}可以看成從正整數集N+(或它的有限子集{1,2,…,n})到實數集R的函數,其自變量是序號n,對應的函數值是數列的第n項an,記為an=f(n).
問題3:在數列中,符號{an}與an所表示的意義是否相同
【答案】{an}與an是兩個不同的概念,{an}表示數列a1,a2,a3,…,an,…,而an只表示數列{an}中的第n項.
問題4:在數列0,,,,…,,…中,是它的第幾項
【答案】令=,解得n=7,所以是它的第7項.
新知生成
1.數列的通項公式
如果數列{an}的第n項an可以用一個關于n的公式來表示,那么這個公式叫作這個數列{an}的通項公式.
2.數列的表示
從函數觀點看,數列的通項公式就是這個數列的表達式,與函數一樣,數列還可以用列表法和圖象法來表示.
新知運用
例2　根據下面各數列的前幾項,寫出數列的一個通項公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
(2),,,,,…;
(3),2,,8,,…;
(4)5,55,555,5555,…;
(5)4,0,4,0,4,0,….
【解析】(1)偶數項為正,奇數項為負,故通項公式的正負性可用(-1)n來調節,觀察各項的絕對值,后一項的絕對值總比它前一項的絕對值大6,故數列的一個通項公式為an=(-1)n·(6n-5).
(2)這是一個分數數列,其分子構成偶數數列,而分母可分解為1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,每一項都是兩個相鄰奇數的乘積.故數列的一個通項公式為an=.
(3)數列的各項,有的是分數,有的是整數,可將數列的各項都統一成分數再觀察,即,,,,,…,故數列的一個通項公式為an=.
(4)將原數列改寫為×9,×99,×999,…,易知數列9,99,999,…的通項公式為bn=10n-1,故原數列的一個通項公式為an=(10n-1).
(5)由于該數列中,奇數項全部都是4,偶數項全部都是0,因此可用分段函數的形式表示該數列的通項公式,即an=
該數列也可改寫為2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通項公式也可表示為an=2+2×(-1)n+1.
【方法總結】　(1)對于正負符號的變化,可用(-1)n或(-1)n+1來調整;
(2)對于分數形式的變化,先考慮分母的變化規律,再考慮分子與分母的關系和變化規律;
(3)對于各項中有分數又有整數的變化,應統一化為分數形式再觀察其規律;
(4)從數列5,55,555,5555,…和數列9,99,999,9999,…的關系著手.
(5)對于周期數列,可考慮拆成幾個簡單數列之和的形式,或者利用分段函數或周期函數,如三角函數等.
鞏固訓練
　　寫出下列各數列的一個通項公式,它們的前幾項分別是:
(1)1,3,7,15,31,…;
(2),,,,,…;
(3)2×3,3×4,4×5,5×6,…;
(4),1,,,….
【解析】(1)由1=2-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,31=25-1,…,可得an=2n-1(n∈N+).
(2)這個數列的前5項中,每一項的分子都比分母少1,且分母依次為21,22,23,24,25,所以它的一個通項公式為an=(n∈N+).
(3)由2×3=(1+1)×(1+2),3×4=(2+1)×(2+2),4×5=(3+1)×(3+2),5×6=(4+1)×(4+2),…,
可得an=(n+1)(n+2)(n∈N+).
(4)將數列變形為,,,,…,對于分子3,5,7,9,…,可得分子的通項公式為bn=2n+1,對于分母2,5,10,17,…,聯想到數列1,4,9,16,…,可得分母的通項公式為cn=n2+1,所以原數列的一個通項公式為an=(n∈N+).
【隨堂檢測】
1.若數列{an}的通項公式為an=2n+1,則第9項為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.9 B.13 C.17 D.19
【答案】D
【解析】因為數列{an}的通項公式為an=2n+1,所以a9=2×9+1=19.
2.數列0.9,0.99,0.999,…的一個通項公式是(　　).
A.1+n B.-1+n
C.1-n D.1-n+1
【答案】C
【解析】原數列可改寫為1-,1-,1-,…,故該數列的一個通項公式為an=1-n.故選C.
3.已知n∈N+,給出四個表達式:①an=②an=;③an=;④an=.其中能作為數列0,1,0,1,0,1,0,1,…的通項公式的是(　　).
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
【答案】A
【解析】逐一寫出表達式的前幾項,檢驗知①②③都是所給數列的通項公式.故選A.
4.某種樹分枝的生長規律如圖所示,第1年到第5年的分枝數分別為1,1,2,3,5,則預計第10年樹的分枝數為　　　　.
【答案】55
【解析】因為2=1+1,3=2+1,5=3+2,即從第三項起每一項都等于前兩項的和,所以預計第10年樹的分枝數為21+34=55.
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