資源簡介

1.1 課時2 數(shù)列中的遞推公式與性質(zhì)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解遞推公式的含義,能根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項.(數(shù)學(xué)運算)
2.理解數(shù)列的單調(diào)性,會判斷數(shù)列的單調(diào)性,會求簡單數(shù)列的最大項.(邏輯推理、直觀想象)
3.會利用數(shù)列的周期性解決簡單的問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)建模)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
1.什么是數(shù)列的遞推公式
2.由數(shù)列的遞推公式能否寫出數(shù)列的前幾項
3.數(shù)列的遞推公式與數(shù)列的通項公式有什么區(qū)別與聯(lián)系
4.數(shù)列是特殊的函數(shù),我們知道函數(shù)有單調(diào)遞增函數(shù),單調(diào)遞減函數(shù),那么數(shù)列有單調(diào)性嗎 若有,如何判斷數(shù)列的單調(diào)性
自學(xué)檢測
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)有些數(shù)列可能不存在最大項. (　　)
(2)所有的數(shù)列都有遞推公式. (　　)
(3)所有數(shù)列都具有單調(diào)性. (　　)
(4)在數(shù)列{an}中,若an=,則{an}是遞減數(shù)列. (　　)
2.數(shù)列1,,,,…的遞推公式可以是(　　).
A.an=(n∈N+) B.an=(n∈N+)
C.an+1=an(n∈N+) D.an+1=2an(n∈N+)
3.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=lo(n+1),則數(shù)列{an}是　　　　數(shù)列.(填“遞增”或“遞減”)
4.已知數(shù)列{an}滿足an+2=an+1+2an,且a1=1,a2=2,寫出該數(shù)列的前5項.
【合作探究】
探究1：數(shù)列的遞推關(guān)系
情境設(shè)置
　　已知某冰雪項目看臺有30排座位,第一排有20個座位,從第二排起,后一排都比前一排多2個座位.
問題1:寫出前五排的座位數(shù).
問題2:第n排與第n+1排的座位數(shù)有何關(guān)系
問題3:能用等式表示出第n排座位數(shù)an與第n+1排座位數(shù)an+1的關(guān)系嗎
問題4:僅由數(shù)列{an}的關(guān)系式an=an-1+2(n≥2,n∈N+)就能確定這個數(shù)列嗎
新知生成
數(shù)列的遞推公式
如果數(shù)列{an}的任一項an+1與它的前一項an之間的關(guān)系可用一個公式來表示,即an+1=f(an),n≥1,那么這個公式就叫作數(shù)列{an}的遞推公式,a1稱為數(shù)列{an}的初始條件.
微點評:由遞推公式和初始條件可確定數(shù)列{an},這是表示數(shù)列的又一種重要方法.許多與數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用問題最后都?xì)w結(jié)為這種數(shù)學(xué)模型.
新知運用
一、利用數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項
例1　若數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=,n∈N+,求a2023的值.
【方法總結(jié)】遞推公式反映的是相鄰兩項(或n項)之間的關(guān)系.對于通項公式,已知n的值即可得到相應(yīng)的項,而對于遞推公式,則要已知首項(或前幾項),才可依次求得其他的項.若項數(shù)很大,則應(yīng)考慮數(shù)列是否具有規(guī)律.
二、利用遞推公式求通項公式
例2　(1)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+-(n∈N+),則an=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
(2)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an(n∈N+),則an=(　　).
A.n+1 B.n C. D.
【方法總結(jié)】由遞推公式求通項公式的常用方法
(1)歸納法:根據(jù)數(shù)列的某項和遞推公式,求出數(shù)列的前幾項,歸納出通項公式.
(2)迭代法、累加法或累乘法,遞推公式對應(yīng)的有以下幾類:
①an+1-an=常數(shù),或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的),使用累加法或迭代法;
②an+1=pan(p為非零常數(shù)),或an+1=f(n)an(f(n)是可以求積的),使用累乘法或迭代法;
③an+1=pan+q(p,q為非零常數(shù)),適當(dāng)變形后轉(zhuǎn)化為第②類解決.
鞏固訓(xùn)練
1.(多選題)已知數(shù)列{an}中,a1=3,an+1=-,能使an=3的n可以為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.22 B.24 C.26 D.28
　
2.已知數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=2an+1(n∈N+),則a5=　　　　,由此歸納出{an}的一個通項公式為　　　　,a8=　　　　.
3.(1)已知a1=1,an+1-an=2(n∈N+),求數(shù)列{an}的通項公式.
(2)已知數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=3an(n∈N+),求數(shù)列{an}的通項公式.
探究2：數(shù)列的單調(diào)性
情境設(shè)置
　　觀察下面的數(shù)列,回答問題.
(1)2,,,,…;
(2)-,,-,,…;
(3)0.8,0.88,0.888,….
問題1:寫出(1)(2)(3)的通項公式.
問題2:觀察(1)(2)(3)中數(shù)列,從第二項起每一項與它前一項有什么大小關(guān)系
新知生成
數(shù)列的單調(diào)性
一般地,對于一個數(shù)列{an},如果從第二項起,每一項都大于它的前一項,即an+1>an,n∈N+,那么這個數(shù)列叫作遞增數(shù)列;如果從第二項起,每一項都小于它的前一項,即an+1新知運用
一、判斷數(shù)列的單調(diào)性
例3　判斷數(shù)列an=的單調(diào)性.
【方法總結(jié)】判斷數(shù)列單調(diào)性的方法
(1)作差比較法:
①若an+1-an>0恒成立,則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;
②若an+1-an<0恒成立,則數(shù)列{an}是遞減數(shù)列;
③若an+1-an=0恒成立,則數(shù)列{an}是常數(shù)列.
(2)作商比較法:
①若an>0,則
當(dāng)>1時,數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;
當(dāng)<1時,數(shù)列{an}是遞減數(shù)列;
當(dāng)=1時,數(shù)列{an}是常數(shù)列.
②若an<0,則
當(dāng)<1時,數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;
當(dāng)>1時,數(shù)列{an}是遞減數(shù)列;
當(dāng)=1時,數(shù)列{an}是常數(shù)列.
二、求數(shù)列的最大(小)項
例4　已知an=(n∈N+),則數(shù)列{an}中有沒有最大項 如果有,求出最大項;如果沒有,請說明理由.
【方法總結(jié)】求數(shù)列最值的方法
(1)函數(shù)的單調(diào)性法:令an=f(n),通過研究f(n)的單調(diào)性來研究數(shù)列的最大(小)項.
(2)不等式組法:先假設(shè)有最大(小)項.不妨設(shè)an最大,則滿足(n≥2),解不等式組便可得到n的取值范圍,從而確定n的值;求最小項時,用不等式組(n≥2)求得n的取值范圍.
鞏固訓(xùn)練
已知數(shù)列{an}的通項公式為an=.
(1)討論數(shù)列{an}的單調(diào)性;
(2)求數(shù)列{an}的最大項和最小項.
【隨堂檢測】
1.已知數(shù)列{an}的第1項是1,第2項是2,且an=an-1+an-2(n≥3,n∈N+),則該數(shù)列的第5項為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6 B.7 C.8 D.9
2.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n·n(n∈N+),則數(shù)列{an}中的最大項為(　　).
A. B. C. D.
3.設(shè)函數(shù)f(x)=數(shù)列{an}滿足an=f(n),n∈N+,且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則實數(shù)a的取值范圍是(　　).
A.,3 B.,3 C.(1,3) D.(2,3)
4.若數(shù)列{an}滿足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2,n∈N+),且a1=1,則a100=　　　　.
21.1 課時2 數(shù)列中的遞推公式與性質(zhì)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解遞推公式的含義,能根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項.(數(shù)學(xué)運算)
2.理解數(shù)列的單調(diào)性,會判斷數(shù)列的單調(diào)性,會求簡單數(shù)列的最大項.(邏輯推理、直觀想象)
3.會利用數(shù)列的周期性解決簡單的問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)建模)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
1.什么是數(shù)列的遞推公式
【答案】如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫作這個數(shù)列的遞推公式.
2.由數(shù)列的遞推公式能否寫出數(shù)列的前幾項
【答案】用遞推公式給出一個數(shù)列,必須給出:(1)遞推“基礎(chǔ)”——數(shù)列{an}的第1項(或前幾項).(2)遞推關(guān)系——數(shù)列{an}的第n項an與它的前一項an-1(n≥2)(或前幾項)之間的關(guān)系,并且這個關(guān)系可以用一個式子來表示.
3.數(shù)列的遞推公式與數(shù)列的通項公式有什么區(qū)別與聯(lián)系
【答案】
遞推公式 通項公式
區(qū)別 表示an與它的前一項an-1(或前幾項)之間的關(guān)系 表示an與n之間的關(guān)系
聯(lián)系 (1)都是表示數(shù)列的一種方法; (2)由遞推公式求出前幾項可歸納猜想出通項公式
4.數(shù)列是特殊的函數(shù),我們知道函數(shù)有單調(diào)遞增函數(shù),單調(diào)遞減函數(shù),那么數(shù)列有單調(diào)性嗎 若有,如何判斷數(shù)列的單調(diào)性
【答案】有些數(shù)列具有單調(diào)性,在數(shù)列{an}中,若an+1>an,n∈N+,則{an}是遞增數(shù)列;若an+1自學(xué)檢測
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)有些數(shù)列可能不存在最大項. (　　)
(2)所有的數(shù)列都有遞推公式. (　　)
(3)所有數(shù)列都具有單調(diào)性. (　　)
(4)在數(shù)列{an}中,若an=,則{an}是遞減數(shù)列. (　　)
【答案】(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.數(shù)列1,,,,…的遞推公式可以是(　　).
A.an=(n∈N+) B.an=(n∈N+)
C.an+1=an(n∈N+) D.an+1=2an(n∈N+)
【答案】C
【解析】由題意可知選項C符合題意,故選C.
3.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=lo(n+1),則數(shù)列{an}是　　　　數(shù)列.(填“遞增”或“遞減”)
【答案】遞減
【解析】因為an-an-1=lo(n+1)-lon=lo1+<0,
所以an4.已知數(shù)列{an}滿足an+2=an+1+2an,且a1=1,a2=2,寫出該數(shù)列的前5項.
【解析】由題意得a3=a2+2a1=4,a4=a3+2a2=8,a5=a4+2a3=16,
故該數(shù)列的前5項依次為1,2,4,8,16.
【合作探究】
探究1：數(shù)列的遞推關(guān)系
情境設(shè)置
　　已知某冰雪項目看臺有30排座位,第一排有20個座位,從第二排起,后一排都比前一排多2個座位.
問題1:寫出前五排的座位數(shù).
【答案】20,22,24,26,28.
問題2:第n排與第n+1排的座位數(shù)有何關(guān)系
【答案】第n+1排比第n排多2個座位.
問題3:能用等式表示出第n排座位數(shù)an與第n+1排座位數(shù)an+1的關(guān)系嗎
【答案】能.an+1=an+2.
問題4:僅由數(shù)列{an}的關(guān)系式an=an-1+2(n≥2,n∈N+)就能確定這個數(shù)列嗎
【答案】不能.數(shù)列的遞推公式是由初始值和相鄰幾項的遞推關(guān)系確定的,如果只有遞推關(guān)系而無初始值,那么這個數(shù)列是不能確定的.
新知生成
數(shù)列的遞推公式
如果數(shù)列{an}的任一項an+1與它的前一項an之間的關(guān)系可用一個公式來表示,即an+1=f(an),n≥1,那么這個公式就叫作數(shù)列{an}的遞推公式,a1稱為數(shù)列{an}的初始條件.
微點評:由遞推公式和初始條件可確定數(shù)列{an},這是表示數(shù)列的又一種重要方法.許多與數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用問題最后都?xì)w結(jié)為這種數(shù)學(xué)模型.
新知運用
一、利用數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項
例1　若數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=,n∈N+,求a2023的值.
【解析】a2===-3,
a3===-,
a4===,
a5===2=a1,
…
∴{an}是周期為4的數(shù)列,
∴a2023=a4×505+3=a3=-.
【方法總結(jié)】遞推公式反映的是相鄰兩項(或n項)之間的關(guān)系.對于通項公式,已知n的值即可得到相應(yīng)的項,而對于遞推公式,則要已知首項(或前幾項),才可依次求得其他的項.若項數(shù)很大,則應(yīng)考慮數(shù)列是否具有規(guī)律.
二、利用遞推公式求通項公式
例2　(1)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+-(n∈N+),則an=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
(2)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an(n∈N+),則an=(　　).
A.n+1 B.n C. D.
【答案】(1)B　(2)D
【解析】(1)(法一:歸納法)數(shù)列的前5項分別為
a1=1,
a2=1+1-=2-=,
a3=+-=2-=,
a4=+-=2-=,
a5=+-=2-=,
由此可得數(shù)列的一個通項公式為an=(n∈N+).
(法二:迭代法)a2=a1+1-,
a3=a2+-,…,
an=an-1+-(n≥2),
則an=a1+1-+-+-+…+-=2-=(n≥2).
又a1=1也適合上式,所以an=(n∈N+).
(法三:累加法)an+1-an=-,
a1=1,
a2-a1=1-,
a3-a2=-,
a4-a3=-,
…
an-an-1=-(n≥2),
以上各式相加得an=1+1-+-+…+-,
所以an=(n≥2).
因為a1=1也適合上式,所以an=(n∈N+).
(2)因為數(shù)列{an}滿足an+1=an(n∈N+),所以=,
所以an=··…···a1=××…×××1=(n∈N+).
【方法總結(jié)】由遞推公式求通項公式的常用方法
(1)歸納法:根據(jù)數(shù)列的某項和遞推公式,求出數(shù)列的前幾項,歸納出通項公式.
(2)迭代法、累加法或累乘法,遞推公式對應(yīng)的有以下幾類:
①an+1-an=常數(shù),或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的),使用累加法或迭代法;
②an+1=pan(p為非零常數(shù)),或an+1=f(n)an(f(n)是可以求積的),使用累乘法或迭代法;
③an+1=pan+q(p,q為非零常數(shù)),適當(dāng)變形后轉(zhuǎn)化為第②類解決.
鞏固訓(xùn)練
1.(多選題)已知數(shù)列{an}中,a1=3,an+1=-,能使an=3的n可以為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.22 B.24 C.26 D.28
　　【答案】AD
【解析】由a1=3,an+1=-,得a2=-,a3=-,a4=3,
所以數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列,
故a22=a3×7+1=a1=3,a28=a3×9+1=a1=3.
2.已知數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=2an+1(n∈N+),則a5=　　　　,由此歸納出{an}的一個通項公式為　　　　,a8=　　　　.
【答案】63　an=2n+1-1　511
【解析】∵a1=3,an+1=2an+1,∴a2=2a1+1=7,a3=2a2+1=15,a4=2a3+1=31,a5=2a4+1=63.
可以歸納出an=2n+1-1,∴a8=29-1=511.
3.(1)已知a1=1,an+1-an=2(n∈N+),求數(shù)列{an}的通項公式.
(2)已知數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=3an(n∈N+),求數(shù)列{an}的通項公式.
【解析】(1)∵a1=1,an+1-an=2,∴a2-a1=2,a3-a2=2,a4-a3=2,…,an-an-1=2(n≥2),將這些式子的兩邊分別相加,得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2(n-1)(n≥2),即an-a1=2(n-1)(n≥2).又a1=1,∴an=2n-1(n≥2),當(dāng)n=1時,a1=1也滿足上式,故數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1.
(2)由an+1=3an得=3,
因此=3,=3,=3,…,=3(n≥2).
將上面的(n-1)個式子相乘可得···…·=3n-1(n≥2),
即=3n-1(n≥2),
∴an=a1·3n-1(n≥2).
又a1=2,∴an=2·3n-1(n≥2).
當(dāng)n=1時,a1=2也符合上式,
∴an=2·3n-1.
探究2：數(shù)列的單調(diào)性
情境設(shè)置
　　觀察下面的數(shù)列,回答問題.
(1)2,,,,…;
(2)-,,-,,…;
(3)0.8,0.88,0.888,….
問題1:寫出(1)(2)(3)的通項公式.
【答案】(1)所給數(shù)列可寫成,,,,…,
∴原數(shù)列的一個通項公式為an=(n∈N+).
(2)所給數(shù)列可寫成(-1)1×,(-1)2×,(-1)3×,(-1)4×,…,
∴原數(shù)列的一個通項公式為an=(-1)n×=(n∈N+).
(3)所給數(shù)列可寫成1-,1-,1-,…,
∴原數(shù)列的一個通項公式為an=1-(n∈N+).
問題2:觀察(1)(2)(3)中數(shù)列,從第二項起每一項與它前一項有什么大小關(guān)系
【答案】(1)中從第二項起每一項都比它前一項小;(2)中從第二項起有些項比它前一項大,有些項比它前一項小;(3)中從第二項起每一項都比它前一項大.
新知生成
數(shù)列的單調(diào)性
一般地,對于一個數(shù)列{an},如果從第二項起,每一項都大于它的前一項,即an+1>an,n∈N+,那么這個數(shù)列叫作遞增數(shù)列;如果從第二項起,每一項都小于它的前一項,即an+1新知運用
一、判斷數(shù)列的單調(diào)性
例3　判斷數(shù)列an=的單調(diào)性.
【解析】因為an=,所以an==1-,當(dāng)n增大時,減小,所以an=1-增大,即該數(shù)列是遞增數(shù)列.
【方法總結(jié)】判斷數(shù)列單調(diào)性的方法
(1)作差比較法:
①若an+1-an>0恒成立,則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;
②若an+1-an<0恒成立,則數(shù)列{an}是遞減數(shù)列;
③若an+1-an=0恒成立,則數(shù)列{an}是常數(shù)列.
(2)作商比較法:
①若an>0,則
當(dāng)>1時,數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;
當(dāng)<1時,數(shù)列{an}是遞減數(shù)列;
當(dāng)=1時,數(shù)列{an}是常數(shù)列.
②若an<0,則
當(dāng)<1時,數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;
當(dāng)>1時,數(shù)列{an}是遞減數(shù)列;
當(dāng)=1時,數(shù)列{an}是常數(shù)列.
二、求數(shù)列的最大(小)項
例4　已知an=(n∈N+),則數(shù)列{an}中有沒有最大項 如果有,求出最大項;如果沒有,請說明理由.
【解析】(法一:函數(shù)單調(diào)性法)
令f(n)=an,則f(n+1)-f(n)=an+1-an=-=(8-n).
當(dāng)n<8時,an+1-an>0,即an+1>an,所以{an}在n<8時單調(diào)遞增;
當(dāng)n=8時,an+1-an=0,即an+1=an,所以a8=a9;
當(dāng)n>8時,an+1-an<0,即an+18時單調(diào)遞減.
所以數(shù)列{an}的最大項是第8項和第9項,為a8=a9=.
(法二:不等式組法)
設(shè)an最大,則(n≥2),
即
解得8≤n≤9.
又因為n∈N+,所以n=8或n=9.
故{an}的最大項為a8=a9=.
【方法總結(jié)】求數(shù)列最值的方法
(1)函數(shù)的單調(diào)性法:令an=f(n),通過研究f(n)的單調(diào)性來研究數(shù)列的最大(小)項.
(2)不等式組法:先假設(shè)有最大(小)項.不妨設(shè)an最大,則滿足(n≥2),解不等式組便可得到n的取值范圍,從而確定n的值;求最小項時,用不等式組(n≥2)求得n的取值范圍.
鞏固訓(xùn)練
已知數(shù)列{an}的通項公式為an=.
(1)討論數(shù)列{an}的單調(diào)性;
(2)求數(shù)列{an}的最大項和最小項.
【解析】(1)已知數(shù)列{an}的通項公式為an==1+,
據(jù)此可得即當(dāng)n<16(n∈N+)時,數(shù)列{an}單調(diào)遞減;當(dāng)n≥16(n∈N+)時,數(shù)列{an}單調(diào)遞減.
(2)由(1)知,數(shù)列{an}的最大項為a16,最小項為a15.
【隨堂檢測】
1.已知數(shù)列{an}的第1項是1,第2項是2,且an=an-1+an-2(n≥3,n∈N+),則該數(shù)列的第5項為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】C
【解析】∵a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N+),
∴a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.
2.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n·n(n∈N+),則數(shù)列{an}中的最大項為(　　).
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因為數(shù)列{an}的通項公式為an=n·n,顯然an>0,令即得2≤n≤3,因為n∈N+,故n=2或n=3,所以數(shù)列{an}中的最大項為a2=a3=2×=.
3.設(shè)函數(shù)f(x)=數(shù)列{an}滿足an=f(n),n∈N+,且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則實數(shù)a的取值范圍是(　　).
A.,3 B.,3 C.(1,3) D.(2,3)
【答案】D
【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義,要使數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則解得24.若數(shù)列{an}滿足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2,n∈N+),且a1=1,則a100=　　　　.
【答案】5050
【解析】由(n-1)an=(n+1)an-1得=,
則a100=a1···…·=1×××…××=5050.
2

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