資源簡介

1.2.1　等差數列及其通項公式
【學習目標】
1.理解等差數列、等差中項的概念.(數學抽象)
2.掌握等差數列的通項公式,能利用通項公式解決等差數列的一些計算問題.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.等差數列是如何定義的
2.觀察所給的兩個數,在兩個數之間插入一個什么數后三個數就會成為一個等差數列
(1)2,4;(2)-1,5;(3)a,b;(4)0,0.
3.由等差數列的通項公式可以看出,要求等差數列{an}的通項公式,需要哪幾個條件
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)數列4,4,4,…是等差數列. (　　)
(2)若一個數列的前4項分別為1,2,3,4,則{an}(n>4)一定是等差數列. (　　)
(3)在等差數列{an}中,a1,n,d,an任意給出三個,可求剩下的一個. (　　)
2.下列數列中不是等差數列的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6,6,6,6,6 B.-2,-1,0,1,2
C.5,8,11,14 D.0,1,3,6,10
3.已知實數m是1和5的等差中項,則實數m=(　　).
A. B.± C.3 D.±3
4.已知在等差數列{an}中,首項a1=4,公差d=-2,則通項公式為an=　　　　.
【合作探究】
探究1：等差數列的概念
情境設置
　　①在過去的300多年里,人們記下了哈雷彗星出現的時間:1682,1758,1834,1910,1986.
②我國確定鞋號的腳長值以毫米為單位,常用的確定鞋號的腳長值按從大到小的順序可排列為:275,270,265,260,255,250,….
③為增強體質,學校增加了體育訓練的項目,下面記錄了班里5名男生1分鐘內引體向上的個數:10,10,10,10,10.
問題:以上數列有什么共同特征 你能預測一下哈雷彗星下一次出現的時間嗎
新知生成
　　一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項之差都等于同一個常數,那么這個數列稱為等差數列,這個常數叫作等差數列的公差,通常用字母d表示.
微點評:(1)等差數列的定義中特別強調“從第2項起”,如果一個數列不是從第2項起,而是從第3項或第4項起,每一項與前一項的差是同一個常數,那么此數列不是等差數列.
(2)等差數列的定義中特別強調作差的順序,即從第2項起,每一項與它的前一項作差,而不是與后一項作差,切不可將減數與被減數弄顛倒.
(3)一個數列,從第2項起,每一項與它前一項的差盡管是常數,這個數列也不一定是等差數列,當常數不同時,就不是等差數列,因此定義中強調“同一個常數”.
(4)公差可以是正數、負數、0.常數列都是等差數列,公差為0.
新知運用
例1　判斷下列各組數列是不是等差數列.如果是,寫出首項a1和公差d.
①1,3,5,7,9,…;
②9,6,3,0,-3,…;
③1,3,4,5,6,…;
④7,7,7,7,7,…;
⑤1,,,,,….
【方法總結】利用定義法判定等差數列的方法:從第2項起,檢驗每一項與它的前一項的差是否都等于同一個常數,若是同一個常數,則是等差數列,否則不是等差數列.
鞏固訓練
　　(多選題)下列數列中,是等差數列的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1,4,7,10 B.lg 2,lg 4,lg 8,lg 16
C.25,24,23,22 D.10,8,6,4,2
探究2：等差數列的通項公式
情境設置
　　問題:你能根據等差數列的定義推導它的通項公式嗎
新知生成
　　首項為a1,公差為d的等差數列{an}的通項公式為an=a1+(n-1)d.
新知運用
例2　在等差數列{an}中,
(1)已知a1=2,d=3,n=10,求an;
(2)已知a1=3,an=21,d=2,求n;
(3)已知a1=12,a6=27,求d;
(4)已知d=-,a7=8,求a1和an.
【方法總結】等差數列通項公式的求法與應用技巧
(1)等差數列的通項公式可由首項與公差確定,要求等差數列的通項公式,只需求出首項與公差即可.
(2)等差數列{an}的通項公式an=a1+(n-1)d中共含有四個參數,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三個參數,那么
就可以由通項公式求出第四個參數,這一求未知量的過程,我們通常稱為“知三求一”.
(3)利用等差數列的通項公式不僅可以求出該數列中的任意指定項,也可以判斷某個數是否為該數列中的項.
鞏固訓練
1.已知等差數列{an}中,a3+a8=22,a6=7,則a5=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.15 B.22 C.7 D.29
2.已知等差數列1,-1,-3,-5,…,-89,則它的項數是　　　　.
3.在等差數列{an}中,a1+a5=8,a4=7.
(1)求數列的第10項.
(2)112是數列{an}的第幾項
(3)在80到110之間有多少項
探究3：等差中項
情境設置
　　問題:由等差數列的定義可知,如果1,x,3這三個數成等差數列,那么你能求出x的值嗎
【答案】由定義可知x-1=3-x,即2x=1+3,解得x=2.
新知生成
　　在兩個數a,b之間插入數M,使a,M,b成等差數列,則M叫作a與b的等差中項,并且2M=a+b.
微點評:(1)任意兩個實數都有等差中項,且唯一;
(2)等差中項的幾何意義是兩個實數的平均數,即M=.
新知運用
例3　(1)若a=,b=,則a,b的等差中項為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
(2)已知m和2n的等差中項是4,2m和n的等差中項是5,則m和n的等差中項是(　　).
A.2 B.3 C.6 D.9
【方法總結】若a,A,b成等差數列,則A=;反之,由A=也可得到a,A,b成等差數列.因此A是a,b的等差中項 A=.
鞏固訓練
　　在-1與7之間順次插入三個數a,b,c,使這五個數成等差數列,求此數列.
探究3：等差數列中多項之間的關系
情境設置
　　問題:若數列{an}是等差數列,公差為d,m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),證明:am+an=ap+aq.
新知生成
1.等差數列的項的對稱性:在有窮等差數列中,與首、末兩項“等距離”的兩項之和等于首項與末項的和,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….
2.下標性質:在等差數列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),則am+an=ap+aq.特別地,若m+n=2p(m,n,p∈N+),則有am+an=2ap.
注意點:(1)推廣:若m+n+p=x+y+z,則am+an+ap=ax+ay+az;(2)該性質要求下標的和相等,且左右兩側項數相同.
新知運用
例4　(1)已知等差數列{an}中,a5=10,a15=25,求a25的值;
(2)已知等差數列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值.
【方法總結】等差數列運算的兩種常用思路
(1)基本量法:根據已知條件,列出關于a1,d的方程(組),確定a1,d的值,然后求出其他量.
(2)巧用性質法:觀察等差數列中項的序號,若滿足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N+),則am+an=ap+aq=2ar.
鞏固訓練
　　在等差數列{an}中,a1+3a8+a15=120,則2a9-a10的值是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.20 B.22 C.24 D.-8
【隨堂檢測】
1.給出下列數列:
(1)0,0,0,0,0,…;
(2)1,11,111,1111,…;
(3)2,22,23,24,…;
(4)-5,-3,-1,1,3,…;
(5)1,2,3,5,8,….
其中是等差數列的有(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1個 B.2個 C.3個　 D.4個
2.一個等差數列的前4項依次是a,x,b,2x(b≠0,x≠0),則=(　　).
A. B. C. D.
3.在等差數列{an}中,a3=0,a7-2a4=-1,則公差d=(　　).
A.-2 B.- C. D.2
4.如果在等差數列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a7=(　　).
A.4 B.6 C.8 D.12
21.2.1　等差數列及其通項公式
【學習目標】
1.理解等差數列、等差中項的概念.(數學抽象)
2.掌握等差數列的通項公式,能利用通項公式解決等差數列的一些計算問題.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.等差數列是如何定義的
【答案】如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數,那么這個數列就叫作等差數列.
2.觀察所給的兩個數,在兩個數之間插入一個什么數后三個數就會成為一個等差數列
(1)2,4;(2)-1,5;(3)a,b;(4)0,0.
【答案】(1)3;(2)2;(3);(4)0.
3.由等差數列的通項公式可以看出,要求等差數列{an}的通項公式,需要哪幾個條件
【答案】只要知道等差數列的首項a1和公差d,代入公式an=a1+(n-1)d即可.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)數列4,4,4,…是等差數列. (　　)
(2)若一個數列的前4項分別為1,2,3,4,則{an}(n>4)一定是等差數列. (　　)
(3)在等差數列{an}中,a1,n,d,an任意給出三個,可求剩下的一個. (　　)
【答案】(1)√　(2)×　(3)√
2.下列數列中不是等差數列的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6,6,6,6,6 B.-2,-1,0,1,2
C.5,8,11,14 D.0,1,3,6,10
【答案】D
【解析】A中給出的是常數列,是等差數列,公差為0;
B中給出的數列是等差數列,公差為1;
C中給出的數列是等差數列,公差為3;
D中給出的數列中,第2項減去第1項等于1,第3項減去第2項等于2,故此數列不是等差數列.
3.已知實數m是1和5的等差中項,則實數m=(　　).
A. B.± C.3 D.±3
【答案】C
【解析】由題意知,2m=1+5=6,解得m=3.
4.已知在等差數列{an}中,首項a1=4,公差d=-2,則通項公式為an=　　　　.
【答案】6-2n
【解析】∵a1=4,d=-2,∴an=4+(n-1)×(-2)=6-2n.
【合作探究】
探究1：等差數列的概念
情境設置
　　①在過去的300多年里,人們記下了哈雷彗星出現的時間:1682,1758,1834,1910,1986.
②我國確定鞋號的腳長值以毫米為單位,常用的確定鞋號的腳長值按從大到小的順序可排列為:275,270,265,260,255,250,….
③為增強體質,學校增加了體育訓練的項目,下面記錄了班里5名男生1分鐘內引體向上的個數:10,10,10,10,10.
問題:以上數列有什么共同特征 你能預測一下哈雷彗星下一次出現的時間嗎
【答案】對于①,我們發現1758-1682=76,1834-1758=76,1910-1834=76,1986-1910=76,也就是說該數列從第二項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數,于是我們可以大膽預測下一次哈雷彗星出現的時間應該是1986+76=2062;對于②有270-275=-5…;對于③,10-10=0,有同樣的取值規律.
新知生成
　　一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項之差都等于同一個常數,那么這個數列稱為等差數列,這個常數叫作等差數列的公差,通常用字母d表示.
微點評:(1)等差數列的定義中特別強調“從第2項起”,如果一個數列不是從第2項起,而是從第3項或第4項起,每一項與前一項的差是同一個常數,那么此數列不是等差數列.
(2)等差數列的定義中特別強調作差的順序,即從第2項起,每一項與它的前一項作差,而不是與后一項作差,切不可將減數與被減數弄顛倒.
(3)一個數列,從第2項起,每一項與它前一項的差盡管是常數,這個數列也不一定是等差數列,當常數不同時,就不是等差數列,因此定義中強調“同一個常數”.
(4)公差可以是正數、負數、0.常數列都是等差數列,公差為0.
新知運用
例1　判斷下列各組數列是不是等差數列.如果是,寫出首項a1和公差d.
①1,3,5,7,9,…;
②9,6,3,0,-3,…;
③1,3,4,5,6,…;
④7,7,7,7,7,…;
⑤1,,,,,….
【解析】①是,a1=1,d=2;②是,a1=9,d=-3;③不是;④是,a1=7,d=0;⑤不是.
【方法總結】利用定義法判定等差數列的方法:從第2項起,檢驗每一項與它的前一項的差是否都等于同一個常數,若是同一個常數,則是等差數列,否則不是等差數列.
鞏固訓練
　　(多選題)下列數列中,是等差數列的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1,4,7,10 B.lg 2,lg 4,lg 8,lg 16
C.25,24,23,22 D.10,8,6,4,2
【答案】ABD
【解析】A,B,D項滿足等差數列的定義,是等差數列;
C中,因為24-25≠23-24≠22-23,不滿足等差數列的定義,所以不是等差數列.
探究2：等差數列的通項公式
情境設置
　　問題:你能根據等差數列的定義推導它的通項公式嗎
【答案】設一個等差數列的首項為a1,公差為d,
由等差數列的定義可知,an-an-1=d(n∈N+,且n≥2),
思路一:an=an-1+d,故有a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d,a4=a3+d=a1+3d,…,
歸納可得,an=a1+(n-1)d(n∈N+,且n≥2).
思路二:a2-a1=d,
a3-a2=d,
a4-a3=d,
…
an-an-1=d,
左右兩邊分別相加可得,an-a1=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d(n≥2).
新知生成
　　首項為a1,公差為d的等差數列{an}的通項公式為an=a1+(n-1)d.
新知運用
例2　在等差數列{an}中,
(1)已知a1=2,d=3,n=10,求an;
(2)已知a1=3,an=21,d=2,求n;
(3)已知a1=12,a6=27,求d;
(4)已知d=-,a7=8,求a1和an.
【解析】(1)an=a10=a1+(10-1)d=2+9×3=29.
(2)由an=a1+(n-1)d,得3+2(n-1)=21,解得n=10.
(3)由a6=a1+5d,得12+5d=27,解得d=3.
(4)由a7=a1+6d,得a1-2=8,解得a1=10,
所以an=a1+(n-1)d=10-(n-1)=-n+.
【方法總結】等差數列通項公式的求法與應用技巧
(1)等差數列的通項公式可由首項與公差確定,要求等差數列的通項公式,只需求出首項與公差即可.
(2)等差數列{an}的通項公式an=a1+(n-1)d中共含有四個參數,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三個參數,那么
就可以由通項公式求出第四個參數,這一求未知量的過程,我們通常稱為“知三求一”.
(3)利用等差數列的通項公式不僅可以求出該數列中的任意指定項,也可以判斷某個數是否為該數列中的項.
鞏固訓練
1.已知等差數列{an}中,a3+a8=22,a6=7,則a5=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.15 B.22 C.7 D.29
【答案】A
【解析】設{an}的首項為a1,公差為d,
根據題意得解得
所以a5=47+(5-1)×(-8)=15.
2.已知等差數列1,-1,-3,-5,…,-89,則它的項數是　　　　.
【答案】46
【解析】由題意知d=-1-1=-2,設an=-89,則-89=a1+(n-1)d=1-2(n-1),解得n=46.
3.在等差數列{an}中,a1+a5=8,a4=7.
(1)求數列的第10項.
(2)112是數列{an}的第幾項
(3)在80到110之間有多少項
【解析】設數列{an}的公差為d,
則解得
(1)a10=a1+9d=-2+27=25.
(2)an=-2+(n-1)×3=3n-5,
令112=3n-5,解得n=39,
所以112是數列{an}的第39項.
(3)令80<3n-5<110,
解得28所以n的取值為29,30,…,38,共10項.
探究3：等差中項
情境設置
　　問題:由等差數列的定義可知,如果1,x,3這三個數成等差數列,那么你能求出x的值嗎
【答案】由定義可知x-1=3-x,即2x=1+3,解得x=2.
新知生成
　　在兩個數a,b之間插入數M,使a,M,b成等差數列,則M叫作a與b的等差中項,并且2M=a+b.
微點評:(1)任意兩個實數都有等差中項,且唯一;
(2)等差中項的幾何意義是兩個實數的平均數,即M=.
新知運用
例3　(1)若a=,b=,則a,b的等差中項為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
(2)已知m和2n的等差中項是4,2m和n的等差中項是5,則m和n的等差中項是(　　).
A.2 B.3 C.6 D.9
【答案】(1)A　(2)B
【解析】(1)由題意知a,b的等差中項為+=(-++)=.
(2)因為m和2n的等差中項為4,所以m+2n=8.又因為2m和n的等差中項為5,所以2m+n=10.
由解得
所以m和n的等差中項為=3.
【方法總結】若a,A,b成等差數列,則A=;反之,由A=也可得到a,A,b成等差數列.因此A是a,b的等差中項 A=.
鞏固訓練
　　在-1與7之間順次插入三個數a,b,c,使這五個數成等差數列,求此數列.
【解析】由題意知,-1,a,b,c,7成等差數列,
即b是-1與7的等差中項,
則b==3,
又a是-1與b的等差中項,
則a===1.
又c是b與7的等差中項,
則c===5.
因此該數列為-1,1,3,5,7.
探究3：等差數列中多項之間的關系
情境設置
　　問題:若數列{an}是等差數列,公差為d,m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),證明:am+an=ap+aq.
【答案】由等差數列的定義可知,am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d,ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,容易發現am+an=2a1+(m+n-2)d,ap+aq=2a1+(p+q-2)d,因為m+n=p+q,所以am+an=ap+aq.
新知生成
1.等差數列的項的對稱性:在有窮等差數列中,與首、末兩項“等距離”的兩項之和等于首項與末項的和,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….
2.下標性質:在等差數列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),則am+an=ap+aq.特別地,若m+n=2p(m,n,p∈N+),則有am+an=2ap.
注意點:(1)推廣:若m+n+p=x+y+z,則am+an+ap=ax+ay+az;(2)該性質要求下標的和相等,且左右兩側項數相同.
新知運用
例4　(1)已知等差數列{an}中,a5=10,a15=25,求a25的值;
(2)已知等差數列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值.
【解析】(1)(法一)設{an}的公差為d,則解得故a25=a1+24d=4+24×=40.
(法二)因為5+25=2×15,所以在等差數列{an}中有a5+a25=2a15,從而a25=2a15-a5=2×25-10=40.
(法三)因為5,15,25成等差數列,所以a5,a15,a25也成等差數列,因此a25-a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40.
(2)由等差數列的性質得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,解得a5=14,故a1+a9=2a5=28.
【方法總結】等差數列運算的兩種常用思路
(1)基本量法:根據已知條件,列出關于a1,d的方程(組),確定a1,d的值,然后求出其他量.
(2)巧用性質法:觀察等差數列中項的序號,若滿足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N+),則am+an=ap+aq=2ar.
鞏固訓練
　　在等差數列{an}中,a1+3a8+a15=120,則2a9-a10的值是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.20 B.22 C.24 D.-8
【答案】C
【解析】∵a1+3a8+a15=5a8=120,∴a8=24,
∴2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.故選C.
【隨堂檢測】
1.給出下列數列:
(1)0,0,0,0,0,…;
(2)1,11,111,1111,…;
(3)2,22,23,24,…;
(4)-5,-3,-1,1,3,…;
(5)1,2,3,5,8,….
其中是等差數列的有(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1個 B.2個 C.3個　 D.4個
【答案】B
【解析】數列(1),(4)是等差數列,故選B.
2.一個等差數列的前4項依次是a,x,b,2x(b≠0,x≠0),則=(　　).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵b是x,2x的等差中項,∴b==,
又∵x是a,b的等差中項,∴2x=a+b,∴a=,
∴=.
3.在等差數列{an}中,a3=0,a7-2a4=-1,則公差d=(　　).
A.-2 B.- C. D.2
【答案】B
【解析】由題意得
解得
4.如果在等差數列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a7=(　　).
A.4 B.6 C.8 D.12
【答案】C
【解析】在等差數列{an}中,由a3+a4+a5=12,可得3a4=12,即a4=4,所以a1+a7=2a4=8.故選C.
2

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