資源簡介

1.2.2　等差數列與一次函數
【學習目標】
1.熟悉等差數列的相關性質,并能夠靈活應用該知識進行運算.(邏輯推理、數學運算)
2.理解等差數列的通項公式就是一個定義域為全體正整數的一次函數.(數學抽象、直觀想象)
3.通過函數的引入增強學生運用等差數列公式解決問題的能力.(邏輯推理、數學運算)
4.掌握等差數列的判定方法.(數學抽象、邏輯推理)
【自主預習】
預學憶思
1.等差數列中的奇數項、偶數項是否分別構成等差數列 若構成等差數列,則公差是多少
【答案】是.公差為原來的2倍.
2.等差數列去掉前面若干項后,剩下的項是否還構成等差數列
【答案】是.改變了首項,公差不變.
3.在等差數列{an}中,若m,n,p,q,…成等差數列,則am,an,ap,aq,…也成等差數列嗎 若成等差數列,則公差是多少
【答案】成等差數列,若{an}的公差為d,則am,an,ap,aq,…的公差為(n-m)d.
4.由等差數列的通項公式an=a1+(n-1)d可得,an=dn+(a1-d),那么這個等差數列的圖象與一次函數y=dx+(a1-d)(其中d≠0)圖象之間有什么關系
【答案】等差數列an=dn+(a1-d)的圖象就是一次函數y=dx+(a1-d)圖象的一個子集,是直線y=dx+(a1-d)上的均勻分布的一群孤立的點.
5.在等差數列{an}中,若an=3n+18,你能知道該數列的單調性嗎 如何判斷
【答案】能.若已知等差數列的通項公式為an=dn+a,可以通過n的系數判斷,若d>0,數列單調遞增,反之單調遞減.故數列{an}是遞增數列.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在等差數列{an}中,必有a10=a1+a9. (　　)
(2)若等差數列{an}的公差d>0,則{|an|}是遞增數列. (　　)
(3)若等差數列{an}的公差d<0,則{an+nd}是遞減數列. (　　)
(4)若數列a1,a3,a5,…和a2,a4,a6…都是公差為d的等差數列,則a1,a2,a3…也是等差數列. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.在等差數列{an}中,a10=18,a2=2,則公差d=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1　 B.2 C.4　 D.6
【答案】B
【解析】由題意知a10-a2=8d,即8d=16,解得d=2.
3.若數列{an}是等差數列,且an=an2+n,則實數a=　　　　.
【答案】0
【解析】∵{an}是等差數列,∴an+1-an=常數,
∴[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1=常數,∴2a=0,即a=0.
4.在等差數列-5,-3,-2,-,…的每相鄰兩項間插入一個數,使之成為一個新的等差數列{an},則新數列的通項公式為an=　　　　.
【答案】n-
【解析】新數列的公差d=×-3+5=,∴an=-5+(n-1)·=n-.
【合作探究】
探究1：等差數列與一次函數的關系
情境設置
　　問題1:等差數列的圖象是直線嗎
【答案】不是,等差數列的圖象由相應函數圖象上橫坐標為正整數n的孤立點(n,an)組成.
問題2:直線y=dx+(a1-d)的單調性如何判斷 等差數列{an}的單調性又如何判斷
【答案】當d>0時,直線y=dx+(a1-d)從左至右上升,等差數列{an}遞增;
當d<0時,直線y=dx+(a1-d)從左至右下降,等差數列{an}遞減;
當d=0時,y=a1為水平方向的直線,數列{an}為常數列.
新知生成
　　等差數列與一次函數的關系
(1)對于一般的等差數列{an},其通項公式為an=a1+(n-1)d,將其中的正整數自變量n換成實數自變量x,得到y=dx+(a1-d).
(2)當d≠0時,y是一次函數(其中一次項系數為等差數列的公差d);當d=0時,y=a1(a1為常數),這兩種情形的函數圖象都是直線.
(3)等差數列的圖象由相應函數圖象上橫坐標為正整數n的孤立點(n,an)組成.
當d>0時,直線y=dx+(a1-d)從左至右上升,等差數列{an}遞增;
當d<0時,直線y=dx+(a1-d)從左至右下降,等差數列{an}遞減;
當d=0時,y=a1為水平方向的直線,數列{an}為常數列.
新知運用
例1　已知(3,5),(7,13)是等差數列{an}的圖象上的兩點.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)畫出數列{an}的圖象;
(3)判斷數列{an}的單調性.
【解析】(1)設首項為a1,公差為d,由已知得解得
因此an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)等差數列{an}的圖象如圖所示.
(3)因為d=2>0,所以數列{an}為遞增數列.
【方法總結】　(1)等差數列的圖象是一些孤立的點,這些點在一條直線上.(2)單調性可以根據公差的符號判斷.
鞏固訓練
已知(5,11),(8,5)是等差數列{an}的圖象上的兩點.
(1)求等差數列{an}的通項公式;
(2)畫出等差數列{an}的圖象;
(3)判斷等差數列{an}的單調性.
【解析】設數列{an}的公差為d,由題意知a5=11,a8=5,即解得
故an=19+(n-1)×(-2)=-2n+21.
(2)等差數列{an}的圖象如圖所示.
(3)因為d=-2<0,所以數列{an}為遞減數列.
探究2：等差數列的判定與證明
情境設置
　　問題1:對于給定的等差數列{an},從第二項起的每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項和后一項的等差中項嗎
【答案】是.根據等差數列的概念知an+1-an=an-an-1(n≥2),即an=(n≥2).
再由等差中項的概念知,對于給定的等差數列{an},從第二項起的每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項和后一項的等差中項.
問題2:問題1的結論可以給我們什么樣的啟示
【答案】可以用等差中項的定義來證明一個數列是等差數列,即證明:2an+1=an+an+2.
問題3:若數列{an}的通項公式為an=kn+b,則該數列是等差數列嗎
【答案】是.因為an+1-an=k(n+1)-kn=k,所以數列{an}是等差數列.
新知生成
1.等差數列的判定方法有以下三種:
(1)定義法:an+1-an=d(常數)(n∈N+) {an}為等差數列;
(2)等差中項法:2an+1=an+an+2(n∈N+) {an}為等差數列;
(3)通項公式法:an=an+b(a,b是常數,n∈N+) {an}為等差數列.
2.要證明一個數列不是等差數列,只要證明其中特定三項(如前三項a1,a2,a3)不是等差數列即可.
新知運用
例2　已知數列{an}滿足an+1=,且a1=3(n∈N+).
(1)證明:數列是等差數列.
(2)求數列{an}的通項公式.
【解析】(1)由==
===+,
得-=,n∈N+,
故數列是等差數列.
(2)由(1)知=+(n-1)×=,
所以an=,n∈N+.
【方法總結】等差數列的判定與證明的關鍵是根據題干給出的相關條件,選擇合適的判定方法.
鞏固訓練
　　在數列{an}中,a1=,an-an+1=2anan+1.
(1)證明:數列是等差數列.
(2)求數列{an}的通項公式.
【解析】(1)因為=2,-===2,
所以數列是以2為首項,2為公差的等差數列.
(2)由(1)知,=+2(n-1)=2n,所以an=.
探究3：an=am+(n-m)d的應用
情境設置
　　問題:已知{an}是等差數列,a3=5,d=2,若不求首項,你能求出數列{an}的通項公式嗎
【答案】能.由定義可知a3=a1+2d,an=a1+(n-1)d,兩式相減得an-a3=(n-3)d,即an=a3+(n-3)d.
新知生成
通項公式的推廣公式:an=am+(n-m)d(n,m∈N+) d=(n≠m).
新知運用
例3　在等差數列{an}中,已知a2=5,a8=17,求數列的公差及通項公式.
【解析】因為a8=a2+(8-2)d,所以17=5+6d,解得d=2.
又因為an=a2+(n-2)d,所以an=5+(n-2)×2=2n+1,n∈N+.
【方法總結】靈活利用等差數列的性質,可以減少運算.令m=1,an=am+(n-m)d即變為an=a1+(n-1)d,可以減少記憶負擔.
鞏固訓練
已知{bn}為等差數列,若b3=-2,b10=12,則b8=　　　　.
【答案】8
【解析】(法一)∵{bn}為等差數列,∴可設其公差為d,則d===2,
∴bn=b3+(n-3)d=2n-8,
∴b8=2×8-8=8.
(法二)由=,得b8=×5+(-2)=2×5+(-2)=8.
探究4：由等差數列構造新等差數列
情境設置
　　問題1:若等差數列{an}為1,3,5,7,…,2n-1,則數列{an+2},{2an}是等差數列嗎
【答案】因為等差數列的通項為an=2n-1,則an+2=2n-1+2=2n+1,2an=2(2n-1)=4n-2,可判斷數列{an+2},{2an}都是等差數列.
問題2:一般地,若{an}為等差數列,則{an+c},{can}也是等差數列,你還知道等差數列的其他性質嗎
【答案】若{an},{bn}分別是公差為d,d'的等差數列,則有
數列 結論
{c+an} 公差為d的等差數列(c為任一常數)
{c·an} 公差為cd的等差數列(c為任一常數)
{an+an+k} 公差為2d的等差數列(k為常數,k∈N+)
{pan+qbn} 公差為pd+qd'的等差數列(p,q為常數)
新知生成
1.若{an},{bn}均為等差數列,且公差分別為d1,d2,則數列{pan},{an+q},{an+bn},{an-bn}也為等差數列,且公差分別為pd1,d1,d1+d2,d1-d2.
2.在等差數列中,按順序等距離取出若干項也構成一個等差數列,即an,an+m,an+2m,…為等差數列,公差為md.
新知運用
例4　(1)設數列{an},{bn}都是等差數列.若a1+b1=7,a3+b3=21,則a5+b5=　　　　;
(2)已知公差為d的等差數列a1,a2,a3,…,若重新組成的數列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…也是等差數列,則它的公差為　　　　.
【答案】(1)35　(2)2d
【解析】(1)因為數列{an},{bn}都是等差數列,所以數列{an+bn}也是等差數列,故由等差中項的性質得,(a5+b5)+(a1+b1)=2(a3+b3),即a5+b5+7=2×21,解得a5+b5=35.
(2)由題意得,a1+a4=2a1+3d,a2+a5=2a1+5d,a3+a6=2a1+7d,…,an+an+3=2a1+(2n+1)d.
令bn=an+an+3,則bn+1-bn=[2a1+(2n+3)d]-[2a1+(2n+1)d]=2d,
因此等差數列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…的公差為2d.
【方法總結】注意等差數列與一次函數之間的關系,等差數列的性質與一次函數性質之間的聯系是運用等差數列性質解題的關鍵.
鞏固訓練
1.下列說法中正確的有(　　).
①若a,b,c成等差數列,則a2,b2,c2一定成等差數列;
②若a,b,c成等差數列,則2a,2b,2c可能成等差數列;
③若a,b,c成等差數列,則ka+2,kb+2,kc+2一定成等差數列;
④若a,b,c成等差數列,則,,可能成等差數列.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
【答案】B
【解析】對于①,取a=1,b=2,c=3,則a2=1,b2=4,c2=9,故①錯誤;
對于②,a=b=c 2a=2b=2c,故②正確;
對于③,∵a,b,c成等差數列,∴a+c=2b,
∴(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=k·2b+4=2(kb+2),故③正確;
對于④,a=b=c≠0 ==,故④正確.
綜上可知選B.
2.已知數列{an}滿足=+4,且a1=1,an>0,則an=　　　　.
【答案】,n∈N+
【解析】∵-=4,
∴{}是等差數列,且首項=1,公差d=4,
∴=1+(n-1)×4=4n-3.
又∵an>0,∴an=,n∈N+.
【隨堂檢測】
1.在等差數列{an}中,已知a3=10,a8=-20,則公差d=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.-6 C.4 D.-3
【答案】B
【解析】由等差數列的性質得a8-a3=(8-3)d=5d,則d==-6.
2.在公差為d的等差數列{an}中,“d>1”是“{an}是遞增數列”的(　　).
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】若d>1,則 n∈N+,an+1-an=d>1>0,則{an}是遞增數列;若{an}是遞增數列,則 n∈N+,an+1-an=d>0,推不出d>1.則“d>1”是“{an}是遞增數列”的充分不必要條件,故選A.
3.已知數列{an},{bn}為等差數列,且公差分別為d1=2,d2=1,則數列{2an-3bn}的公差為(　　).
A.7 B.5 C.3 D.1
【答案】D
【解析】{2an-3bn}的公差為2d1-3d2=4-3=1.
4.已知數列是等差數列,且a3=2,a15=30,求a9.
【解析】令bn=,由題意可知b3==,b15==2,則等差數列{bn}的公差d==,則b9=b3+(9-3)d=,則a9=9b9=12.
21.2.2　等差數列與一次函數
【學習目標】
1.熟悉等差數列的相關性質,并能夠靈活應用該知識進行運算.(邏輯推理、數學運算)
2.理解等差數列的通項公式就是一個定義域為全體正整數的一次函數.(數學抽象、直觀想象)
3.通過函數的引入增強學生運用等差數列公式解決問題的能力.(邏輯推理、數學運算)
4.掌握等差數列的判定方法.(數學抽象、邏輯推理)
【自主預習】
預學憶思
1.等差數列中的奇數項、偶數項是否分別構成等差數列 若構成等差數列,則公差是多少
2.等差數列去掉前面若干項后,剩下的項是否還構成等差數列
3.在等差數列{an}中,若m,n,p,q,…成等差數列,則am,an,ap,aq,…也成等差數列嗎 若成等差數列,則公差是多少
4.由等差數列的通項公式an=a1+(n-1)d可得,an=dn+(a1-d),那么這個等差數列的圖象與一次函數y=dx+(a1-d)(其中d≠0)圖象之間有什么關系
5.在等差數列{an}中,若an=3n+18,你能知道該數列的單調性嗎 如何判斷
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在等差數列{an}中,必有a10=a1+a9. (　　)
(2)若等差數列{an}的公差d>0,則{|an|}是遞增數列. (　　)
(3)若等差數列{an}的公差d<0,則{an+nd}是遞減數列. (　　)
(4)若數列a1,a3,a5,…和a2,a4,a6…都是公差為d的等差數列,則a1,a2,a3…也是等差數列. (　　)
2.在等差數列{an}中,a10=18,a2=2,則公差d=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1　 B.2 C.4　 D.6
3.若數列{an}是等差數列,且an=an2+n,則實數a=　　　　.
4.在等差數列-5,-3,-2,-,…的每相鄰兩項間插入一個數,使之成為一個新的等差數列{an},則新數列的通項公式為an=　　　　.
【合作探究】
探究1：等差數列與一次函數的關系
情境設置
　　問題1:等差數列的圖象是直線嗎
問題2:直線y=dx+(a1-d)的單調性如何判斷 等差數列{an}的單調性又如何判斷
新知生成
　　等差數列與一次函數的關系
(1)對于一般的等差數列{an},其通項公式為an=a1+(n-1)d,將其中的正整數自變量n換成實數自變量x,得到y=dx+(a1-d).
(2)當d≠0時,y是一次函數(其中一次項系數為等差數列的公差d);當d=0時,y=a1(a1為常數),這兩種情形的函數圖象都是直線.
(3)等差數列的圖象由相應函數圖象上橫坐標為正整數n的孤立點(n,an)組成.
當d>0時,直線y=dx+(a1-d)從左至右上升,等差數列{an}遞增;
當d<0時,直線y=dx+(a1-d)從左至右下降,等差數列{an}遞減;
當d=0時,y=a1為水平方向的直線,數列{an}為常數列.
新知運用
例1　已知(3,5),(7,13)是等差數列{an}的圖象上的兩點.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)畫出數列{an}的圖象;
(3)判斷數列{an}的單調性.
【方法總結】　(1)等差數列的圖象是一些孤立的點,這些點在一條直線上.(2)單調性可以根據公差的符號判斷.
鞏固訓練
已知(5,11),(8,5)是等差數列{an}的圖象上的兩點.
(1)求等差數列{an}的通項公式;
(2)畫出等差數列{an}的圖象;
(3)判斷等差數列{an}的單調性.
探究2：等差數列的判定與證明
情境設置
　　問題1:對于給定的等差數列{an},從第二項起的每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項和后一項的等差中項嗎
問題2:問題1的結論可以給我們什么樣的啟示
問題3:若數列{an}的通項公式為an=kn+b,則該數列是等差數列嗎
新知生成
1.等差數列的判定方法有以下三種:
(1)定義法:an+1-an=d(常數)(n∈N+) {an}為等差數列;
(2)等差中項法:2an+1=an+an+2(n∈N+) {an}為等差數列;
(3)通項公式法:an=an+b(a,b是常數,n∈N+) {an}為等差數列.
2.要證明一個數列不是等差數列,只要證明其中特定三項(如前三項a1,a2,a3)不是等差數列即可.
新知運用
例2　已知數列{an}滿足an+1=,且a1=3(n∈N+).
(1)證明:數列是等差數列.
(2)求數列{an}的通項公式.
【方法總結】等差數列的判定與證明的關鍵是根據題干給出的相關條件,選擇合適的判定方法.
鞏固訓練
　　在數列{an}中,a1=,an-an+1=2anan+1.
(1)證明:數列是等差數列.
(2)求數列{an}的通項公式.
探究3：an=am+(n-m)d的應用
情境設置
　　問題:已知{an}是等差數列,a3=5,d=2,若不求首項,你能求出數列{an}的通項公式嗎
新知生成
通項公式的推廣公式:an=am+(n-m)d(n,m∈N+) d=(n≠m).
新知運用
例3　在等差數列{an}中,已知a2=5,a8=17,求數列的公差及通項公式.
【方法總結】靈活利用等差數列的性質,可以減少運算.令m=1,an=am+(n-m)d即變為an=a1+(n-1)d,可以減少記憶負擔.
鞏固訓練
已知{bn}為等差數列,若b3=-2,b10=12,則b8=　　　　.
探究4：由等差數列構造新等差數列
情境設置
　　問題1:若等差數列{an}為1,3,5,7,…,2n-1,則數列{an+2},{2an}是等差數列嗎
問題2:一般地,若{an}為等差數列,則{an+c},{can}也是等差數列,你還知道等差數列的其他性質嗎
新知生成
1.若{an},{bn}均為等差數列,且公差分別為d1,d2,則數列{pan},{an+q},{an+bn},{an-bn}也為等差數列,且公差分別為pd1,d1,d1+d2,d1-d2.
2.在等差數列中,按順序等距離取出若干項也構成一個等差數列,即an,an+m,an+2m,…為等差數列,公差為md.
新知運用
例4　(1)設數列{an},{bn}都是等差數列.若a1+b1=7,a3+b3=21,則a5+b5=　　　　;
(2)已知公差為d的等差數列a1,a2,a3,…,若重新組成的數列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…也是等差數列,則它的公差為　　　　.
【方法總結】注意等差數列與一次函數之間的關系,等差數列的性質與一次函數性質之間的聯系是運用等差數列性質解題的關鍵.
鞏固訓練
1.下列說法中正確的有(　　).
①若a,b,c成等差數列,則a2,b2,c2一定成等差數列;
②若a,b,c成等差數列,則2a,2b,2c可能成等差數列;
③若a,b,c成等差數列,則ka+2,kb+2,kc+2一定成等差數列;
④若a,b,c成等差數列,則,,可能成等差數列.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
2.已知數列{an}滿足=+4,且a1=1,an>0,則an=　　　　.
【隨堂檢測】
1.在等差數列{an}中,已知a3=10,a8=-20,則公差d=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.-6 C.4 D.-3
2.在公差為d的等差數列{an}中,“d>1”是“{an}是遞增數列”的(　　).
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3.已知數列{an},{bn}為等差數列,且公差分別為d1=2,d2=1,則數列{2an-3bn}的公差為(　　).
A.7 B.5 C.3 D.1
4.已知數列是等差數列,且a3=2,a15=30,求a9.
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