資源簡介

1.2.3　課時1　等差數列的前n項和公式
【學習目標】
1.了解等差數列前n項和公式的推導過程.(邏輯推理、數學運算)
2.掌握等差數列前n項和的公式并會應用.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.閱讀教材,高斯是如何快速求1+2+3+…+100的和的 他抓住了問題的什么特征
2.等差數列的前n項和公式是什么 它與什么量有關
3.等差數列的通項公式與等差數列的前n項和公式共涉及幾個量 如何求這些量
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)已知等差數列的首項、公差,可求S10. (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)已知等差數列的首項、末項a17,可求S17. (　　)
(3)若等差數列{an}的前n項和為Sn,則S10+S20=S30. (　　)
2.若在等差數列{an}中,a1=1,d=1,則Sn=(　　).
A.n B.n(n+1)
C.n(n-1) D.
3.已知在等差數列{an}中,S10=120,則a1+a10=(　　).
A.10 B.12 C.20 D.24
4.已知{an}是等差數列,a1=10,前10項和S10=70,則其公差d=　　　　.
【合作探究】
探究1：等差數列的前n項和公式
情境設置
　　泰姬陵坐落于印度古都阿格拉,它宏偉壯觀,純白大理石砌建而成的主體建筑令人心醉神迷.傳說陵寢中有一個三角形圖案,以相同大小的寶石鑲飾而成,共有100層,奢靡程度可見一斑.
　　問題1:上述情境的圖案中,第1層到第21層一共有多少顆寶石 你能快速地求出嗎
問題2:你能得出一般的等差數列的前n項和公式嗎
新知生成
等差數列前n項和公式為Sn==na1+,其推導方法是倒序相加法.
新知運用
例1　在等差數列{an}中,
(1)已知a6=10,S5=5,求a8和S10;
(2)已知a1=4,S8=172,求a8和d.
【方法總結】等差數列中的基本計算
(1)利用基本量求值:
等差數列的通項公式與前n項和公式中有五個量a1,d,n,an和Sn,這五個量可以“知三求二”.一般利用公式列出關于基本量a1和d的方程組,解出a1和d,便可解決問題.解題時注意整體代換思想的應用.
(2)結合等差數列的性質解題:
等差數列的常用性質:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),則am+an=ap+aq,常與求和公式Sn=結合使用.
鞏固訓練
已知在等差數列{an}中,
(1)a1=1,a4=7,求S9;
(2)a1=,an=-,Sn=-5,求n和d.
探究2：利用等差數列前n項和公式判斷等差數列
情境設置
　　已知等差數列{an}的公差為d,前n項和為Sn.
問題:從函數的觀點分析,Sn關于n的函數具有什么特點
新知生成
已知等差數列{an}的前n項和為Sn,公差為d,則Sn=An2+Bn,其中A=,B=a1-.
新知運用
例2　若數列{an}的前n項和Sn=2n2-3n-1,求數列{an}的通項公式,并判斷數列{an}是否為等差數列.若是,請證明;若不是,請說明理由.
【方法總結】由Sn求通項公式an的步驟
(1)令n=1,則a1=S1,求得a1.
(2)令n≥2,則an=Sn-Sn-1.
(3)驗證a1與an的關系:
①若a1適合an,則an=Sn-Sn-1;
②若a1不適合an,則an=
鞏固訓練
1.已知數列{an}為等差數列,它的前n項和為Sn,若Sn=(n+1)2+λ,則λ的值是　　　　.
2.已知數列{an}的前n項和Sn=n2+n-1,求數列{an}的通項公式,并判斷它是不是等差數列.
探究3：求數列{|an|}的前n項和
情境設置
　　問題:若an=16-3n,如何求數列{|an|}的前40項的和S40
新知生成
根據通項公式判斷數列{an}是先正后負,還是先負后正,在正、負分界點處分為兩段,分別去掉絕對值符號,轉化為等差數列的求和問題.
新知運用
例3　若等差數列{an}的首項a1=13,d=-4,記Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.
【方法總結】已知等差數列{an},求{|an|}的前n項和的步驟:
(1)確定{an}的通項公式;
(2)根據通項公式確定數列{an}中項的符號,即判斷數列{an}是先負后正,還是先正后負;
(3)去掉數列{|an|}中各項的絕對值,轉化為{an}的前n項和求解,轉化過程中有時需添加一部分項,再利用數列{an}的前n項和公式求解;
(4)將{|an|}的前n項和寫成分段函數的形式.
鞏固訓練
　　已知等差數列{an}中,Sn為數列{an}的前n項和,若S2=16,S4=24,求數列{|an|}的前n項和Tn.
【隨堂檢測】
1.已知等差數列{an}的前9項和為27,a10=8,則a100=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.100 B.99 C.98 D.97
2.已知在等差數列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,則此數列的前20項和為(　　).
A.160 B.180 C.200 D.220
3.若數列{an}的前n項和Sn=n2+n,則它的通項公式是an=　　　　.
4.已知在等差數列{an}中,
(1)a1=,d=-,Sn=-15,求n;
(2)a1=1,an=-512,Sn=-1022,求d.
21.2.3　課時1　等差數列的前n項和公式
【學習目標】
1.了解等差數列前n項和公式的推導過程.(邏輯推理、數學運算)
2.掌握等差數列前n項和的公式并會應用.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.閱讀教材,高斯是如何快速求1+2+3+…+100的和的 他抓住了問題的什么特征
【答案】高斯的計算方法:1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5050.高斯抓住了與首、末兩項“等距離”的兩項之和等于首項與末項的和這個特征.
2.等差數列的前n項和公式是什么 它與什么量有關
【答案】等差數列的前n項和公式Sn=na1+d與首項a1、公差d和項數n這三個量有關;公式Sn=與首項a1、末項an和項數n這三個量有關.
3.等差數列的通項公式與等差數列的前n項和公式共涉及幾個量 如何求這些量
【答案】這些公式共涉及5個量,即a1,d,n,an,Sn,只需知道其中的3個量就可以通過解方程組求出另外的2個量.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)已知等差數列的首項、公差,可求S10. (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)已知等差數列的首項、末項a17,可求S17. (　　)
(3)若等差數列{an}的前n項和為Sn,則S10+S20=S30. (　　)
【答案】(1)√　(2)√　(3)×
2.若在等差數列{an}中,a1=1,d=1,則Sn=(　　).
A.n B.n(n+1)
C.n(n-1) D.
【答案】D
【解析】Sn=na1+d=n+==(n∈N+),故選D.
3.已知在等差數列{an}中,S10=120,則a1+a10=(　　).
A.10 B.12 C.20 D.24
【答案】D
【解析】由S10==120,得a1+a10=24.
4.已知{an}是等差數列,a1=10,前10項和S10=70,則其公差d=　　　　.
【答案】-
【解析】S10=10a1+d=70,又a1=10,所以d=-.
【合作探究】
探究1：等差數列的前n項和公式
情境設置
　　泰姬陵坐落于印度古都阿格拉,它宏偉壯觀,純白大理石砌建而成的主體建筑令人心醉神迷.傳說陵寢中有一個三角形圖案,以相同大小的寶石鑲飾而成,共有100層,奢靡程度可見一斑.
　　問題1:上述情境的圖案中,第1層到第21層一共有多少顆寶石 你能快速地求出嗎
【答案】
S21==231.
問題2:你能得出一般的等差數列的前n項和公式嗎
【答案】設Sn是等差數列{an}的前n項和.
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d],
Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1
=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-2)d]+[an-(n-1)d],
∴2Sn=(a1+an)·n,
由此可得等差數列{an}的前n項和公式為Sn=.
新知生成
等差數列前n項和公式為Sn==na1+,其推導方法是倒序相加法.
新知運用
例1　在等差數列{an}中,
(1)已知a6=10,S5=5,求a8和S10;
(2)已知a1=4,S8=172,求a8和d.
【解析】(1)由題意知
解得
故a8=a6+2d=10+2×3=16,
S10=10a1+d=10×(-5)+5×9×3=85.
(2)由已知得S8===172,
解得a8=39,
又∵a8=4+(8-1)d=39,
∴d=5.
【方法總結】等差數列中的基本計算
(1)利用基本量求值:
等差數列的通項公式與前n項和公式中有五個量a1,d,n,an和Sn,這五個量可以“知三求二”.一般利用公式列出關于基本量a1和d的方程組,解出a1和d,便可解決問題.解題時注意整體代換思想的應用.
(2)結合等差數列的性質解題:
等差數列的常用性質:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),則am+an=ap+aq,常與求和公式Sn=結合使用.
鞏固訓練
已知在等差數列{an}中,
(1)a1=1,a4=7,求S9;
(2)a1=,an=-,Sn=-5,求n和d.
【解析】(1)設等差數列{an}的公差為d,則a4=a1+3d=1+3d=7,所以d=2.故S9=9a1+d=9+×2=81.
(2)由題意得,Sn===-5,解得n=15.
又a15=+(15-1)d=-,所以d=-.
探究2：利用等差數列前n項和公式判斷等差數列
情境設置
　　已知等差數列{an}的公差為d,前n項和為Sn.
問題:從函數的觀點分析,Sn關于n的函數具有什么特點
【答案】Sn=na1+d=n2+a1-n=An2+Bn,其中A=,B=a1-,
故Sn關于n的函數解析式是一個常數項為0的二次函數解析式.
新知生成
已知等差數列{an}的前n項和為Sn,公差為d,則Sn=An2+Bn,其中A=,B=a1-.
新知運用
例2　若數列{an}的前n項和Sn=2n2-3n-1,求數列{an}的通項公式,并判斷數列{an}是否為等差數列.若是,請證明;若不是,請說明理由.
【解析】∵Sn=2n2-3n-1,　①
∴當n=1時,a1=S1=2-3-1=-2,
當n≥2時,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)-1,　②
由①-②得an=Sn-Sn-1=2n2-3n-1-[2(n-1)2-3(n-1)-1]=4n-5(n≥2),
經檢驗,當n=1時,an=4n-5不成立,
故an=
故數列{an}不是等差數列,數列{an}從第二項起是以4為公差的等差數列.
【方法總結】由Sn求通項公式an的步驟
(1)令n=1,則a1=S1,求得a1.
(2)令n≥2,則an=Sn-Sn-1.
(3)驗證a1與an的關系:
①若a1適合an,則an=Sn-Sn-1;
②若a1不適合an,則an=
鞏固訓練
1.已知數列{an}為等差數列,它的前n項和為Sn,若Sn=(n+1)2+λ,則λ的值是　　　　.
【答案】-1
【解析】∵等差數列前n項和Sn的形式為Sn=An2+Bn,∴Sn=n2+2n+1+λ,即1+λ=0,∴λ=-1.
2.已知數列{an}的前n項和Sn=n2+n-1,求數列{an}的通項公式,并判斷它是不是等差數列.
【解析】當n=1時,a1=S1=1;
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(n2+n-1)-[(n-1)2+(n-1)-1]=2n.
又a1=1不滿足an=2n,
∴數列{an}的通項公式是an=
∵a2-a1=4-1=3≠2,∴{an}不是等差數列,數列{an}從第二項起是以2為公差的等差數列.
探究3：求數列{|an|}的前n項和
情境設置
　　問題:若an=16-3n,如何求數列{|an|}的前40項的和S40
【答案】數列{an}的前5項為正,第6項開始為負,
所以S40=a1+a2+a3+a4+a5-(a6+a7+…+a40)=2(a1+a2+a3+a4+a5)-(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+…+a40)=2×-=70+1820=1890.
新知生成
根據通項公式判斷數列{an}是先正后負,還是先負后正,在正、負分界點處分為兩段,分別去掉絕對值符號,轉化為等差數列的求和問題.
新知運用
例3　若等差數列{an}的首項a1=13,d=-4,記Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.
【解析】∵a1=13,d=-4,∴an=17-4n.
當n≤4時,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an
=na1+d=13n+×(-4)=15n-2n2;
當n≥5時,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=(a1+a2+a3+a4)-(a5+a6+…+an)
=S4-(Sn-S4)=2S4-Sn
=2×-(15n-2n2)=2n2-15n+56.
∴Tn=
【方法總結】已知等差數列{an},求{|an|}的前n項和的步驟:
(1)確定{an}的通項公式;
(2)根據通項公式確定數列{an}中項的符號,即判斷數列{an}是先負后正,還是先正后負;
(3)去掉數列{|an|}中各項的絕對值,轉化為{an}的前n項和求解,轉化過程中有時需添加一部分項,再利用數列{an}的前n項和公式求解;
(4)將{|an|}的前n項和寫成分段函數的形式.
鞏固訓練
　　已知等差數列{an}中,Sn為數列{an}的前n項和,若S2=16,S4=24,求數列{|an|}的前n項和Tn.
【解析】設等差數列{an}的首項為a1,公差為d,
由S2=16,S4=24,得
即解得
所以等差數列{an}的通項公式為an=11-2n(n∈N+).
由an≥0,解得n≤5,則
①當n≤5時,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+10n.
②當n≥6時,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an=2S5-Sn=2×(-52+10×5)-(-n2+10n)=n2-10n+50.
故Tn=
【隨堂檢測】
1.已知等差數列{an}的前9項和為27,a10=8,則a100=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.100 B.99 C.98 D.97
【答案】C
【解析】∵{an}是等差數列,設其公差為d,∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.又∵a10=8,∴解得∴a100=a1+99d=-1+99×1=98.故選C.
2.已知在等差數列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,則此數列的前20項和為(　　).
A.160 B.180 C.200 D.220
【答案】B
【解析】∵a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,
∴a1+a20=a2+a19=a3+a18=18,∴S20==10×18=180.
3.若數列{an}的前n項和Sn=n2+n,則它的通項公式是an=　　　　.
【答案】2n(n∈N+)
【解析】當n=1時,a1=S1=1+1=2;
當n≥2且n∈N+時,an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n,經檢驗,n=1也適合該式.
故an=2n(n∈N+).
4.已知在等差數列{an}中,
(1)a1=,d=-,Sn=-15,求n;
(2)a1=1,an=-512,Sn=-1022,求d.
【解析】(1)由Sn=n·+-·=-15,整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去).
(2)由Sn===-1022,
解得n=4.又an=a1+(n-1)d,
即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.
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