資源簡介

1.2.3　課時2　等差數列前n項和公式的應用
【學習目標】
1.能夠利用等差數列前n項和的函數性質求其前n項和的最值.(數學抽象、邏輯推理、數學運算)
2.理解并應用等差數列前n項和的性質.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.在等差數列{an}中,當a1>0,d>0或a1<0,d<0時,Sn能否取得最值
【答案】當a1>0,d>0時,Sn的最小值為a1,無最大值;當a1<0,d<0時,Sn的最大值為a1,無最小值.
2.若數列{an}的通項公式為an=2n-37,則當n為何值時Sn取得最小值
【答案】∵an=2n-37,
∴an+1-an=2>0,
∴{an}為遞增數列.
令an=2n-37≥0,解得n≥18.5,
∴a18<0,a19>0,∴S18最小,
∴當n=18時,Sn取得最小值.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)若等差數列{an}的前n項和Sn=An2+Bn(A≠0),則其最大值或最小值一定在n=-時取得. (　　)
(2)若等差數列{an}的公差d>0,則{an}的前n項和一定有最小值. (　　)
(3)設等差數列{an}的前n項和為Sn,且Sp=Sq(p,q∈N+),則Sn在n=(p+q)處取得最大值或最小值. (　　)
(4)若兩個等差數列{an},{bn}的前n項和分別為An,Bn,則一定有=. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.(多選題)已知等差數列{an}是遞增數列,滿足a7=3a5,前n項和為Sn,則下列結論正確的是(　　).
A.d>0
B.a1<0
C.當n=5時,Sn最小
D.當Sn>0時,n的最小值為8
【答案】ABD
【解析】設等差數列{an}的公差為d.
因為a7=3a5,所以a1+6d=3(a1+4d),解得a1=-3d.
又由等差數列{an}是遞增數列,可知d>0,所以a1<0,故A,B正確.
因為Sn=n2+a1-n=n2-n,
所以由n=-=,可知當n=3或n=4時,Sn最小,故C錯誤.
令Sn=n2-n>0,解得n<0(舍去)或n>7,即當Sn>0時,n的最小值為8,故D正確.
故選ABD.
3.若等差數列{an}的前n項和Sn=n2-3n,則Sn的最小值為　　　　.
【答案】-2
【解析】由Sn=n2-3n=n-2-,可知當n=1或n=2時,Sn的最小值為-2.
4.已知數列{an}的通項公式為an=-n2+10n+11,則該數列前　　　　項的和最大.
【答案】10或11
【解析】令an≥0得-n2+10n+11≥0,
即n2-10n-11≤0,∴-1≤n≤11.
∵n∈N+,∴該數列前10項均為正數,第11項為0.
∴該數列前10或11項的和最大.
【合作探究】
探究1：等差數列前n項和的最值
情境設置
例1　在等差數列{an}中,a1=25,S8=S18,求前n項和Sn的最大值.
【解析】(法一)設等差數列{an}的公差為d,
因為S8=S18,a1=25,
所以8×25+d=18×25+d,
解得d=-2,
所以Sn=25n+×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169,
所以當n=13時,Sn有最大值,最大值為169.
(法二)同方法一,求出公差d=-2,
所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.
因為a1=25>0,
所以
解得12≤n≤13.
又因為n∈N+,
所以當n=13時,Sn有最大值,最大值為S13=13×25+×(-2)=169.
(法三)因為S8=S18,
所以a9+a10+…+a18=0,
由等差數列的性質得a13+a14=0,即a1+12d+a1+13d=0,解得d=-2<0,
所以a13>0,a14<0,
所以當n=13時,Sn有最大值,最大值為S13=13×25+×(-2)=169.
(法四)設Sn=An2+Bn.
因為S8=S18,a1=25,
所以二次函數圖象的對稱軸為直線x==13,且圖象開口向下,
所以當n=13時,Sn取得最大值.
　　由題意得
解得
所以Sn=-n2+26n,
所以S13=169,即Sn的最大值為169.
【方法總結】1.將Sn=na1+d=n2+a1-n配方,轉化為求二次函數的最值問題,借助函數的單調性來解決.
2.鄰項變號法
當a1>0,d<0時,滿足的項數n使Sn取最大值.
當a1<0,d>0時,滿足的項數n使Sn取最小值.
鞏固訓練
　　已知等差數列{an}的前n項和為Sn,a6+a8=6,S9-S6=3,則當Sn取得最大值時n的值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】D
【解析】由題意,等差數列{an}的前n項和為Sn,a6+a8=6,S9-S6=3,
根據等差數列的性質與等差數列的前n項和公式,
可得a6+a8=2a7=6,S9-S6=a7+a8+a9=3a8=3,
解得a7=3,a8=1,
則d=a8-a7=-2,
可求得等差數列{an}的通項公式為an=17-2n(n∈N+),
令an≥0,即17-2n≥0,解得n≤.
又由n∈N+,可得在等差數列{an}中,當1≤n≤8,n∈N+時,an>0;當n≥9,n∈N+時,an<0,
所以當Sn取得最大值時n的值為8,故選D.
探究2：等差數列前n項和的性質
情境設置
　　已知等差數列{an}的公差為d,前n項和為Sn.
問題1:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m具有什么特征 采用從特殊到一般的思想進行思考分析.
【答案】當m=2時,S2=a1+a2,S4-S2=a3+a4=a1+2d+a2+2d=(a1+a2)+4d,S6-S4=a5+a6=a1+4d+a2+4d=(a1+a2)+8d,所以S2,S4-S2,S6-S4成等差數列,公差為4d.
同理可得S2m-Sm=(a1+a2+…+a2m)-(a1+a2+…+am)=am+1+am+2+…+a2m=(a1+a2+…+am)+m2d,
S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+…+a3m=(a1+a2+…+am)+2m2d,
所以Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數列,公差為m2d.
問題2:an與S2n-1之間有什么等量關系 利用等差中項與等差數列的求和公式進行推導.
【答案】S2n-1==(2n-1)an.
問題3:S奇,S偶具有什么關系 對n分類討論.
【答案】若項數為2n,則S偶-S奇=a2+a4+…+a2n-a1-a3-…-a2n-1=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)=d+d+…+d=nd,===;
若項數為2n-1,則由等差數列的性質可知,a2+a2n-2=a1+a2n-1=…=2an,所以S偶=a2+a4+…+a2n-2=(a2+a2n-2)=·2an=(n-1)an,S奇=a1+a3+…+a2n-1=(a1+a2n-1)=·2an=nan,所以S奇-S偶=nan-(n-1)an=an(這里an=a中,a中是中間項),==.
問題4:數列是什么數列
【答案】已知數列{an}的公差為d,則Sn=na1+n(n-1)d,所以有=+a1-,=+a1-.因為-=+a1---a1-=,所以數列是首項為a1,公差為的等差數列.
新知生成
已知等差數列{an}的前n項和為Sn,公差為d.
1.數列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N+)也是等差數列,公差為m2d.
2.S2n-1=(2n-1)an,S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1).
3.當項數為偶數2n時,S偶-S奇=nd,S奇∶S偶=an∶an+1;當項數為奇數2n-1時,S奇-S偶=a中,S奇∶S偶=n∶(n-1).
4.設兩個等差數列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,則=.
5.若{an}是等差數列,則也是等差數列,其首項與{an}的首項相同,公差是{an}的公差的.
新知運用
例2　(1)已知等差數列{an}的前n項和為Sn,且S10=10,S20=30,則S30=　　　　;
(2)已知兩個等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn,且=,則使得為整數的正整數n的個數是　　　　;
(3)已知項數為奇數的等差數列{an},奇數項之和為44,偶數項之和為33,則該數列的項數為　　　　,中間項為　　　　.
【答案】(1)60　(2)5　(3)7　11
【解析】(1)∵S10,S20-S10,S30-S20成等差數列,且S10=10,S20=30,S20-S10=20,∴S30-30=20×2-10=30,∴S30=60.
(2)由等差數列前n項和的性質知,====7+,
∴當n=1,2,3,5,11時,為整數,
∴使得為整數的正整數n的個數是5.
(3)設等差數列{an}共有(2n+1)項,則奇數項有(n+1)項,偶數項有n項,中間項是第(n+1)項,即an+1,∴=====,解得n=3,∴項數為2n+1=7.
∵S奇=(n+1)an+1=44,∴an+1=11.
【方法總結】　(1)已知等差數列{an}的前n項和為Sn,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,S4m-S3m,…是等差數列;
(2)通過等差數列的前n項和與通項的關系即可求得的表達式.
鞏固訓練
1.已知等差數列{an}中,S3=3,S6=9,則S12=(　　).
A.12　　　　B.18　　　　C.24　　　　D.30
【答案】D
【解析】根據題意得,在等差數列{an}中,S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9,…也成等差數列,又由S3=3,S6=9,得S6-S3=6,則S9-S6=9,S12-S9=12,則S12=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=3+6+9+12=30.
2.已知{an}為等差數列,若a1+a2+a3=5,a7+a8+a9=10,則a19+a20+a21=　　　　.
【答案】20
【解析】(法一)設數列{an}的公差為d,則a7+a8+a9=a1+6d+a2+6d+a3+6d=5+18d=10,所以18d=5,故a19+a20+a21=a7+12d+a8+12d+a9+12d=10+36d=20.
(法二)由等差數列的性質,可知S3,S6-S3,S9-S6,…,S21-S18成等差數列,設此數列的公差為D,
　　則5+2D=10,所以D=,
所以a19+a20+a21=S21-S18=5+6D=5+15=20.
3.若一個等差數列前12項的和為354,前12項中偶數項的和與奇數項的和之比為32∶27,則該數列的公差為　　　.
【答案】5
【解析】設等差數列前12項中奇數項的和為S奇,偶數項的和為S偶,等差數列的公差為d.
由已知條件,得
解得
又S偶-S奇=6d,所以d==5.
【隨堂檢測】
1.若在等差數列中,a8>0,a4+a10<0,則數列{an}的前n項和Sn中最小的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.S4 B.S5 C.S6 D.S7
【答案】D
【解析】因為數列{an}是等差數列,所以a4+a10=2a7,
由a4+a10<0,得a7<0,
又a8>0,所以等差數列{an}的公差d>0,即等差數列{an}是遞增數列,且前7項均是負數,
所以前n項和Sn中最小的是S7.
2.設等差數列{an}的前n項和為Sn,若S4≥10,S5≤15,則a4的最大值為(　　).
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】因為S4=2(a2+a3)≥10,所以a2+a3≥5.又S5=5a3≤15,所以a3≤3.而a4=3a3-(a2+a3),故a4≤4,當且僅當a2=2,a3=3時等號成立,所以a4的最大值為4.故選C.
3.設等差數列{an}的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=(　　).
A.63 B.45 C.36 D.27
【答案】B
【解析】由{an}是等差數列,得S3,S6-S3,S9-S6為等差數列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),
得到S9-S6=2S6-3S3=45,故選B.
4.已知Sn是等差數列{an}的前n項和,若a1=-2,-=2,則=　　　　.
【答案】2018
【解析】∵Sn是等差數列{an}的前n項和,
∴是等差數列,設其公差為d.
∵-=2,∴2d=2,解得d=1.
∵a1=-2,∴=-2.
∴=-2+(n-1)×1=n-3(n∈N+).
∴=2018.
21.2.3　課時2　等差數列前n項和公式的應用
【學習目標】
1.能夠利用等差數列前n項和的函數性質求其前n項和的最值.(數學抽象、邏輯推理、數學運算)
2.理解并應用等差數列前n項和的性質.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.在等差數列{an}中,當a1>0,d>0或a1<0,d<0時,Sn能否取得最值
2.若數列{an}的通項公式為an=2n-37,則當n為何值時Sn取得最小值
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)若等差數列{an}的前n項和Sn=An2+Bn(A≠0),則其最大值或最小值一定在n=-時取得. (　　)
(2)若等差數列{an}的公差d>0,則{an}的前n項和一定有最小值. (　　)
(3)設等差數列{an}的前n項和為Sn,且Sp=Sq(p,q∈N+),則Sn在n=(p+q)處取得最大值或最小值. (　　)
(4)若兩個等差數列{an},{bn}的前n項和分別為An,Bn,則一定有=. (　　)
2.(多選題)已知等差數列{an}是遞增數列,滿足a7=3a5,前n項和為Sn,則下列結論正確的是(　　).
A.d>0
B.a1<0
C.當n=5時,Sn最小
D.當Sn>0時,n的最小值為8
3.若等差數列{an}的前n項和Sn=n2-3n,則Sn的最小值為　　　　.
4.已知數列{an}的通項公式為an=-n2+10n+11,則該數列前　　　　項的和最大.
【合作探究】
探究1：等差數列前n項和的最值
情境設置
例1　在等差數列{an}中,a1=25,S8=S18,求前n項和Sn的最大值.
【方法總結】1.將Sn=na1+d=n2+a1-n配方,轉化為求二次函數的最值問題,借助函數的單調性來解決.
2.鄰項變號法
當a1>0,d<0時,滿足的項數n使Sn取最大值.
當a1<0,d>0時,滿足的項數n使Sn取最小值.
鞏固訓練
　　已知等差數列{an}的前n項和為Sn,a6+a8=6,S9-S6=3,則當Sn取得最大值時n的值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.5 B.6 C.7 D.8
探究2：等差數列前n項和的性質
情境設置
　　已知等差數列{an}的公差為d,前n項和為Sn.
問題1:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m具有什么特征 采用從特殊到一般的思想進行思考分析.
問題2:an與S2n-1之間有什么等量關系 利用等差中項與等差數列的求和公式進行推導.
問題3:S奇,S偶具有什么關系 對n分類討論.
問題4:數列是什么數列
新知生成
已知等差數列{an}的前n項和為Sn,公差為d.
1.數列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N+)也是等差數列,公差為m2d.
2.S2n-1=(2n-1)an,S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1).
3.當項數為偶數2n時,S偶-S奇=nd,S奇∶S偶=an∶an+1;當項數為奇數2n-1時,S奇-S偶=a中,S奇∶S偶=n∶(n-1).
4.設兩個等差數列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,則=.
5.若{an}是等差數列,則也是等差數列,其首項與{an}的首項相同,公差是{an}的公差的.
新知運用
例2　(1)已知等差數列{an}的前n項和為Sn,且S10=10,S20=30,則S30=　　　　;
(2)已知兩個等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn,且=,則使得為整數的正整數n的個數是　　　　;
(3)已知項數為奇數的等差數列{an},奇數項之和為44,偶數項之和為33,則該數列的項數為　　　　,中間項為　　　　.
【方法總結】　(1)已知等差數列{an}的前n項和為Sn,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,S4m-S3m,…是等差數列;
(2)通過等差數列的前n項和與通項的關系即可求得的表達式.
鞏固訓練
1.已知等差數列{an}中,S3=3,S6=9,則S12=(　　).
A.12　　　　B.18　　　　C.24　　　　D.30
2.已知{an}為等差數列,若a1+a2+a3=5,a7+a8+a9=10,則a19+a20+a21=　　　　.
3.若一個等差數列前12項的和為354,前12項中偶數項的和與奇數項的和之比為32∶27,則該數列的公差為　　　.
【隨堂檢測】
1.若在等差數列中,a8>0,a4+a10<0,則數列{an}的前n項和Sn中最小的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.S4 B.S5 C.S6 D.S7
2.設等差數列{an}的前n項和為Sn,若S4≥10,S5≤15,則a4的最大值為(　　).
A.2 B.3 C.4 D.5
3.設等差數列{an}的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=(　　).
A.63 B.45 C.36 D.27
4.已知Sn是等差數列{an}的前n項和,若a1=-2,-=2,則=　　　　.
2

展開更多......

收起↑