資源簡介

1.3.1　等比數列及其通項公式
【學習目標】
1.能夠通過實際問題理解等比數列、公比的定義,掌握等比中項的概念并會應用.(數學抽象、邏輯推理)
2.掌握等比數列的通項公式并會應用.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.閱讀教材第22頁案例中的4個數列,類比等差數列的研究,你認為可以通過怎樣的運算發現以上數列的取值規律 你發現了什么規律
【答案】通過除法運算發現:從第2項起,每一項與它的前一項之比都等于同一常數.
2.等比數列的定義是什么
【答案】如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項之比都等于同一個不為0的常數,那么這個數列就叫作等比數列.
3.等比數列的公比q能否為零
【答案】不能.根據等比數列的定義,公比為每一項與前一項的比,即=q,若q=0,則an=0,所以數列中每一項都為零,所以an-1=0,這樣比值無意義,所以q≠0.
4.若c是a,b的等比中項,則c2=ab,反之成立嗎
【答案】不一定成立.在c2=ab中,若c=0,則a,b中至少有一個為0,此時三個數不成等比數列,則c不是a,b的等比中項;若a,b,c均為非零常數,反之也成立.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)若an+1=qan,n∈N+且q≠0,則{an}是等比數列. (　　)
(2)在等比數列{an}中,an=a1qn,n∈N+. (　　)
(3)常數列一定是等比數列. (　　)
(4)存在一個數列既是等差數列,又是等比數列. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.已知{an}是首項為2,公比為3的等比數列,則這個數列的通項公式為(　　).
A.an=2×3n+1 B.an=3×2n+1
C.an=2×3n-1 D.an=3×2n-1
【答案】C
【解析】由已知可得a1=2,q=3,
　　則數列{an}的通項公式為an=a1·qn-1=2×3n-1.
3.下列數列為等比數列的是(　　).
A.2,22,3×22,…
B.,,,…
C.S-1,(S-1)2,(S-1)3,…
D.0,0,0,…
【答案】B
【解析】結合等比數列的定義可知選項B正確.
4.已知{an}是等比數列,a2=2,a5=,則公比q=　　　　.
【答案】
【解析】∵a2=a1q=2,　①
a5=a1q4=,　②
∴②÷①得q3=,∴q=.
【合作探究】
探究1：等比數列的概念
情境設置
　　(1)《孫子算經》中載有“出門望堤”問題:“今有出門,望見九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雛,雛有九毛,毛有九色,問各幾何 ”
(2)《算學寶鑒》中有這樣一個問題:“一文(錢)日增一倍,倍至三十日,問計幾何 ”
(3)“諸葛統兵”問題:“諸葛統領八員將,每將又分八個營.每營里面排八陣,每陣先鋒有八人.每人旗頭俱八個,每個旗頭八隊成.每隊更該八個甲,每個甲頭八個兵.”
問題1:分別寫出這三個問題所涉及的數組.
【答案】(1)9,92,93,94,95,96,97,98.
(2)2,22,23,…,230.
(3)8,82,83,84,85,86,87,88.
問題2:觀察這三個問題,你能發現它們的共同特點嗎
【答案】對于數列(1),從第2項起,每一項與前一項的比都等于9;對于數列(2),從第2項起,每一項與前一項的比都等于2;對于數列(3),從第2項起,每一項與前一項的比都等于8.
也就是說,這些數列有一個共同的特點:從第2項起,每一項與前一項的比都等于同一個常數.
問題3:常數列是等差數列嗎 是等比數列嗎
【答案】是等差數列,但不一定是等比數列,如常數列0,0,0,….
問題4:是否存在既是等差數列又是等比數列的數列
【答案】存在,如數列3,3,3,…既是等差數列又是等比數列.
新知生成
　　等比數列的概念
一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項之比都等于同一個常數,那么這個數列稱為等比數列,這個常數叫作等比數列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0).
新知運用
例1　判斷下列數列是否是等比數列,如果是,寫出它的公比.
(1)1,,,,,…;
(2)10,10,10,10,10,…;
(3),2,3,4,…;
(4)1,0,1,0,1,0,…;
(5)1,-4,16,-64,256,….
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【解析】(1)不是等比數列;(2)是等比數列,公比為1;(3)是等比數列,公比為;(4)不是等比數列;(5)是等比數列,公比為-4.
【方法總結】如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數,那么這個數列是等比數列,否則,不是等比數列,且等比數列中任意一項不能為0(對于含參數的數列則需要分類討論).
鞏固訓練
　　以下數列中,能判定是等比數列的有(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
①數列1,2,6,18,…;②數列{an}中,已知=2,=2;③常數列a,a,…,a,…;④數列{an}中,=q(q≠0),其中n∈N+.
　　A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【答案】A
【解析】①數列不符合等比數列的定義,不是等比數列;
②前3項是等比數列,多于3項時,無法判定,故不能判定是等比數列;
③當a=0時,不是等比數列;
④該數列符合等比數列的定義,是等比數列.
探究2：等比數列的通項公式
情境設置
　　問題1:類比等差數列,如何推導等比數列的通項公式
【答案】(1)累乘法:
設在等比數列{an}中,=q(n∈N+,n≥2,q為非零常數),則=q,=q,…,=q,
將以上(n-1)個等式相乘,得··…·=qn-1,
整理得an=a1qn-1,
當n=1時,上面的式子也成立,
所以等比數列的通項公式為an=a1qn-1.
(2)歸納法:
若等比數列{an}的首項是a1,公比是q,則據其定義可得,
a2÷a1=q,即a2=a1·q,
a3÷a2=q,即a3=a2·q=a1·q2,
a4÷a3=q,即a4=a3·q=a1·q3,
…
由此歸納等比數列{an}的通項公式為an=a1qn-1.
問題2:你能由等差數列中的an=am+(n-m)d類比出等比數列中相似的性質嗎
【答案】類比可得an=amqn-m.由等比數列的定義可知an=a1qn-1,am=a1qm-1,兩式相除可得==q(n-1)-(m-1)=qn-m,即an=amqn-m(n,m∈N+).
新知生成
1.首項是a1,公比是q的等比數列的通項公式為an=a1qn-1(n∈N+,a1≠0,q≠0).
2.等比數列通項公式的推廣和變形:an=amqn-m.
新知運用
例2　已知在等比數列{an}中,
(1)a1=1,a4=8,求an;
(2)an=625,n=4,q=5,求a1;
(3)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
【解析】(1)因為a4=a1q3=8,a1=1,
所以8=q3,解得q=2,
所以an=a1qn-1=2n-1.
(2)a1===5.
(3)因為
所以由,得q=,從而a1=32.
又an=1,所以32×n-1=1,
即26-n=20,故n=6.
【方法總結】等比數列的通項公式涉及4個量a1,an,n,q,只要知道其中任意三個就能求出另外一個,在這4個量中,a1和q是等比數列的基本量,只要求出這2個基本量,問題便迎刃而解.
鞏固訓練
求下列等比數列{an}的通項公式.
(1)a1=-2,a3=-8.
(2)a1=5,且2an+1=-3an.
(3)a5=8,a7=2,an>0.
【解析】(1)∵a3=a1q2,∴q2=4,解得q=±2,
∴an=(-2)×2n-1=-2n或an=(-2)×(-2)n-1=(-2)n.
(2)∵q==-,且a1=5,∴an=5×-n-1.
(3)由a7=a5·q2,得q2===,解得q=±,
∵an>0,∴q=,
∴an=a5·qn-5=8×n-5=n-8.
探究3：等比中項
情境設置
　　問題:任意兩個不為零的數是否一定都有等比中項 若有,是否唯一
【答案】不一定,只有當兩個數同號,即兩個數之積大于零時,這兩個數才有等比中項且有兩個等比中項,這兩個等比中項互為相反數.
新知生成
在a與b中間插入數G,使a,G,b成等比數列,則稱G為a與b的等比中項,且G=±(ab>0).
新知運用
例3　(1)2與8的等比中項為　　　　;
(2)若1,a,5成等差數列,1,b,9成等比數列,則a+b=　　　　.
【答案】(1)±4　(2)0或6
【解析】(1)由題意得,2與8的等比中項為±=±4.
(2)因為1,a,5成等差數列,1,b,9成等比數列,
所以a==3,b=±=±3,
所以a+b的值為0或6.
【方法總結】　(1)由等比中項的定義可知= G2=ab G=±,所以只有a,b同號時,a,b的等比中項有兩個,a,b異號時,沒有等比中項.
(2)在一個等比數列中,從第二項起,每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項和后一項的等比中項.
(3)a,G,b成等比數列等價于G2=ab(ab>0).
鞏固訓練
1.已知a,b,c∈R,如果-1,a,b,c,-9成等比數列,那么(　　).
A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9
C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9
【答案】B
【解析】∵b2=(-1)×(-9)=9且b與首項-1同號,∴b=-3,
∵a,c必同號,∴ac=b2=9.
2.若b既是a和c的等差中項,又是a和c的等比中項,則數列a,b,c的公比為　　　　.
【答案】1
【解析】由題意可知2b=a+c,且b2=ac,
∴2=ac,整理得(a-c)2=0,
∴a=c=b,∴a,b,c的公比為1.
探究4：等比數列通項公式的性質
情境設置
　　問題:你能由等差數列中的“若m+n=k+l,m,n,k,l∈N+,則am+an=ak+al”類比出等比數列中相似的性質嗎
【答案】類比可得aman=akal,其中m+n=k+l,m,n,k,l∈N+.
推導過程:因為am=a1qm-1,an=a1qn-1,ak=a1qk-1,al=a1ql-1,
所以aman=a1qm-1·a1qn-1=qm+n-2,akal=a1qk-1·a1ql-1=qk+l-2,
因為m+n=k+l,所以aman=akal.
新知生成
　　設數列{an}為等比數列.
(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),則ak·al=am·an.
(2)若m,p,n成等差數列,則am,ap,an成等比數列.
注意點:(1)性質的推廣:若m+n+p=x+y+z,則amanap=axayaz;(2)該性質要求下標的和相等,且左右兩側項數相同;(3)在有窮等比數列中,與首、末兩項等距離的兩項之積都相等,即a1·an=a2·an-1=….
新知運用
例4　已知{an}為等比數列.
(1)若等比數列{an}滿足a2a4=,求a1a5;
(2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5.
【解析】(1)在等比數列{an}中,a2a4=,∴=a1a5=a2a4=,∴a1a5=.
(2)由等比中項的性質,得+2a3a5+=25,即(a3+a5)2=25,
∵an>0,∴a3+a5=5.
【方法總結】利用等比數列的性質解題的基本思路:(1)充分發揮項的“下標”的指導作用,分析等比數列項與項之間的關系,選擇恰當的性質解題.(2)在等比數列的有關運算中,常涉及次數較高的指數運算,通常建立關于a1,q的方程組求解,但這樣解起來很麻煩.此時,利用等比數列的性質求解可使問題簡單明了.另外,在應用等比數列的性質解題時,需時刻注意等比數列性質成立的前提條件.
鞏固訓練
　　若等比數列{an}的各項均為正數,且a10a11+a9a12=2e5,則ln a1+ln a2+…+ln a20=　　　　.
【答案】50
【解析】根據等比數列的性質可得a10a11=a9a12,所以a10a11=e5.令S=ln a1+ln a2+…+ln a20,則S=ln a20+ln a19+…+ln a1,于是2S=20ln(a1a20)=20ln(a10a11)=20ln e5=100,所以S=50.
【隨堂檢測】
1.已知數列{an}是公比為2的等比數列,若a4=16,則a1=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】由題意知a4=16=a1q3,則16=a1·23,解得a1=2.
2.已知數列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比數列,則實數a滿足(　　).
A.a≠1 B.a≠0或a≠1
C.a≠0 D.a≠0且a≠1
【答案】D
【解析】因為a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比數列,所以a需滿足a≠0,a(1-a)≠0,a(1-a)2≠0,所以a≠0且a≠1.
3.在等比數列{an}中,an>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,則a4+a5的值為(　　).
A.16 B.27 C.36 D.81
【答案】B
【解析】由已知得a1+a2=1,a3+a4=9,∴q2=9,
∴q=3或q=-3(舍去),∴a4+a5=(a3+a4)q=27.
4.若在等比數列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,則通項公式為an=(　　).
A.(-2)n-1 B.-(-2)n-1
C.(-2)n D.-(-2)n
【答案】A
【解析】由a5=-8a2,知=-8=q3,所以q=-2.因為a5>a2,所以a5>0,a2<0,
所以a1=>0,所以a1=1,所以an=(-2)n-1.
21.3.1　等比數列及其通項公式
【學習目標】
1.能夠通過實際問題理解等比數列、公比的定義,掌握等比中項的概念并會應用.(數學抽象、邏輯推理)
2.掌握等比數列的通項公式并會應用.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.閱讀教材第22頁案例中的4個數列,類比等差數列的研究,你認為可以通過怎樣的運算發現以上數列的取值規律 你發現了什么規律
2.等比數列的定義是什么
3.等比數列的公比q能否為零
4.若c是a,b的等比中項,則c2=ab,反之成立嗎
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)若an+1=qan,n∈N+且q≠0,則{an}是等比數列. (　　)
(2)在等比數列{an}中,an=a1qn,n∈N+. (　　)
(3)常數列一定是等比數列. (　　)
(4)存在一個數列既是等差數列,又是等比數列. (　　)
2.已知{an}是首項為2,公比為3的等比數列,則這個數列的通項公式為(　　).
A.an=2×3n+1 B.an=3×2n+1
C.an=2×3n-1 D.an=3×2n-1
3.下列數列為等比數列的是(　　).
A.2,22,3×22,…
B.,,,…
C.S-1,(S-1)2,(S-1)3,…
D.0,0,0,…
4.已知{an}是等比數列,a2=2,a5=,則公比q=　　　　.
【合作探究】
探究1：等比數列的概念
情境設置
　　(1)《孫子算經》中載有“出門望堤”問題:“今有出門,望見九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雛,雛有九毛,毛有九色,問各幾何 ”
(2)《算學寶鑒》中有這樣一個問題:“一文(錢)日增一倍,倍至三十日,問計幾何 ”
(3)“諸葛統兵”問題:“諸葛統領八員將,每將又分八個營.每營里面排八陣,每陣先鋒有八人.每人旗頭俱八個,每個旗頭八隊成.每隊更該八個甲,每個甲頭八個兵.”
問題1:分別寫出這三個問題所涉及的數組.
問題2:觀察這三個問題,你能發現它們的共同特點嗎
問題3:常數列是等差數列嗎 是等比數列嗎
問題4:是否存在既是等差數列又是等比數列的數列
新知生成
　　等比數列的概念
一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項之比都等于同一個常數,那么這個數列稱為等比數列,這個常數叫作等比數列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0).
新知運用
例1　判斷下列數列是否是等比數列,如果是,寫出它的公比.
(1)1,,,,,…;
(2)10,10,10,10,10,…;
(3),2,3,4,…;
(4)1,0,1,0,1,0,…;
(5)1,-4,16,-64,256,….
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【方法總結】如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數,那么這個數列是等比數列,否則,不是等比數列,且等比數列中任意一項不能為0(對于含參數的數列則需要分類討論).
鞏固訓練
　　以下數列中,能判定是等比數列的有(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
①數列1,2,6,18,…;②數列{an}中,已知=2,=2;③常數列a,a,…,a,…;④數列{an}中,=q(q≠0),其中n∈N+.
　　A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
探究2：等比數列的通項公式
情境設置
　　問題1:類比等差數列,如何推導等比數列的通項公式
問題2:你能由等差數列中的an=am+(n-m)d類比出等比數列中相似的性質嗎
新知生成
1.首項是a1,公比是q的等比數列的通項公式為an=a1qn-1(n∈N+,a1≠0,q≠0).
2.等比數列通項公式的推廣和變形:an=amqn-m.
新知運用
例2　已知在等比數列{an}中,
(1)a1=1,a4=8,求an;
(2)an=625,n=4,q=5,求a1;
(3)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
【方法總結】等比數列的通項公式涉及4個量a1,an,n,q,只要知道其中任意三個就能求出另外一個,在這4個量中,a1和q是等比數列的基本量,只要求出這2個基本量,問題便迎刃而解.
鞏固訓練
求下列等比數列{an}的通項公式.
(1)a1=-2,a3=-8.
(2)a1=5,且2an+1=-3an.
(3)a5=8,a7=2,an>0.
探究3：等比中項
情境設置
　　問題:任意兩個不為零的數是否一定都有等比中項 若有,是否唯一
新知生成
在a與b中間插入數G,使a,G,b成等比數列,則稱G為a與b的等比中項,且G=±(ab>0).
新知運用
例3　(1)2與8的等比中項為　　　　;
(2)若1,a,5成等差數列,1,b,9成等比數列,則a+b=　　　　.
【方法總結】　(1)由等比中項的定義可知= G2=ab G=±,所以只有a,b同號時,a,b的等比中項有兩個,a,b異號時,沒有等比中項.
(2)在一個等比數列中,從第二項起,每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項和后一項的等比中項.
(3)a,G,b成等比數列等價于G2=ab(ab>0).
鞏固訓練
1.已知a,b,c∈R,如果-1,a,b,c,-9成等比數列,那么(　　).
A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9
C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9
2.若b既是a和c的等差中項,又是a和c的等比中項,則數列a,b,c的公比為　　　　.
探究4：等比數列通項公式的性質
情境設置
　　問題:你能由等差數列中的“若m+n=k+l,m,n,k,l∈N+,則am+an=ak+al”類比出等比數列中相似的性質嗎
新知生成
　　設數列{an}為等比數列.
(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),則ak·al=am·an.
(2)若m,p,n成等差數列,則am,ap,an成等比數列.
注意點:(1)性質的推廣:若m+n+p=x+y+z,則amanap=axayaz;(2)該性質要求下標的和相等,且左右兩側項數相同;(3)在有窮等比數列中,與首、末兩項等距離的兩項之積都相等,即a1·an=a2·an-1=….
新知運用
例4　已知{an}為等比數列.
(1)若等比數列{an}滿足a2a4=,求a1a5;
(2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5.
【方法總結】利用等比數列的性質解題的基本思路:(1)充分發揮項的“下標”的指導作用,分析等比數列項與項之間的關系,選擇恰當的性質解題.(2)在等比數列的有關運算中,常涉及次數較高的指數運算,通常建立關于a1,q的方程組求解,但這樣解起來很麻煩.此時,利用等比數列的性質求解可使問題簡單明了.另外,在應用等比數列的性質解題時,需時刻注意等比數列性質成立的前提條件.
鞏固訓練
　　若等比數列{an}的各項均為正數,且a10a11+a9a12=2e5,則ln a1+ln a2+…+ln a20=　　　　.
【隨堂檢測】
1.已知數列{an}是公比為2的等比數列,若a4=16,則a1=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知數列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比數列,則實數a滿足(　　).
A.a≠1 B.a≠0或a≠1
C.a≠0 D.a≠0且a≠1
3.在等比數列{an}中,an>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,則a4+a5的值為(　　).
A.16 B.27 C.36 D.81
4.若在等比數列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,則通項公式為an=(　　).
A.(-2)n-1 B.-(-2)n-1
C.(-2)n D.-(-2)n
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