資源簡介

1.3.2　等比數列與指數函數
【學習目標】
1.通過函數的引入提高學生運用等比數列解決問題的能力.(邏輯推理)
2.理解等比數列與指數函數之間的聯系.(數學建模)
3.會用指數函數的知識解決等比數列的單調性問題.(數學運算)
4.熟練掌握等比數列的判定方法.(邏輯推理)
【自主預習】
預學憶思
1.設等比數列{an}的首項為a1,公比為q,當a1與q分別滿足什么條件時,{an}是遞增數列、遞減數列
2.如果數列{an}是各項都為正數的等比數列,那么數列{lg an}也是等比數列嗎
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若{an},{bn}都是等比數列,則{an+bn}是等比數列. (　　)
(2)若數列{an}的奇數項和偶數項分別成等比數列,且公比相同,則{an}是等比數列. (　　)
2.已知等比數列{an}滿足a1=,a3a5=4(a4-1),則a2=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.1 C. D.
3.在公比為q的等比數列{an}中依次取相鄰兩項的乘積組成新的數列a1a2,a2a3,a3a4,…,則此數列是(　　).
A.公比為q的等比數列
B.公比為q2的等比數列
C.公比為q3的等比數列
D.不一定是等比數列
4.已知等比數列{an}的公比為q,首項a1>0,則“q<1”是“等比數列{an}為遞減數列”的(　　).
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【合作探究】
探究1：等比數列與指數函數的關系
情境設置
　　已知在等比數列{an}中,a2=3,a5=.
問題1:求數列{an}的通項公式.
問題2:畫出數列{an}的圖象.
問題3:判斷數列{an}的單調性.
新知生成
1.等比數列{an}的圖象
由指數函數y=qx的圖象可以得出y=cqx(c為常數)的圖象,而y=cqx的圖象上橫坐標為正整數n的孤立點(n,an)組成等比數列{an}的圖象.
值得指出的是,當等比數列的公比q=1時,等比數列的各項都為常數a1,其圖象是一系列從左至右呈水平狀的孤立點.
2.等比數列的單調性
當q>1時,
若a1>0,則等比數列{an}是遞增數列;
若a1<0,則等比數列{an}是遞減數列.
當q=1時,等比數列{an}是非零的常數列.
當0若a1>0,則等比數列{an}是遞減數列;
若a1<0,則等比數列{an}是遞增數列.
當q<0時,等比數列{an}是擺動數列.
新知運用
例1　已知等比數列{an}是遞增數列,若a5-a1=60,a4-a2=24,則公比q為(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.2 C.或-2 D.2或
【方法總結】涉及求公比的問題,先由已知條件得出關于實數q的等式,解出q的值,進一步求出a1的值和數列{an}的通項公式,最后對數列{an}的單調性進行驗證,由此可得出結果.
鞏固訓練
　　已知數列{an}滿足:① n∈N+,an+1>an;② n∈N+,an+1=tan(t為常數);③ M>0,使得an探究2：等比數列的判定與證明
情境設置
　　問題1:利用等比數列的定義證明數列為等比數列的關鍵是什么
問題2:在數列{an}中,若an+1=2an,則數列{an}是等比數列嗎
問題3:若數列{an}是公比為q的等比數列,則它的通項公式為an=a1·qn-1(a1,q為非零常數,n∈N+).反之,能說明數列{an}是等比數列嗎
問題4:如何證明數列{an+1}是等比數列
新知生成
判斷一個數列是等比數列的常用方法
(1)定義法:若數列{an}滿足=q(n∈N+,q為常數且不為零)或=q(n≥2且n∈N+,q為常數且不為零),則數列{an}是等比數列.
(2)通項公式法:若數列{an}的通項公式為an=a1qn-1(n∈N+,a1≠0,q≠0),則數列{an}是等比數列.
(3)等比中項法:若=anan+2(n∈N+且an≠0),則數列{an}為等比數列.
(4)構造法:在條件中出現an+1=kan+b的關系時,往往構造數列,方法是把an+1+x=k(an+x)與an+1=kan+b對照,求出x即可.
新知運用
例2　已知Sn是數列{an}的前n項和,且Sn=2an+n-4.
(1)求a1的值;
(2)若bn=an-1,試證明數列{bn}為等比數列.
【方法總結】證明一個數列是等比數列的常用方法有定義法與等比中項法,注意不管用哪種方法判定等比數列都要先強調任意一項不等于零.
鞏固訓練
　　已知Sn是數列{an}的前n項和,且Sn=2-an,求證:{an}為等比數列.
探究3：由等比數列構造新等比數列
情境設置
　　問題:等比數列{an}的前4項分別為1,2,4,8,判斷下列結論是否正確.
.
新知生成
1.在等比數列{an}中,每隔k項(k∈N+)取出一項,按原來的順序排列,所得的新數列仍為等比數列,且公比為qk+1.
2.若{an}是等比數列,公比為q,則數列{λan}(λ≠0),,{|an|},{}都是等比數列,且公比分別是q,,|q|,q2.
3.若{an},{bn}是項數相同的等比數列,公比分別是p和q,則{anbn}與也都是等比數列,公比分別為pq和.
注意點:在構造新的等比數列時,要注意新數列中有的項是否為0,比如公比q=-1時,連續相鄰兩項的和都是0,故不能構成等比數列.
新知運用
例3　如果數列{an}是等比數列,那么下列數列中不一定是等比數列的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.{}
C.{an·an+1} D.{an+an+1}
【方法總結】由等比數列構造新的等比數列,一定要檢驗新的數列中的項是否為0,主要是針對q<0的情況.
鞏固訓練
　　設{an}是各項為正數的無窮數列,Ai是長、寬分別為ai,ai+1的矩形面積(i=1,2,3,…),則{An}為等比數列的充要條件為(　　).
A.{an}是等比數列
B.a1,a3,…,a2n-1,…或a2,a4,…,a2n,…是等比數列
C.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比數列
D.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比數列,且公比相同
【隨堂檢測】
1.對任意等比數列{an},下列說法一定正確的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a1,a3,a9成等比數列 B.a2,a3,a6成等比數列
C.a2,a4,a8成等比數列 D.a3,a6,a9成等比數列
2.等比數列{an}為單調遞減數列,寫出滿足上述條件的一個數列{an}的通項公式:　　　　.
3.某工廠2022年1月的生產總值為a萬元,計劃從2022年2月起,每月生產總值比上一個月增長m%,則到2023年8月底該廠的生產總值為　　　萬元.
4.數列{an}的前n項和記為Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…).證明:數列是等比數列.
21.3.2　等比數列與指數函數
【學習目標】
1.通過函數的引入提高學生運用等比數列解決問題的能力.(邏輯推理)
2.理解等比數列與指數函數之間的聯系.(數學建模)
3.會用指數函數的知識解決等比數列的單調性問題.(數學運算)
4.熟練掌握等比數列的判定方法.(邏輯推理)
【自主預習】
預學憶思
1.設等比數列{an}的首項為a1,公比為q,當a1與q分別滿足什么條件時,{an}是遞增數列、遞減數列
【答案】(1)或 {an}為遞增數列;
(2)或 {an}為遞減數列.
2.如果數列{an}是各項都為正數的等比數列,那么數列{lg an}也是等比數列嗎
【答案】不是等比數列,是等差數列.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若{an},{bn}都是等比數列,則{an+bn}是等比數列. (　　)
(2)若數列{an}的奇數項和偶數項分別成等比數列,且公比相同,則{an}是等比數列. (　　)
【答案】(1)×　(2)×
2.已知等比數列{an}滿足a1=,a3a5=4(a4-1),則a2=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.1 C. D.
【答案】C
【解析】(法一)∵a3,a5的等比中項為±a4,
∴a3a5=,
又a3a5=4(a4-1),∴=4(a4-1),即-4a4+4=0,解得a4=2.
又∵q3===8,∴q=2,
∴a2=a1q=×2=.
(法二)∵a3a5=4(a4-1),
∴a1q2·a1q4=4(a1q3-1),
將a1=代入上式并整理,得q6-16q3+64=0,
解得q=2,
∴a2=a1q=.
3.在公比為q的等比數列{an}中依次取相鄰兩項的乘積組成新的數列a1a2,a2a3,a3a4,…,則此數列是(　　).
A.公比為q的等比數列
B.公比為q2的等比數列
C.公比為q3的等比數列
D.不一定是等比數列
【答案】B
【解析】∵=·=q·q=q2,n≥2且n∈N+,
∴{anan+1}是以q2為公比的等比數列,故選B.
4.已知等比數列{an}的公比為q,首項a1>0,則“q<1”是“等比數列{an}為遞減數列”的(　　).
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】若q<0,則等比數列{an}為擺動數列,由于等比數列{an}為遞減數列,故q>0.
若a1>0,則an=a1qn-1>0,
因為an+1所以q<1,
所以a1>0,等比數列{an}為遞減數列 0所以若a1>0,則“q<1”是“等比數列{an}為遞減數列”的必要不充分條件.
【合作探究】
探究1：等比數列與指數函數的關系
情境設置
　　已知在等比數列{an}中,a2=3,a5=.
問題1:求數列{an}的通項公式.
【答案】設公比為q,則有解得所以數列{an}的通項公式是an=6×n-1.
問題2:畫出數列{an}的圖象.
【答案】數列{an}的圖象如圖所示.
問題3:判斷數列{an}的單調性.
【答案】由圖可知該數列是單調遞減數列.
新知生成
1.等比數列{an}的圖象
由指數函數y=qx的圖象可以得出y=cqx(c為常數)的圖象,而y=cqx的圖象上橫坐標為正整數n的孤立點(n,an)組成等比數列{an}的圖象.
值得指出的是,當等比數列的公比q=1時,等比數列的各項都為常數a1,其圖象是一系列從左至右呈水平狀的孤立點.
2.等比數列的單調性
當q>1時,
若a1>0,則等比數列{an}是遞增數列;
若a1<0,則等比數列{an}是遞減數列.
當q=1時,等比數列{an}是非零的常數列.
當0若a1>0,則等比數列{an}是遞減數列;
若a1<0,則等比數列{an}是遞增數列.
當q<0時,等比數列{an}是擺動數列.
新知運用
例1　已知等比數列{an}是遞增數列,若a5-a1=60,a4-a2=24,則公比q為(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.2 C.或-2 D.2或
【答案】D
【解析】因為等比數列{an}是遞增數列,則數列{an}的公比q滿足q>0且q≠1,
所以====,即2q2-5q+2=0,解得q=或q=2.
若q=,則a4-a2=a1q(q2-1)=-a1=24,解得a1=-64,
此時an=a1qn-1=-64×,所以數列{an}為遞增數列,符合題意;
若q=2,則a4-a2=a1q(q2-1)=6a1=24,解得a1=4,
此時an=a1qn-1=4×2n-1=2n+1,所以數列{an}為遞增數列,符合題意.
綜上所述,q=或q=2.故選D.
【方法總結】涉及求公比的問題,先由已知條件得出關于實數q的等式,解出q的值,進一步求出a1的值和數列{an}的通項公式,最后對數列{an}的單調性進行驗證,由此可得出結果.
鞏固訓練
　　已知數列{an}滿足:① n∈N+,an+1>an;② n∈N+,an+1=tan(t為常數);③ M>0,使得an【答案】-(答案不唯一)
【解析】由①②知,數列{an}是遞增的等比數列,所以或
由③知, M>0,使得an所以an=-滿足題意.
探究2：等比數列的判定與證明
情境設置
　　問題1:利用等比數列的定義證明數列為等比數列的關鍵是什么
【答案】關鍵是能夠證明(n∈N+)是一個非零常數.
問題2:在數列{an}中,若an+1=2an,則數列{an}是等比數列嗎
【答案】不一定.當an≠0時,數列{an}是等比數列;當an=0時,數列{an}不是等比數列.
問題3:若數列{an}是公比為q的等比數列,則它的通項公式為an=a1·qn-1(a1,q為非零常數,n∈N+).反之,能說明數列{an}是等比數列嗎
【答案】能.根據等比數列的定義可以判斷.
問題4:如何證明數列{an+1}是等比數列
【答案】證明=q(q≠0)即可.
新知生成
判斷一個數列是等比數列的常用方法
(1)定義法:若數列{an}滿足=q(n∈N+,q為常數且不為零)或=q(n≥2且n∈N+,q為常數且不為零),則數列{an}是等比數列.
(2)通項公式法:若數列{an}的通項公式為an=a1qn-1(n∈N+,a1≠0,q≠0),則數列{an}是等比數列.
(3)等比中項法:若=anan+2(n∈N+且an≠0),則數列{an}為等比數列.
(4)構造法:在條件中出現an+1=kan+b的關系時,往往構造數列,方法是把an+1+x=k(an+x)與an+1=kan+b對照,求出x即可.
新知運用
例2　已知Sn是數列{an}的前n項和,且Sn=2an+n-4.
(1)求a1的值;
(2)若bn=an-1,試證明數列{bn}為等比數列.
【解析】(1)因為Sn=2an+n-4,
所以當n=1時,S1=2a1+1-4=a1,解得a1=3.
(2)因為Sn=2an+n-4,
所以當n≥2時,Sn-1=2an-1+(n-1)-4,
Sn-Sn-1=(2an+n-4)-(2an-1+n-5),
即an=2an-1-1,
所以an-1=2(an-1-1),
又bn=an-1,所以bn=2bn-1(n≥2),且b1=a1-1=2≠0,所以bn=2n(n∈N+),
所以數列{bn}是以2為首項,2為公比的等比數列.
【方法總結】證明一個數列是等比數列的常用方法有定義法與等比中項法,注意不管用哪種方法判定等比數列都要先強調任意一項不等于零.
鞏固訓練
　　已知Sn是數列{an}的前n項和,且Sn=2-an,求證:{an}為等比數列.
【解析】因為Sn=2-an,所以Sn+1=2-an+1.
所以an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1,
所以an+1=an.
又因為S1=2-a1=a1,所以a1=1≠0,
又由an+1=an知an≠0,
所以=,所以an=n-1(n∈N+),
所以數列{an}是首項為1,公比為的等比數列.
探究3：由等比數列構造新等比數列
情境設置
　　問題:等比數列{an}的前4項分別為1,2,4,8,判斷下列結論是否正確.
(1){3an}是等比數列;(2){3+an}是等比數列;(3)是等比數列;(4){a2n}是等比數列.
【答案】由等比數列的定義可判斷出(1)(3)(4)正確.
新知生成
1.在等比數列{an}中,每隔k項(k∈N+)取出一項,按原來的順序排列,所得的新數列仍為等比數列,且公比為qk+1.
2.若{an}是等比數列,公比為q,則數列{λan}(λ≠0),,{|an|},{}都是等比數列,且公比分別是q,,|q|,q2.
3.若{an},{bn}是項數相同的等比數列,公比分別是p和q,則{anbn}與也都是等比數列,公比分別為pq和.
注意點:在構造新的等比數列時,要注意新數列中有的項是否為0,比如公比q=-1時,連續相鄰兩項的和都是0,故不能構成等比數列.
新知運用
例3　如果數列{an}是等比數列,那么下列數列中不一定是等比數列的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.{}
C.{an·an+1} D.{an+an+1}
【答案】D
【解析】取等比數列an=(-1)n,則an+an+1=0,所以{an+an+1}不是等比數列,故D不一定是等比數列;對于其他選項,均滿足等比數列通項公式的性質.
【方法總結】由等比數列構造新的等比數列,一定要檢驗新的數列中的項是否為0,主要是針對q<0的情況.
鞏固訓練
　　設{an}是各項為正數的無窮數列,Ai是長、寬分別為ai,ai+1的矩形面積(i=1,2,3,…),則{An}為等比數列的充要條件為(　　).
A.{an}是等比數列
B.a1,a3,…,a2n-1,…或a2,a4,…,a2n,…是等比數列
C.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比數列
D.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比數列,且公比相同
【答案】D
【解析】因為Ai是長、寬為ai,ai+1的矩形面積(i=1,2,3,…),所以Ai=aiai+1(i=1,2,3,…),
則數列{An}的通項公式為An=anan+1.
根據等比數列的定義,知數列{An}(n=1,2,3,…)為等比數列的充要條件是===q(常數),故選D.
【隨堂檢測】
1.對任意等比數列{an},下列說法一定正確的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a1,a3,a9成等比數列 B.a2,a3,a6成等比數列
C.a2,a4,a8成等比數列 D.a3,a6,a9成等比數列
【答案】D
【解析】因為=a3a9,所以a3,a6,a9成等比數列.
2.等比數列{an}為單調遞減數列,寫出滿足上述條件的一個數列{an}的通項公式:　　　　.
【答案】an=(答案不唯一)
【解析】∵等比數列{an}為單調遞減數列,∴a1>0,01,∴滿足上述條件的一個數列{an}的通項公式為an=.
3.某工廠2022年1月的生產總值為a萬元,計劃從2022年2月起,每月生產總值比上一個月增長m%,則到2023年8月底該廠的生產總值為　　　萬元.
【答案】a(1+m%)19
【解析】設從2022年1月開始,第n個月該廠的生產總值是an萬元,則an+1=an+anm%,
∴=1+m%,∴數列{an}是首項為a1=a,公比為q=1+m%的等比數列,
∴an=a(1+m%)n-1,故2023年8月底該廠的生產總值為a20=a(1+m%)20-1=a(1+m%)19(萬元).
4.數列{an}的前n項和記為Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…).證明:數列是等比數列.
【解析】由a1=1,an+1=Sn,得an>0,Sn>0.
由an+1=Sn,an+1=Sn+1-Sn,
得(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),
整理得nSn+1=2(n+1)Sn,
所以=2·,即=2.
因為==1,所以數列是以1為首項,2為公比的等比數列,通項公式為=2n-1.
2

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