資源簡(jiǎn)介

1.3.3　課時(shí)2　等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.熟練應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)解題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2.在具體的問(wèn)題情境中,能發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系,并解決相應(yīng)的問(wèn)題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)建模)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
1.若等比數(shù)列{an}的公比q不為1,其前n項(xiàng)和為Sn=Aqn+B,則A與B有什么關(guān)系
2.當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{an}的公比q=-1時(shí),若k是偶數(shù),則Sk,S2k-Sk,S3k-S2k是等比數(shù)列嗎
自學(xué)檢測(cè)
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若等比數(shù)列{an}的公比為q,則{a2n}的公比為q2. (　　)
(2)若等比數(shù)列{an}的公比為q,則a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5的公比也為q. (　　)
2.在等比數(shù)列{an}中,若a1+a2=20,a3+a4=40,則S6=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.140 B.120 C.210 D.520
3.若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且其前n項(xiàng)和Sn=3n+1-3k,則實(shí)數(shù)k=　　　　.
【合作探究】
探究1：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特征
情境設(shè)置
　　已知等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn.
問(wèn)題:當(dāng)q≠1時(shí),從函數(shù)的角度分析Sn關(guān)于n的解析式對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型是什么
新知生成
　　若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an-1(a≠0,a≠1,n∈N+),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
新知運(yùn)用
例1　數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n-2.求{an}的通項(xiàng)公式,并判斷{an}是否為等比數(shù)列.
【方法總結(jié)】　(1)已知Sn,可通過(guò)an=求{an}的通項(xiàng)公式,注意當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1.
(2)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=A(qn-1),其中A≠0,q≠0且q≠1,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
鞏固訓(xùn)練
　　若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-2+,則r=　　　　.
探究2：等比數(shù)列連續(xù)n項(xiàng)和的性質(zhì)
情境設(shè)置
　　已知等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn.
問(wèn)題1:你能否用等比數(shù)列{an}中的Sm,Sn來(lái)表示Sm+n
問(wèn)題2:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k具有什么特征 采用從特殊到一般的思想進(jìn)行思考分析.
新知生成
1.若{an}是公比為q的等比數(shù)列,則Sn+m=Sn+qnSm(n,m∈N+).
2.若公比不為-1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn(Sn≠0,n∈N+),則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…構(gòu)成等比數(shù)列,且公比為　qn　.
新知運(yùn)用
例2　設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S6∶S3=1∶2,則S9∶S3=　　　　.
方法指導(dǎo)　根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì),利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)建立等式,令S3=2,即可求出S9∶S3的值.
【方法總結(jié)】處理與等比數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)問(wèn)題的常用方法
(1)充分利用Sm+n=Sm+qmSn和Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…(n為偶數(shù)且q=-1除外)仍成等比數(shù)列這一重要性質(zhì),能有效減少運(yùn)算.
(2)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,要注意公比q=1和q≠1兩種情形,在解有關(guān)的方程(組)時(shí),通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元.
鞏固訓(xùn)練
　　在等比數(shù)列{an}中,若前10項(xiàng)的和S10=10,前20項(xiàng)的和S20=30,則前30項(xiàng)的和S30=　　　　.
探究3：等比數(shù)列不連續(xù)n項(xiàng)和的性質(zhì)
情境設(shè)置
　　問(wèn)題:類比等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)中的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的問(wèn)題,等比數(shù)列是否也有相似的性質(zhì)
新知生成
　　若{an}是公比為q的等比數(shù)列,S偶,S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和,則
①在其前2n項(xiàng)中,=q;
②在其前2n+1項(xiàng)中,S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==(q≠-1),
S奇=a1+qS偶.
新知運(yùn)用
例3　若等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng),其和為-240,且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80,則公比q=　　　　.
方法指導(dǎo)　根據(jù)奇、偶數(shù)項(xiàng)之和與奇、偶數(shù)項(xiàng)之比建立方程組,利用q=即可求得公比q的值.
【方法總結(jié)】若等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng),則要抓住=q和S偶+S奇=S2n這一隱含特點(diǎn);若等比數(shù)列{an}共有2n+1項(xiàng),則要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1這一隱含特點(diǎn).要注意公比q=1和q≠1兩種情形,在解有關(guān)的方程(組)時(shí),通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元.
鞏固訓(xùn)練
　　若等比數(shù)列{an}共有奇數(shù)項(xiàng),其首項(xiàng)為1,其偶數(shù)項(xiàng)和為170,奇數(shù)項(xiàng)和為341,則這個(gè)數(shù)列的公比為　　　　,項(xiàng)數(shù)為　　　　.
【隨堂檢測(cè)】
1.已知等比數(shù)列的公比為2,且前5項(xiàng)和為1,那么前10項(xiàng)和為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.31 B.33 C.35 D.37
2.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若=3,則=(　　).
A.2 B. C. D.3
3.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=8,S6=24,則a10+a11+a12=(　　).
A.32 B.64 C.72 D.216
4.若等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng),其公比為2,其奇數(shù)項(xiàng)和比偶數(shù)項(xiàng)和少100,則數(shù)列{an}的所有項(xiàng)之和為　　　　.
21.3.3　課時(shí)2　等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.熟練應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)解題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2.在具體的問(wèn)題情境中,能發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系,并解決相應(yīng)的問(wèn)題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)建模)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
1.若等比數(shù)列{an}的公比q不為1,其前n項(xiàng)和為Sn=Aqn+B,則A與B有什么關(guān)系
【答案】A=-B.
2.當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{an}的公比q=-1時(shí),若k是偶數(shù),則Sk,S2k-Sk,S3k-S2k是等比數(shù)列嗎
【答案】不是.如數(shù)列1,-1,1,-1,…是公比為-1的等比數(shù)列,S2=S4-S2=S6-S4=…=0,不是等比數(shù)列.
自學(xué)檢測(cè)
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若等比數(shù)列{an}的公比為q,則{a2n}的公比為q2. (　　)
(2)若等比數(shù)列{an}的公比為q,則a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5的公比也為q. (　　)
【答案】(1)√　(2)√
2.在等比數(shù)列{an}中,若a1+a2=20,a3+a4=40,則S6=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.140 B.120 C.210 D.520
【答案】A
【解析】∵S2=20,S4-S2=40,且(S4-S2)2=S2·(S6-S4),∴S6-S4=80.
又∵S4=60,∴S6=140.
3.若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且其前n項(xiàng)和Sn=3n+1-3k,則實(shí)數(shù)k=　　　　.
【答案】1
【解析】∵Sn=3n+1-3k=3·3n-3k,∴3=3k,即k=1.
【合作探究】
探究1：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特征
情境設(shè)置
　　已知等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn.
問(wèn)題:當(dāng)q≠1時(shí),從函數(shù)的角度分析Sn關(guān)于n的解析式對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型是什么
【答案】若q≠1,則Sn==qn-=Aqn-A,其中A=.
故等比數(shù)列Sn關(guān)于n的解析式對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型是f(x)=Axn-A(A≠0).
注意點(diǎn):等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是qn的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù).
新知生成
　　若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an-1(a≠0,a≠1,n∈N+),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
新知運(yùn)用
例1　數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n-2.求{an}的通項(xiàng)公式,并判斷{an}是否為等比數(shù)列.
【解析】當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2×3n-1;
當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=31-2=1,不適合上式.
∴an=
(法一)易知a1=1,a2=6,a3=18,顯然a1,a2,a3不是等比數(shù)列,即{an}不是等比數(shù)列.
(法二)當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{bn}的公比q≠1時(shí),其前n項(xiàng)和Sn=Aqn+B滿足的條件為A=-B,對(duì)比Sn=3n-2可知,1≠-2,所以{an}不是等比數(shù)列.
【方法總結(jié)】　(1)已知Sn,可通過(guò)an=求{an}的通項(xiàng)公式,注意當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1.
(2)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=A(qn-1),其中A≠0,q≠0且q≠1,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
鞏固訓(xùn)練
　　若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-2+,則r=　　　　.
【答案】-
【解析】∵Sn=2n-2+=×2n+,
∴=-,即r=-.
探究2：等比數(shù)列連續(xù)n項(xiàng)和的性質(zhì)
情境設(shè)置
　　已知等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn.
問(wèn)題1:你能否用等比數(shù)列{an}中的Sm,Sn來(lái)表示Sm+n
【答案】(法一)Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n=Sm+a1qm+a2qm+…+anqm=Sm+qmSn.
(法二)Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+an+m
=Sn+a1qn+a2qn+…+amqn
=Sn+qnSm.
問(wèn)題2:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k具有什么特征 采用從特殊到一般的思想進(jìn)行思考分析.
【答案】當(dāng)q=-1時(shí),例如an=(-1)n,當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),Sk,S2k-Sk,S3k-S2k都等于零,不能構(gòu)成等比數(shù)列.
當(dāng)q≠-1時(shí),Sn≠0,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k構(gòu)成等比數(shù)列,
因?yàn)镾2k-Sk=ak+1+ak+2+…+a2k=a1qk+a2qk+…+akqk=Skqk,
S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+…+a3k=a1q2k+a2q2k+…+akq2k=Skq2k,
所以==qk,所以Sk,S2k-Sk,S3k-S2k構(gòu)成等比數(shù)列.
新知生成
1.若{an}是公比為q的等比數(shù)列,則Sn+m=Sn+qnSm(n,m∈N+).
2.若公比不為-1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn(Sn≠0,n∈N+),則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…構(gòu)成等比數(shù)列,且公比為　qn　.
新知運(yùn)用
例2　設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S6∶S3=1∶2,則S9∶S3=　　　　.
方法指導(dǎo)　根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì),利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)建立等式,令S3=2,即可求出S9∶S3的值.
【答案】3∶4
【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得S3,S6-S3,S9-S6仍成等比數(shù)列,于是(S6-S3)2=S3·(S9-S6),不妨令S3=2,則S6=1,代入解得S9=,故S9∶S3=3∶4.
【方法總結(jié)】處理與等比數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)問(wèn)題的常用方法
(1)充分利用Sm+n=Sm+qmSn和Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…(n為偶數(shù)且q=-1除外)仍成等比數(shù)列這一重要性質(zhì),能有效減少運(yùn)算.
(2)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,要注意公比q=1和q≠1兩種情形,在解有關(guān)的方程(組)時(shí),通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元.
鞏固訓(xùn)練
　　在等比數(shù)列{an}中,若前10項(xiàng)的和S10=10,前20項(xiàng)的和S20=30,則前30項(xiàng)的和S30=　　　　.
【答案】70
【解析】(法一)設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q(q≠1),則
兩式相除得1+q10=3,∴q10=2,
∴=-10,
∴S30==-10×(1-8)=70.
(法二)∵S10,S20-S10,S30-S20仍成等比數(shù)列,且S10=10,S20=30,
∴S30-30=,
∴S30=70.
探究3：等比數(shù)列不連續(xù)n項(xiàng)和的性質(zhì)
情境設(shè)置
　　問(wèn)題:類比等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)中的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的問(wèn)題,等比數(shù)列是否也有相似的性質(zhì)
【答案】若等比數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)有2n項(xiàng),則其偶數(shù)項(xiàng)和S偶=a2+a4+…+a2n;其奇數(shù)項(xiàng)和S奇=a1+a3+…+a2n-1.
容易發(fā)現(xiàn)兩列式子中對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間存在聯(lián)系,即S偶=a1q+a3q+…+a2n-1q=qS奇,所以有=q.
若等比數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)有2n+1項(xiàng),則其偶數(shù)項(xiàng)和為S偶=a2+a4+…+a2n,其奇數(shù)項(xiàng)和為S奇=a1+a3+…+a2n-1+a2n+1,從項(xiàng)數(shù)上來(lái)看,奇數(shù)項(xiàng)比偶數(shù)項(xiàng)多了一項(xiàng),于是我們有S奇-a1=a3+…+a2n-1+a2n+1=a2q+a4q+…+a2nq=qS偶,即S奇=a1+qS偶.
新知生成
　　若{an}是公比為q的等比數(shù)列,S偶,S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和,則
①在其前2n項(xiàng)中,=q;
②在其前2n+1項(xiàng)中,S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==(q≠-1),
S奇=a1+qS偶.
新知運(yùn)用
例3　若等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng),其和為-240,且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80,則公比q=　　　　.
方法指導(dǎo)　根據(jù)奇、偶數(shù)項(xiàng)之和與奇、偶數(shù)項(xiàng)之比建立方程組,利用q=即可求得公比q的值.
【答案】2
【解析】由題意知
解得
故公比q===2.
【方法總結(jié)】若等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng),則要抓住=q和S偶+S奇=S2n這一隱含特點(diǎn);若等比數(shù)列{an}共有2n+1項(xiàng),則要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1這一隱含特點(diǎn).要注意公比q=1和q≠1兩種情形,在解有關(guān)的方程(組)時(shí),通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元.
鞏固訓(xùn)練
　　若等比數(shù)列{an}共有奇數(shù)項(xiàng),其首項(xiàng)為1,其偶數(shù)項(xiàng)和為170,奇數(shù)項(xiàng)和為341,則這個(gè)數(shù)列的公比為　　　　,項(xiàng)數(shù)為　　　　.
【答案】2　9
【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)S奇=a1+qS偶可知341=1+170q,所以q=2.
S2n+1==341+170=511,解得n=4,即這個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為9.
【隨堂檢測(cè)】
1.已知等比數(shù)列的公比為2,且前5項(xiàng)和為1,那么前10項(xiàng)和為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.31 B.33 C.35 D.37
【答案】B
【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得=q5,
∴=25,∴S10=33.
2.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若=3,則=(　　).
A.2 B. C. D.3
【答案】B
【解析】設(shè)公比為q(q≠0),由題意知q≠-1,根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì),得==1+q3=3,解得q3=2.于是===.
3.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=8,S6=24,則a10+a11+a12=(　　).
A.32 B.64 C.72 D.216
【答案】B
【解析】因?yàn)镾3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等比數(shù)列,S3=8,S6-S3=16,所以其公比為2,故S9-S6=32,a10+a11+a12=S12-S9=64.
4.若等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng),其公比為2,其奇數(shù)項(xiàng)和比偶數(shù)項(xiàng)和少100,則數(shù)列{an}的所有項(xiàng)之和為　　　　.
【答案】300
【解析】由=2,S偶-S奇=100可知,S偶=200,S奇=100,故S2n=S奇+S偶=300.
2

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