資源簡介

2.1　直線的斜率
【學習目標】
1.理解直線的傾斜角和斜率的概念.(數學抽象、直觀想象)
2.理解直線傾斜角的唯一性及直線斜率的存在性.(邏輯推理)
3.了解斜率公式的推導過程,會應用斜率公式求直線的斜率.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
我們知道,經過兩點有且只有(確定)一條直線.那么,經過一點P的直線l的位置能確定嗎 如圖,過一點P可以作無數條直線a,b,c,…,可見,答案是否定的.
1.a,b,c…這些直線有什么聯系呢 它們的傾斜程度相同嗎
2.下圖中標的傾斜角α對不對
3.刻畫直線傾斜程度的量,除了傾斜角,還有其他的嗎 坡度是斜率嗎
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)任意一條直線都有傾斜角,都存在斜率. (　　)
(2)傾斜角為135°的直線的斜率為1. (　　)
(3)若一條直線的傾斜角為α,則它的斜率k=tan α. (　　)
(4)直線斜率的取值范圍是(-∞,+∞). (　　)
2.若直線l經過原點和(-1,1),則它的傾斜角是(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.45° B.135°
C.45°或135° D.-45°
3.已知直線l的傾斜角為30°,則直線l的斜率為(　　).
A. B.
C.1 D.
.
4.已知坐標平面內,△ABC的三個頂點的坐標分別是A(-1,1),B(1,1),C(1,-1),求直線AB,BC,AC的斜率.
【合作探究】
探究1：直線的傾斜角
情境設置
　　小明在無聊的時候拿起一支筆,嘩啦啦地轉起來,他的同桌也學了起來,但手指頭總是不夠協調,水筆在手上還沒轉足半圈,已經沒了慣性,“啪嗒”一聲掉在桌子上.
問題1:若把上圖中的筆看成一條直線繞著一個點P轉動,把點P放在坐標系內,不論怎么旋轉,它相對x軸的位置有幾種情形
問題2:直線的傾斜角能不能是0° 能否大于平角
問題3:在平面直角坐標系中,每一條直線都有傾斜角嗎
新知生成
　　傾斜角的概念
(1)傾斜角
當直線l與x軸相交時,我們把x軸正向繞交點逆時針旋轉到直線l向上方向首次重合所成的角α叫作直線l的傾斜角.
(2)傾斜角的范圍
當直線l與x軸平行或重合時,規定它的傾斜角α=0.
直線的傾斜角α的取值范圍為0≤α<π.
特別提醒:在平面直角坐標系中,每一條直線都有一個確定的傾斜角.方向相同的直線,其傾斜程度相同,傾斜角相等;方向不同的直線,其傾斜程度不同,傾斜角不相等.
新知運用
例1　 設直線l過坐標原點O,它的傾斜角為α,如果將l繞坐標原點O逆時針方向旋轉45°,得到直線l1,那么l1的傾斜角為(　　).
　　A.α+45°
B.α-135°
C.135°-α
D.當0°≤α<135°時,傾斜角為α+45°;當135°≤α<180°時,傾斜角為α-135°
方法指導　根據題意,畫出圖形,再根據傾斜角的定義判斷.
【方法總結】求直線的傾斜角的方法及注意事項
(1)方法:結合圖形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.
(2)注意事項:①當直線與x軸平行或重合時,傾斜角為0°,當直線與x軸垂直時,傾斜角為90°;②注意直線的傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°.
鞏固訓練
　　如圖,已知直線l1的傾斜角是150°,l2⊥l1,垂足為B.l1,l2與x軸分別相交于點C,A,l3平分∠BAC,則l3的傾斜角為　　　　.
探究2：直線的斜率
情境設置
　　在平面直角坐標系中,設直線的傾斜角為α.
問題1:已知直線l經過點O(0,0),P(,1),α與點O,P的坐標有什么關系
問題2:類似地,如果直線l經過點P1(-1,1),P2(,0),α與點P1,P2的坐標又有什么關系
問題3:直線l的傾斜角α與點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)有什么內在聯系
新知生成
1.斜率的定義
一條直線的傾斜角αα≠的正切值k稱為這條直線的　斜率　,即k=tan α.
2.斜率公式
如果直線經過兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),那么該直線的斜率公式為k=.
3.(1)傾斜角是90°的直線沒有斜率,傾斜角不是90°的直線都有斜率.
(2)直線的傾斜角與斜率的關系
①直線的斜率與傾斜角既有區別,又有聯系.它們都反映了直線的傾斜程度,本質上是一致的.但傾斜角是角度,是傾斜度的直接體現;斜率是實數,是直線傾斜度的間接反映.用斜率比用傾斜角更方便.
②傾斜角可正可零不可為負,而斜率k不僅可正,可零,而且可以為負.
③當傾斜角α=90°時,直線的斜率不存在;當α≠90°時,可以建立傾斜角α與斜率k之間的函數關系式,即k=tan α(α≠90°).
新知運用
例2　經過下列兩點的直線的斜率是否存在 如果存在,求其斜率,并確定直線的傾斜角α.
(1)A(2,3),B(4,5);
(2)C(-2,3),D(2,-1);
(3)P(-3,1),Q(-3,10).
【方法總結】解決斜率問題的方法:(1)由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍),利用公式k=tan α(α≠90°)解決;(2)由兩點坐標求斜率,運用斜率公式k=(x1≠x2)求解.
鞏固訓練
1.若過點P(1,1),Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角,則實數a的取值范圍是　　　　.
2.已知點A(1,2),若在坐標軸上有一點P,使直線PA的傾斜角為135°,則點P的坐標為　　　　.
探究3：一次函數與直線的關系
情境設置
問題1:一次函數的圖象是什么 如何判斷函數的單調性
問題2:若一次函數y=kx+b的圖象為直線 l,如何求l 的斜率
新知生成
　　如圖,對照一次函數 y=kx+b的圖象,可以得到:
當斜率k >0時,傾斜角α是銳角,直線從左到右上升,因變量增量y2-y1與自變量增量x2-x1同號,此時一次函數是增函數.
當斜率k < 0時,傾斜角α是鈍角,直線從左到右下降,因變量增量y2-y1與自變量增量x2-x1異號,此時一次函數是減函數.
新知運用
例3　過點P(0,-1)作直線l,且直線l與連接A(1,-2),B(2,1)兩點的線段總有公共點,求直線l的傾斜角α和斜率k的取值范圍.
【方法總結】涉及直線與線段有交點的問題,常借助數形結合與斜率公式求解.解題時要特別注意傾斜角與90°的大小關系.
鞏固訓練
過點P(1,-2)作直線l,若直線l與連接A(0,-1)與B(2, 1)兩點的線段總有公共點,則直線l的斜率k的取值范圍為　　　　.
【隨堂檢測】
1.若直線l的斜率為,則l的傾斜角為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
2.若直線l經過點A(2,-1),B(,2),則l的傾斜角為(　　).
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.若直線l的斜率為k,傾斜角為α,且α∈,∪,π,則k的取值范圍是　　　　.
4.已知點A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),直線AC的斜率等于直線BC的斜率的3倍,求m的值.
22.1　直線的斜率
【學習目標】
1.理解直線的傾斜角和斜率的概念.(數學抽象、直觀想象)
2.理解直線傾斜角的唯一性及直線斜率的存在性.(邏輯推理)
3.了解斜率公式的推導過程,會應用斜率公式求直線的斜率.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
我們知道,經過兩點有且只有(確定)一條直線.那么,經過一點P的直線l的位置能確定嗎 如圖,過一點P可以作無數條直線a,b,c,…,可見,答案是否定的.
1.a,b,c…這些直線有什么聯系呢 它們的傾斜程度相同嗎
【答案】它們都經過點P,它們的傾斜程度不相同.
2.下圖中標的傾斜角α對不對
【答案】都不對.
3.刻畫直線傾斜程度的量,除了傾斜角,還有其他的嗎 坡度是斜率嗎
【答案】有,如斜率也能刻畫直線的傾斜程度.坡度不是斜率,當直線的傾斜角是銳角時,直線的斜率與坡度是類似的.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)任意一條直線都有傾斜角,都存在斜率. (　　)
(2)傾斜角為135°的直線的斜率為1. (　　)
(3)若一條直線的傾斜角為α,則它的斜率k=tan α. (　　)
(4)直線斜率的取值范圍是(-∞,+∞). (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.若直線l經過原點和(-1,1),則它的傾斜角是(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.45° B.135°
C.45°或135° D.-45°
【答案】B
【解析】作出直線l,如圖所示,由圖易知,應選B.
3.已知直線l的傾斜角為30°,則直線l的斜率為(　　).
A. B.
C.1 D.
【答案】A
【解析】由題意可知,直線l的斜率k=tan 30°=.
4.已知坐標平面內,△ABC的三個頂點的坐標分別是A(-1,1),B(1,1),C(1,-1),求直線AB,BC,AC的斜率.
【解析】已知點的坐標,可代入過兩點的直線的斜率公式求斜率,但應先驗證兩點的橫坐標是否相等.kAB==0,kAC==-1.∵B,C兩點的橫坐標相等,∴直線BC的斜率不存在.
【合作探究】
探究1：直線的傾斜角
情境設置
　　小明在無聊的時候拿起一支筆,嘩啦啦地轉起來,他的同桌也學了起來,但手指頭總是不夠協調,水筆在手上還沒轉足半圈,已經沒了慣性,“啪嗒”一聲掉在桌子上.
問題1:若把上圖中的筆看成一條直線繞著一個點P轉動,把點P放在坐標系內,不論怎么旋轉,它相對x軸的位置有幾種情形
【答案】如圖,有4種情形.
問題2:直線的傾斜角能不能是0° 能否大于平角
【答案】能是0°,不能大于平角.
問題3:在平面直角坐標系中,每一條直線都有傾斜角嗎
【答案】每一條直線都有傾斜角.
新知生成
　　傾斜角的概念
(1)傾斜角
當直線l與x軸相交時,我們把x軸正向繞交點逆時針旋轉到直線l向上方向首次重合所成的角α叫作直線l的傾斜角.
(2)傾斜角的范圍
當直線l與x軸平行或重合時,規定它的傾斜角α=0.
直線的傾斜角α的取值范圍為0≤α<π.
特別提醒:在平面直角坐標系中,每一條直線都有一個確定的傾斜角.方向相同的直線,其傾斜程度相同,傾斜角相等;方向不同的直線,其傾斜程度不同,傾斜角不相等.
新知運用
例1　 設直線l過坐標原點O,它的傾斜角為α,如果將l繞坐標原點O逆時針方向旋轉45°,得到直線l1,那么l1的傾斜角為(　　).
　　A.α+45°
B.α-135°
C.135°-α
D.當0°≤α<135°時,傾斜角為α+45°;當135°≤α<180°時,傾斜角為α-135°
方法指導　根據題意,畫出圖形,再根據傾斜角的定義判斷.
【答案】D
【解析】根據題意,畫出圖形,如圖所示:
易知0°≤α<180°,顯然A,B,C未分類討論,均不全面,不合題意.
通過畫圖(如圖所示)可知,當0°≤α<135°時,l1的傾斜角為α+45°;當135°≤α<180°時,l1的傾斜角為45°+α-180°=α-135°.
故選D.
【方法總結】求直線的傾斜角的方法及注意事項
(1)方法:結合圖形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.
(2)注意事項:①當直線與x軸平行或重合時,傾斜角為0°,當直線與x軸垂直時,傾斜角為90°;②注意直線的傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°.
鞏固訓練
　　如圖,已知直線l1的傾斜角是150°,l2⊥l1,垂足為B.l1,l2與x軸分別相交于點C,A,l3平分∠BAC,則l3的傾斜角為　　　　.
【答案】30°
【解析】因為直線l1的傾斜角為150°,所以∠BCA=30°,所以l3的傾斜角為×(90°-30°)=30°.
探究2：直線的斜率
情境設置
　　在平面直角坐標系中,設直線的傾斜角為α.
問題1:已知直線l經過點O(0,0),P(,1),α與點O,P的坐標有什么關系
【答案】如圖,
向量=(,1),且直線OP的傾斜角為α.由正切函數的定義,有tan α==.
問題2:類似地,如果直線l經過點P1(-1,1),P2(,0),α與點P1,P2的坐標又有什么關系
【答案】如圖,
=(-1-,1-0)=(-1-,1).平移向量到,則點P的坐標為(-1-,1),且直線OP的傾斜角也是α.由正切函數的定義,有tan α==1-.
問題3:直線l的傾斜角α與點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)有什么內在聯系
【答案】如圖,
向量=(x2-x1,y2-y1).平移向量到,則點P的坐標為(x2-x1,y2-y1),且直線OP的傾斜角也是α.由正切函數的定義,有tan α=.
新知生成
1.斜率的定義
一條直線的傾斜角αα≠的正切值k稱為這條直線的　斜率　,即k=tan α.
2.斜率公式
如果直線經過兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),那么該直線的斜率公式為k=.
3.(1)傾斜角是90°的直線沒有斜率,傾斜角不是90°的直線都有斜率.
(2)直線的傾斜角與斜率的關系
①直線的斜率與傾斜角既有區別,又有聯系.它們都反映了直線的傾斜程度,本質上是一致的.但傾斜角是角度,是傾斜度的直接體現;斜率是實數,是直線傾斜度的間接反映.用斜率比用傾斜角更方便.
②傾斜角可正可零不可為負,而斜率k不僅可正,可零,而且可以為負.
③當傾斜角α=90°時,直線的斜率不存在;當α≠90°時,可以建立傾斜角α與斜率k之間的函數關系式,即k=tan α(α≠90°).
新知運用
例2　經過下列兩點的直線的斜率是否存在 如果存在,求其斜率,并確定直線的傾斜角α.
(1)A(2,3),B(4,5);
(2)C(-2,3),D(2,-1);
(3)P(-3,1),Q(-3,10).
【解析】(1)存在.直線AB的斜率kAB==1,
即tan α=1,又0°≤α<180°,
所以傾斜角α=45°.
(2)存在.直線CD的斜率kCD==-1,即tan α=-1,
又0°≤α<180°,所以傾斜角α=135°.
(3)不存在.因為xP=xQ=-3,所以直線PQ的斜率不存在,傾斜角α=90°.
【方法總結】解決斜率問題的方法:(1)由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍),利用公式k=tan α(α≠90°)解決;(2)由兩點坐標求斜率,運用斜率公式k=(x1≠x2)求解.
鞏固訓練
1.若過點P(1,1),Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角,則實數a的取值范圍是　　　　.
【答案】 -∞,
【解析】∵直線PQ的傾斜角為鈍角,∴kPQ<0,即=<0,∴a<,即實數a的取值范圍是-∞,.
2.已知點A(1,2),若在坐標軸上有一點P,使直線PA的傾斜角為135°,則點P的坐標為　　　　.
【答案】(3,0)或(0,3)
【解析】由題意知,kPA=-1.若點P在x軸上,則設P(m,0)(m≠1),則=-1,解得m=3;若點P在y軸上,則設P(0,n),則=-1,解得n=3.故點P的坐標為(3,0)或(0,3).
探究3：一次函數與直線的關系
情境設置
問題1:一次函數的圖象是什么 如何判斷函數的單調性
【答案】一次函數的圖象是一條直線;它的單調性根據其一次項系數判斷.
問題2:若一次函數y=kx+b的圖象為直線 l,如何求l 的斜率
【答案】若假設x1≠x2,則任取直線 l上兩個不同的點A(x1, kx1+b), B(x2, kx2+b).
由直線斜率公式可知, l的斜率為==k.
新知生成
　　如圖,對照一次函數 y=kx+b的圖象,可以得到:
當斜率k >0時,傾斜角α是銳角,直線從左到右上升,因變量增量y2-y1與自變量增量x2-x1同號,此時一次函數是增函數.
當斜率k < 0時,傾斜角α是鈍角,直線從左到右下降,因變量增量y2-y1與自變量增量x2-x1異號,此時一次函數是減函數.
新知運用
例3　過點P(0,-1)作直線l,且直線l與連接A(1,-2),B(2,1)兩點的線段總有公共點,求直線l的傾斜角α和斜率k的取值范圍.
【解析】因為kPA==-1,kPB==1,
且l與線段AB相交,如圖,
所以kPA≤k≤kPB,即-1≤k≤1,
所以-1≤tan α≤1.
因為y=tan x在及上均為增函數,
所以直線l的傾斜角α的取值范圍為0,∪.
故斜率k的取值范圍是[-1,1],傾斜角α的取值范圍是0,∪.
【方法總結】涉及直線與線段有交點的問題,常借助數形結合與斜率公式求解.解題時要特別注意傾斜角與90°的大小關系.
鞏固訓練
過點P(1,-2)作直線l,若直線l與連接A(0,-1)與B(2, 1)兩點的線段總有公共點,則直線l的斜率k的取值范圍為　　　　.
【答案】(-∞,-1]∪[3,+∞)
【解析】
如圖所示,連接PA,PB,此時直線PA和直線PB均與線段AB相交,
又kPA==-1,kPB==3,
由題意知直線l的斜率存在,根據直線的傾斜角與斜率k的關系知,
滿足條件的直線l的斜率k的取值范圍為(-∞,-1]∪[3,+∞).
【隨堂檢測】
1.若直線l的斜率為,則l的傾斜角為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設直線l的傾斜角為α,則tan α=,
又∵α∈[0,π),∴α=.故選C.
2.若直線l經過點A(2,-1),B(,2),則l的傾斜角為(　　).
A.30° B.60° C.120° D.150°
【答案】C
【解析】因為l經過點A(2,-1),B(,2),
所以k==-=tan α,故α=120°.
3.若直線l的斜率為k,傾斜角為α,且α∈,∪,π,則k的取值范圍是　　　　.
【答案】[-,0)∪,1
【解析】∵α∈,∪,π,當≤α<時,≤tan α<1,∴≤k<1.當≤α<π時,-≤tan α<0,∴-≤k<0.∴k∈[-,0)∪,1.
4.已知點A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),直線AC的斜率等于直線BC的斜率的3倍,求m的值.
【解析】由題意知,直線AC的斜率存在,即m≠-1,
∴kAC=,kBC=,
∴=3·,
整理得-m-1=(m-5)(m+1),即(m+1)(m-4)=0,
∴m=4或m=-1(舍去),∴m=4.
2

展開更多......

收起↑