資源簡介

2.2.1　直線的點斜式方程
【學習目標】
1.了解由斜率公式推導直線的點斜式方程的過程.(邏輯推理、直觀想象)
2.掌握直線的點斜式方程與斜截式方程.(邏輯推理)
3.會利用直線的點斜式方程與斜截式方程解決有關問題.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.確定一條直線的幾何要素是什么
【答案】①一點和斜率,可以確定一條直線;②兩點,可以確定一條直線.
2.已知直線上一點P0(x0,y0)與這條直線的斜率k,我們能否將直線上的一點P(x,y)滿足的關系表示出來
【答案】能,當x≠x0時,根據斜率公式=k可知點P(x,y)滿足的關系式為y-y0=k(x-x0);當x=x0時,點P(x,y)滿足的關系式為x=x0.
3.直線的點斜式方程y-y0=k(x-x0)也可寫成k=,對嗎
【答案】不對.前者含點(x0,y0),后者不含點(x0,y0).
4.在式子y=kx+b中,k,b的幾何意義是什么
【答案】k,b的幾何意義:k是直線y=kx+b的斜率,b是直線y=kx+b在y軸上的截距(縱截距).
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)直線y-3=m(x+1)恒過定點(-1,3). (　　)
(2)直線y=2x+3在y軸上的截距為3. (　　)
(3)經過點P(x0,y0)且斜率不存在的直線的方程為x=x0. (　　)
【答案】(1)√　(2)√　 (3)√
2.已知直線的方程為y+3=-(x-1),則(　　).
A.該直線過點(-1,-3),斜率為-1
B.該直線過點(-1,-3),斜率為1
C.該直線過點(1,-3),斜率為-1
D.該直線過點(1,-3),斜率為1
【答案】C
【解析】因為直線方程為y+3=-(x-1),所以直線的斜率為-1,且當x=1時,y=-3,故直線過點(1,-3).
3.已知過點A(,1)的直線l的傾斜角為60°,則直線l的方程為(　　).
A.y=-x+4
B.y-1=(x-)
C.y=-x-4
D.y-1=(x+)
【答案】B
【解析】因為直線l的傾斜角為60°,所以直線l的斜率k=,又直線過點A(,1),由直線方程的點斜式可得直線l的方程為y-1=(x-).
4.已知直線l的傾斜角為60°,且在y軸上的截距為-2,則此直線的方程為(　　).
A.y=x+2
B.y=-x+2
C.y=-x-2
D.y=x-2
【答案】D
【解析】∵α=60°,∴k=tan 60°=,∴直線l的方程為y=x-2.
【合作探究】
探究1：直線的點斜式方程
情境設置
　　斜拉橋又稱斜張橋,橋身簡約剛毅,力感十足.若以橋面所在直線為x軸,索塔所在直線為y軸建立平面直角坐標系,則斜拉索可看成過索塔上同一點的直線.
問題1:已知某一斜拉索過索塔上一點B,那么該斜拉索位置確定嗎
【答案】不確定,從一點可引出多條斜拉索.
問題2:若某條斜拉索過點B(0,b),斜率為k,則該斜拉索所在直線上的點P(x,y)滿足什么條件 該直線的方程是什么
【答案】滿足y-b=kx.該直線方程為y-b=kx.
問題3:直線的點斜式方程的前提條件是什么
【答案】過一點P(x0,y0)和斜率存在.只有這兩個條件都具備,才可以寫出直線的點斜式方程.
問題4:當k取任意實數時,方程y-y0=k(x-x0)表示的直線有何特征
【答案】方程y-y0=k(x-x0)表示恒過定點(x0,y0)的無數條直線.
問題5:如果直線l過點P0(x0,y0)且垂直于x軸,此時的直線方程是什么
【答案】
當l與x軸垂直時,它的傾斜角為90°,斜率不存在,它的方程不能用點斜式表示,這時直線方程表示為x=x0,如圖所示.
新知生成
1.點斜式:方程y-y0=k(x-x0)由直線上一個定點(x0,y0)及該直線的斜率k確定,我們把它叫作直線的點斜式方程,簡稱點斜式.
2.特殊的直線方程
直線l過定點P(x0,y0),
當直線l的傾斜角為90°時,l沒有斜率,則l不能用點斜式方程表示,此時l與x軸垂直,方程為x=x0.
新知運用
例1　根據條件寫出下列直線的點斜式方程:
(1)過點A(-4,3),斜率k=3;
(2)過點B(-1,4),傾斜角為135°;
(3)過點C(-1,2),且與y軸平行;
(4)經過點D(1,1),且與x軸垂直.
【解析】(1)由點斜式方程可知,所求直線方程為y-3=3[x-(-4)].
(2)由題意知,直線的斜率k=tan 135°=-1,故所求直線的點斜式方程為y-4=-[x-(-1)].
(3)∵直線與y軸平行,∴斜率不存在.由于直線上所有點的橫坐標都是-1,故這條直線的方程為x=-1,該直線沒有點斜式方程.
(4)由題意可知直線的斜率不存在,所以直線的方程為x=1,該直線沒有點斜式方程.
【方法總結】　(1)求直線的點斜式方程的步驟
(2)當直線的斜率不存在時,過點P(x0,y0)的直線與x軸垂直,直線上所有點的橫坐標相等,都為x0,故直線方程為x=x0.
鞏固訓練
　　求滿足下列條件的直線的點斜式方程:
(1)過點P(4,-2),傾斜角為150°;
(2)過兩點A(1,3),B(2,5).
【解析】(1)∵α=150°,∴k=tan 150°=-,
∴直線的點斜式方程為y+2=-(x-4).
(2)∵k==2,
∴直線的點斜式方程為y-3=2(x-1).
探究2：直線的斜截式方程
情境設置
　　問題1:方程y=kx+b的特點是什么
【答案】左端y的系數恒為1,右端x的系數為k,常數項為b.
問題2:直線方程的斜截式是由什么推導而來的
【答案】是由點斜式推導而來的.
問題3:直線y=kx+b在y軸上的截距是恒為正數嗎
【答案】不一定,y軸上的截距是直線y=kx+b與y軸的交點的縱坐標,它可能是正數,也可能是負數,還可能為0.
新知生成
　　我們把直線l:y=kx+b與y軸的交點(0,b)的縱坐標b叫作直線l在y軸上的截距.方程y=kx+b由直線的斜率k與在y軸上的截距b確定,因此我們把方程y=kx+b叫作直線的斜截式方程,簡稱斜截式.
特別提醒:(1)傾斜角是直角的直線沒有斜截式方程.
(2)斜截式方程應用的前提是直線的斜率存在.
新知運用
例2　根據條件寫出下列直線的斜截式方程:
(1)斜率為2,在y軸上的截距是5;
(2)傾斜角為150°,在y軸上的截距是-2.
【解析】(1)由直線方程的斜截式可知,所求直線的方程為y=2x+5.
(2)因為直線的傾斜角α=150°,所以其斜率k=tan 150°=-,由斜截式可得所求直線的方程為y=-x-2.
【方法總結】　(1)直線的斜截式方程是點斜式方程的特殊形式,其適用前提是直線的斜率存在,只要點斜式中的點在y軸上,就可以直接用斜截式表示.
(2)直線的斜截式方程y=kx+b中只有兩個參數,因此要確定直線方程,只需知道參數k,b的值即可.
鞏固訓練
　　求傾斜角是直線y=-x+1的傾斜角的,且在y軸上的截距是-5的直線方程.
【解析】∵直線y=-x+1的斜率k=-,∴其傾斜角α=120°,由題意,得所求直線的傾斜角α1=α=30°,故所求直線的斜率k1=tan 30°=.
∵所求直線的斜率是,在y軸上的截距為-5,
∴所求直線的方程為y=x-5.
【隨堂檢測】
1.直線y+2=k(x+1)恒過點(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(2,1) B.(-2,-1)
C.(-1,-2) D.(1,2)
【答案】C
【解析】因為直線y+2=k(x+1),所以由直線的點斜式方程可得直線恒過點(-1,-2).
2.過點P(0,1)且斜率為2的直線的方程為(　　).
A.y=-2x+1 B.y=2x+1
C.y=-x+1 D.y=x+1
【答案】B
【解析】已知直線的斜率為2,且直線過點P(0,1),則用斜截式得到該直線方程為y=2x+1.
3.已知直線l的方程為y+=(x-1),則l在y軸上的截距為　　　　.
【答案】-9
【解析】由y+=(x-1),得y=x-9,
∴l在y軸上的截距為-9.
4.已知直線y=-x+5的傾斜角是直線l的傾斜角的5倍,分別求滿足下列條件的直線l的方程:
(1)過點P(3,-4);
(2)在y軸上的截距為3.
【解析】∵直線y=-x+5的斜率k=tan α=-,又α∈[0°,180°),∴α=150°,故所求直線l的傾斜角為30°,斜率k'=.
(1)由直線l過點P(3,-4),得 y+4=(x-3),
∴直線l的方程為y=x--4.
(2)在y軸上的截距為3,由斜截式方程得y=x+3.
22.2.1　直線的點斜式方程
【學習目標】
1.了解由斜率公式推導直線的點斜式方程的過程.(邏輯推理、直觀想象)
2.掌握直線的點斜式方程與斜截式方程.(邏輯推理)
3.會利用直線的點斜式方程與斜截式方程解決有關問題.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.確定一條直線的幾何要素是什么
2.已知直線上一點P0(x0,y0)與這條直線的斜率k,我們能否將直線上的一點P(x,y)滿足的關系表示出來
3.直線的點斜式方程y-y0=k(x-x0)也可寫成k=,對嗎
4.在式子y=kx+b中,k,b的幾何意義是什么
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)直線y-3=m(x+1)恒過定點(-1,3). (　　)
(2)直線y=2x+3在y軸上的截距為3. (　　)
(3)經過點P(x0,y0)且斜率不存在的直線的方程為x=x0. (　　)
2.已知直線的方程為y+3=-(x-1),則(　　).
A.該直線過點(-1,-3),斜率為-1
B.該直線過點(-1,-3),斜率為1
C.該直線過點(1,-3),斜率為-1
D.該直線過點(1,-3),斜率為1
3.已知過點A(,1)的直線l的傾斜角為60°,則直線l的方程為(　　).
A.y=-x+4
B.y-1=(x-)
C.y=-x-4
D.y-1=(x+)
4.已知直線l的傾斜角為60°,且在y軸上的截距為-2,則此直線的方程為(　　).
A.y=x+2
B.y=-x+2
C.y=-x-2
D.y=x-2
【合作探究】
探究1：直線的點斜式方程
情境設置
　　斜拉橋又稱斜張橋,橋身簡約剛毅,力感十足.若以橋面所在直線為x軸,索塔所在直線為y軸建立平面直角坐標系,則斜拉索可看成過索塔上同一點的直線.
問題1:已知某一斜拉索過索塔上一點B,那么該斜拉索位置確定嗎
問題2:若某條斜拉索過點B(0,b),斜率為k,則該斜拉索所在直線上的點P(x,y)滿足什么條件 該直線的方程是什么
問題3:直線的點斜式方程的前提條件是什么
問題4:當k取任意實數時,方程y-y0=k(x-x0)表示的直線有何特征
問題5:如果直線l過點P0(x0,y0)且垂直于x軸,此時的直線方程是什么
新知生成
1.點斜式:方程y-y0=k(x-x0)由直線上一個定點(x0,y0)及該直線的斜率k確定,我們把它叫作直線的點斜式方程,簡稱點斜式.
2.特殊的直線方程
直線l過定點P(x0,y0),
當直線l的傾斜角為90°時,l沒有斜率,則l不能用點斜式方程表示,此時l與x軸垂直,方程為x=x0.
新知運用
例1　根據條件寫出下列直線的點斜式方程:
(1)過點A(-4,3),斜率k=3;
(2)過點B(-1,4),傾斜角為135°;
(3)過點C(-1,2),且與y軸平行;
(4)經過點D(1,1),且與x軸垂直.
【方法總結】　(1)求直線的點斜式方程的步驟
(2)當直線的斜率不存在時,過點P(x0,y0)的直線與x軸垂直,直線上所有點的橫坐標相等,都為x0,故直線方程為x=x0.
鞏固訓練
　　求滿足下列條件的直線的點斜式方程:
(1)過點P(4,-2),傾斜角為150°;
(2)過兩點A(1,3),B(2,5).
探究2：直線的斜截式方程
情境設置
　　問題1:方程y=kx+b的特點是什么
問題2:直線方程的斜截式是由什么推導而來的
問題3:直線y=kx+b在y軸上的截距是恒為正數嗎
新知生成
　　我們把直線l:y=kx+b與y軸的交點(0,b)的縱坐標b叫作直線l在y軸上的截距.方程y=kx+b由直線的斜率k與在y軸上的截距b確定,因此我們把方程y=kx+b叫作直線的斜截式方程,簡稱斜截式.
特別提醒:(1)傾斜角是直角的直線沒有斜截式方程.
(2)斜截式方程應用的前提是直線的斜率存在.
新知運用
例2　根據條件寫出下列直線的斜截式方程:
(1)斜率為2,在y軸上的截距是5;
(2)傾斜角為150°,在y軸上的截距是-2.
【方法總結】　(1)直線的斜截式方程是點斜式方程的特殊形式,其適用前提是直線的斜率存在,只要點斜式中的點在y軸上,就可以直接用斜截式表示.
(2)直線的斜截式方程y=kx+b中只有兩個參數,因此要確定直線方程,只需知道參數k,b的值即可.
鞏固訓練
　　求傾斜角是直線y=-x+1的傾斜角的,且在y軸上的截距是-5的直線方程.
【隨堂檢測】
1.直線y+2=k(x+1)恒過點(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(2,1) B.(-2,-1)
C.(-1,-2) D.(1,2)
2.過點P(0,1)且斜率為2的直線的方程為(　　).
A.y=-2x+1 B.y=2x+1
C.y=-x+1 D.y=x+1
3.已知直線l的方程為y+=(x-1),則l在y軸上的截距為　　　　.
4.已知直線y=-x+5的傾斜角是直線l的傾斜角的5倍,分別求滿足下列條件的直線l的方程:
(1)過點P(3,-4);
(2)在y軸上的截距為3.
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