資源簡介

2.2.2　直線的兩點式方程
【學習目標】
1.掌握直線的兩點式方程的形式、特點及適用范圍.(直觀想象)
2.了解直線的截距式方程的形式、特點及適用范圍.(邏輯推理)
3.會用中點坐標公式求兩點的中點坐標.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2,如何求直線P1P2的方程
【答案】先求直線P1P2的斜率k=,然后利用點斜式求直線P1P2的方程為y-y1=(x-x1).
2.式子y-y1=(x-x1)與=等價嗎 能表示過任意兩點的直線方程嗎
【答案】當且僅當x1≠x2,y1≠y2時才等價.不能,當且僅當x1≠x2,y1≠y2時成立.
3.若P1(0,b),P2(a,0),且a≠0,b≠0,如何求直線P1P2的方程
【答案】利用點斜式可求得y=-x+b,即+=1.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)斜率不存在的直線有兩點式方程. (　　)
(2)過原點的直線沒有截距式方程. (　　)
(3)過點(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的直線的兩點式方程是=. (　　)
【答案】(1)√　(2)√　(3)×
2.過(1,1),(2,-1)兩點的直線方程為(　　).
A.y=2x-1　　　　　　B.y=x+
C.y=-2x+3　　　　　　 D.y=-x+
【答案】C
【解析】∵直線過兩點(1,1)和(2,-1),∴直線的兩點式方程為=,整理得y=-2x+3.
3.直線-=1在兩坐標軸上的截距之和為　　　　.
【答案】-1
【解析】由方程知直線在x軸上的截距為4,在y軸上的截距為-5,故截距之和為4+(-5)=-1.
4.已知直線l的兩點式方程為=,則直線l的斜率為　　　　.
【答案】-
【解析】由題意知直線l過點(-5,0),(3,-3),
所以l的斜率為=-.
【合作探究】
探究1：直線的兩點式方程
情境設置
　　某區商業中心O有通往東、西、南、北的四條大街,某公園位于東大街北側、北大街東側P處,如圖所示.公園到東大街、北大街的垂直距離分別為1 km和4 km.現在要在公園前修建一條直線大道分別與東大街、北大街交匯于A,B兩處,并使該區商業中心O到A,B兩處的距離之和最短.
　問題1:在上述問題中,實際上解題的關鍵是確定直線AB,那么直線AB的方程確定后,點A,B能否確定
【答案】可以確定.
問題2:若給定兩點A(x1,y1),B(x2,y2),是否就可以用兩點式寫出直線AB的方程
【答案】(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0,可以表示任何直線,包括與坐標軸垂直的直線.
問題3:直線的兩點式方程能用=(x1≠x2,y1≠y2)代替嗎
【答案】方程=所表示的圖形不含點(x1,y1),故不能表示整條直線,故不能用其代替兩點式方程.
問題4:過點(1,3)和(1,5)的直線能用兩點式表示嗎 為什么 過點(2,3),(5,3)的直線呢
【答案】能,兩點式方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0適合過任意兩點的直線.過點(2,3),(5,3)的直線也能用兩點式表示.
問題5:方程=和方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)的適用范圍相同嗎
【答案】不同.前者為分式形式方程,形式對稱,但不能表示垂直于坐標軸的直線.后者為整式形式方程,適用于過任意兩點的直線方程.
新知生成
　　直線的兩點式方程
名稱 兩點式方程
已知條件 P1(x1,y1),P2(x2,y2)
示意圖
直線方程 (y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
適用范圍 任意兩點
　　若x1≠x2,y1≠y2,則兩點式方程也可以寫成=.
新知運用
例1　已知△ABC的三個頂點為A(2,-1),B(2,2),C(4,1),求三角形三條邊所在直線的方程.
方法指導　點A,B,C的坐標已知,可以根據坐標來選擇用點斜式還是兩點式求解.
【解析】∵A(2,-1),B(2,2),∴A,B兩點的橫坐標相同,直線AB與x軸垂直,故其方程為x=2.
∵A(2,-1),C(4,1),∴由直線的兩點式方程可得直線AC的方程為=,即y=x-3.
同理可由直線的兩點式方程得直線BC的方程為=,即y=-x+3.
∴三邊AB,AC,BC所在的直線方程分別為x=2,y=x-3,y=-x+3.
【方法總結】當已知兩點坐標,求過這兩點的直線方程時,若兩點的連線不垂直于坐標軸,則考慮用兩點式的分式形式求方程.
鞏固訓練
1.若點P(3,m)在過點A(2,-1),B(-3,4)的直線上,則m=　　　　.
【答案】-2
【解析】由直線的兩點式方程,
得=,即=,
∴直線AB的方程為y+1=-x+2.
∵點P(3,m)在直線AB上,
∴m+1=-3+2,解得m=-2.
2.已知直線經過點A(1,0),B(m,1),求這條直線的方程.
【解析】直線經過點A(1,0),B(m,1),利用兩點式,可得直線方程為(1-0)(x-1)-(m-1)(y-0)=0,即x-(m-1)y-1=0.
探究2：直線的截距式方程
情境設置
　　問題1:怎樣理解直線的截距式方程
【答案】①由截距式方程可以直接得到直線在x軸與y軸上的截距.
②由截距式方程可知,截距式方程只能表示在x軸、y軸上的截距都存在且不為0的直線,因此,截距式不能表示過原點的直線、與x軸垂直的直線、與y軸垂直的直線.
③過原點的直線可以表示為y=kx;與x軸垂直的直線可以表示為x=x0;與y軸垂直的直線可以表示為y=y0.
問題2:方程-=1和+=-1都是直線的截距式方程嗎
【答案】都不是截距式方程.截距式方程的特點有兩個,一是中間必須用“+”號連接,二是等號右邊為1.
新知生成
　　直線的截距式方程
名稱 截距式方程
已知條件 在x軸,y軸上的截距分別為a,b,且a≠0,b≠0
示意圖
直線方程 +=1
適用范圍 斜率存在且不為零,不過原點
　　(1)截距式方程等號左邊以“+”相連,等號右邊是1.
(2)a叫作直線在x軸上的截距,a∈R,且a≠0,不一定有a>0.
新知運用
例2　求過點(4,-3)且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線l的方程.
方法指導　討論截距等于0和不等于0兩種情況,然后設方程求解.
【解析】(法一)設直線在x軸,y軸上的截距分別為a,b.
①當a≠0,b≠0時,設l的方程為+=1.
∵點(4,-3)在直線l上,∴+=1,
若a=b,則a=b=1,直線l的方程為y=-x+1.
若a=-b,則a=7,b=-7,此時直線l的方程為y=x-7.
②當a=b=0時,直線過原點,且過點(4,-3),
∴直線l的方程為3x+4y=0.
綜上可知,所求直線l的方程為y=-x+1或y=x-7或3x+4y=0.
(法二)設直線l的方程為y+3=k(x-4),
令x=0,得y=-4k-3;令y=0,得x=.
∵直線在兩坐標軸上的截距的絕對值相等,
∴|-4k-3|=,
解得k=1或k=-1或k=-,
∴所求的直線l的方程為y=x-7或y=-x+1或3x+4y=0.
【方法總結】　(1)若問題中涉及直線與兩坐標軸相交,則可考慮選用直線的截距式方程,用待定系數法確定其系數即可.(2)選用直線的截距式方程時,必須首先考慮直線能否過原點以及能否與兩坐標軸垂直的情況.
鞏固訓練
　　求過點A(5,2)且在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍的直線l的方程.
【解析】由題意知,當直線l在坐標軸上的截距均為零時,
　　直線l的方程為y=x;
當直線l在坐標軸上的截距不為零時,
設l的方程為+=1,
將點(5,2)代入方程得+=1,解得a=,
所以直線l的方程為x+2y-9=0.
綜上可知,所求直線l的方程為y=x或x+2y-9=0.
探究3：中點坐標公式的應用
情境設置
　　如圖,已知A,B,C三點,且B是AC的中點.
問題1:若已知點A(x1,y1),B(x,y),C(x2,y2),如何根據向量法用點A,C的坐標表示點B的坐標
【答案】根據向量相等,建立方程求解.
因為=,所以(x-x1,y-y1)=(x2-x,y2-y),
所以即
問題2:問題1中的x,y的表達式適合求任何兩點的中點坐標嗎
【答案】適合求任何兩點的中點坐標.
新知生成
　　線段的中點坐標公式
若點P1,P2的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),設P(x,y)是線段P1P2的中點,
則
新知運用
例3　在△ABC中,點A(1,-4),B(6,6),C(-2,0).
(1)求△ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的方程;
　　(2)求BC邊上的中線所在直線的方程.
【解析】(1)平行于BC邊的中位線就是AB,AC中點的連線.因為線段AB,AC的中點坐標分別為,1,-,-2,所以這條直線的方程為=,整理得6x-8y-13=0.
(2)因為BC邊上的中點為(2,3),所以BC邊上的中線所在直線的方程為=,即7x-y-11=0.
【方法總結】中點坐標公式,是求中點坐標的常用公式,記住公式是解題的關鍵.
鞏固訓練
　　在△ABC中,已知點A(5,-2),B(7,3),且邊AC的中點M在y軸上,邊BC的中點N在x軸上.
(1)求點C的坐標;
(2)求直線MN的方程.
【解析】(1)設點C(x,y),由題意得=0,=0,
解得x=-5,y=-3.故所求點C的坐標是(-5,-3).
(2)由(1)知,點M的坐標是0,-,點N的坐標是(1,0),
可得直線MN的方程是+=1,即5x-2y-5=0.
【隨堂檢測】
1.在x軸、y軸上的截距分別是-3,4的直線方程是(　　).
A.+=1　　　　　 B.+=1
C.-=1 D.+=1
【答案】A
2.過點A(3,2),B(4,3)的直線方程是(　　).
A.y=-x-1 B.y=-x+1
C.y=x+1 D.y=x-1
【答案】D
【解析】由直線的兩點式方程,得=,化簡得y=x-1.
3.若直線3x-4y+k=0在兩坐標軸上的截距之和為2,則實數k=　　　　.
【答案】-24
【解析】令x=0,得y=;令y=0,得x=-.則有-=2,所以k=-24.
4.求過點A(5,2),且在坐標軸上截距互為相反數的直線l的方程.
【解析】(法一)①當直線l在坐標軸上的截距均為0時,方程為y=x,即2x-5y=0;
②當直線l在坐標軸上的截距不為0時,
可設方程為+=1,即x-y=a,
又∵l過點A(5,2),∴5-2=a,a=3,
∴l的方程為x-y-3=0.
綜上所述,直線l的方程是2x-5y=0或x-y-3=0.
(法二)由題意知直線的斜率一定存在.
設直線的點斜式方程為y-2=k(x-5),
當x=0時,y=2-5k,當y=0時,x=5-.
根據題意得2-5k=-5-,解得k=或k=1.
當k=時,直線方程為y-2=(x-5),即2x-5y=0;
當k=1時,直線方程為y-2=1×(x-5),即x-y-3=0.
所以直線l的方程是2x-5y=0或x-y-3=0.
22.2.2　直線的兩點式方程
【學習目標】
1.掌握直線的兩點式方程的形式、特點及適用范圍.(直觀想象)
2.了解直線的截距式方程的形式、特點及適用范圍.(邏輯推理)
3.會用中點坐標公式求兩點的中點坐標.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2,如何求直線P1P2的方程
2.式子y-y1=(x-x1)與=等價嗎 能表示過任意兩點的直線方程嗎
3.若P1(0,b),P2(a,0),且a≠0,b≠0,如何求直線P1P2的方程
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)斜率不存在的直線有兩點式方程. (　　)
(2)過原點的直線沒有截距式方程. (　　)
(3)過點(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的直線的兩點式方程是=. (　　)
2.過(1,1),(2,-1)兩點的直線方程為(　　).
A.y=2x-1　　　　　　B.y=x+
C.y=-2x+3　　　　　　 D.y=-x+
3.直線-=1在兩坐標軸上的截距之和為　　　　.
4.已知直線l的兩點式方程為=,則直線l的斜率為　　　　.
【合作探究】
探究1：直線的兩點式方程
情境設置
　　某區商業中心O有通往東、西、南、北的四條大街,某公園位于東大街北側、北大街東側P處,如圖所示.公園到東大街、北大街的垂直距離分別為1 km和4 km.現在要在公園前修建一條直線大道分別與東大街、北大街交匯于A,B兩處,并使該區商業中心O到A,B兩處的距離之和最短.
　問題1:在上述問題中,實際上解題的關鍵是確定直線AB,那么直線AB的方程確定后,點A,B能否確定
問題2:若給定兩點A(x1,y1),B(x2,y2),是否就可以用兩點式寫出直線AB的方程
問題3:直線的兩點式方程能用=(x1≠x2,y1≠y2)代替嗎
問題4:過點(1,3)和(1,5)的直線能用兩點式表示嗎 為什么 過點(2,3),(5,3)的直線呢
問題5:方程=和方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)的適用范圍相同嗎
新知生成
　　直線的兩點式方程
名稱 兩點式方程
已知條件 P1(x1,y1),P2(x2,y2)
示意圖
直線方程 (y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
適用范圍 任意兩點
　　若x1≠x2,y1≠y2,則兩點式方程也可以寫成=.
新知運用
例1　已知△ABC的三個頂點為A(2,-1),B(2,2),C(4,1),求三角形三條邊所在直線的方程.
方法指導　點A,B,C的坐標已知,可以根據坐標來選擇用點斜式還是兩點式求解.
【方法總結】當已知兩點坐標,求過這兩點的直線方程時,若兩點的連線不垂直于坐標軸,則考慮用兩點式的分式形式求方程.
鞏固訓練
1.若點P(3,m)在過點A(2,-1),B(-3,4)的直線上,則m=　　　　.
2.已知直線經過點A(1,0),B(m,1),求這條直線的方程.
探究2：直線的截距式方程
情境設置
　　問題1:怎樣理解直線的截距式方程
問題2:方程-=1和+=-1都是直線的截距式方程嗎
新知生成
　　直線的截距式方程
名稱 截距式方程
已知條件 在x軸,y軸上的截距分別為a,b,且a≠0,b≠0
示意圖
直線方程 +=1
適用范圍 斜率存在且不為零,不過原點
　　(1)截距式方程等號左邊以“+”相連,等號右邊是1.
(2)a叫作直線在x軸上的截距,a∈R,且a≠0,不一定有a>0.
新知運用
例2　求過點(4,-3)且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線l的方程.
方法指導　討論截距等于0和不等于0兩種情況,然后設方程求解.
【方法總結】　(1)若問題中涉及直線與兩坐標軸相交,則可考慮選用直線的截距式方程,用待定系數法確定其系數即可.(2)選用直線的截距式方程時,必須首先考慮直線能否過原點以及能否與兩坐標軸垂直的情況.
鞏固訓練
　　求過點A(5,2)且在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍的直線l的方程.
探究3：中點坐標公式的應用
情境設置
　　如圖,已知A,B,C三點,且B是AC的中點.
問題1:若已知點A(x1,y1),B(x,y),C(x2,y2),如何根據向量法用點A,C的坐標表示點B的坐標
問題2:問題1中的x,y的表達式適合求任何兩點的中點坐標嗎
新知生成
　　線段的中點坐標公式
若點P1,P2的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),設P(x,y)是線段P1P2的中點,
則
新知運用
例3　在△ABC中,點A(1,-4),B(6,6),C(-2,0).
(1)求△ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的方程;
　　(2)求BC邊上的中線所在直線的方程.
【方法總結】中點坐標公式,是求中點坐標的常用公式,記住公式是解題的關鍵.
鞏固訓練
　　在△ABC中,已知點A(5,-2),B(7,3),且邊AC的中點M在y軸上,邊BC的中點N在x軸上.
(1)求點C的坐標;
(2)求直線MN的方程.
【隨堂檢測】
1.在x軸、y軸上的截距分別是-3,4的直線方程是(　　).
A.+=1　　　　　 B.+=1
C.-=1 D.+=1
2.過點A(3,2),B(4,3)的直線方程是(　　).
A.y=-x-1 B.y=-x+1
C.y=x+1 D.y=x-1
3.若直線3x-4y+k=0在兩坐標軸上的截距之和為2,則實數k=　　　　.
4.求過點A(5,2),且在坐標軸上截距互為相反數的直線l的方程.
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