資源簡介

2.2.3 課時1 直線的一般式方程
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.掌握直線的一般式方程.(邏輯推理)
2.理解關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同時為0)都表示直線.(直觀想象)
3.會進行直線方程的五種形式之間的相互轉(zhuǎn)化.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
1.前兩節(jié)我們學(xué)習(xí)了直線方程的四種形式,你能寫出這四種形式嗎
【答案】①點斜式方程為y-y0=k(x-x0);②斜截式方程為y=kx+b;③兩點式方程為=(x2≠x1,y2≠y1)或(x-x1)(y2-y1)-(x2-x1)(y-y1)=0;④截距式方程為+=1(a≠0,b≠0).
2.我們學(xué)習(xí)過四種表示直線的方程,它們有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系
【答案】區(qū)別:四種方程是通過已知不同類型的幾何要素推導(dǎo)出來的,方程的應(yīng)用條件不同,呈現(xiàn)的表達形式也不同.
聯(lián)系:四種方程的推導(dǎo)均可以直接將直線上任意點的幾何特征利用幾何要素的代數(shù)形式進行刻畫,得到直線的代數(shù)表示,即直線上點的橫、縱坐標(biāo)x,y之間的關(guān)系,且部分方程有限制條件.
3.上述四種方程在表示直線時有怎樣的局限性
【答案】點斜式方程、斜截式方程不適用于斜率不存在的情況;兩點式方程的分式形式不適用于與兩坐標(biāo)軸平行的情況;截距式方程不適用于直線過原點、直線與兩坐標(biāo)軸平行的情況.
4.平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個關(guān)于x,y的二元一次方程表示嗎 為什么
【答案】都可以,原因如下:①當(dāng)直線和y軸相交于點(0,b)時,傾斜角α≠,直線的斜率k存在,直線可表示成y=kx+b,可轉(zhuǎn)化為kx+(-1)y+b=0,這是關(guān)于x,y的二元一次方程.
②當(dāng)直線和y軸平行(包含重合)時,傾斜角α=,直線的斜率k不存在,不能用y=kx+b表示,而只能表示成x-a=0,它可以認(rèn)為是關(guān)于x,y的二元一次方程,此時方程中y的系數(shù)為0.
自學(xué)檢測
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若方程Ax+By+C=0表示直線,則A≠0. (　　)
(2)若方程Ax+By+C=0表示直線,則B≠0. (　　)
(3)若方程Ax+By+C=0表示直線,則A2+B2≠0. (　　)
　　【答案】(1)×　(2)×　(3)√
2.在平面直角坐標(biāo)系中,直線x+y-3=0的傾斜角是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.30° B.60° C.120° D.150°
【答案】D
【解析】因為直線的斜率k=-,所以直線的傾斜角為150°,故選D.
3.經(jīng)過點A(8,-2),斜率為-2的直線方程為(　　).
A.x+2y-4=0 B.x-2y-12=0
C.2x+y-14=0 D.x+2y+4=0
【答案】C
【解析】由題意得,經(jīng)過點A(8,-2),斜率為-2的直線方程為y+2=-2(x-8),即2x+y-14=0.
4.已知直線l的傾斜角為60°,在y軸上的截距為-4,則直線l的點斜式方程為　　　　;截距式方程為　　　　;斜截式方程為　　　　;一般式方程為　　　　.
【答案】y+4=(x-0)　+=1　y=x-4　x-y-4=0
【解析】由題意可得,點斜式方程為y+4=(x-0),截距式方程為+=1,斜截式方程為y=x-4,一般式方程為x-y-4=0.
【合作探究】
探究1：一般式方程
情境設(shè)置
　　問題1:觀察下列直線方程:
直線l1:y-2=3(x-1);直線l2:y=3x+2;
直線l3:=;直線l4:+=1.
上述形式的直線方程能化成二元一次方程Ax+By+C=0的形式嗎
【答案】根據(jù)它們的方程,都能整理成二元一次方程的形式.
問題2:每一個關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同時為零)都能表示一條直線嗎 為什么
【答案】能表示一條直線,理由如下:當(dāng)B≠0時,方程Ax+By+C=0可變形為y=-x-,它表示過點0,-,斜率為-的直線;
當(dāng)B=0時,方程Ax+By+C=0變成Ax+C=0,即x=-,它表示與y軸平行或重合的一條直線.
問題3:在方程Ax+By+C=0(A,B不同時為零)中,A,B,C為何值時,方程表示的直線:①平行于x軸 ②平行于y軸 ③與x軸重合 ④與y軸重合
【答案】當(dāng)A=0,B≠0時,方程變?yōu)閥=-,當(dāng)C≠0時,表示的直線平行于x軸,當(dāng)C=0時,與x軸重合;當(dāng)A≠0,B=0時,方程變?yōu)閤=-,當(dāng)C≠0時,表示的直線平行于y軸,當(dāng)C=0時,與y軸重合.
問題4:二元一次方程與直線的關(guān)系是什么
【答案】①二元一次方程的每一組解都可以看成平面直角坐標(biāo)系中一個點的坐標(biāo),這個方程的全體解組成的集合,就是坐標(biāo)滿足二元一次方程的全體點的集合,這些點的集合就組成了一條直線.
②二元一次方程與平面直角坐標(biāo)系中的直線是一一對應(yīng)的,因此直線的一般式方程可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一條直線.
新知生成
　　直線的一般式方程
定義:關(guān)于x,y的二元一次方程都表示一條直線,我們把關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同時為0)叫作直線的一般式方程,簡稱一般式.
適用范圍:平面直角坐標(biāo)系中,任何一條直線都可用一般式表示.
系數(shù)的幾何意義:
①當(dāng)B≠0時,斜率k=-,在y軸上的截距為-;
②當(dāng)B=0,A≠0時,斜率不存在,在x軸上的截距為-.
解題時,若無特殊說明,應(yīng)把求得的直線方程化為一般式.
新知運用
例1　根據(jù)下列各條件寫出直線的方程,并且化成一般式.
(1)斜率是-,且經(jīng)過點A(8,-2);
(2)經(jīng)過點B(4,2),且平行于x軸;
(3)在x軸和y軸上的截距分別是,-3;
(4)經(jīng)過點P1(3,-2)和點P2(5,-4).
方法指導(dǎo)　根據(jù)條件,選擇恰當(dāng)?shù)闹本€方程的形式,最后化成一般式方程.
【解析】(1)由點斜式得y-(-2)=-(x-8),
即x+2y-4=0.
(2)由斜截式得y=2,即y-2=0.
(3)由截距式得+=1,即2x-y-3=0.
(4)由兩點式得=,即x+y-1=0.
【方法總結(jié)】在求直線方程時,設(shè)一般式方程有時并不簡單,常用的方法還是根據(jù)給定條件選用四種特殊形式之一求方程,然后轉(zhuǎn)化為一般式.在利用直線方程的四種特殊形式時,一定要注意其適用的前提條件.
鞏固訓(xùn)練
1.在y軸上的截距為-6,且傾斜角為45°的直線的一般式方程為　　　　　　　.
【答案】x-y-6=0
【解析】設(shè)直線的斜截式方程為y=kx+b(k≠0),則由題意得k=tan 45°=1,b=-6,所以y=x-6,即x-y-6=0.
2.已知點A(2,-1),B(6,1),則在y軸上的截距為-3,且經(jīng)過線段AB中點的直線方程為　　　　　　.
【答案】3x-4y-12=0
【解析】由于A(2,-1),B(6,1),故線段AB中點的坐標(biāo)為(4,0),又直線在y軸上的截距是-3,∴直線方程為-=1,即3x-4y-12=0.
探究2：直線的一般式方程的應(yīng)用
例2　已知直線l: 5ax-5y-a+3=0.
(1)求證:不論a為何值,直線l總經(jīng)過第一象限.
(2)為使直線l不經(jīng)過第二象限,求a的取值范圍.
解析 　(1)將直線l的方程整理為y-=a,
∵直線l的斜率為a,且過定點A,又點A在第一象限內(nèi),∴不論a為何值,l恒過第一象限.
(2)直線OA的斜率kOA==3.
如圖所示,要使l不經(jīng)過第二象限,只需斜率a≥kOA=3.
∴a≥3,即a的取值范圍是[3,+∞).
【方法總結(jié)】　(1)要證直線l總經(jīng)過某一象限,只需證直線l總經(jīng)過該象限內(nèi)的一個定點即可.
(2)要證直線l不經(jīng)過某一象限,可將該直線方程轉(zhuǎn)化為斜截式后,借助于數(shù)形結(jié)合的方法確定斜率與截距的符號.
鞏固訓(xùn)練
　　已知直線l的方程為(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求a的值;
(2)若l不經(jīng)過第二象限,求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】(1)①當(dāng)a=-1時,直線l的方程為y+3=0,顯然不符合題意.
②當(dāng)a≠-1時,令x=0,則y=a-2,
令y=0,則x=.
∵l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,
∴a-2=,
解得a=2或a=0,
經(jīng)檢驗均是方程的解.
綜上,a的值為2或0.
(2)直線l的方程可化為y=-(a+1)x+a-2,故要使l不經(jīng)過第二象限,只需解得a≤-1,
∴實數(shù)a的取值范圍為(-∞,-1].
【隨堂檢測】
1.直線+=1的一般式方程為(　　).
A.y=-x+4　　　　　B.y=-(x-3)
C.4x+3y-12=0 D.4x+3y=12
【答案】C
【解析】直線+=1化成一般式方程為4x+3y-12=0.
2.若ax+by+c=0表示的直線是y軸,則系數(shù)a,b,c滿足條件(　　).
A.bc=0 B.a≠0
C.bc=0且a≠0 D.a≠0且b=c=0
【答案】D
【解析】y軸方程表示為x=0,所以a,b,c滿足的條件為b=c=0,且a≠0.
3.斜率為2,且經(jīng)過點A(1,3)的直線的一般式方程為　　　　　　　　.
【答案】2x-y+1=0
【解析】由直線的點斜式方程可得y-3=2(x-1),化成一般式為2x-y+1=0.
4.若直線(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的傾斜角是45°,則實數(shù)m的值是　　　　.
【答案】3
【解析】∵已知直線的傾斜角為45°,∴該直線的斜率存在且為1,可得解得m=3.
22.2.3 課時1 直線的一般式方程
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.掌握直線的一般式方程.(邏輯推理)
2.理解關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同時為0)都表示直線.(直觀想象)
3.會進行直線方程的五種形式之間的相互轉(zhuǎn)化.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
1.前兩節(jié)我們學(xué)習(xí)了直線方程的四種形式,你能寫出這四種形式嗎
2.我們學(xué)習(xí)過四種表示直線的方程,它們有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系
3.上述四種方程在表示直線時有怎樣的局限性
4.平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個關(guān)于x,y的二元一次方程表示嗎 為什么
自學(xué)檢測
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若方程Ax+By+C=0表示直線,則A≠0. (　　)
(2)若方程Ax+By+C=0表示直線,則B≠0. (　　)
(3)若方程Ax+By+C=0表示直線,則A2+B2≠0. (　　)
　
2.在平面直角坐標(biāo)系中,直線x+y-3=0的傾斜角是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.經(jīng)過點A(8,-2),斜率為-2的直線方程為(　　).
A.x+2y-4=0 B.x-2y-12=0
C.2x+y-14=0 D.x+2y+4=0
4.已知直線l的傾斜角為60°,在y軸上的截距為-4,則直線l的點斜式方程為　　　　;截距式方程為　　　　;斜截式方程為　　　　;一般式方程為　　　　.
【合作探究】
探究1：一般式方程
情境設(shè)置
　　問題1:觀察下列直線方程:
直線l1:y-2=3(x-1);直線l2:y=3x+2;
直線l3:=;直線l4:+=1.
上述形式的直線方程能化成二元一次方程Ax+By+C=0的形式嗎
問題2:每一個關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同時為零)都能表示一條直線嗎 為什么
問題3:在方程Ax+By+C=0(A,B不同時為零)中,A,B,C為何值時,方程表示的直線:①平行于x軸 ②平行于y軸 ③與x軸重合 ④與y軸重合
問題4:二元一次方程與直線的關(guān)系是什么
新知生成
　　直線的一般式方程
定義:關(guān)于x,y的二元一次方程都表示一條直線,我們把關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同時為0)叫作直線的一般式方程,簡稱一般式.
適用范圍:平面直角坐標(biāo)系中,任何一條直線都可用一般式表示.
系數(shù)的幾何意義:
①當(dāng)B≠0時,斜率k=-,在y軸上的截距為-;
②當(dāng)B=0,A≠0時,斜率不存在,在x軸上的截距為-.
解題時,若無特殊說明,應(yīng)把求得的直線方程化為一般式.
新知運用
例1　根據(jù)下列各條件寫出直線的方程,并且化成一般式.
(1)斜率是-,且經(jīng)過點A(8,-2);
(2)經(jīng)過點B(4,2),且平行于x軸;
(3)在x軸和y軸上的截距分別是,-3;
(4)經(jīng)過點P1(3,-2)和點P2(5,-4).
方法指導(dǎo)　根據(jù)條件,選擇恰當(dāng)?shù)闹本€方程的形式,最后化成一般式方程.
【方法總結(jié)】在求直線方程時,設(shè)一般式方程有時并不簡單,常用的方法還是根據(jù)給定條件選用四種特殊形式之一求方程,然后轉(zhuǎn)化為一般式.在利用直線方程的四種特殊形式時,一定要注意其適用的前提條件.
鞏固訓(xùn)練
1.在y軸上的截距為-6,且傾斜角為45°的直線的一般式方程為　　　　　　　.
2.已知點A(2,-1),B(6,1),則在y軸上的截距為-3,且經(jīng)過線段AB中點的直線方程為　　　　　　.
探究2：直線的一般式方程的應(yīng)用
例2　已知直線l: 5ax-5y-a+3=0.
(1)求證:不論a為何值,直線l總經(jīng)過第一象限.
(2)為使直線l不經(jīng)過第二象限,求a的取值范圍.
解析 　(1)將直線l的方程整理為y-=a,
∵直線l的斜率為a,且過定點A,又點A在第一象限內(nèi),∴不論a為何值,l恒過第一象限.
(2)直線OA的斜率kOA==3.
如圖所示,要使l不經(jīng)過第二象限,只需斜率a≥kOA=3.
∴a≥3,即a的取值范圍是[3,+∞).
【方法總結(jié)】　(1)要證直線l總經(jīng)過某一象限,只需證直線l總經(jīng)過該象限內(nèi)的一個定點即可.
(2)要證直線l不經(jīng)過某一象限,可將該直線方程轉(zhuǎn)化為斜截式后,借助于數(shù)形結(jié)合的方法確定斜率與截距的符號.
鞏固訓(xùn)練
　　已知直線l的方程為(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求a的值;
(2)若l不經(jīng)過第二象限,求實數(shù)a的取值范圍.
【隨堂檢測】
1.直線+=1的一般式方程為(　　).
A.y=-x+4　　　　　B.y=-(x-3)
C.4x+3y-12=0 D.4x+3y=12
2.若ax+by+c=0表示的直線是y軸,則系數(shù)a,b,c滿足條件(　　).
A.bc=0 B.a≠0
C.bc=0且a≠0 D.a≠0且b=c=0
3.斜率為2,且經(jīng)過點A(1,3)的直線的一般式方程為　　　　　　　　.
4.若直線(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的傾斜角是45°,則實數(shù)m的值是　　　　.
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