資源簡介

2.2.3 課時2 直線的方向向量與法向量
【學習目標】
1.了解直線的方向向量與法向量.(數學抽象、直觀想象)
2.會利用直線的方向向量與法向量求直線的方程.(數學抽象、邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.什么是直線的方向向量 它與斜率k有什么關系
2.直線l的方向向量v唯一嗎 為什么
3.直線的法向量與直線的方向向量有什么關系 直線的法向量是唯一的嗎
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)直線y=kx+b的全體方向向量為(k,1). (　　)
(2)直線y=kx+b的一個法向量為(k,-1). (　　)
2.若直線過A(0,1),B(2,-1)兩點,則下列不是直線的方向向量的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(2,-2) B.(-2,2)
C.(0,1) D.(1,-1)
3.在平面直角坐標系中,直線l的傾斜角是60°,則直線l的全體方向向量為(　　)(其中λ≠0).
A.λ(,1) B.λ(1,)
C.λ,-1 D.λ-1,
4.已知直線l的一個方向向量為(3,4),且過點(-1, 2),則直線l的點斜式方程為　　　　 　.
【合作探究】
探究1：直線的方向向量
情境設置
　　問題1:求直線y=-2x+1的全體方向向量.
問題2:求直線Ax+By+C=0(A,B不能同時為0)的全體方向向量.
新知生成
1.直線的方向向量
與直線l平行的非零向量v都稱為l的方向向量,用它們來表示直線的方向.
直線l的方向向量v并不唯一,v的所有的非零實數倍λv都是方向向量.反過來,所有的方向向量都與 l 平行,因此它們相互平行,互為實數倍.
2.斜率為k的直線的方向向量
斜率為k的直線的方向向量為(1, k)的非零實數倍.
3.直線一般式的方向向量
直線Ax+By+C=0的全體方向向量為λ(-B,A),其中λ為任意非零實數.
新知運用
例1　(1)求直線2x+2y-1=0的全體方向向量.
(2)已知直線l的一個方向向量為,且經過點P(2,-1),求直線l的方程.
【方法總結】求直線的方向向量可以化為點斜式,也可以根據一般式的直線的方向向量公式求解.此外,傾斜角為α的直線的一個方向向量為(cos α, sin α).已知方向向量求直線方程,可根據方向向量與直線的關系,求出斜率,再根據條件寫出直線方程.
鞏固訓練
　　寫出直線2x+y+1=0的一個方向向量m=　　　.
探究2：直線的法向量
情境設置
　　問題1:求直線y=kx+b的法向量.
問題2:類比直線l:Ax+By+C=0(A,B不能同時為0)的方向向量,推導直線l的法向量.
新知生成
1.直線的法向量
與直線l:Ax+By+C=0(A,B不同時為0)垂直的非零向量(A,B)稱為直線l的一個法向量.
2.點斜式與一般式的法向量
(1)斜率為k的直線的一個法向量為(k,-1).
(2)直線方程 Ax+By+C=0 (A, B不同時為0)的法向量為(A,B).
新知運用
例2　寫出滿足下列條件的直線的方程:
(1)垂直于向量(-1,5)并且經過點A(3,-1);
(2)經過點A(-2,3)和B(1,-7).
【方法總結】已知過點P(x0,y0),且其一個法向量為(A,B)的直線方程是A(x-x0)+B(y-y0)=0.
鞏固訓練
過點(2,-1)且法向量為(2,-1)的直線方程是　　　　.
【隨堂檢測】
1.若直線l的傾斜角等于135°,則直線l的一個方向向量是(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(1,-1) B.(1,1)
C.(2,-) D.(3,)
2.過點A(-1,5)且以n=(-2,-1)為法向量的直線方程為　　　　.
3.已知直線l過點P(-1,2),Q(2,-2),求直線l的法向量及方程.
22.2.3 課時2 直線的方向向量與法向量
【學習目標】
1.了解直線的方向向量與法向量.(數學抽象、直觀想象)
2.會利用直線的方向向量與法向量求直線的方程.(數學抽象、邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.什么是直線的方向向量 它與斜率k有什么關系
【答案】 與直線l平行的非零向量v都稱為l的方向向量;斜率為k的直線的方向向量為(1,k)的非零實數倍.
2.直線l的方向向量v唯一嗎 為什么
【答案】 直線l的方向向量v并不唯一,因為v的所有非零實數倍λv都是方向向量.
3.直線的法向量與直線的方向向量有什么關系 直線的法向量是唯一的嗎
【答案】 直線的法向量與直線的方向向量垂直;直線的法向量不唯一.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)直線y=kx+b的全體方向向量為(k,1). (　　)
(2)直線y=kx+b的一個法向量為(k,-1). (　　)
【答案】(1)×　(2)√
2.若直線過A(0,1),B(2,-1)兩點,則下列不是直線的方向向量的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(2,-2) B.(-2,2)
C.(0,1) D.(1,-1)
【答案】C
【解析】若直線過A(0,1),B(2,-1)兩點,則=(2,-2),則(0,1)不是直線的方向向量,故選C.
3.在平面直角坐標系中,直線l的傾斜角是60°,則直線l的全體方向向量為(　　)(其中λ≠0).
A.λ(,1) B.λ(1,)
C.λ,-1 D.λ-1,
【答案】 B
【解析】因為直線l的傾斜角是60°,所以該直線的斜率k=,所以直線l的全體方向向量為λ(1,),故選B.
4.已知直線l的一個方向向量為(3,4),且過點(-1, 2),則直線l的點斜式方程為　　　　 　.
【答案】 y-2=(x+1)
【解析】因為直線l的一個方向向量為(3,4),所以直線l的斜率為,
所以直線l的點斜式方程為y-2=(x+1).
【合作探究】
探究1：直線的方向向量
情境設置
　　問題1:求直線y=-2x+1的全體方向向量.
【答案】 由題意知,直線的斜率k=-2,所以直線y=-2x+1的全體方向向量為λ(1,-2)(其中λ≠0,且λ∈R).
問題2:求直線Ax+By+C=0(A,B不能同時為0)的全體方向向量.
【答案】 直線上任意兩點P(x0,y0),Q(x,y)的坐標滿足等式:
Ax0+By0+C=0,　①
Ax+By+C=0.　②
由②-①得A(x-x0)+B(y-y0)=0.　③
當P,Q兩點不重合時,=(x-x0,y-y0)代表了直線的全體方向向量,將③式的左邊寫成數量積的形式,得(A,B)·(x-x0,y-y0)=0.　④
由④可知,與向量(A,B)垂直,因此這條直線與向量(A,B)垂直.
又向量(-B,A)與向量(A,B)垂直,所以(-B,A)是直線的一個方向向量,故直線的全體方向向量為λ(-B,A),其中λ為任意非零實數.
新知生成
1.直線的方向向量
與直線l平行的非零向量v都稱為l的方向向量,用它們來表示直線的方向.
直線l的方向向量v并不唯一,v的所有的非零實數倍λv都是方向向量.反過來,所有的方向向量都與 l 平行,因此它們相互平行,互為實數倍.
2.斜率為k的直線的方向向量
斜率為k的直線的方向向量為(1, k)的非零實數倍.
3.直線一般式的方向向量
直線Ax+By+C=0的全體方向向量為λ(-B,A),其中λ為任意非零實數.
新知運用
例1　(1)求直線2x+2y-1=0的全體方向向量.
(2)已知直線l的一個方向向量為,且經過點P(2,-1),求直線l的方程.
【解析】(1)(法一)由直線2x+2y-1=0變形可得y=-x+,
所以直線的斜率k=-,
所以向量(1,-)為直線的一個方向向量,
故該直線的全體方向向量為λ(1,-)(λ為任意非零實數).
(法二)根據一般式的方向向量可得直線2x+2y-1=0的全體方向向量為λ(-2,2)(λ為任意非零實數).
(2)由直線l的一個方向向量為-,1,得直線l的斜率k=-2,
故直線l的方程為y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.
【方法總結】求直線的方向向量可以化為點斜式,也可以根據一般式的直線的方向向量公式求解.此外,傾斜角為α的直線的一個方向向量為(cos α, sin α).已知方向向量求直線方程,可根據方向向量與直線的關系,求出斜率,再根據條件寫出直線方程.
鞏固訓練
　　寫出直線2x+y+1=0的一個方向向量m=　　　.
【答案】(1,-2)(答案不唯一)
【解析】由題意可知,直線2x+y+1=0可以化為y=-2x-1,
所以直線的斜率為-2,故直線的一個方向向量可以為(1,-2).
探究2：直線的法向量
情境設置
　　問題1:求直線y=kx+b的法向量.
【答案】若直線上任意兩點P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1 ≠x2)的坐標滿足k=,即y2-y1=k(x2-x1).
方向向量=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1, k(x2-x1))=(x2-x1)(1,k)=λ(1,k),
其中,λ=x2-x1可以取任何非零實數.
因為(k,-1)·(1,k)=0,所以斜率為k的直線的一個法向量為(k,-1).
問題2:類比直線l:Ax+By+C=0(A,B不能同時為0)的方向向量,推導直線l的法向量.
【答案】 因為直線l:Ax+By+C=0的一個方向向量為(-B,A),根據垂直關系可知直線l的一個法向量為(A,B).
新知生成
1.直線的法向量
與直線l:Ax+By+C=0(A,B不同時為0)垂直的非零向量(A,B)稱為直線l的一個法向量.
2.點斜式與一般式的法向量
(1)斜率為k的直線的一個法向量為(k,-1).
(2)直線方程 Ax+By+C=0 (A, B不同時為0)的法向量為(A,B).
新知運用
例2　寫出滿足下列條件的直線的方程:
(1)垂直于向量(-1,5)并且經過點A(3,-1);
(2)經過點A(-2,3)和B(1,-7).
【解析】(1)(法一)由條件可知向量(-1,5)為所求直線的法向量,
故可設直線的一般式方程為-x+5y+m=0.
將點A(3,-1)代入上述方程,得-3-5+m=0,解得m=8.
因此所求直線方程為 x-5y-8=0.
(法二)直線方程為-(x-3)+5(y+1)=0,即x-5y-8=0.
(2)由已知條件可知直線的方向向量=(3,-10),則直線AB的法向量n=(10,3),
故直線方程為10(x+2)+3(y-3)=0,即10x+3y+11=0.
【方法總結】已知過點P(x0,y0),且其一個法向量為(A,B)的直線方程是A(x-x0)+B(y-y0)=0.
鞏固訓練
過點(2,-1)且法向量為(2,-1)的直線方程是　　　　.
【答案】 2x-y-5=0
【解析】設(x,y)是所求直線上任意一點,則2(x-2)-(y+1)=0,
即所求直線方程為2x-y-5=0.
【隨堂檢測】
1.若直線l的傾斜角等于135°,則直線l的一個方向向量是(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(1,-1) B.(1,1)
C.(2,-) D.(3,)
【答案】A
【解析】∵直線l的傾斜角等于135°,∴直線l的斜率k=-1,
∴直線l的一個方向向量為(1,-1).
2.過點A(-1,5)且以n=(-2,-1)為法向量的直線方程為　　　　.
【答案】 2x+y-3=0
【解析】設B(x,y)是所求直線上不與點A重合的一點,則直線的方向向量為a==(x+1,y-5),又直線的法向量為n=(-2,-1),由a·n=0得-2(x+1)-(y-5)=0,即2x+y-3=0.
3.已知直線l過點P(-1,2),Q(2,-2),求直線l的法向量及方程.
【解析】由已知得=(3,-4),則直線l的法向量n=(4,3),
故直線l的方程為4(x+1)+3(y-2)=0,即4x+3y-2=0.
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