資源簡介

2.3.1　兩條直線平行與垂直的判定
【學習目標】
1.理解兩條直線平行的條件及兩條直線垂直的條件.(直觀想象)
2.能根據(jù)已知條件判斷兩條直線的平行與垂直.(邏輯推理)
3.能應用兩條直線的平行或垂直解決實際問題.(數(shù)學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.我們知道,平面中的兩條不重合直線有兩種位置關系:相交、平行.當直線l1與l2平行時,它們的斜率k1與k2滿足什么關系 證明你的結論.
2.兩條直線平行,它們的斜率一定相等嗎
3.當兩條相交直線的斜率都存在時,它們的斜率不相等;反之,當兩條直線的斜率不相等時,它們相交.在相交的位置關系中,垂直是最特殊的情形,直線l1,l2垂直時,它們的斜率除了不相等外,是否還有特殊的數(shù)量關系
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若不重合的兩條直線的斜率相等,則這兩條直線平行. (　　)
(2)若l1∥l2,則k1=k2. (　　)
(3)若兩條直線中有一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率存在,則這兩條直線垂直. (　　)
(4)若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合,則這兩條直線平行. (　　)
2.已知點A(2,0),B(3,3),直線l∥AB,則直線l的斜率kl=(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-3 B.3 C.- D.
3.若直線l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的兩根,則l1與l2的位置關系是(　　).
A.平行 B.重合
C.相交但不垂直 D.垂直
4.已知l1過點A(m,1),B(-3,4),l2過點C(0,2),D(1,1),且l1∥l2,則m=　　　　.
【合作探究】
探究1：兩條直線平行的判定
情境設置
　　問題1:如果兩條直線中某條直線的斜率不存在,那么怎么判斷它們的位置關系
問題2:如何用斜率關系證明三點共線
新知生成
　　兩條直線平行
(1)兩條直線都有斜率且不重合時的平行
已知直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,則l1∥l2 k1=k2且b1≠b2.
(2)特殊情況下的兩條直線的平行
若兩條平行直線中的一條直線的斜率不存在,則另一條直線的斜率也不存在,反之,若兩條不重合直線的斜率都不存在,則這兩條直線平行.
特別提醒:討論兩條直線平行時,要分斜率存在和斜率不存在兩種情形,缺少任何一種情形都有可能發(fā)生錯誤.
新知運用
例1　求m,n的值,使直線l1:y=(m-1)x-n+7滿足:
(1)平行于x軸;
(2)平行于直線l2:7x-y+15=0.
【方法總結】　(1)判斷兩條直線平行,應首先看兩條直線的斜率是否存在,即先看兩點的橫坐標是否相等,橫坐標相等是特殊情況,應特殊判斷.在證明兩條直線平行時,要區(qū)分平行與重合,必須強調不共線才能確定平行,因為斜率相等也可能推出兩條直線重合.
(2)應用兩條直線平行求參數(shù)值時,應分斜率存在與不存在兩種情況進行討論.
鞏固訓練
判斷下列各組直線是否平行,并說明理由.
(1)l1:y=3x+2,l2:y=3x+1.
(2)l1:x+2y-1=0,l2:x+2y=0.
(3)l1:x+2=0,l2:2x=1.
探究2：兩條直線垂直的判定
情境設置
　　問題1:如果兩條直線垂直,那么這兩條直線的方向向量具有怎樣的關系
問題2:若兩條直線垂直,則它們的斜率之積一定為-1嗎
新知生成
　　兩條直線垂直
如果兩條直線都有斜率,且它們互相垂直,那么它們的斜率之積等于　-1　;反之,如果它們的斜率之積等于　-1　,那么它們互相垂直.即l1⊥l2 k1·k2=-1.
特別提醒:l1⊥l2 k1·k2=-1成立的前提條件是兩條直線的斜率都存在.
新知運用
例2　(1)已知l1經(jīng)過點A(3,2),B(3,-1),l2經(jīng)過點M(1,1),N(2,1),判斷l(xiāng)1與l2是否垂直;
(2)已知直線l1經(jīng)過點A(3,a),B(a-2,3),直線l2經(jīng)過點C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.
【方法總結】利用斜率公式判定兩條直線垂直的步驟:
一看:看所給兩點的橫坐標是否相等,若相等,則該直線的斜率不存在,這時只需看另一條直線上的兩點的縱坐標是否相等,若相等,則兩條直線垂直;若不相等,則進行第二步.二代:將點的坐標代入斜率公式.三求:計算斜率的值,進行判斷.尤其是點的坐標中含有參數(shù)時,應用斜率公式時要對參數(shù)進行討論.
鞏固訓練
1.與直線y=2x+1垂直,且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=x+4 B.y=2x+4
C.y=-2x+4 D.y=-x+4
2.已知△ABC的三個頂點分別是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),則BC邊上的高所在直線的斜截式方程為　　　　.
探究3：由一般式確定兩條直線的位置關系
情境設置
問題1:給出直線的一般式,如何解決兩條直線平行或垂直中的參數(shù)問題
問題2:直線l1和l2的方程分別是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0,其中A1,B1不全為0,A2,B2也不全為0.當l1∥l2時,直線方程中的系數(shù)應滿足什么關系
問題3:在問題2的條件下,當l1⊥l2時,直線方程中的系數(shù)應滿足什么關系
新知生成
1.直線l1和l2的方程分別是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0.
(1)兩條直線平行的條件
l1∥l2 法向量平行 A2=λA1,B2=λB1,C2≠λC1,λ是非零實數(shù).
(2)兩條直線垂直的條件
l1⊥l2 法向量垂直 (A1,B1)·(A2,B2)=A1A2+B1B2=0.
2.與直線Ax+By+C=0平行的直線方程可設為Ax+By+m=0(m≠C),與直線Ax+By+C=0垂直的直線方程可設為Bx-Ay+n=0.
新知運用
例3　(1)已知直線l1:2x+(m+1)y+4=0與直線l2:mx+3y-2=0平行,求m的值.
(2)當a為何值時,直線l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0與直線l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直
【方法總結】在利用直線的一般式求解直線的平行或垂直問題時,參數(shù)的值或取值范圍易忽視討論.
鞏固訓練
已知直線l的方程為3x+4y-12=0,當直線l'滿足下列條件時,求直線l'的一般式方程.
(1)過點(-1,3)且與l平行;
(2)過點(-1,3)且與l垂直.
【隨堂檢測】
1.已知經(jīng)過點P(-2,m)和Q(m,4)的直線平行于斜率等于1的直線,則實數(shù)m的值是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4 B.1 C.1或3 D.1或4
2.已知直線l1:ax+y+1=0與直線l2:x+(2a-3)y+5=0垂直,則a=(　　).
A.3 B.2 C.1 D.-1
3.已知在△ABC中,A(0,3),B(2,-1),E,F分別為AC,BC的中點,則直線EF的斜率為　　　　.
4.已知在平面直角坐標系中,A(-2,3),B(3,-2),C,m,D(0,-3).
(1)若點C在直線AB上,求m的值;
(2)若直線AC與直線BD平行,求m的值;
(3)若直線AC與直線BC垂直,求m的值.
22.3.1　兩條直線平行與垂直的判定
【學習目標】
1.理解兩條直線平行的條件及兩條直線垂直的條件.(直觀想象)
2.能根據(jù)已知條件判斷兩條直線的平行與垂直.(邏輯推理)
3.能應用兩條直線的平行或垂直解決實際問題.(數(shù)學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.我們知道,平面中的兩條不重合直線有兩種位置關系:相交、平行.當直線l1與l2平行時,它們的斜率k1與k2滿足什么關系 證明你的結論.
【答案】相等,因為兩條直線平行,它們的傾斜角相等.
2.兩條直線平行,它們的斜率一定相等嗎
【答案】不一定,因為兩條直線平行,有可能它們的斜率都不存在.
3.當兩條相交直線的斜率都存在時,它們的斜率不相等;反之,當兩條直線的斜率不相等時,它們相交.在相交的位置關系中,垂直是最特殊的情形,直線l1,l2垂直時,它們的斜率除了不相等外,是否還有特殊的數(shù)量關系
【答案】若斜率存在,則k1k2=-1;若有一條直線的斜率為0,則另一條直線的斜率不存在.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若不重合的兩條直線的斜率相等,則這兩條直線平行. (　　)
(2)若l1∥l2,則k1=k2. (　　)
(3)若兩條直線中有一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率存在,則這兩條直線垂直. (　　)
(4)若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合,則這兩條直線平行. (　　)
【答案】(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.已知點A(2,0),B(3,3),直線l∥AB,則直線l的斜率kl=(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-3 B.3 C.- D.
【答案】B
【解析】由題意知kAB==3,∵l∥AB,∴kl=3.
3.若直線l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的兩根,則l1與l2的位置關系是(　　).
A.平行 B.重合
C.相交但不垂直 D.垂直
【答案】D
【解析】設l1,l2的斜率分別為k1,k2,由題意知k1·k2=-1,所以l1⊥l2.故選D.
4.已知l1過點A(m,1),B(-3,4),l2過點C(0,2),D(1,1),且l1∥l2,則m=　　　　.
【答案】0
【解析】設直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,∵l1∥l2,且k2==-1,∴k1==-1,∴m=0.
【合作探究】
探究1：兩條直線平行的判定
情境設置
　　問題1:如果兩條直線中某條直線的斜率不存在,那么怎么判斷它們的位置關系
【答案】當直線的斜率不存在時,可以畫圖判斷它們的位置關系.
問題2:如何用斜率關系證明三點共線
【答案】對于A,B,C三點,如果直線AB的斜率等于直線AC的斜率,或直線AB與AC的斜率均不存在,它們有公共點A,那么A,B,C三點共線.
新知生成
　　兩條直線平行
(1)兩條直線都有斜率且不重合時的平行
已知直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,則l1∥l2 k1=k2且b1≠b2.
(2)特殊情況下的兩條直線的平行
若兩條平行直線中的一條直線的斜率不存在,則另一條直線的斜率也不存在,反之,若兩條不重合直線的斜率都不存在,則這兩條直線平行.
特別提醒:討論兩條直線平行時,要分斜率存在和斜率不存在兩種情形,缺少任何一種情形都有可能發(fā)生錯誤.
新知運用
例1　求m,n的值,使直線l1:y=(m-1)x-n+7滿足:
(1)平行于x軸;
(2)平行于直線l2:7x-y+15=0.
【解析】(1)當直線l1平行于x軸時,直線l1的斜率為0,即m-1=0,得m=1.
又直線l1不與x軸重合,所以-n+7≠0,即n≠7.
綜上所述,當m=1且n≠7時,直線l1平行于x軸.
(2)將7x-y+15=0化為斜截式得y=7x+15,得到直線l2的斜率k2=7,截距b2=15.
當l1∥l2時,應有直線l1的斜率k1=k2=7且截距b1≠b2=15,即m-1=7且-n+7≠15,∴m=8且n≠-8.
【方法總結】　(1)判斷兩條直線平行,應首先看兩條直線的斜率是否存在,即先看兩點的橫坐標是否相等,橫坐標相等是特殊情況,應特殊判斷.在證明兩條直線平行時,要區(qū)分平行與重合,必須強調不共線才能確定平行,因為斜率相等也可能推出兩條直線重合.
(2)應用兩條直線平行求參數(shù)值時,應分斜率存在與不存在兩種情況進行討論.
鞏固訓練
判斷下列各組直線是否平行,并說明理由.
(1)l1:y=3x+2,l2:y=3x+1.
(2)l1:x+2y-1=0,l2:x+2y=0.
(3)l1:x+2=0,l2:2x=1.
【解析】(1)平行.理由如下:設兩條直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,在y軸上的截距分別為b1,b2.
由l1,l2的方程可知k1=k2=3,且b1≠b2,故l1∥l2.
(2)平行.理由如下:設兩條直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,在y軸上的截距分別為b1,b2.
因為l1,l2的方程可分別化為斜截式l1:y=-x+,l2:y=-x,所以k1=k2=-且b1≠b2,所以l1∥l2.
(3)平行.理由如下:由l1,l2的方程可知,l1⊥x軸,l2⊥x軸,且兩條直線l1,l2在x軸上的截距不相同,故l1∥l2.
探究2：兩條直線垂直的判定
情境設置
　　問題1:如果兩條直線垂直,那么這兩條直線的方向向量具有怎樣的關系
【答案】如果兩條直線垂直,那么這兩條直線的方向向量垂直.
問題2:若兩條直線垂直,則它們的斜率之積一定為-1嗎
【答案】不一定,如果兩條直線l1,l2中的一條與x軸平行(或重合),另一條與x軸垂直(即與y軸平行或重合),即兩條直線中一條的傾斜角為0°,另一條的傾斜角為90°,從而一條直線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在,但這兩條直線互相垂直.
新知生成
　　兩條直線垂直
如果兩條直線都有斜率,且它們互相垂直,那么它們的斜率之積等于　-1　;反之,如果它們的斜率之積等于　-1　,那么它們互相垂直.即l1⊥l2 k1·k2=-1.
特別提醒:l1⊥l2 k1·k2=-1成立的前提條件是兩條直線的斜率都存在.
新知運用
例2　(1)已知l1經(jīng)過點A(3,2),B(3,-1),l2經(jīng)過點M(1,1),N(2,1),判斷l(xiāng)1與l2是否垂直;
(2)已知直線l1經(jīng)過點A(3,a),B(a-2,3),直線l2經(jīng)過點C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.
【解析】(1)由題意得,直線l1的斜率不存在,直線l2的斜率為0,所以l1⊥l2.
(2)由題意知,l2的斜率k2一定存在,l1的斜率可能不存在.
當l1的斜率不存在時,3=a-2,即a=5,此時k2=0,
則l1⊥l2,滿足題意;
當l1的斜率k1存在時,a≠5,
由斜率公式得k1==,
k2==.
由l1⊥l2知,k1k2=-1,
即·=-1,解得a=0.
綜上所述,a的值為0或5.
【方法總結】利用斜率公式判定兩條直線垂直的步驟:
一看:看所給兩點的橫坐標是否相等,若相等,則該直線的斜率不存在,這時只需看另一條直線上的兩點的縱坐標是否相等,若相等,則兩條直線垂直;若不相等,則進行第二步.二代:將點的坐標代入斜率公式.三求:計算斜率的值,進行判斷.尤其是點的坐標中含有參數(shù)時,應用斜率公式時要對參數(shù)進行討論.
鞏固訓練
1.與直線y=2x+1垂直,且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=x+4 B.y=2x+4
C.y=-2x+4 D.y=-x+4
【答案】D
【解析】直線y=2x+1的斜率k1=2,則與直線y=2x+1垂直的直線的斜率k2=-,因為在y軸上的截距為4,所以直線的斜截式方程為y=-x+4.
2.已知△ABC的三個頂點分別是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),則BC邊上的高所在直線的斜截式方程為　　　　.
【答案】y=x+3
【解析】設BC邊上的高為AD,則BC⊥AD,所以kAD·kBC=-1,因為kBC==-,即-·kAD=-1,所以kAD=,所以BC邊上的高所在直線的方程為y-0=(x+5),即y=x+3.
探究3：由一般式確定兩條直線的位置關系
情境設置
問題1:給出直線的一般式,如何解決兩條直線平行或垂直中的參數(shù)問題
【答案】由平行或垂直可得到兩條直線斜率的關系式,然后建立方程求解,注意斜率不存在的情況.
問題2:直線l1和l2的方程分別是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0,其中A1,B1不全為0,A2,B2也不全為0.當l1∥l2時,直線方程中的系數(shù)應滿足什么關系
【答案】當兩條直線的斜率都不存在時,B1=B2=0,A1A2≠0,≠,
因此有A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0,
當兩條直線的斜率都存在時,-=-且-≠-,
因此有A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0,
所以l1∥l2的條件是A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0).
問題3:在問題2的條件下,當l1⊥l2時,直線方程中的系數(shù)應滿足什么關系
【答案】若兩條直線中的一條斜率不存在,則另一條斜率為0,如B2=0,A1=0,A1A2+B1B2=0;
若兩條直線斜率都存在,則-·-=-1,即A1A2+B1B2=0,
所以l1⊥l2的充要條件是A1A2+B1B2=0.
新知生成
1.直線l1和l2的方程分別是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0.
(1)兩條直線平行的條件
l1∥l2 法向量平行 A2=λA1,B2=λB1,C2≠λC1,λ是非零實數(shù).
(2)兩條直線垂直的條件
l1⊥l2 法向量垂直 (A1,B1)·(A2,B2)=A1A2+B1B2=0.
2.與直線Ax+By+C=0平行的直線方程可設為Ax+By+m=0(m≠C),與直線Ax+By+C=0垂直的直線方程可設為Bx-Ay+n=0.
新知運用
例3　(1)已知直線l1:2x+(m+1)y+4=0與直線l2:mx+3y-2=0平行,求m的值.
(2)當a為何值時,直線l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0與直線l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直
【解析】(1)由題意得2×3=m(m+1),
解得m=-3或m=2.
當m=-3時,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,
顯然l1與l2不重合,所以l1∥l2;
同理當m=2時,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,
顯然l1與l2不重合,所以l1∥l2.
所以m的值為2或-3.
(2)由題意知直線l1⊥l2,
所以(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1,
將a=±1代入方程,均滿足題意,
故當a=1或a=-1時,直線l1⊥l2.
【方法總結】在利用直線的一般式求解直線的平行或垂直問題時,參數(shù)的值或取值范圍易忽視討論.
鞏固訓練
已知直線l的方程為3x+4y-12=0,當直線l'滿足下列條件時,求直線l'的一般式方程.
(1)過點(-1,3)且與l平行;
(2)過點(-1,3)且與l垂直.
【解析】(1)∵l'與l平行,∴可設l'的方程為3x+4y+m=0(m≠-12).
將點(-1,3)代入上式得m=-9.
∴直線l'的方程為3x+4y-9=0.
(2)∵l'與l垂直,∴可設其方程為4x-3y+n=0.
將(-1,3)代入上式得n=13.
∴直線l'的方程為4x-3y+13=0.
【隨堂檢測】
1.已知經(jīng)過點P(-2,m)和Q(m,4)的直線平行于斜率等于1的直線,則實數(shù)m的值是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4 B.1 C.1或3 D.1或4
【答案】B
【解析】由題意知=1,解得m=1.
2.已知直線l1:ax+y+1=0與直線l2:x+(2a-3)y+5=0垂直,則a=(　　).
A.3 B.2 C.1 D.-1
【答案】C
【解析】由題意得a·1+1·(2a-3)=0,解得a=1.
3.已知在△ABC中,A(0,3),B(2,-1),E,F分別為AC,BC的中點,則直線EF的斜率為　　　　.
【答案】-2
【解析】因為E,F分別為AC,BC的中點,所以EF∥AB,所以kEF=kAB==-2.
4.已知在平面直角坐標系中,A(-2,3),B(3,-2),C,m,D(0,-3).
(1)若點C在直線AB上,求m的值;
(2)若直線AC與直線BD平行,求m的值;
(3)若直線AC與直線BC垂直,求m的值.
【解析】(1)因為點C在直線AB上,所以kAB=kAC,即=,解得m=.
(2)因為直線AC與直線BD平行,所以kAC=kBD,即=,解得m=,
經(jīng)檢驗兩直線不重合,所以m=.
(3)因為直線AC與直線BC垂直,且兩直線斜率均存在,所以kAC·kBC=-1,
即·=-1,解得m=.
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