資源簡介

2.3.2　兩條直線的交點坐標
【學習目標】
1.進一步鞏固兩條直線的位置關系的相關知識.
2.掌握兩條直線相交位置關系的判定,學會求其交點坐標.
3.掌握直線系方程的關系.
【自主預習】
預學憶思
1.直線l上的點與其方程Ax+By+C=0的解有什么樣的關系
【答案】直線l上每一個點的坐標都滿足其直線方程,也就是說直線l上的點的坐標都是其方程的解.反之,直線l的方程的每一個解都表示直線上的點的坐標.
2.由兩直線l1、l2的方程組成的方程組解的情況與兩直線的位置關系有何對應關系
【答案】①若方程組無解,則l1∥l2;
②若方程組有且只有一個解,則l1與l2相交;
③若方程組有無數個解,則l1與l2重合.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)不論m取何值,x-y+1=0與x-2my+3=0必相交.(　　)
(2)兩直線l1與l2有無數個公共點,則l1∥l2. (　　)
(3)在兩直線斜率都存在的情況下,若斜率不相等,則兩直線相交. (　　)
【答案】 (1)×　(2)×　(3)√
2.直線x=1和直線y=2的交點坐標是(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(2,2) B.(1,1)
C.(1,2) D.(2,1)
【答案】C
【解析】由得兩直線的交點坐標為(1,2),故選C.
3.下列各直線中,與直線2x-y-3=0相交的是(　　).
A.2ax-ay+6=0(a≠0)
B.y=2x
C.2x-y+5=0
D.2x+y-3=0
【答案】D
【解析】直線2x-y-3=0的斜率為2,A,B,C選項中的直線斜率均為2,D選項中的直線的斜率為-2,故D符合題意.
【合作探究】
探究1：兩條直線的交點坐標
情境設置
觀察圖形,思考下列問題:
問題1:在兩直線方程聯立的方程組中,每一個方程都可表示為一條直線,那么方程組的解表示什么
　　【答案】兩直線的公共部分,即交點.
問題2:如何求上述兩直線的交點坐標
【答案】將兩直線方程聯立,求方程組的解即可.
問題3:兩條直線相交的條件是什么
【答案】兩條直線相交的條件:①將兩直線方程聯立,解方程組,當方程組只有一個解時,兩直線相交.②設l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則l1與l2相交的條件是A1B2-A2B1≠0或≠(A2≠0,B2≠0).③若兩直線的斜率都存在,設兩條直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,則l1與l2相交 k1≠k2.
新知生成
方程組的解與兩直線的交點個數
方程組的解的情況 一組解 無解 無數組解
直線l1與l2的公共點個數 一個 零個 無數個
直線l1與l2的位置關系 相交 平行 重合
新知運用
例1　(1)(多選題)下列選項中,正確的有(　　).
A.直線l1:x-y+2=0和l2:2x+y-5=0的交點坐標為(1,3)
B.直線l1:x-2y+4=0和l2:2x-4y+8=0的交點坐標為(2,1)
C.直線l1:2x+y+2=0和l2:y=-2x+3的交點坐標為(-2,2)
D.直線l1:x-2y+1=0,l2:y=x,l3:2x+y-3=0兩兩相交
(2)直線2x+3y-k=0和直線x-ky+12=0的交點在x軸上,則k的值為(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-24 B.24 C.6 D.±6
【答案】(1)AD　(2)A
【解析】(1)方程組的解為因此直線l1和l2相交,交點坐標為(1,3),A正確;
方程組有無數組解,這表明直線l1和l2重合,B錯誤;
方程組無解,這表明直線l1和l2沒有公共點,故l1∥l2,C錯誤;
方程組的解為方程組的解為方程組的解為所以三條直線兩兩相交且交于同一點(1,1),D正確.
(2)因為兩直線相交,所以k≠-.
聯立解得因為直線2x+3y-k=0和直線x-ky+12=0的交點在x軸上,所以y==0,解得k=-24.
鞏固訓練
1.判斷下列各組中直線l1與l2是否相交.若相交,求出它們的交點.
(1)l1:x-4y-1=0,l2:x+2y-4=0.
(2)l1:x-y-2=0,l2:x+y+2=0.
(3)l1:x-3y-2=0,l2:2x-3y+1=0.
【解析】(1)由題設,l1中A1=1,B1=-4,l2中A2=1,B2=2,則A1B2-A2B1=1×2-1×(-4)=6≠0,
所以l1與l2相交,由方程組解得即交點為3,.
(2)由題設,l1中A1=,B1=-1,l2中A2=1,B2=,則A1B2-A2B1=×-1×(-1)=4≠0,
所以l1與l2相交,由方程組解得即交點為(1,-).
(3)由題設,l1中A1=,B1=-3,l2中A2=2,B2=-3,則A1B2-A2B1=×(-3)-2×(-3)=0,
又當y=0時,l1中x=,l2中x=-,所以l1與l2不重合,
所以l1與l2平行.
2.當k為何值時,直線l1:y=kx+3k-2與直線l2:x+4y-4=0的交點P在第一象限
【解析】當k=-時,l1與l2平行,不符合題意.
當k≠-時,聯立方程組
解得∴P,.
∵點P在第一象限,∴解得∴當探究2：經過兩條直線交點的直線方程
情境設置
問題:怎樣表示經過兩條直線交點的直線系方程
【答案】 經過直線l1:A1x+B1y+C1=0與直線l2:A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2的方程).
新知生成
　　直線系方程
一般地,經過兩相交直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程可表示為:
(1)A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2的方程).
(2)m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m,n不同時為零).
新知運用
例2　求過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點且與直線3x+y-1=0平行的直線方程.
【解析】(法一)聯立方程組
解得所以兩直線的交點坐標為.
又所求直線與直線3x+y-1=0平行,所以所求直線的斜率為-3.
故所求直線的方程為y+=-3,即15x+5y+16=0.
　　(法二)設所求直線方程為(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0,
即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0.　①
因為所求直線與直線3x+y-1=0平行,
所以有解得λ=.
代入①式,得x+y+=0,即15x+5y+16=0.
【方法總結】經過兩條直線交點的直線方程的求法:(1)常規解法(方程組法):一般是先解方程組求出交點坐標,再結合其他條件寫出直線方程.(2)特殊解法(直線系法):先設出過兩條直線交點的直線方程,再結合其他條件用待定系數法求出參數,最后確定直線方程.
鞏固訓練
已知直線l經過原點,且經過直線2x+3y+8=0與x-y-1=0的交點,則直線l的方程為(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2x+y=0
B.2x-y=0
C.x+2y=0
D.x-2y=0
【答案】 B
【解析】設所求直線l的方程為2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,即(2+λ)x+(3-λ)y+8-λ=0,因為l過原點,所以λ=8,則所求直線的方程為2x-y=0.
【隨堂檢測】
1.直線x+2y-2=0與直線2x+y-3=0的交點坐標是(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(4,1) B.(1,4)
C. D.
【答案】C
【解析】由方程組得即直線x+2y-2=0與直線2x+y-3=0的交點坐標是.
2.不論m為何實數,直線l:(m-1)x+(2m-3)y+m=0恒過定點(　　).
A.(-3,-1) B.(-2,-1)
C.(-3,1) D.(-2,1)
【答案】C
【解析】直線l的方程可化為m(x+2y+1)-x-3y=0,
令解得
所以直線l恒過定點(-3,1).故選C.
3.三條直線ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一點,則實數a的值為　　　　.
【答案】-1
【解析】聯立解得又點(4,-2)在直線ax+2y+8=0上,所以4a+2×(-2)+8=0,解得a=-1.
4.不論a取何值,直線(a-3)x+2ay+6=0恒過第　　　　象限.
【答案】四
【解析】直線方程可化為a(x+2y)+(-3x+6)=0,
令得
∴該直線恒過定點(2,-1),
∵點(2,-1)在第四象限,∴直線恒過第四象限.
22.3.2　兩條直線的交點坐標
【學習目標】
1.進一步鞏固兩條直線的位置關系的相關知識.
2.掌握兩條直線相交位置關系的判定,學會求其交點坐標.
3.掌握直線系方程的關系.
【自主預習】
預學憶思
1.直線l上的點與其方程Ax+By+C=0的解有什么樣的關系
2.由兩直線l1、l2的方程組成的方程組解的情況與兩直線的位置關系有何對應關系
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)不論m取何值,x-y+1=0與x-2my+3=0必相交.(　　)
(2)兩直線l1與l2有無數個公共點,則l1∥l2. (　　)
(3)在兩直線斜率都存在的情況下,若斜率不相等,則兩直線相交. (　　)
2.直線x=1和直線y=2的交點坐標是(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(2,2) B.(1,1)
C.(1,2) D.(2,1)
3.下列各直線中,與直線2x-y-3=0相交的是(　　).
A.2ax-ay+6=0(a≠0)
B.y=2x
C.2x-y+5=0
D.2x+y-3=0
【合作探究】
探究1：兩條直線的交點坐標
情境設置
觀察圖形,思考下列問題:
問題1:在兩直線方程聯立的方程組中,每一個方程都可表示為一條直線,那么方程組的解表示什么
　
問題2:如何求上述兩直線的交點坐標
問題3:兩條直線相交的條件是什么
新知生成
方程組的解與兩直線的交點個數
方程組的解的情況 一組解 無解 無數組解
直線l1與l2的公共點個數 一個 零個 無數個
直線l1與l2的位置關系 相交 平行 重合
新知運用
例1　(1)(多選題)下列選項中,正確的有(　　).
A.直線l1:x-y+2=0和l2:2x+y-5=0的交點坐標為(1,3)
B.直線l1:x-2y+4=0和l2:2x-4y+8=0的交點坐標為(2,1)
C.直線l1:2x+y+2=0和l2:y=-2x+3的交點坐標為(-2,2)
D.直線l1:x-2y+1=0,l2:y=x,l3:2x+y-3=0兩兩相交
(2)直線2x+3y-k=0和直線x-ky+12=0的交點在x軸上,則k的值為(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-24 B.24 C.6 D.±6
鞏固訓練
1.判斷下列各組中直線l1與l2是否相交.若相交,求出它們的交點.
(1)l1:x-4y-1=0,l2:x+2y-4=0.
(2)l1:x-y-2=0,l2:x+y+2=0.
(3)l1:x-3y-2=0,l2:2x-3y+1=0.
2.當k為何值時,直線l1:y=kx+3k-2與直線l2:x+4y-4=0的交點P在第一象限
探究2：經過兩條直線交點的直線方程
情境設置
問題:怎樣表示經過兩條直線交點的直線系方程
新知生成
　　直線系方程
一般地,經過兩相交直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程可表示為:
(1)A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2的方程).
(2)m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m,n不同時為零).
新知運用
例2　求過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點且與直線3x+y-1=0平行的直線方程.
【方法總結】經過兩條直線交點的直線方程的求法:(1)常規解法(方程組法):一般是先解方程組求出交點坐標,再結合其他條件寫出直線方程.(2)特殊解法(直線系法):先設出過兩條直線交點的直線方程,再結合其他條件用待定系數法求出參數,最后確定直線方程.
鞏固訓練
已知直線l經過原點,且經過直線2x+3y+8=0與x-y-1=0的交點,則直線l的方程為(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2x+y=0
B.2x-y=0
C.x+2y=0
D.x-2y=0
【隨堂檢測】
1.直線x+2y-2=0與直線2x+y-3=0的交點坐標是(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(4,1) B.(1,4)
C. D.
2.不論m為何實數,直線l:(m-1)x+(2m-3)y+m=0恒過定點(　　).
A.(-3,-1) B.(-2,-1)
C.(-3,1) D.(-2,1)
3.三條直線ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一點,則實數a的值為　　　　.
4.不論a取何值,直線(a-3)x+2ay+6=0恒過第　　　　象限.
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