資源簡介

2.4　點到直線的距離
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.領(lǐng)會兩點間的距離公式、點到直線的距離公式的推導(dǎo)過程.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)
2.能靈活運用兩點間的距離公式、點到直線的距離公式解決相關(guān)問題.(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)
3.初步學(xué)會使用解析法研究幾何問題.(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
1.已知平面上兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求P1,P2兩點間的距離|P1P2|
【答案】①當(dāng)x1≠x2,y1=y2時,|P1P2|=|x2-x1|;
②當(dāng)x1=x2,y1≠y2時,|P1P2|=|y2-y1|;
③當(dāng)x1≠x2,y1≠y2時,|P1P2|= .
2.如何用代數(shù)法求點P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離
【答案】當(dāng)A=0,B≠0時,點P0到直線l的距離為y0+;當(dāng)B=0,A≠0時,點P0到直線l的距離為x0+;當(dāng)A≠0,B≠0時,作P0Q垂直直線l于點Q,由直線l的斜率為-,可得l的垂線P0Q的斜率為,進而求出垂線P0Q的方程,再聯(lián)立P0Q與直線l的方程,解得點Q的坐標(biāo),最后利用兩點間的距離公式求出|P0Q|,即點P0到直線l的距離.
3.能否將平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離 如果能,如何轉(zhuǎn)化
【答案】能.因為一條直線上任意一點到另一條直線的距離都是兩條平行直線間的距離,所以在一條直線上找到一個已知點,求這個點到另一條直線的距離即可.
4.在使用點到直線的距離公式時,對直線方程的形式有何要求
【答案】使用點到直線的距離公式的前提是直線方程為一般式.
5.如何求兩條平行直線間的距離
【答案】因為兩條平行線間的距離處處相等,所以可以轉(zhuǎn)化為點到直線的距離求解,也可以利用兩條平行直線間的距離公式,即兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0之間的距離d=.
自學(xué)檢測
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)兩點間的距離公式、點到直線的距離公式的推導(dǎo)過程是一樣的. (　　)
(2)點P(x0,y0)到與y軸平行的直線x=a(a≠0)的距離d=|x0-a|. (　　)
(3)直線外一點與直線上一點的距離的最小值是點到直線的距離. (　　)
(4)兩平行線間的距離是一條直線上任一點到另一條直線的距離,也可以看作是兩條直線上各取一點的最短距離. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.已知點A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,則a的值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.-5
C.1或-5 D.-1或5
【答案】C
【解析】∵|AB|==5,∴a=-5或a=1.
3.已知直線l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,則l1與l2之間的距離為(　　).
A.1 B. C. D.2
【答案】B
【解析】由題意知l1∥l2,則l1與l2之間的距離為=.
4.若第二象限內(nèi)的點P(m,1)到直線x+y+1=0的距離為,則m的值為　　　　.
【答案】-4
【解析】由=,得m=-4或m=0,
∵點P在第二象限,∴m<0,故m=-4.
【合作探究】
探究1：兩點間的距離公式
情境設(shè)置
　　在一條筆直的公路同側(cè)有兩個村莊A和C,現(xiàn)在計劃在公路上某處建一個公交站點,以方便兩村村民的出行.
問題1:如何選址能使站點到兩個村的距離之和最小
【答案】如圖,過點C作公路的垂線,使CH=HB,連接AB交公路于點P,則在P處建公交站點,可使站點到兩個村的距離之和最小,最小值為AB.
問題2:如果點A,B在x軸上,那么怎樣求|AB|
【答案】當(dāng)點A,B在x軸上時,yA=yB=0,|AB|=|xA-xB|.
問題3:如果點A,B在y軸上,那么怎樣求|AB|
【答案】當(dāng)點A,B在y軸上時,xA=xB=0,|AB|=|yA-yB|.
問題4:如果點A,B不在坐標(biāo)軸上,那么如何求|AB|
【答案】因為=(xB-xA,yB-yA),
所以|AB|=||=.
新知生成
　　兩點間的距離公式
P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點間的距離公式|P1P2|=.
(1)此公式與兩點的先后順序無關(guān).
(2)當(dāng)直線P1P2平行于x軸時,|P1P2|=|x2-x1|.
當(dāng)直線P1P2平行于y軸時,|P1P2|=|y2-y1|.
當(dāng)點P1,P2中有一個是原點時,|P1P2|=或|P1P2|=.
新知運用
例1　(1)已知點A(-3,4),B(2,),在x軸上找一點P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
(2)已知點M(x,-4)與點N(2,3)間的距離為7,求實數(shù)x的值.
方法指導(dǎo)　(1)設(shè)出點P的坐標(biāo),建立方程求解;(2)根據(jù)兩點間的距離公式,列方程求解.
【解析】(1)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,0),
則有|PA|==,
|PB|==.
由|PA|=|PB|,得=,解得x=-,
所以點P的坐標(biāo)為-,0,
所以|PA|==.
(2)由|MN|=7,得|MN|==7,即x2-4x-45=0,解得x1=9,x2=-5,
故所求實數(shù)x的值為9或-5.
【方法總結(jié)】已知兩點的坐標(biāo)分別為P1(x1,y1),P2(x2,y2),求兩點間的距離,可直接運用兩點間的距離公式|P1P2|=.若已知兩點間的距離,求點的坐標(biāo),可設(shè)未知數(shù),逆用兩點間的距離公式列出方程,從而解決問題.
鞏固訓(xùn)練
1.以點A(-3,0),B(3,-2),C(-1,2)為頂點的三角形是(　　).
A.等腰三角形
B.等邊三角形
C.直角三角形
D.以上都不是
【答案】C
　　
【解析】如圖,|AB|====2,|BC|====4,|AC|===2,∵|AC|2+|BC|2=|AB|2,∴△ABC為直角三角形.故選C.
2.在直線2x-3y+5=0上求點P,使點P到A(2,3)的距離為,則點P的坐標(biāo)是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(5,5) B.(-1,1)
C.(5,5)或(-1,1) D.(5,5)或(1,-1)
【答案】C
【解析】設(shè)點P(x0,y0),則y0=.由PA=,得(x0-2)2+-32=13,即(x0-2)2=9,解得x0=-1或x0=5.當(dāng)x0=-1時,y0=1;當(dāng)x0=5時,y0=5.∴點P的坐標(biāo)為(-1,1)或(5,5).
探究2：點到直線的距離公式
情境設(shè)置
在公路附近有一家鄉(xiāng)村飯館,現(xiàn)在需要鋪設(shè)一條連接飯館和公路的道路.
問題1:請同學(xué)們幫助設(shè)計一下,在理論上怎樣鋪路可以使這條連接飯館和公路的道路最短
【答案】過飯館作公路的垂線,沿著這條垂線鋪路可以使這條連接飯館和公路的道路最短.
問題2:能用向量求飯館(設(shè)為點P)到公路(設(shè)為直線l)的距離嗎 如何求
【答案】能,如圖所示.
在直線l上取一點M,設(shè)向量n為與直線l垂直的單位向量(考慮單位向量的方向,不妨記以點P為出發(fā)點所作有向線段為單位向量),向量在向量n方向上的投影向量就是,所以||=||·|cos|=|n·|.
問題3:你能歸納出點P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離公式嗎
【答案】能,距離d=.
問題4:使用點到直線的距離公式,對直線方程有什么要求
【答案】直線方程要化為一般式.
問題5:在直線方程Ax+By+C=0中,當(dāng)A=0或B=0時,點到直線的距離公式是否成立
【答案】公式成立,但由于直線是特殊直線(與坐標(biāo)軸垂直),故也可以用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
新知生成
　　點P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離d=.
點到幾種特殊直線的距離:
(1)點P(x0,y0)到x軸的距離d=|y0|;
(2)點P(x0,y0)到y(tǒng)軸的距離d=|x0|;
(3)點P(x0,y0)到直線y=a的距離d=|y0-a|;
(4)點P(x0,y0)到直線x=b的距離d=|x0-b|.
新知運用
例2　求點P(3,-2)到下列直線的距離.
(1)y=x+;(2)y=6;(3)x=4.
【解析】(1)直線y=x+化為一般式為3x-4y+1=0,由點到直線的距離公式可得d==.
(2)因為直線y=6與y軸垂直,所以點P到它的距離d=|-2-6|=8.
(3)因為直線x=4與x軸垂直,所以點P到它的距離d=|3-4|=1.
【方法總結(jié)】點到直線的距離的求解方法:(1)求點到直線的距離,首先要把直線化成一般式方程,然后套用點到直線的距離公式;(2)當(dāng)點與直線有特殊位置關(guān)系時,也可以用公式求解,但是這樣會把問題變復(fù)雜了,要注意數(shù)形結(jié)合.
鞏固訓(xùn)練
1.(多選題)直線l過點B(3,3),若A(1,2)到直線l的距離為2,則直線l的方程可以為(　　).
A.3x+4y-21=0
B.4x+3y-21=0
C.x=3
D.y=3
【答案】AC
【解析】當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=3,滿足條件.當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y-3=k(x-3),即kx-y+3-3k=0.由題意可得=2,解得k=-,所以直線l的方程為3x+4y-21=0.綜上,可得直線l的方程為x=3或3x+4y-21=0.
2.求垂直于直線x+3y-5=0,且與點P(-1,0)的距離是的直線l的方程.
【解析】設(shè)與直線x+3y-5=0垂直的直線的方程為3x-y+m=0,則由點到直線的距離公式知d===,
解得m=9或m=-3,
故所求直線l的方程為3x-y+9=0或3x-y-3=0.
探究3：兩條平行直線間的距離
情境設(shè)置
觀察下面平面直角坐標(biāo)系中的直線,思考下列問題.
問題1:若過點P(x0,y0)的直線l'與l: Ax+By+C=0平行,則點P到直線l的距離和直線l'與直線l間的距離相等嗎
【答案】相等.
問題2:怎樣理解兩條平行直線間的距離公式
【答案】①求兩條平行直線間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點到直線的距離,也可以利用公式求解.
②利用公式求兩條平行直線間的距離時,兩條直線的方程必須是一般式,且x,y的系數(shù)對應(yīng)相等.
③當(dāng)兩條直線都與x軸或y軸垂直時,可利用數(shù)形結(jié)合來解決.
當(dāng)兩條直線都與x軸垂直時,l1:x=x1,l2:x=x2,則距離d=|x2-x1|;
當(dāng)兩條直線都與y軸垂直時,l1:y=y1,l2:y=y2,則距離d=|y2-y1|.
新知生成
　　(1)兩條平行直線間的距離:夾在兩條平行直線間的公垂線段的長度.求兩條平行直線間的距離可轉(zhuǎn)化為求點到直線的距離.
(2)公式:兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0之間的距離d=.
新知運用
例3　若兩直線3x+y-3=0和6x+my-1=0平行,則它們之間的距離為　　　　.
【答案】
【解析】將直線3x+y-3=0化為6x+2y-6=0,
由兩平行線間的距離公式得=.
【方法總結(jié)】求兩平行直線間的距離,先要將兩直線方程化為一次項系數(shù)相同的方程,再利用兩平行直線間的距離公式求解.
鞏固訓(xùn)練
　　求與直線l:5x-12y+6=0平行且與直線l距離為3的直線方程.
【解析】設(shè)與直線l平行的直線方程為5x-12y+b=0,
根據(jù)兩平行直線間的距離公式得=3,
解得b=45或b=-33.
所以直線l的方程為5x-12y+45=0或5x-12y-33=0.
【隨堂檢測】
1.已知O為坐標(biāo)原點,點P在直線x+y-1=0上運動,則|OP|的最小值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.1 C. D.2
【答案】A
【解析】易知|OP|的最小值即為坐標(biāo)原點O到直線x+y-1=0的距離,則|OP|min=d==.
2.已知直線3x+2y-3=0和直線6x+my+1=0互相平行,則它們之間的距離是(　　).
A.4 B.
C. D.
【答案】D
【解析】直線3x+2y-3=0可以化為6x+4y-6=0,由兩條平行直線間的距離公式,得d==.
3.若點M到x軸和到點N(-4,2)的距離都等于10,則點M的坐標(biāo)為　　　　.
【答案】(2,10)或(-10,10)
【解析】由點M到x軸的距離等于10可知,其縱坐標(biāo)為±10.設(shè)點M的坐標(biāo)為(xM,±10).由兩點間距離公式,得|MN|==10或|MN|==10,解得xM=-10或xM=2,所以點M的坐標(biāo)為(2,10)或(-10,10).
4.若點(3,)到直線x+my-4=0的距離等于1,則m的值為　　　　.
【答案】0或
【解析】由題意知1=,
∴=|m-1|,解得m=0或m=.
22.4　點到直線的距離
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.領(lǐng)會兩點間的距離公式、點到直線的距離公式的推導(dǎo)過程.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)
2.能靈活運用兩點間的距離公式、點到直線的距離公式解決相關(guān)問題.(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)
3.初步學(xué)會使用解析法研究幾何問題.(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
1.已知平面上兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求P1,P2兩點間的距離|P1P2|
2.如何用代數(shù)法求點P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離
3.能否將平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離 如果能,如何轉(zhuǎn)化
4.在使用點到直線的距離公式時,對直線方程的形式有何要求
5.如何求兩條平行直線間的距離
自學(xué)檢測
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)兩點間的距離公式、點到直線的距離公式的推導(dǎo)過程是一樣的. (　　)
(2)點P(x0,y0)到與y軸平行的直線x=a(a≠0)的距離d=|x0-a|. (　　)
(3)直線外一點與直線上一點的距離的最小值是點到直線的距離. (　　)
(4)兩平行線間的距離是一條直線上任一點到另一條直線的距離,也可以看作是兩條直線上各取一點的最短距離. (　　)
2.已知點A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,則a的值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.-5
C.1或-5 D.-1或5
3.已知直線l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,則l1與l2之間的距離為(　　).
A.1 B. C. D.2
4.若第二象限內(nèi)的點P(m,1)到直線x+y+1=0的距離為,則m的值為　　　　.
【合作探究】
探究1：兩點間的距離公式
情境設(shè)置
　　在一條筆直的公路同側(cè)有兩個村莊A和C,現(xiàn)在計劃在公路上某處建一個公交站點,以方便兩村村民的出行.
問題1:如何選址能使站點到兩個村的距離之和最小
問題2:如果點A,B在x軸上,那么怎樣求|AB|
問題3:如果點A,B在y軸上,那么怎樣求|AB|
問題4:如果點A,B不在坐標(biāo)軸上,那么如何求|AB|
新知生成
　　兩點間的距離公式
P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點間的距離公式|P1P2|=.
(1)此公式與兩點的先后順序無關(guān).
(2)當(dāng)直線P1P2平行于x軸時,|P1P2|=|x2-x1|.
當(dāng)直線P1P2平行于y軸時,|P1P2|=|y2-y1|.
當(dāng)點P1,P2中有一個是原點時,|P1P2|=或|P1P2|=.
新知運用
例1　(1)已知點A(-3,4),B(2,),在x軸上找一點P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
(2)已知點M(x,-4)與點N(2,3)間的距離為7,求實數(shù)x的值.
方法指導(dǎo)　(1)設(shè)出點P的坐標(biāo),建立方程求解;(2)根據(jù)兩點間的距離公式,列方程求解.
【方法總結(jié)】已知兩點的坐標(biāo)分別為P1(x1,y1),P2(x2,y2),求兩點間的距離,可直接運用兩點間的距離公式|P1P2|=.若已知兩點間的距離,求點的坐標(biāo),可設(shè)未知數(shù),逆用兩點間的距離公式列出方程,從而解決問題.
鞏固訓(xùn)練
1.以點A(-3,0),B(3,-2),C(-1,2)為頂點的三角形是(　　).
A.等腰三角形
B.等邊三角形
C.直角三角形
D.以上都不是
2.在直線2x-3y+5=0上求點P,使點P到A(2,3)的距離為,則點P的坐標(biāo)是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(5,5) B.(-1,1)
C.(5,5)或(-1,1) D.(5,5)或(1,-1)
探究2：點到直線的距離公式
情境設(shè)置
在公路附近有一家鄉(xiāng)村飯館,現(xiàn)在需要鋪設(shè)一條連接飯館和公路的道路.
問題1:請同學(xué)們幫助設(shè)計一下,在理論上怎樣鋪路可以使這條連接飯館和公路的道路最短
問題2:能用向量求飯館(設(shè)為點P)到公路(設(shè)為直線l)的距離嗎 如何求
問題3:你能歸納出點P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離公式嗎
問題4:使用點到直線的距離公式,對直線方程有什么要求
問題5:在直線方程Ax+By+C=0中,當(dāng)A=0或B=0時,點到直線的距離公式是否成立
新知生成
　　點P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離d=.
點到幾種特殊直線的距離:
(1)點P(x0,y0)到x軸的距離d=|y0|;
(2)點P(x0,y0)到y(tǒng)軸的距離d=|x0|;
(3)點P(x0,y0)到直線y=a的距離d=|y0-a|;
(4)點P(x0,y0)到直線x=b的距離d=|x0-b|.
新知運用
例2　求點P(3,-2)到下列直線的距離.
(1)y=x+;(2)y=6;(3)x=4.
【方法總結(jié)】點到直線的距離的求解方法:(1)求點到直線的距離,首先要把直線化成一般式方程,然后套用點到直線的距離公式;(2)當(dāng)點與直線有特殊位置關(guān)系時,也可以用公式求解,但是這樣會把問題變復(fù)雜了,要注意數(shù)形結(jié)合.
鞏固訓(xùn)練
1.(多選題)直線l過點B(3,3),若A(1,2)到直線l的距離為2,則直線l的方程可以為(　　).
A.3x+4y-21=0
B.4x+3y-21=0
C.x=3
D.y=3
2.求垂直于直線x+3y-5=0,且與點P(-1,0)的距離是的直線l的方程.
探究3：兩條平行直線間的距離
情境設(shè)置
觀察下面平面直角坐標(biāo)系中的直線,思考下列問題.
問題1:若過點P(x0,y0)的直線l'與l: Ax+By+C=0平行,則點P到直線l的距離和直線l'與直線l間的距離相等嗎
問題2:怎樣理解兩條平行直線間的距離公式
新知生成
　　(1)兩條平行直線間的距離:夾在兩條平行直線間的公垂線段的長度.求兩條平行直線間的距離可轉(zhuǎn)化為求點到直線的距離.
(2)公式:兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0之間的距離d=.
新知運用
例3　若兩直線3x+y-3=0和6x+my-1=0平行,則它們之間的距離為　　　　.
【方法總結(jié)】求兩平行直線間的距離,先要將兩直線方程化為一次項系數(shù)相同的方程,再利用兩平行直線間的距離公式求解.
鞏固訓(xùn)練
　　求與直線l:5x-12y+6=0平行且與直線l距離為3的直線方程.
【隨堂檢測】
1.已知O為坐標(biāo)原點,點P在直線x+y-1=0上運動,則|OP|的最小值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.1 C. D.2
2.已知直線3x+2y-3=0和直線6x+my+1=0互相平行,則它們之間的距離是(　　).
A.4 B.
C. D.
3.若點M到x軸和到點N(-4,2)的距離都等于10,則點M的坐標(biāo)為　　　　.
4.若點(3,)到直線x+my-4=0的距離等于1,則m的值為　　　　.
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