資源簡介

2.5.1　圓的標準方程
【學習目標】
1.理解圓的定義,體會推導圓的標準方程的過程.(邏輯推理)
2.利用待定系數法、幾何性質法求圓的標準方程.(數學運算)
3.結合圓的標準方程,體會判斷點與圓的位置關系的兩種方法.(直觀想象)
【自主預習】
預學憶思
1.圓的定義是什么
2.確定圓的基本要素是什么
3.已知圓的圓心為A(a,b),半徑為r,你能推導出該圓的方程嗎
4.點與圓的位置關系有幾種
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圓. (　　)
(2)若圓的標準方程為(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0),則此圓的半徑一定是a. (　　)
(3)圓(x+1)2+(y+2)2=4的圓心坐標是(1,2),半徑是4. (　　)
(4)若某點正好是圓的圓心,則該點是圓上的點. (　　)
2.圓(x-2)2+(y+3)2=2的圓心和半徑分別是(　　).
A.(-2,3),1　　　　　　
B.(2,-3),3
C.(-2,3),
D.(2,-3),
3.以原點為圓心,2為半徑的圓的標準方程是　　　　.
4.已知點(1,1)在圓(x+2)2+y2=m上,求圓的方程.
【合作探究】
探究1：圓的標準方程
情境設置
　　“南昌之星”摩天輪2006年建成時是世界上最高的摩天輪,它位于江西省南昌市紅谷灘區紅角洲贛江邊上的贛江市民公園,是南昌市標志性建筑.該摩天輪總高度為160米,轉盤直徑為153米.
　　問題1:游客在摩天輪轉動過程中離摩天輪中心的距離一樣嗎
問題2:若以摩天輪的中心所在位置為原點,建立平面直角坐標系,則游客在任一點(x,y)的坐標滿足什么關系
問題3:以(1,2)為圓心,3為半徑的圓上任一點的坐標(x,y)滿足什么關系
問題4:確定圓的標準方程需具備哪些條件
新知生成
　　圓的標準方程
(1)圓的定義:圓是平面內到一定點的距離等于定長的所有的點組成的集合.
(2)圓的基本要素是圓心和半徑.
(3)圓的標準方程:圓心為A(a,b),半徑為r的圓的標準方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.
特別提醒:(1)由圓的標準方程來看,要確定圓的標準方程需要三個獨立的條件:圓心的橫坐標、縱坐標以及圓的半徑.
(2)當a=b=0時,方程為x2+y2=r2,表示以原點O為圓心、r為半徑的圓.
新知運用
例1　求過點A(1,-1),B(-1,1)且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程.
方法指導　(法一)利用待定系數法,設出圓的標準方程,根據條件建立關于參數的方程組求解;(法二)利用圓心在直線上,設出圓心坐標,根據條件建立方程組求圓心坐標和半徑,從而求圓的方程;(法三)借助圓的幾何性質,確定圓心坐標和半徑,從而求出圓的方程.
【方法總結】求圓的標準方程的主要方法
(1)幾何法:利用圓的幾何性質,直接求出圓心和半徑,代入圓的標準方程.
(2)待定系數法:由三個獨立條件得到三個方程,解方程組以得到圓的標準方程中的三個參數,其步驟為設方程、列式、求解.
鞏固訓練
　　求滿足下列條件的圓的標準方程:
(1)圓心是(4,0),且過點(2,2);
(2)圓心在y軸上,半徑為5,且過點(3,-4).
探究2：點與圓的位置關系
情境設置
愛好運動的李峰、張強、刁鵬三人進行擲飛鏢比賽,他們把靶子釘在土墻上,規定誰的飛鏢離靶心O越近,誰獲勝,如圖,A,B,C分別是他們擲一輪飛鏢的落點.
問題1:點與圓的位置關系有哪幾種
問題2:如何判斷他們的勝負
新知生成
1.根據點到圓心的距離d與圓的半徑r的大小關系判斷:
d>r 點在圓外;d=r 點在圓上;d2.根據點M(x0,y0)的坐標與圓的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的關系判斷:
(x0-a)2+(y0-b)2>r2 點在圓外;
(x0-a)2+(y0-b)2=r2 點在圓上;
(x0-a)2+(y0-b)2新知運用
例2　(1)寫出圓心為A(2,-3),半徑等于5的圓的方程,并判斷點M1(5,-7),M2(-,-1)是否在這個圓上.
(2)已知點M(5+1,)在圓(x-1)2+y2=26的內部,求實數a的取值范圍.
　
【方法總結】　(1)判斷點與圓的位置關系的方法:①只需計算該點與圓心的距離,與半徑作比較即可;②把點的坐標代入圓的標準方程,判斷式子兩邊的連接符號,并作出判斷.
(2)若已知點與圓的位置關系,也可利用以上兩種方法列出不等式或方程,求解參數的取值范圍.
鞏固訓練
　　已知點(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的外部,則a的取值范圍為　　　　.
【隨堂檢測】
1.經過坐標原點,且圓心坐標為(-1,1)的圓的標準方程是(　　).
A.(x-1)2+(y-1)2=2　　　
B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x+1)2+(y-1)2=2
D.(x+1)2+(y+1)2=2
2.已知點P(a,10)與圓(x-1)2+(y-1)2=2,則點P(　　).
A.在圓內 B.在圓上
C.在圓外 D.不確定
3.圓心在y軸上,半徑為1,且過點(1,2)的圓的標準方程是(　　).
A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1
4.已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(1,0),B(3,0),C(3,4),求△ABC的外接圓的方程.
22.5.1　圓的標準方程
【學習目標】
1.理解圓的定義,體會推導圓的標準方程的過程.(邏輯推理)
2.利用待定系數法、幾何性質法求圓的標準方程.(數學運算)
3.結合圓的標準方程,體會判斷點與圓的位置關系的兩種方法.(直觀想象)
【自主預習】
預學憶思
1.圓的定義是什么
【答案】平面內到一定點的距離等于定長的所有點的集合叫作圓.
2.確定圓的基本要素是什么
【答案】確定圓的基本要素是圓心和半徑,如圖所示.
3.已知圓的圓心為A(a,b),半徑為r,你能推導出該圓的方程嗎
【答案】能.設圓上任一點M(x,y),則|MA|=r,由兩點間的距離公式,得=r,化簡可得(x-a)2+(y-b)2=r2.
4.點與圓的位置關系有幾種
【答案】在圓內、在圓上、在圓外,共三種.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圓. (　　)
(2)若圓的標準方程為(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0),則此圓的半徑一定是a. (　　)
(3)圓(x+1)2+(y+2)2=4的圓心坐標是(1,2),半徑是4. (　　)
(4)若某點正好是圓的圓心,則該點是圓上的點. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.圓(x-2)2+(y+3)2=2的圓心和半徑分別是(　　).
A.(-2,3),1　　　　　　
B.(2,-3),3
C.(-2,3),
D.(2,-3),
【答案】D
【解析】由圓的標準方程可得圓心為(2,-3),半徑為.
3.以原點為圓心,2為半徑的圓的標準方程是　　　　.
【答案】x2+y2=4
【解析】以原點為圓心,2為半徑的圓,其標準方程為x2+y2=4.
4.已知點(1,1)在圓(x+2)2+y2=m上,求圓的方程.
【解析】∵點(1,1)在圓(x+2)2+y2=m上,∴(1+2)2+12=m,∴m=10.故圓的標準方程為(x+2)2+y2=10.
【合作探究】
探究1：圓的標準方程
情境設置
　　“南昌之星”摩天輪2006年建成時是世界上最高的摩天輪,它位于江西省南昌市紅谷灘區紅角洲贛江邊上的贛江市民公園,是南昌市標志性建筑.該摩天輪總高度為160米,轉盤直徑為153米.
　　問題1:游客在摩天輪轉動過程中離摩天輪中心的距離一樣嗎
【答案】一樣.圓上的點到圓心的距離都是相等的,都等于圓的半徑.
問題2:若以摩天輪的中心所在位置為原點,建立平面直角坐標系,則游客在任一點(x,y)的坐標滿足什么關系
【答案】=.
問題3:以(1,2)為圓心,3為半徑的圓上任一點的坐標(x,y)滿足什么關系
【答案】=3.
問題4:確定圓的標準方程需具備哪些條件
【答案】圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2中有三個參數,要確定圓的標準方程需要確定這三個參數,其中圓心(a,b)是圓的定位條件,半徑r是圓的定量條件.
新知生成
　　圓的標準方程
(1)圓的定義:圓是平面內到一定點的距離等于定長的所有的點組成的集合.
(2)圓的基本要素是圓心和半徑.
(3)圓的標準方程:圓心為A(a,b),半徑為r的圓的標準方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.
特別提醒:(1)由圓的標準方程來看,要確定圓的標準方程需要三個獨立的條件:圓心的橫坐標、縱坐標以及圓的半徑.
(2)當a=b=0時,方程為x2+y2=r2,表示以原點O為圓心、r為半徑的圓.
新知運用
例1　求過點A(1,-1),B(-1,1)且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程.
方法指導　(法一)利用待定系數法,設出圓的標準方程,根據條件建立關于參數的方程組求解;(法二)利用圓心在直線上,設出圓心坐標,根據條件建立方程組求圓心坐標和半徑,從而求圓的方程;(法三)借助圓的幾何性質,確定圓心坐標和半徑,從而求出圓的方程.
【解析】(法一)設所求圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,
由已知條件知
解得
故所求圓的標準方程為(x-1)2+(y-1)2=4.
(法二)設點C為圓心,∵點C在直線x+y-2=0上,
∴可設點C的坐標為(a,2-a).
又∵該圓經過A,B兩點,
∴|CA|=|CB|,
∴=,
解得a=1,
∴圓心坐標為C(1,1),半徑r=|CA|=2,
故所求圓的標準方程為(x-1)2+(y-1)2=4.
(法三)由已知可得線段AB的中點坐標為(0,0),
kAB==-1,
∴弦AB的垂直平分線的斜率k=1,
∴AB的垂直平分線的方程為y-0=1·(x-0),
即y=x,則圓心是直線y=x與x+y-2=0的交點.
由得
即圓心為(1,1),圓的半徑為=2,
故所求圓的標準方程為(x-1)2+(y-1)2=4.
【方法總結】求圓的標準方程的主要方法
(1)幾何法:利用圓的幾何性質,直接求出圓心和半徑,代入圓的標準方程.
(2)待定系數法:由三個獨立條件得到三個方程,解方程組以得到圓的標準方程中的三個參數,其步驟為設方程、列式、求解.
鞏固訓練
　　求滿足下列條件的圓的標準方程:
(1)圓心是(4,0),且過點(2,2);
(2)圓心在y軸上,半徑為5,且過點(3,-4).
【解析】(1)r2=(2-4)2+(2-0)2=8,
∴圓的標準方程為(x-4)2+y2=8.
(2)設圓心為C(0,b),則(3-0)2+(-4-b)2=52,
∴b=0或b=-8,∴圓心為(0,0)或(0,-8),
又r=5,
∴圓的標準方程為x2+y2=25或x2+(y+8)2=25.
探究2：點與圓的位置關系
情境設置
愛好運動的李峰、張強、刁鵬三人進行擲飛鏢比賽,他們把靶子釘在土墻上,規定誰的飛鏢離靶心O越近,誰獲勝,如圖,A,B,C分別是他們擲一輪飛鏢的落點.
問題1:點與圓的位置關系有哪幾種
【答案】點在圓外、圓上、圓內,共三種.
問題2:如何判斷他們的勝負
【答案】利用點與圓心的距離.
新知生成
1.根據點到圓心的距離d與圓的半徑r的大小關系判斷:
d>r 點在圓外;d=r 點在圓上;d2.根據點M(x0,y0)的坐標與圓的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的關系判斷:
(x0-a)2+(y0-b)2>r2 點在圓外;
(x0-a)2+(y0-b)2=r2 點在圓上;
(x0-a)2+(y0-b)2新知運用
例2　(1)寫出圓心為A(2,-3),半徑等于5的圓的方程,并判斷點M1(5,-7),M2(-,-1)是否在這個圓上.
(2)已知點M(5+1,)在圓(x-1)2+y2=26的內部,求實數a的取值范圍.
　　【解析】(1)圓心為A(2,-3),半徑等于5的圓的標準方程是(x-2)2+(y+3)2=25,
把點M1(5,-7),M2(-,-1)分別代入方程(x-2)2+(y+3)2=25,
則點M1的坐標滿足方程,故點M1在圓上;
點M2的坐標不滿足方程,故點M2不在圓上.
(2)由題意知
即解得0≤a<1.
故實數a的取值范圍是[0,1).
【方法總結】　(1)判斷點與圓的位置關系的方法:①只需計算該點與圓心的距離,與半徑作比較即可;②把點的坐標代入圓的標準方程,判斷式子兩邊的連接符號,并作出判斷.
(2)若已知點與圓的位置關系,也可利用以上兩種方法列出不等式或方程,求解參數的取值范圍.
鞏固訓練
　　已知點(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的外部,則a的取值范圍為　　　　.
【答案】(-∞,-1)∪(1,+∞)
【解析】由題意知,(1-a)2+(1+a)2>4,則2a2-2>0,解得a<-1或a>1.
【隨堂檢測】
1.經過坐標原點,且圓心坐標為(-1,1)的圓的標準方程是(　　).
A.(x-1)2+(y-1)2=2　　　
B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x+1)2+(y-1)2=2
D.(x+1)2+(y+1)2=2
【答案】C
【解析】根據題意知,圓的圓心為(-1,1),過原點,則其半徑r==,故其標準方程為(x+1)2+(y-1)2=2.
2.已知點P(a,10)與圓(x-1)2+(y-1)2=2,則點P(　　).
A.在圓內 B.在圓上
C.在圓外 D.不確定
【答案】C
【解析】∵(a-1)2+(10-1)2=81+(a-1)2>2,
∴點P在圓外.
3.圓心在y軸上,半徑為1,且過點(1,2)的圓的標準方程是(　　).
A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1
【答案】A
【解析】(法一:直接法)
設圓的圓心為C(0,b),
則=1,
∴b=2,∴圓的標準方程是x2+(y-2)2=1.
(法二:數形結合法)
作圖(如圖),根據點(1,2)到圓心的距離為1易知,圓心為(0,2),
故圓的標準方程是x2+(y-2)2=1.
4.已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(1,0),B(3,0),C(3,4),求△ABC的外接圓的方程.
【解析】易知△ABC是直角三角形,且∠B=90°,
所以圓心是斜邊AC的中點,坐標為(2,2),半徑是斜邊長的一半,即r=,
所以△ABC的外接圓的方程為(x-2)2+(y-2)2=5.
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