資源簡介

2.5.2　圓的一般方程
【學習目標】
1.正確理解圓的方程的形式及特點,會由一般式求圓心和半徑.(邏輯推理)
2.會在不同條件下求圓的一般方程.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么圖形 x2+y2-2x+4y+6=0表示什么圖形
【答案】對方程x2+y2-2x+4y+1=0配方,得(x-1)2+(y+2)2=4,它表示圓心為(1,-2),半徑為2的圓;對方程x2+y2-2x+4y+6=0配方,得(x-1)2+(y+2)2=-1,因為不存在點(x,y)滿足這個方程,所以它不表示任何圖形.
2.把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,將得到怎樣的方程 這個方程是不是表示圓
【答案】配方得到的方程為x+2+y+2=.
當D2+E2-4F>0時,該方程表示以點-,-為圓心,為半徑的圓;
當D2+E2-4F=0時,方程只有實數解x=-,y=-,即只表示一個點-,-;
當D2+E2-4F<0時,方程沒有實數解,因此它不表示任何圖形.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)方程x2+y2+x+1=0表示圓. (　　)
(2)方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示圓. (　　)
(3)圓的一般方程可以化為圓的標準方程. (　　)
(4)任何一個圓的方程都能寫成一個二元二次方程. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.圓x2+y2-4x+6y=0的圓心坐標是(　　).
A.(2,3)　　　　　　　B.(-2,3)
C.(-2,-3) D.(2,-3)
【答案】D
【解析】∵-=2,-=-3,∴圓的圓心坐標是(2,-3).
3.過O(0,0),A(3,0),B(0,4)三點的圓的一般方程為　　　　　　　　　　　.
【答案】x2+y2-3x-4y=0
【解析】由題意知該圓的圓心為AB的中點,2,半徑為,故其標準方程為x-2+(y-2)2=,化成一般方程為x2+y2-3x-4y=0.
4.若圓x2+y2+2x-4y+m=0的直徑為3,則m的值為　　　　.
　　【答案】
【解析】∵(x+1)2+(y-2)2=5-m,∴r==,∴m=.
【合作探究】
探究1：圓的一般方程
情境設置
　　已知圓心為(2,3),半徑為2,其標準方程為(x-2)2+(y-3)2=4.
　　問題1:上述方程能否化為二元二次方程的形式
【答案】可以,x2+y2-4x-6y+9=0.
問題2:方程x2+y2-4x-6y+13=0是否表示圓
【答案】配方得(x-2)2+(y-3)2=0,方程不表示圓.
問題3:怎樣理解圓的一般方程
【答案】圓的一般方程體現了圓的方程形式上的特點:x2,y2的系數相等且不為0;沒有xy項.對方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,只有當D2+E2-4F>0時才表示圓.
新知生成
1.圓的一般方程的概念:
當D2+E2-4F>0時,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫作圓的一般方程.
2.圓的一般方程對應的圓心和半徑:
圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圓的圓心坐標為-,-,半徑長為.
3.當D2+E2-4F=0時,x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一個點-,-.
4.當D2+E2-4F<0時,方程不表示任何圖形.
溫馨提醒:圓的標準方程和一般方程有如下關系
(1)由圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),可以直接看出圓心坐標(a,b)和半徑r,圓的幾何特征明顯.
(2)由圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),知道圓的方程是一種特殊的二元二次方程,圓的代數特征明顯.
(3)
新知運用
例1　(1)若x2+y2-4x+2y+5k=0表示圓,則實數k的取值范圍是(　　).
A.R　　　　　　　　　B.(-∞,1)
C.(-∞,1] D.[1,+∞)
(2)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓,則圓心坐標是　　　　,半徑是　　　　.
【答案】(1)B　(2)(-2,-4)　5
【解析】(1)由方程x2+y2-4x+2y+5k=0可得(x-2)2+(y+1)2=5-5k,此方程表示圓,則5-5k>0,解得k<1.故實數k的取值范圍是(-∞,1).故選B.
(2)由題意可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.
當a=-1時,方程為x2+y2+4x+8y-5=0,表示圓,故圓心坐標為(-2,-4),半徑為5.當a=2時,方程不表示圓.
【方法總結】對于形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判斷其是否表示圓時可用如下兩種方法:(1)由圓的一般方程的定義令D2+E2-4F>0,成立則表示圓,否則不表示圓;(2)將方程配方后,根據圓的標準方程的特征求解.
應用這兩種方法時,要注意所給的方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0這種標準形式,若不是,則要化為這種形式再求解.
鞏固訓練
　　判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程.如果是,請求出圓的圓心及半徑.
(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;
(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.
【解析】(1)是.將原方程化為x2+y2-x+3y+=0,則D=-1,E=3,F=.
∵D2+E2-4F=1>0,
∴此方程表示圓,圓心坐標為,-,半徑r=.
(2)不是.將原方程化為x2+y2-x+3y+=0,
則D=-1,E=3,F=.
∵D2+E2-4F=-1<0,
∴此方程不表示圓.
探究2：待定系數法的應用
情境設置
　　問題1:什么是待定系數法
【答案】待定系數法是一種求未知數的方法.將一個多項式表示成另一種含有待定系數的新的形式,這樣就得到一個恒等式,然后根據恒等式的性質得出系數應滿足的方程或方程組,最后通過解方程或方程組便可求出待定的系數,或找出某些系數所滿足的關系式,這種解決問題的方法叫作待定系數法.
問題2:圓的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0含有幾個參數 已知三點求圓的方程,用什么方法
【答案】圓的一般方程含有三個參數.已知三點求圓的方程,常用待定系數法.
新知生成
　　求圓的方程常用待定系數法,其大致步驟如下:
(1)根據題意選擇標準方程或一般方程;
(2)根據條件列出關于a,b,r或D,E,F的方程組;
(3)解出a,b,r或D,E,F的值,得到圓的標準方程或一般方程.
新知運用
例2　已知一圓過P(4,-2),Q(-1,3)兩點,且在y軸上截得的線段長為4,求圓的方程.
方法指導　分析已知條件,可以用待定系數法,建立方程組求解;也可以根據圓的幾何性質,求出圓心和半徑,然后寫出方程.
【解析】(法一)設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
將點P,Q的坐標分別代入上式,
得
令x=0,得y2+Ey+F=0,　③
由已知得|y1-y2|=4,其中y1,y2是方程③的根,
∴|y1-y2|2=(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48.　④
聯立①②④解得或
故圓的方程為x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.
(法二:幾何法)由題意得線段PQ的垂直平分線方程為x-y-1=0,
∴所求圓的圓心C在直線x-y-1=0上,
設其坐標為C(a,a-1).
又圓C的半徑長r=|CP|=.　⑤
由已知得圓C截y軸所得的線段長為4,而圓心C到y軸的距離為|a|,
∴r2=a2+2,
代入⑤式整理得a2-6a+5=0,
解得a1=1,a2=5,
∴r1=,r2=.
故圓的方程為(x-1)2+y2=13或(x-5)2+(y-4)2=37.
【方法總結】　待定系數法求圓的方程的解題策略:(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程,那么一般采用圓的標準方程,再用待定系數法求出a,b,r的值;(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關系,那么一般采用圓的一般方程,再用待定系數法求出D,E,F的值.
鞏固訓練
　　已知△ABC的三個頂點為A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圓的標準方程.
【解析】(法一)設△ABC的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
∵A,B,C在圓上,
∴
解得
∴△ABC的外接圓的方程為x2+y2-2x+2y-23=0,
即(x-1)2+(y+1)2=25.
(法二)∵kAB==,kAC==-3,
∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC,
∴△ABC是以角A為直角的直角三角形,
∴外心是線段BC的中點,
坐標為(1,-1),r=|BC|=5,
∴△ABC的外接圓的標準方程為(x-1)2+(y+1)2=25.
【隨堂檢測】
1.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的圖形是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.一個點
B.一個圓
C.一條直線
D.不存在
【答案】A
【解析】方程2x2+2y2-4x+8y+10=0,可化為x2+y2-2x+4y+5=0,即(x-1)2+(y+2)2=0,∴方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示點(1,-2).
2.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以點(2,-4)為圓心,4為半徑的圓,則F=　　　　.
【答案】4
【解析】以點(2,-4)為圓心,4為半徑的圓的方程為(x-2)2+(y+4)2=16,即x2+y2-4x+8y+4=0,故F=4.
3.若點(1,-1)在圓x2+y2-x+y+m=0外,則實數m的取值范圍是　　　　　.
【答案】0,
【解析】由已知條件可得
解得04.在平面直角坐標系中,已知△ABC的三個頂點坐標分別為A(-3,0),B(2,0),C(0,-4),經過這三個點的圓記為M.
(1)求BC邊上的中線所在直線的一般式方程;
(2)求圓M的一般方程.
【解析】(1)設BC邊的中點為D(x,y),所以x==1,y==-2,則D(1,-2),
所以直線AD的斜率k==-,
則直線AD的方程為y-0=-(x+3),整理成一般式為x+2y+3=0.
(2)設圓M的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
　　則解得
所以圓M的一般方程為x2+y2+x+y-6=0.
22.5.2　圓的一般方程
【學習目標】
1.正確理解圓的方程的形式及特點,會由一般式求圓心和半徑.(邏輯推理)
2.會在不同條件下求圓的一般方程.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么圖形 x2+y2-2x+4y+6=0表示什么圖形
2.把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,將得到怎樣的方程 這個方程是不是表示圓
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)方程x2+y2+x+1=0表示圓. (　　)
(2)方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示圓. (　　)
(3)圓的一般方程可以化為圓的標準方程. (　　)
(4)任何一個圓的方程都能寫成一個二元二次方程. (　　)
2.圓x2+y2-4x+6y=0的圓心坐標是(　　).
A.(2,3)　　　　　　　B.(-2,3)
C.(-2,-3) D.(2,-3)
3.過O(0,0),A(3,0),B(0,4)三點的圓的一般方程為　　　　　　　　　　　.
4.若圓x2+y2+2x-4y+m=0的直徑為3,則m的值為　　　　.
　　
【合作探究】
探究1：圓的一般方程
情境設置
　　已知圓心為(2,3),半徑為2,其標準方程為(x-2)2+(y-3)2=4.
　　問題1:上述方程能否化為二元二次方程的形式
問題2:方程x2+y2-4x-6y+13=0是否表示圓
問題3:怎樣理解圓的一般方程
新知生成
1.圓的一般方程的概念:
當D2+E2-4F>0時,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫作圓的一般方程.
2.圓的一般方程對應的圓心和半徑:
圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圓的圓心坐標為-,-,半徑長為.
3.當D2+E2-4F=0時,x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一個點-,-.
4.當D2+E2-4F<0時,方程不表示任何圖形.
溫馨提醒:圓的標準方程和一般方程有如下關系
(1)由圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),可以直接看出圓心坐標(a,b)和半徑r,圓的幾何特征明顯.
(2)由圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),知道圓的方程是一種特殊的二元二次方程,圓的代數特征明顯.
(3)
新知運用
例1　(1)若x2+y2-4x+2y+5k=0表示圓,則實數k的取值范圍是(　　).
A.R　　　　　　　　　B.(-∞,1)
C.(-∞,1] D.[1,+∞)
(2)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓,則圓心坐標是　　　　,半徑是　　　　.
【方法總結】對于形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判斷其是否表示圓時可用如下兩種方法:(1)由圓的一般方程的定義令D2+E2-4F>0,成立則表示圓,否則不表示圓;(2)將方程配方后,根據圓的標準方程的特征求解.
應用這兩種方法時,要注意所給的方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0這種標準形式,若不是,則要化為這種形式再求解.
鞏固訓練
　　判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程.如果是,請求出圓的圓心及半徑.
(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;
(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.
探究2：待定系數法的應用
情境設置
　　問題1:什么是待定系數法
問題2:圓的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0含有幾個參數 已知三點求圓的方程,用什么方法
新知生成
　　求圓的方程常用待定系數法,其大致步驟如下:
(1)根據題意選擇標準方程或一般方程;
(2)根據條件列出關于a,b,r或D,E,F的方程組;
(3)解出a,b,r或D,E,F的值,得到圓的標準方程或一般方程.
新知運用
例2　已知一圓過P(4,-2),Q(-1,3)兩點,且在y軸上截得的線段長為4,求圓的方程.
方法指導　分析已知條件,可以用待定系數法,建立方程組求解;也可以根據圓的幾何性質,求出圓心和半徑,然后寫出方程.
【方法總結】　待定系數法求圓的方程的解題策略:(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程,那么一般采用圓的標準方程,再用待定系數法求出a,b,r的值;(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關系,那么一般采用圓的一般方程,再用待定系數法求出D,E,F的值.
鞏固訓練
　　已知△ABC的三個頂點為A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圓的標準方程.
【隨堂檢測】
1.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的圖形是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.一個點
B.一個圓
C.一條直線
D.不存在
2.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以點(2,-4)為圓心,4為半徑的圓,則F=　　　　.
3.若點(1,-1)在圓x2+y2-x+y+m=0外,則實數m的取值范圍是　　　　　.
4.在平面直角坐標系中,已知△ABC的三個頂點坐標分別為A(-3,0),B(2,0),C(0,-4),經過這三個點的圓記為M.
(1)求BC邊上的中線所在直線的一般式方程;
(2)求圓M的一般方程.
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