資源簡介

2.7　用坐標(biāo)方法解決幾何問題
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解并掌握用坐標(biāo)法解決幾何問題的基本過程.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2.能根據(jù)曲線的幾何特征求曲線的方程.(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3.初步掌握求曲線方程的方法,解決一些較為復(fù)雜的幾何問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
1.什么是坐標(biāo)法
【答案】在平面直角坐標(biāo)系中,把點用坐標(biāo)表示,將直線與圓等曲線用方程表示,通過研究方程來研究圖形的性質(zhì),這種利用代數(shù)研究幾何的方法被稱為坐標(biāo)法.
2.用“坐標(biāo)法”解決有關(guān)幾何問題的基本步驟是什么
【答案】(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素;(2)進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算,求解代數(shù)問題; (3)把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.
3.求軌跡方程的一般步驟是什么
【答案】(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系;
(2)設(shè)動點的坐標(biāo)為(x,y);
(3)找出限制動點的幾何條件;
(4)將坐標(biāo)代入幾何關(guān)系;
(5)化簡式子.
自學(xué)檢測
1.某涵洞的橫截面是半徑為5 m的半圓,則該半圓的方程是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. x2+y2=25
B. x2+y2=25(y≥0)
C.(x+5)2+y2=25(y≤0)
D.隨建立的平面直角坐標(biāo)系的變化而變化
【答案】D
【解析】 建立的平面直角坐標(biāo)系不同,得到的半圓方程也不同.
2.當(dāng)點P在圓x2+y2=1上運(yùn)動時,它與定點Q(3,0)的連線PQ的中點的軌跡方程是(　　).
A.(x+3)2+y2=4
B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1
D.(2x+3)2+4y2=1
【答案】C
【解析】設(shè)P(x1,y1),PQ的中點M的坐標(biāo)為(x,y),
∵Q(3,0),∴∴x1=2x-3,y1=2y.
又點P在圓x2+y2=1上,
∴(2x-3)2+4y2=1,∴中點M的軌跡方程為(2x-3)2+4y2=1.故選C.
3.已知等腰三角形ABC的頂點是A(4,2),底邊的一個端點是B(3,5),求另一端點的軌跡方程.
【解析】∵A(4,2),B(3,5),∴|AB|=.
又∵等腰三角形的頂點是A,底邊的另一個端點是C,
∴|CA|=,即點C在以點A為圓心,為半徑的圓上,
∴可得該圓的方程為(x-4)2+(y-2)2=10,
當(dāng)點C位于點B關(guān)于圓心A對稱的點處時,坐標(biāo)為(2×4-3,2×2-5),即(5,-1),此時A,B,C三點共線,不符合題意;當(dāng)點B和點C重合時也不符合題意.
故另一端點的軌跡方程為(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,y≠5且x≠5,y≠-1).
【合作探究】
探究1：用坐標(biāo)法解決幾何問題
情境設(shè)置
　　如圖,在直角△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,過點B作△ABC的外接圓的切線交線段AC的延長線于點D,則線段AD的長是多少
問題1:若用坐標(biāo)法解決上面問題,應(yīng)怎樣建立平面直角坐標(biāo)系
【答案】以C為原點,AC所在的直線為x軸,BC所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系比較合適.因為圖中恰有這兩條直線互相垂直且線段長度已知.
問題2:結(jié)合問題1所建立的平面直角坐標(biāo)系求圓的方程和AD的長.
【答案】如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(3,0),B(0,4),所以AB的中點坐標(biāo)為,|AB|=5,
所以圓的方程為x-2+(y-2)2=,
所以切線BD的方程為-×x-+(4-2)(y-2)=,整理得3x-4y+16=0,
所以點D的坐標(biāo)為-,0,|AD|=3+=.
新知生成
用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”.
第一步,建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何要素,如點、直線、圓等,把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.
第二步,通過代數(shù)運(yùn)算,解決代數(shù)問題.
第三步,把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.
新知運(yùn)用
例1　如圖所示,AB是☉O的直徑,CD是☉O的一條弦,且AB⊥CD,E為垂足.利用坐標(biāo)法證明:E是CD的中點.
【解析】如圖所示,以O(shè)為坐標(biāo)原點,直徑AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)☉O的半徑為r,|OE|=m(mx2+y2=r2,
設(shè)C(m,b1),D(m,b2),
則m2+=r2,m2+=r2,
即b1,b2是關(guān)于b的方程m2+b2=r2的兩根,
解方程得b=±,
不妨設(shè)b1=-,b2=,
則CD的中點坐標(biāo)為m,,即(m,0).
故E(m,0)是CD的中點,即E是CD的中點.
【方法總結(jié)】坐標(biāo)法解題的關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系,建立坐標(biāo)系的原則:(1)若有兩條相互垂直的直線,一般以它們分別為x軸和y軸;(2)充分利用圖形的對稱性;(3)讓盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上或關(guān)于坐標(biāo)軸對稱;(4)關(guān)鍵點的坐標(biāo)易求得.
鞏固訓(xùn)練
如圖所示,在圓O上任取一點C為圓心,作圓C,與圓O的直徑AB相切于點D,圓C與圓O交于點E,F,且EF與CD相交于H.利用坐標(biāo)法證明:EF平分CD.
【解析】
以O(shè)為坐標(biāo)原點,AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.
設(shè)|AB|=2r,D(a,0),則|CD|=,C(a,),
可得圓O: x2+y2=r2,圓C:(x-a)2+(y-)2=r2-a2.
兩方程作差得直線EF的方程為2ax+2y=r2+a2.
令x=a,得y=,
則Ha,,
即H為CD的中點,所以EF平分CD.
探究2：求軌跡方程
情境設(shè)置
　　問題1:若點A(-1,0),B(1,0),則到A,B兩點距離相等的點的軌跡是什么 其方程又是什么
【答案】其軌跡為線段AB的垂直平分線,其方程為x=0.
問題2:已知動點M到點(8,0)的距離等于點M到點(2,0)的距離的2倍,你能求出點M的軌跡方程嗎
【答案】設(shè)M(x,y),由題意有=2,整理得點M的軌跡方程為x2+y2=16.
新知生成
1.坐標(biāo)法解決軌跡問題的基本思想
笛卡兒創(chuàng)立解析幾何后,人們借助坐標(biāo)系把形與數(shù)聯(lián)系起來,使幾何問題可以通過建立坐標(biāo),用代數(shù)方法來解決.在將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題并實施代數(shù)運(yùn)算的過程中,我們可以利用幾何定理得出坐標(biāo)之間的關(guān)系,也可以將圖形用向量語言來描述,用向量運(yùn)算來解決,再轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系.
2.求軌跡方程的一般步驟
(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系;
(2)設(shè)動點的坐標(biāo)為(x,y);
(3)找出限制動點的幾何條件;
(4)將坐標(biāo)代入幾何關(guān)系;
(5)化簡式子.
3.求軌跡方程的三種常用方法
(1)直接法:根據(jù)題目條件,建立坐標(biāo)系,設(shè)出動點坐標(biāo),找出動點滿足的條件,然后化簡、證明.
(2)定義法:當(dāng)動點的運(yùn)動軌跡符合圓的定義時,可利用定義寫出動點的軌跡方程.
(3)代入法:若動點P(x,y)依賴于某圓上的一個動點Q(x1,y1)而運(yùn)動,可將x1,y1用x,y表示,再將Q點的坐標(biāo)代入到已知圓的方程中,得到點P的軌跡方程.
特別提醒:在解決此類問題時易出現(xiàn)不符合條件的點仍在所求的軌跡上,故應(yīng)排除不合適的點.
新知運(yùn)用
例2　若兩定點A,B的距離為3,動點M滿足|MA|=2|MB|,求點M的軌跡圍成的區(qū)域的面積.
　　【解析】以點A為坐標(biāo)原點,射線AB為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖.
設(shè)點M(x,y),則A(0,0),B(3,0),
由=2,化簡并整理得(x-4)2+y2=4,
于是得點M的軌跡是以點(4,0)為圓心,2為半徑的圓,其面積為4π,
所以點M的軌跡圍成的區(qū)域的面積為4π.
【方法總結(jié)】一般地,求軌跡方程就是找等量關(guān)系求等式.先把等量關(guān)系用坐標(biāo)表示出來,再進(jìn)行變形化簡,就得到相應(yīng)的軌跡方程.求軌跡方程的關(guān)鍵就是建立坐標(biāo)系,找等量關(guān)系.
鞏固訓(xùn)練
已知△ABC的邊AB長為4,若BC邊上的中線為定長3,求頂點C的軌跡方程.
【解析】以直線AB為x軸,AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖),則A(-2,0),B(2,0),設(shè)C(x,y),BC的中點D(x0,y0).
∴　①
∵|AD|=3,∴(x0+2)2+=9.?、?br/>將①代入②,整理得(x+6)2+y2=36.
∵點C不能在x軸上,∴y≠0.
綜上,點C的軌跡是以(-6,0)為圓心,6為半徑的圓,去掉(-12,0)和(0,0)兩點.軌跡方程為(x+6)2+y2=36(y≠0).
【隨堂檢測】
1.一輛貨車寬1.6米,若要經(jīng)過一個半徑為3.6米的半圓形單行隧道,則這輛貨車的平頂車篷的篷頂距離地面高度最高約為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米
【答案】B
【解析】以圓心為坐標(biāo)原點,半圓的直徑所在的直線為x軸,
　　
過圓心且與x軸垂直的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.
易知半圓所在的圓的方程為x2+y2=3.62(y≥0),
由圖可知,當(dāng)貨車恰好在隧道中間行走時車篷最高,
此時x=0.8或x=-0.8,代入x2+y2=3.62,得y≈3.5(米)(負(fù)值已舍去).
2.若Rt△ABC的斜邊的兩個端點A,B的坐標(biāo)分別為(-3,0)和(7,0),則直角頂點C的軌跡方程為(　　).
A.x2+y2=25(y≠0)
B.x2+y2=25
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)
D.(x-2)2+y2=25
【答案】C
【解析】由已知可得,線段AB的中點坐標(biāo)為(2,0),因為△ABC為直角三角形,C為直角頂點,所以點C到點(2,0)的距離為|AB|=5,所以點C(x,y)滿足=5(y≠0),即點C的軌跡方程為(x-2)2+y2=25(y≠0).
3.設(shè)圓x2+y2-4x+2y-11=0的圓心為A,點P在圓上,則PA的中點M的軌跡方程是　　　　　.
【答案】(x-2)2+(y+1)2=4
【解析】由條件知A(2,-1),設(shè)M(x,y),根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得點P(2x-2,2y+1),
　　∵點P在圓上,
∴(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2y+1)-11=0,
整理得x2+y2-4x+2y+1=0,即(x-2)2+(y+1)2=4,
∴PA的中點M的軌跡方程為(x-2)2+(y+1)2=4.
4.臺風(fēng)中心從A地以20 km/h的速度向東北(東偏北45°)方向移動,離臺風(fēng)中心30 km內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū),城市B在A地正東40 km處,則城市B處于危險區(qū)的時長為多少
【解析】 以
A地為坐標(biāo)原點,AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.
則當(dāng)臺風(fēng)中心經(jīng)過以點B(40,0)為圓心,30 km為半徑的圓內(nèi)時,城市B處于危險區(qū),
直線MN:y=x,圓B:(x-40)2+y2=302.
利用弦長公式可求得|MN|=20,
由題意知,當(dāng)臺風(fēng)中心在線段MN上時,城市B處于危險區(qū),因為臺風(fēng)移動速度為20 km/h,故城市B處于危險區(qū)的時長為1 h.
22.7　用坐標(biāo)方法解決幾何問題
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解并掌握用坐標(biāo)法解決幾何問題的基本過程.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2.能根據(jù)曲線的幾何特征求曲線的方程.(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3.初步掌握求曲線方程的方法,解決一些較為復(fù)雜的幾何問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
1.什么是坐標(biāo)法
2.用“坐標(biāo)法”解決有關(guān)幾何問題的基本步驟是什么
3.求軌跡方程的一般步驟是什么
自學(xué)檢測
1.某涵洞的橫截面是半徑為5 m的半圓,則該半圓的方程是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. x2+y2=25
B. x2+y2=25(y≥0)
C.(x+5)2+y2=25(y≤0)
D.隨建立的平面直角坐標(biāo)系的變化而變化
2.當(dāng)點P在圓x2+y2=1上運(yùn)動時,它與定點Q(3,0)的連線PQ的中點的軌跡方程是(　　).
A.(x+3)2+y2=4
B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1
D.(2x+3)2+4y2=1
3.已知等腰三角形ABC的頂點是A(4,2),底邊的一個端點是B(3,5),求另一端點的軌跡方程.
【合作探究】
探究1：用坐標(biāo)法解決幾何問題
情境設(shè)置
　　如圖,在直角△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,過點B作△ABC的外接圓的切線交線段AC的延長線于點D,則線段AD的長是多少
問題1:若用坐標(biāo)法解決上面問題,應(yīng)怎樣建立平面直角坐標(biāo)系
問題2:結(jié)合問題1所建立的平面直角坐標(biāo)系求圓的方程和AD的長.
新知生成
用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”.
第一步,建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何要素,如點、直線、圓等,把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.
第二步,通過代數(shù)運(yùn)算,解決代數(shù)問題.
第三步,把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.
新知運(yùn)用
例1　如圖所示,AB是☉O的直徑,CD是☉O的一條弦,且AB⊥CD,E為垂足.利用坐標(biāo)法證明:E是CD的中點.
【方法總結(jié)】坐標(biāo)法解題的關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系,建立坐標(biāo)系的原則:(1)若有兩條相互垂直的直線,一般以它們分別為x軸和y軸;(2)充分利用圖形的對稱性;(3)讓盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上或關(guān)于坐標(biāo)軸對稱;(4)關(guān)鍵點的坐標(biāo)易求得.
鞏固訓(xùn)練
如圖所示,在圓O上任取一點C為圓心,作圓C,與圓O的直徑AB相切于點D,圓C與圓O交于點E,F,且EF與CD相交于H.利用坐標(biāo)法證明:EF平分CD.
探究2：求軌跡方程
情境設(shè)置
　　問題1:若點A(-1,0),B(1,0),則到A,B兩點距離相等的點的軌跡是什么 其方程又是什么
問題2:已知動點M到點(8,0)的距離等于點M到點(2,0)的距離的2倍,你能求出點M的軌跡方程嗎
新知生成
1.坐標(biāo)法解決軌跡問題的基本思想
笛卡兒創(chuàng)立解析幾何后,人們借助坐標(biāo)系把形與數(shù)聯(lián)系起來,使幾何問題可以通過建立坐標(biāo),用代數(shù)方法來解決.在將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題并實施代數(shù)運(yùn)算的過程中,我們可以利用幾何定理得出坐標(biāo)之間的關(guān)系,也可以將圖形用向量語言來描述,用向量運(yùn)算來解決,再轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系.
2.求軌跡方程的一般步驟
(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系;
(2)設(shè)動點的坐標(biāo)為(x,y);
(3)找出限制動點的幾何條件;
(4)將坐標(biāo)代入幾何關(guān)系;
(5)化簡式子.
3.求軌跡方程的三種常用方法
(1)直接法:根據(jù)題目條件,建立坐標(biāo)系,設(shè)出動點坐標(biāo),找出動點滿足的條件,然后化簡、證明.
(2)定義法:當(dāng)動點的運(yùn)動軌跡符合圓的定義時,可利用定義寫出動點的軌跡方程.
(3)代入法:若動點P(x,y)依賴于某圓上的一個動點Q(x1,y1)而運(yùn)動,可將x1,y1用x,y表示,再將Q點的坐標(biāo)代入到已知圓的方程中,得到點P的軌跡方程.
特別提醒:在解決此類問題時易出現(xiàn)不符合條件的點仍在所求的軌跡上,故應(yīng)排除不合適的點.
新知運(yùn)用
例2　若兩定點A,B的距離為3,動點M滿足|MA|=2|MB|,求點M的軌跡圍成的區(qū)域的面積.
【方法總結(jié)】一般地,求軌跡方程就是找等量關(guān)系求等式.先把等量關(guān)系用坐標(biāo)表示出來,再進(jìn)行變形化簡,就得到相應(yīng)的軌跡方程.求軌跡方程的關(guān)鍵就是建立坐標(biāo)系,找等量關(guān)系.
鞏固訓(xùn)練
已知△ABC的邊AB長為4,若BC邊上的中線為定長3,求頂點C的軌跡方程.
【隨堂檢測】
1.一輛貨車寬1.6米,若要經(jīng)過一個半徑為3.6米的半圓形單行隧道,則這輛貨車的平頂車篷的篷頂距離地面高度最高約為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米
2.若Rt△ABC的斜邊的兩個端點A,B的坐標(biāo)分別為(-3,0)和(7,0),則直角頂點C的軌跡方程為(　　).
A.x2+y2=25(y≠0)
B.x2+y2=25
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)
D.(x-2)2+y2=25
3.設(shè)圓x2+y2-4x+2y-11=0的圓心為A,點P在圓上,則PA的中點M的軌跡方程是　　　　　.
4.臺風(fēng)中心從A地以20 km/h的速度向東北(東偏北45°)方向移動,離臺風(fēng)中心30 km內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū),城市B在A地正東40 km處,則城市B處于危險區(qū)的時長為多少
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