資源簡介

3.1.1　橢圓的標準方程
【學習目標】
1.理解橢圓的定義及橢圓的標準方程.(數學抽象)
2.理解橢圓標準方程的推導過程,并能運用標準方程解決相關問題.(數學運算)
3.掌握用定義法、待定系數法求橢圓的標準方程.(邏輯推理、直觀想象)
【自主預習】
預學憶思
閱讀教材第112頁“實驗”中的內容,思考下列問題:
1.如果把細繩的兩端拉開一段距離,分別固定在圖板的兩點F1,F2上(繩子長度大于|F1F2|)(圖3.1-1),那么套上鉛筆,拉緊繩子,移動筆尖,畫出的軌跡是什么曲線
2.筆尖在移動的過程中,筆尖到兩個定點F1和F2的距離之和是一個定值嗎
3.觀察教材第112頁圖3.1-2.設P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),其中c>0,且|PF1|+|PF2|=2a(a>c),則橢圓的焦距是什么 點P的軌跡方程是什么
4.設P(x,y),F1(0,-c),F2(0,c),其中c>0,且|PF1|+|PF2|=2a(a>c),則橢圓的焦點位置變了嗎 焦距呢 點P的軌跡方程是什么
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)平面內到兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡叫作橢圓. (　　)
(2)橢圓的標準方程只與橢圓的形狀、大小有關,與位置無關. (　　)
(3)橢圓的兩種標準形式中,雖然焦點位置不同,但都滿足a2=b2+c2. (　　)
(4)方程+=1(a>b>0)表示的曲線是橢圓. (　　)
2.若橢圓+=1上一點P到焦點F1的距離為3,則點P到另一焦點F2的距離為(　　).　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.6　　　　 B.7　　　　 C.8　　　　 D.9
3.若橢圓的兩個焦點坐標分別為F1(0,-8),F2(0,8),且橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為20,則此橢圓的標準方程為(　　).
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
4.若方程+=1表示橢圓,則實數k的取值范圍是　　　　　.
【合作探究】
探究1：橢圓的定義
情境設置
　　問題1:當我們用一個垂直于圓錐的軸的平面截圓錐,截口曲線(截面和圓錐側面的交線)是一個圓.如果改變圓錐的軸和截平面所成的角,那么會得到怎樣的曲線呢
問題2:橢圓是圓錐曲線的一種,在科研、生產和生活中具有廣泛的應用.在生活中,哪些地方有橢圓的身影呢
問題3:取一條細繩,用圖釘把繩子兩端固定,用鉛筆尖(P)把細繩拉緊,在圖紙上慢慢移動,看看能畫出什么圖形 改變固定細繩的圖釘之間的距離,圖形會發(fā)生什么變化 這一過程中,移動的筆尖(動點P)滿足的幾何條件是什么
問題4:在定義中,如果|PF1|+|PF2|≤|F1F2|,那么動點的軌跡又是什么
新知生成
橢圓的定義:平面上到兩個定點F1,F2的距離之和為常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫作橢圓.這兩個定點F1,F2叫作橢圓的焦點,兩個焦點之間的距離|F1F2|叫作焦距.
新知運用
例1　在橢圓中,已知焦距為2,橢圓上的一點P與兩個焦點F1,F2的距離之和等于4,且∠PF1F2=120°,則△PF1F2的面積為　　　　.
【方法總結】橢圓的定義具有雙向作用,即若|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|),則點P的軌跡是橢圓;反之,橢圓上任意一點P到兩焦點的距離之和必為2a.
鞏固訓練
設橢圓上的一點P與兩個焦點F1,F2的距離之和等于10,過點F1的直線交橢圓于A,B兩點.若|F2A|+|F2B|=12,則|AB|=　　　　.
探究2：橢圓的標準方程
情境設置
　　問題1:觀察教材第112頁圖3.1-2,建立橢圓標準方程的步驟是什么
問題2:怎么能讓方程+=1更簡潔
問題3:
如圖,你能從中找出表示a,b,c的線段嗎
問題4:橢圓的兩種標準方程有什么異同點 如何從橢圓的標準方程判斷橢圓焦點的位置
問題5:確定橢圓的標準方程需要知道哪些量
新知生成
橢圓的標準方程
焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
焦點坐標 (-c,0)與(c,0) (0,-c)與(0,c)
a,b,c的關系 c2=　a2-b2　
新知運用
一、求橢圓的標準方程
例2　求符合下列條件的橢圓的標準方程:
(1)焦點在y軸上,且經過兩點(0,2)和(1,0);
(2)兩個焦點的坐標分別是(0,-2),(0,2),并且橢圓經過點;
(3)經過點P(-2,1),Q(,-2).
【方法總結】1.利用待定系數法求橢圓的標準方程的步驟:①先確定焦點位置;②設出方程;③尋求a,b,c的等量關系;④求a,b的值,代入所設方程.
2.當焦點位置不確定時,可設橢圓方程為mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因為它有焦點在x軸上(mn)兩類情況,所以可以避免分類討論,從而簡化運算.
二、橢圓方程的應用
例3　若方程+=1表示焦點在y軸上的橢圓,則實數m的取值范圍是(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-9C.
【方法總結】方程+=1表示橢圓的條件是表示焦點在x軸上的橢圓的條件是表示焦點在y軸上的橢圓的條件是
鞏固訓練
1.求符合下列條件的橢圓的標準方程:
(1)a=4,c=,焦點在y軸上;
(2)與橢圓+y2=1有相同的焦點,且經過點;
(3)經過A,B兩點.
2.(1)“3A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
(2)若橢圓+=1的左焦點為F1(-4,0),則m=(　　).
A.2　　　　 B.3　　　　 C.±3　　　　 D.9
探究3：求與橢圓定義有關的軌跡問題
例4　已知一個動圓與圓Q1:(x+3)2+y2=1外切,且與圓Q2:(x-3)2+y2=81內切,試求這個動圓圓心的軌跡方程.
【方法總結】若能確定動點運動的軌跡滿足某種已知曲線的定義,則可以利用這種已知曲線的定義直接寫出其方程,這種求軌跡方程的方法稱為定義法.定義法在我們后續(xù)要學習的圓錐曲線的問題中被廣泛使用,是一種重要的解題方法.
鞏固訓練
　　如圖所示,已知圓C:(x+1)2+y2=25及點A(1,0),Q為圓上一點,AQ的垂直平分線交CQ于點M,求點M的軌跡方程.
【隨堂檢測】
1.已知橢圓+=1上一點P到橢圓的一個焦點的距離是6,則點P到另一個焦點的距離為(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.2 B.3 C.4 D.5
2.如圖所示,已知橢圓的兩焦點為F1(-1,0),F2(1,0),P為橢圓上一點,且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,則橢圓的標準方程為　　　　　　　.
3.若方程+=1表示焦點在x軸上的橢圓,則實數k的取值范圍為(　　).
A.2C.44.已知橢圓+=1的左、右焦點分別為F1,F2,點P在橢圓上,若|PF1|=4,則∠F1PF2=　　　　.
23.1.1　橢圓的標準方程
【學習目標】
1.理解橢圓的定義及橢圓的標準方程.(數學抽象)
2.理解橢圓標準方程的推導過程,并能運用標準方程解決相關問題.(數學運算)
3.掌握用定義法、待定系數法求橢圓的標準方程.(邏輯推理、直觀想象)
【自主預習】
預學憶思
閱讀教材第112頁“實驗”中的內容,思考下列問題:
1.如果把細繩的兩端拉開一段距離,分別固定在圖板的兩點F1,F2上(繩子長度大于|F1F2|)(圖3.1-1),那么套上鉛筆,拉緊繩子,移動筆尖,畫出的軌跡是什么曲線
【答案】橢圓.
2.筆尖在移動的過程中,筆尖到兩個定點F1和F2的距離之和是一個定值嗎
【答案】是,其距離之和始終等于細繩的長度.
3.觀察教材第112頁圖3.1-2.設P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),其中c>0,且|PF1|+|PF2|=2a(a>c),則橢圓的焦距是什么 點P的軌跡方程是什么
【答案】橢圓的焦距是2c,點P的軌跡方程是+=1.
4.設P(x,y),F1(0,-c),F2(0,c),其中c>0,且|PF1|+|PF2|=2a(a>c),則橢圓的焦點位置變了嗎 焦距呢 點P的軌跡方程是什么
【答案】橢圓的焦點位置變了,焦點在y軸上,焦距沒變,還是2c,點P的軌跡方程為+=1.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)平面內到兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡叫作橢圓. (　　)
(2)橢圓的標準方程只與橢圓的形狀、大小有關,與位置無關. (　　)
(3)橢圓的兩種標準形式中,雖然焦點位置不同,但都滿足a2=b2+c2. (　　)
(4)方程+=1(a>b>0)表示的曲線是橢圓. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.若橢圓+=1上一點P到焦點F1的距離為3,則點P到另一焦點F2的距離為(　　).　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.6　　　　 B.7　　　　 C.8　　　　 D.9
【答案】B
【解析】根據橢圓的定義知,|PF1|+|PF2|=2a=2×5=10,因為|PF1|=3,所以|PF2|=7.
3.若橢圓的兩個焦點坐標分別為F1(0,-8),F2(0,8),且橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為20,則此橢圓的標準方程為(　　).
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【答案】C
【解析】由題意知c=8,2a=20,∴a=10,∴b2=a2-c2=36,故橢圓的標準方程為+=1.
4.若方程+=1表示橢圓,則實數k的取值范圍是　　　　　.
【答案】(-16,4)∪(4,24)
【解析】∵方程+=1表示橢圓,
∴解得-16∴k的取值范圍是(-16,4)∪(4,24).
【合作探究】
探究1：橢圓的定義
情境設置
　　問題1:當我們用一個垂直于圓錐的軸的平面截圓錐,截口曲線(截面和圓錐側面的交線)是一個圓.如果改變圓錐的軸和截平面所成的角,那么會得到怎樣的曲線呢
【答案】如圖,
如果用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐,那么當截面與軸所成的角度不同時,得到的截口曲線也不同.它們分別是橢圓、雙曲線、拋物線,統稱為圓錐曲線.
問題2:橢圓是圓錐曲線的一種,在科研、生產和生活中具有廣泛的應用.在生活中,哪些地方有橢圓的身影呢
【答案】橢圓形桌子、盤子,火腿腸的斜切面等.
問題3:取一條細繩,用圖釘把繩子兩端固定,用鉛筆尖(P)把細繩拉緊,在圖紙上慢慢移動,看看能畫出什么圖形 改變固定細繩的圖釘之間的距離,圖形會發(fā)生什么變化 這一過程中,移動的筆尖(動點P)滿足的幾何條件是什么
【答案】第一幕:細繩兩端相距特別近,圖形很接近圓.
第二幕:細繩兩端相距適中,圖形扁一些,橢圓形狀更直觀.
第三幕:細繩兩端相距較遠,筆尖繞著細繩轉動,圖形更扁長.
點P到兩定點的距離之和是常數.
問題4:在定義中,如果|PF1|+|PF2|≤|F1F2|,那么動點的軌跡又是什么
【答案】當|PF1|+|PF2|=|F1F2|時,點P的軌跡為線段F1F2;
當|PF1|+|PF2|<|F1F2|時,點P的軌跡不存在.
新知生成
橢圓的定義:平面上到兩個定點F1,F2的距離之和為常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫作橢圓.這兩個定點F1,F2叫作橢圓的焦點,兩個焦點之間的距離|F1F2|叫作焦距.
新知運用
例1　在橢圓中,已知焦距為2,橢圓上的一點P與兩個焦點F1,F2的距離之和等于4,且∠PF1F2=120°,則△PF1F2的面積為　　　　.
【答案】
【解析】由題意知|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=2.
在△PF1F2中,由余弦定理得|PF2|2=|PF1|2+-2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2,
即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|,　①
又|PF1|+|PF2|=4,　②
聯立①②可得|PF1|=,
所以=|PF1||F1F2|sin∠PF1F2=××2×=.
【方法總結】橢圓的定義具有雙向作用,即若|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|),則點P的軌跡是橢圓;反之,橢圓上任意一點P到兩焦點的距離之和必為2a.
鞏固訓練
設橢圓上的一點P與兩個焦點F1,F2的距離之和等于10,過點F1的直線交橢圓于A,B兩點.若|F2A|+|F2B|=12,則|AB|=　　　　.
【答案】8
【解析】由直線AB過橢圓的一個焦點F1,知|AB|=|F1A|+|F1B|,且|PF1|+|PF2|=2a=10,
所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20,
又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.
探究2：橢圓的標準方程
情境設置
　　問題1:觀察教材第112頁圖3.1-2,建立橢圓標準方程的步驟是什么
【答案】(1)建系,以F1F2的中點為坐標原點,F1F2所在直線為x軸,F1F2的中垂線為y軸建立平面直角坐標系;
(2)設點P(x,y);
(3)尋找動點滿足的幾何特征:|PF1|+|PF2|=2a(a>0);
(4)列式:+=2a(a>0);
(5)化簡.
問題2:怎么能讓方程+=1更簡潔
【答案】不妨設b2=a2-c2,再化簡方程,得+=1(a>b>0).
問題3:
如圖,你能從中找出表示a,b,c的線段嗎
【答案】a=|PF2|,b=|OP|,c=|OF2|.
問題4:橢圓的兩種標準方程有什么異同點 如何從橢圓的標準方程判斷橢圓焦點的位置
【答案】相同點:從形式上看,平方+平方=1,且c2=a2-b2,a>b>0.不同點:x和y順序交換,焦點位置不同,哪個變量下的分母大,焦點就對應在哪個軸上.
問題5:確定橢圓的標準方程需要知道哪些量
【答案】a,b的值及焦點的位置.
新知生成
橢圓的標準方程
焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
焦點坐標 (-c,0)與(c,0) (0,-c)與(0,c)
a,b,c的關系 c2=　a2-b2　
新知運用
一、求橢圓的標準方程
例2　求符合下列條件的橢圓的標準方程:
(1)焦點在y軸上,且經過兩點(0,2)和(1,0);
(2)兩個焦點的坐標分別是(0,-2),(0,2),并且橢圓經過點;
(3)經過點P(-2,1),Q(,-2).
【解析】(1)因為橢圓的焦點在y軸上,
所以設它的標準方程為+=1(a>b>0).
又橢圓經過點(0,2)和(1,0),
所以解得
所以所求的橢圓的標準方程為+x2=1.
(2)因為橢圓的焦點在y軸上,
所以設它的標準方程為+=1(a>b>0).
由橢圓的定義知,
2a=+=2,即a=.
又c=2,所以b2=a2-c2=6.
故所求的橢圓的標準方程為+=1.
(3)設橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n),
因為點P(-2,1),Q(,-2)在橢圓上,
所以解得
所以橢圓的標準方程為+=1.
【方法總結】1.利用待定系數法求橢圓的標準方程的步驟:①先確定焦點位置;②設出方程;③尋求a,b,c的等量關系;④求a,b的值,代入所設方程.
2.當焦點位置不確定時,可設橢圓方程為mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因為它有焦點在x軸上(mn)兩類情況,所以可以避免分類討論,從而簡化運算.
二、橢圓方程的應用
例3　若方程+=1表示焦點在y軸上的橢圓,則實數m的取值范圍是(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-9C.
【答案】C
【解析】依題意可得解得故選C.
【方法總結】方程+=1表示橢圓的條件是表示焦點在x軸上的橢圓的條件是表示焦點在y軸上的橢圓的條件是
鞏固訓練
1.求符合下列條件的橢圓的標準方程:
(1)a=4,c=,焦點在y軸上;
(2)與橢圓+y2=1有相同的焦點,且經過點;
(3)經過A,B兩點.
【解析】(1)由a=4,c=,得b2=a2-c2=1.
∵焦點在y軸上,∴其標準方程為+x2=1.
(2)橢圓+y2=1的焦點坐標為(-1,0),(1,0),
設所求橢圓的標準方程為+=1(a>b>0),
∵所求橢圓過點,
∴2a=+=4,
∴a=2.
∵a2=b2+c2,∴b2=3,
∴所求橢圓的標準方程為+=1.
(3)設所求的橢圓方程為+=1(m>0,n>0,m≠n),
把A,B兩點的坐標分別代入,
得解得
∴所求橢圓的標準方程為+y2=1.
2.(1)“3A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
(2)若橢圓+=1的左焦點為F1(-4,0),則m=(　　).
A.2　　　　 B.3　　　　 C.±3　　　　 D.9
【答案】(1)B　(2)C
【解析】(1)由方程+=1表示的曲線是橢圓,可得解得3又3而3所以“3(2)根據焦點坐標可知,焦點在x軸上,所以a2=25,b2=m2,c2=16,
又因為m2=b2=a2-c2=9,解得m=±3.
探究3：求與橢圓定義有關的軌跡問題
例4　已知一個動圓與圓Q1:(x+3)2+y2=1外切,且與圓Q2:(x-3)2+y2=81內切,試求這個動圓圓心的軌跡方程.
【解析】由
已知得兩定圓的圓心和半徑分別為Q1(-3,0),R1=1;Q2(3,0),R2=9.
設動圓圓心為M(x,y),半徑為R,如圖.
由題設知|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,
所以|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6.
由橢圓的定義知,點M在以Q1,Q2為焦點的橢圓上,且a=5,c=3.
所以b2=a2-c2=25-9=16,
故動圓圓心的軌跡方程為+=1.
【方法總結】若能確定動點運動的軌跡滿足某種已知曲線的定義,則可以利用這種已知曲線的定義直接寫出其方程,這種求軌跡方程的方法稱為定義法.定義法在我們后續(xù)要學習的圓錐曲線的問題中被廣泛使用,是一種重要的解題方法.
鞏固訓練
　　如圖所示,已知圓C:(x+1)2+y2=25及點A(1,0),Q為圓上一點,AQ的垂直平分線交CQ于點M,求點M的軌跡方程.
【解析】根據題意可得,圓C的圓心坐標為(-1,0),半徑為5.
由垂直平分線的性質可知,|MQ|=|MA|,
∴|CM|+|MA|=|CM|+|MQ|=|CQ|=5.
∴點M的軌跡為橢圓,其中2a=5,焦點為C(-1,0),A(1,0),
∴a=,c=1,
∴b2=a2-c2=-1=.
∴所求點M的軌跡方程為+=1,
即+=1.
【隨堂檢測】
1.已知橢圓+=1上一點P到橢圓的一個焦點的距離是6,則點P到另一個焦點的距離為(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】設橢圓的兩個焦點分別為F1,F2,則|PF1|+|PF2|=2a=10,
又點P到橢圓一個焦點的距離是6,故點P到另一個焦點的距離為4.
2.如圖所示,已知橢圓的兩焦點為F1(-1,0),F2(1,0),P為橢圓上一點,且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,則橢圓的標準方程為　　　　　　　.
【答案】+=1
【解析】設橢圓的標準方程為+=1(a>b>0),焦距為2c,則由已知得c=1,|F1F2|=2,所以4=|PF1|+|PF2|=2a,解得a=2,所以b2=a2-c2=4-1=3,所以橢圓的標準方程為+=1.
3.若方程+=1表示焦點在x軸上的橢圓,則實數k的取值范圍為(　　).
A.2C.4【答案】B
【解析】若方程+=1表示焦點在x軸上的橢圓,則6-k>k-2>0,解得24.已知橢圓+=1的左、右焦點分別為F1,F2,點P在橢圓上,若|PF1|=4,則∠F1PF2=　　　　.
【答案】120°
【解析】由橢圓的定義知a2=9,b2=2,
∴a=3,c2=a2-b2=7,即c=,
∴|F1F2|=2.
∵|PF1|=4,∴|PF2|=2a-|PF1|=2.
∴在△PF1F2中,由余弦定理得
cos∠F1PF2=
==-,
又0°<∠F1PF2<180°,
∴∠F1PF2=120°.
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