資源簡介

3.1.2　課時1　橢圓的簡單幾何性質
【學習目標】
1.掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質.(直觀想象)
2.能運用橢圓的簡單幾何性質求橢圓的標準方程.(數學運算)
3.了解橢圓的離心率對橢圓的扁平程度的影響.(邏輯推理)
【自主預習】
預學憶思
1.我們前面學過的橢圓是怎樣定義的 橢圓的標準方程怎么表示
2.橢圓+=1(a>b>0)中x,y的取值范圍各是什么
3.橢圓+=1(a>b>0)的對稱軸和對稱中心各是什么
4.橢圓+=1(a>b>0)與坐標軸的交點坐標是什么
5.橢圓的離心率怎么表示 其取值范圍是什么
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)橢圓的頂點是橢圓與它的對稱軸的交點. (　　)
(2)橢圓上的點到焦點的距離的最大值為a+c. (　　)
(3)橢圓的離心率e越接近于1,橢圓越圓. (　　)
(4)橢圓+=1(a>b>0)的長軸長等于a. (　　)
2.焦點在x軸上,右焦點到短軸端點的距離為2,到左頂點的距離為3的橢圓的標準方程是(　　).
A.+=1 B.+y2=1
C.+=1 D.x2+=1
3.若橢圓短軸的一個頂點與兩焦點組成等邊三角形,則它的離心率為(　　).
A. B. C. D.
4.若橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,兩焦點分別為F1,F2,M為橢圓上一點,且△F1F2M的周長為16,則橢圓C的標準方程為　　　　　　　　.
【合作探究】
探究1：　橢圓的范圍、對稱性、頂點
情境設置
　　問題1:如何求橢圓方程+=1(a>b>0)中x,y的取值范圍呢
問題2:若橢圓方程為+=1(a>b>0),你能比較準確地畫出它的圖形嗎
問題3:關于x軸、y軸及原點的對稱點的特征是什么 如何利用方程說明橢圓的對稱性
問題4:橢圓+=1(a>b>0)上的哪些點比較特殊 如何得到這些點的坐標
新知生成
橢圓的簡單幾何性質
焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準 方程 +=1(a>b>0) +=1　(a>b>0)
范圍 　-a≤x≤a且-b≤y≤b　 　-b≤x≤b且-a≤y≤a　
對稱性 對稱軸為　坐標軸　,對稱中心為　原點　
頂點 　A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)　 　A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)　
軸長 短軸長|B1B2|=　2b　,長軸長|A1A2|=　2a　
焦點 　F1(-c,0),F2(c,0)　 　F1(0,-c),F2(0,c)　
焦距 |F1F2|=　2c　
　　特別提醒:(1)橢圓上到中心的距離最小的點是短軸的兩個端點,到中心的距離最大的點是長軸的兩個端點.
(2)橢圓上到焦點的距離最大和最小的點分別是長軸的兩個端點,最大值為a+c,最小值為a-c.
(3)通徑:過橢圓焦點垂直于長軸的弦是最短的弦,其長為;過焦點最長的弦為長軸.
新知運用
例1　求橢圓4x2+9y2=36的長軸長、焦距、焦點坐標、頂點坐標.
方法指導　由題目可獲取以下主要信息:①已知橢圓的方程;②研究橢圓的幾何性質.解答本題可先把方程化成標準形式,然后寫出其幾何性質.
【方法總結】用標準方程研究幾何性質的步驟:(1)將橢圓方程化為標準形式;(2)確定焦點位置;(3)求出a,b,c的值;(4)寫出橢圓的幾何性質.
鞏固訓練
(1)已知橢圓C1:+=1,C2:+=1,則(　　).
A.橢圓C1與C2的頂點相同
B.橢圓C1與C2的長軸長相同
C.橢圓C1與C2的短軸長相同
D.橢圓C1與C2的焦距相等
　　(2)橢圓+=1上的點P到其右焦點的距離的(　　).
A.最大值為5,最小值為4　　B.最大值為10,最小值為8
C.最大值為10,最小值為6 D.最大值為9,最小值為1
探究2：橢圓的離心率
情境設置
　　問題1:e的變化對橢圓的形狀有什么影響
問題2:你能利用三角函數的知識解釋為什么e越大橢圓越扁平,e越小橢圓越接近于圓嗎
問題3:如何用a,b表示離心率
新知生成
1.定義:將橢圓的半焦距與長半軸長的比稱為橢圓的離心率,用e表示,即e=.
2.性質:橢圓離心率e的取值范圍是(0,1).當e越接近于1時,橢圓越扁;當e越接近于0時,橢圓就越接近于圓.當且僅當a=b時,c=0,這時,圖形變成圓,它的方程為x2+y2=a2.
新知運用
例2　直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到l的距離為其短軸長的,則該橢圓的離心率為(　　).
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
方法指導　根據已知條件建立方程,結合a,b,c的關系,解方程可得結論.
【方法總結】求橢圓離心率的值或取值范圍的兩種方法
(1)直接法:若已知a,c,則可直接利用e=求解;若已知a,b或b,c,則可借助a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解.
(2)方程法:若a,c的值不可求,則可根據條件建立a,b,c的關系式,借助a2=b2+c2,轉化為關于a,c的齊次方程或不等式,再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪,得到關于e的齊次方程或不等式,即可求得e的值或取值范圍.
鞏固訓練
已知P是橢圓+=1(a>b>0)上的一點,F為橢圓的右焦點,PF⊥x軸,過點P且斜率為的直線恰好經過左頂點,則橢圓的離心率為(　　).
A. B. C. D.
探究3：利用幾何性質求橢圓的標準方程
例3　求適合下列條件的橢圓的標準方程:
(1)長軸長是10,離心率是;
(2)在x軸上的一個焦點,與短軸兩個端點的連線互相垂直,且焦距為6.
【方法總結】利用橢圓的幾何性質求標準方程的思路
(1)利用橢圓的幾何性質求橢圓的標準方程時,通常采用待定系數法,其步驟如下:
①確定焦點位置;
②設出相應橢圓的標準方程(對于焦點位置不確定的橢圓可能有兩種標準方程);
③根據已知條件構造關于參數的關系式,利用方程(組)求參數,列方程(組)時常用的關系式有b2=a2-c2,e=等.
(2)在橢圓的簡單幾何性質中,長軸長、短軸長、離心率不能確定橢圓的焦點位置,因此僅依據這些條件求所要確定的橢圓的標準方程可能有兩個.
鞏固訓練
　　求適合下列條件的橢圓的標準方程:
(1)橢圓過點(3,0),離心率e=;
　　(2)經過點M(1,2),且與橢圓+=1有相同的離心率.
【隨堂檢測】
1.橢圓+=1的長軸長為(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2　 B.4 C.8 D.4
2.若焦點在y軸上的橢圓+=1(m>0)的離心率為,則m的值為　　　　.
3.若橢圓的對稱軸為坐標軸,長軸長與短軸長的和為18,一個焦點的坐標是(3,0),則橢圓的標準方程為　　　　.
4.在橢圓+=1(a>b>0)中,F為橢圓的右焦點,A為橢圓的左頂點,B為橢圓的短軸的上頂點,若⊥,則該橢圓的離心率為　　　　.
23.1.2　課時1　橢圓的簡單幾何性質
【學習目標】
1.掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質.(直觀想象)
2.能運用橢圓的簡單幾何性質求橢圓的標準方程.(數學運算)
3.了解橢圓的離心率對橢圓的扁平程度的影響.(邏輯推理)
【自主預習】
預學憶思
1.我們前面學過的橢圓是怎樣定義的 橢圓的標準方程怎么表示
【答案】把平面內到兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫作橢圓.
當橢圓的焦點在x軸上時,橢圓的標準方程是+=1(a>b>0);
當橢圓的焦點在y軸上時,橢圓的標準方程是+=1(a>b>0).
2.橢圓+=1(a>b>0)中x,y的取值范圍各是什么
【答案】-a≤x≤a,-b≤y≤b.
3.橢圓+=1(a>b>0)的對稱軸和對稱中心各是什么
【答案】對稱軸為x軸和y軸,對稱中心為坐標原點(0,0).
4.橢圓+=1(a>b>0)與坐標軸的交點坐標是什么
【答案】與x軸的交點坐標為(±a,0),與y軸的交點坐標為(0,±b).
5.橢圓的離心率怎么表示 其取值范圍是什么
【答案】離心率e=;0自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)橢圓的頂點是橢圓與它的對稱軸的交點. (　　)
(2)橢圓上的點到焦點的距離的最大值為a+c. (　　)
(3)橢圓的離心率e越接近于1,橢圓越圓. (　　)
(4)橢圓+=1(a>b>0)的長軸長等于a. (　　)
【答案】(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.焦點在x軸上,右焦點到短軸端點的距離為2,到左頂點的距離為3的橢圓的標準方程是(　　).
A.+=1 B.+y2=1
C.+=1 D.x2+=1
【答案】A
【解析】依題意,得a=2,a+c=3,故c=1,b==,故所求橢圓的標準方程是+=1.
3.若橢圓短軸的一個頂點與兩焦點組成等邊三角形,則它的離心率為(　　).
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意知a=2c,∴e===.
4.若橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,兩焦點分別為F1,F2,M為橢圓上一點,且△F1F2M的周長為16,則橢圓C的標準方程為　　　　　　　　.
【答案】+=1
【解析】∵e==,
∴=.
設==t(t>0),則a=5t,c=3t.
又△F1F2M的周長為2a+2c=16t=16,
∴t=1,∴a=5,c=3,
∴b2=a2-c2=16.
∴橢圓C的標準方程為+=1.
【合作探究】
探究1：　橢圓的范圍、對稱性、頂點
情境設置
　　問題1:如何求橢圓方程+=1(a>b>0)中x,y的取值范圍呢
【答案】由橢圓方程+=1(a>b>0),可知=1-≥0,所以橢圓上的點的橫坐標都適合不等式≤1,即-a≤x≤a.同理,≤1,即-b≤y≤b.
問題2:若橢圓方程為+=1(a>b>0),你能比較準確地畫出它的圖形嗎
【答案】能.根據橢圓+=1(a>b>0)中x,y的取值范圍-a≤x≤a且-b≤y≤b,容易看出橢圓上的點都在一個特定的矩形框內,因此,可以較為準確地畫出橢圓的大致圖形,如圖所示.
問題3:關于x軸、y軸及原點的對稱點的特征是什么 如何利用方程說明橢圓的對稱性
【答案】點P(x,y)關于x軸的對稱點為P1(x,-y),關于y軸的對稱點為P2(-x,y),關于原點的對稱點為P3(-x,-y).以-y代替y后,方程不變,說明當點P(x,y)在橢圓上時,它關于x軸的對稱點P1(x,-y)也在橢圓上,所以橢圓關于x軸對稱.同理,橢圓也關于y軸對稱.以-x代替x,-y代替y,方程不變,說明當點P(x,y)在橢圓上時,它關于原點的對稱點P3(-x,-y)也在橢圓上,所以橢圓關于原點對稱.
問題4:橢圓+=1(a>b>0)上的哪些點比較特殊 如何得到這些點的坐標
【答案】與坐標軸的交點比較特殊,在橢圓+=1(a>b>0)中,令x=0,得y=±b,因此點B1(0,-b),B2(0,b)是橢圓與y軸的兩個交點;同理,令y=0,得x=±a,因此點A1(-a,0),A2(a,0)是橢圓與x軸的兩個交點.
新知生成
橢圓的簡單幾何性質
焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準 方程 +=1(a>b>0) +=1　(a>b>0)
范圍 　-a≤x≤a且-b≤y≤b　 　-b≤x≤b且-a≤y≤a　
對稱性 對稱軸為　坐標軸　,對稱中心為　原點　
頂點 　A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)　 　A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)　
軸長 短軸長|B1B2|=　2b　,長軸長|A1A2|=　2a　
焦點 　F1(-c,0),F2(c,0)　 　F1(0,-c),F2(0,c)　
焦距 |F1F2|=　2c　
　　特別提醒:(1)橢圓上到中心的距離最小的點是短軸的兩個端點,到中心的距離最大的點是長軸的兩個端點.
(2)橢圓上到焦點的距離最大和最小的點分別是長軸的兩個端點,最大值為a+c,最小值為a-c.
(3)通徑:過橢圓焦點垂直于長軸的弦是最短的弦,其長為;過焦點最長的弦為長軸.
新知運用
例1　求橢圓4x2+9y2=36的長軸長、焦距、焦點坐標、頂點坐標.
方法指導　由題目可獲取以下主要信息:①已知橢圓的方程;②研究橢圓的幾何性質.解答本題可先把方程化成標準形式,然后寫出其幾何性質.
【解析】將橢圓方程變形為+=1,所以a=3,b=2,
故c===.
　　所以橢圓的長軸長為2a=6,焦距為2c=2,焦點坐標為F1(-,0),F2(,0),頂點坐標為A1(-3,0),A2(3,0),B1(0,-2),B2(0,2).
【方法總結】用標準方程研究幾何性質的步驟:(1)將橢圓方程化為標準形式;(2)確定焦點位置;(3)求出a,b,c的值;(4)寫出橢圓的幾何性質.
鞏固訓練
(1)已知橢圓C1:+=1,C2:+=1,則(　　).
A.橢圓C1與C2的頂點相同
B.橢圓C1與C2的長軸長相同
C.橢圓C1與C2的短軸長相同
D.橢圓C1與C2的焦距相等
　　(2)橢圓+=1上的點P到其右焦點的距離的(　　).
A.最大值為5,最小值為4　　B.最大值為10,最小值為8
C.最大值為10,最小值為6 D.最大值為9,最小值為1
【答案】(1)D　(2)D
【解析】(1)由兩個橢圓的標準方程可知,橢圓C1的頂點坐標為(±2,0),(0,±2),長軸長為4,短軸長為4,焦距為4;橢圓C2的頂點坐標為(±4,0),(0,±2),長軸長為8,短軸長為4,焦距為4.故選D.
(2)由橢圓的標準方程可知,a=5,b=3,所以c=4,而橢圓上的點到其右焦點的最大距離為a+c,最小距離為a-c,即最大值為9,最小值為1.
探究2：橢圓的離心率
情境設置
　　問題1:e的變化對橢圓的形狀有什么影響
【答案】若e越接近1,則c就越接近a,從而b=越小,因此橢圓越扁;反之,若e越接近于0,則c就越接近0,從而b越接近于a,這時橢圓就越接近于圓.當且僅當a=b時,c=0,這時兩個焦點重合,圖形變為圓,標準方程為x2+y2=a2.
問題2:你能利用三角函數的知識解釋為什么e越大橢圓越扁平,e越小橢圓越接近于圓嗎
【答案】
如圖,在Rt△BF2O中,c=|OF2|,b=|OB|,a=|F2B|,cos∠BF2O=,e越大,越大,∠BF2O越小,橢圓越扁;e越小,越小,∠BF2O越大,橢圓越圓.
問題3:如何用a,b表示離心率
【答案】由e=得e2==,∴e=.
新知生成
1.定義:將橢圓的半焦距與長半軸長的比稱為橢圓的離心率,用e表示,即e=.
2.性質:橢圓離心率e的取值范圍是(0,1).當e越接近于1時,橢圓越扁;當e越接近于0時,橢圓就越接近于圓.當且僅當a=b時,c=0,這時,圖形變成圓,它的方程為x2+y2=a2.
新知運用
例2　直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到l的距離為其短軸長的,則該橢圓的離心率為(　　).
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
方法指導　根據已知條件建立方程,結合a,b,c的關系,解方程可得結論.
【答案】B
【解析】不妨設直線l過橢圓的上頂點(0,b)和左焦點(-c,0),b>0,c>0,則直線l的方程為bx-cy+bc=0.由已知得=×2b,又a2=b2+c2,所以=,所以e=.故選B.
【方法總結】求橢圓離心率的值或取值范圍的兩種方法
(1)直接法:若已知a,c,則可直接利用e=求解;若已知a,b或b,c,則可借助a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解.
(2)方程法:若a,c的值不可求,則可根據條件建立a,b,c的關系式,借助a2=b2+c2,轉化為關于a,c的齊次方程或不等式,再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪,得到關于e的齊次方程或不等式,即可求得e的值或取值范圍.
鞏固訓練
已知P是橢圓+=1(a>b>0)上的一點,F為橢圓的右焦點,PF⊥x軸,過點P且斜率為的直線恰好經過左頂點,則橢圓的離心率為(　　).
A. B. C. D.
【答案】C
　　【解析】如
圖所示,將x=c代入橢圓方程得|PF|=,|AF|=a+c,
　　由題意可得=,∴3b2=a2+ac,∴3a2-3c2=a2+ac,
∴3c2+ac-2a2=0,∴3e2+e-2=0,∴e=(負值已舍去).
探究3：利用幾何性質求橢圓的標準方程
例3　求適合下列條件的橢圓的標準方程:
(1)長軸長是10,離心率是;
(2)在x軸上的一個焦點,與短軸兩個端點的連線互相垂直,且焦距為6.
【解析】(1)設橢圓的方程為+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0).
由已知得2a=10,即a=5,又e==,∴c=4,
∴b2=a2-c2=25-16=9,
∴橢圓方程為+=1或+=1.
(2)依題意可設橢圓方程為+=1(a>b>0).
如圖所示,△A1FA2為一等腰直角三角形,OF為斜邊A1A2的中線(高),且|OF|=c,|A1A2|=2b,2c=6,
∴c=b=3,∴a2=b2+c2=18,
故所求橢圓的方程為+=1.
【方法總結】利用橢圓的幾何性質求標準方程的思路
(1)利用橢圓的幾何性質求橢圓的標準方程時,通常采用待定系數法,其步驟如下:
①確定焦點位置;
②設出相應橢圓的標準方程(對于焦點位置不確定的橢圓可能有兩種標準方程);
③根據已知條件構造關于參數的關系式,利用方程(組)求參數,列方程(組)時常用的關系式有b2=a2-c2,e=等.
(2)在橢圓的簡單幾何性質中,長軸長、短軸長、離心率不能確定橢圓的焦點位置,因此僅依據這些條件求所要確定的橢圓的標準方程可能有兩個.
鞏固訓練
　　求適合下列條件的橢圓的標準方程:
(1)橢圓過點(3,0),離心率e=;
　　(2)經過點M(1,2),且與橢圓+=1有相同的離心率.
【解析】(1)若焦點在x軸上,則a=3,
∵e==,∴c=,
∴b2=a2-c2=9-6=3,
∴橢圓的標準方程為+=1.
若焦點在y軸上,則b=3,
∵e====,解得a2=27.
∴橢圓的標準方程為+=1.
∴所求橢圓的標準方程為+=1或+=1.
(2)(法一)由題意知e2=1-=,
∴=,即a2=2b2.
設所求橢圓的標準方程為+=1或+=1.
將點M(1,2)代入橢圓方程得+=1或+=1,解得b2=或b2=3.
故所求橢圓的標準方程為+=1或+=1.
(法二)設所求橢圓方程為+=k1(k1>0)或+=k2(k2>0),
將點M的坐標代入橢圓方程可得+=k1或+=k2,
解得k1=,k2=,
故+=或+=,
即所求橢圓的標準方程為+=1或+=1.
【隨堂檢測】
1.橢圓+=1的長軸長為(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2　 B.4 C.8 D.4
【答案】C
【解析】由+=1,可得a=4,所以長軸長為2a=8.
2.若焦點在y軸上的橢圓+=1(m>0)的離心率為,則m的值為　　　　.
【答案】
【解析】由題意知03.若橢圓的對稱軸為坐標軸,長軸長與短軸長的和為18,一個焦點的坐標是(3,0),則橢圓的標準方程為　　　　.
【答案】+=1
【解析】由題意得解得
因為橢圓的焦點在x軸上,所以橢圓的標準方程為+=1.
4.在橢圓+=1(a>b>0)中,F為橢圓的右焦點,A為橢圓的左頂點,B為橢圓的短軸的上頂點,若⊥,則該橢圓的離心率為　　　　.
【答案】
【解析】由已知條件得,點A的坐標為(-a,0),點B的坐標為(0,b),點F的坐標為(c,0).
(法一)∵⊥,∴kAB·kFB=-1,即·=-1,化簡得b2=ac,
則a2-c2=ac,即e2+e-1=0,解得e1=,e2=(舍去).
(法二)∵⊥,∴·=0,則(c,-b)·(a,b)=0,∴b2-ac=0,即b2=ac,
則a2-c2=ac,即e2+e-1=0,
解得e1=,e2=(舍去).
2

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