資源簡介

3.1.2　課時2　橢圓簡單幾何性質的應用
【學習目標】
1.進一步掌握橢圓的方程及其性質的應用,會判斷點、直線與橢圓的位置關系.(邏輯推理)
2.能運用直線與橢圓的位置關系解決相關的弦長、中點弦問題.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.點與圓有幾種位置關系 點與橢圓呢
【答案】點與圓有3種位置關系:點在圓內,點在圓外,點在圓上.點與橢圓也有3種位置關系:點在橢圓內,點在橢圓外,點在橢圓上.
2.判斷直線與圓的位置關系有哪幾種方法
【答案】①幾何法:利用圓心到直線的距離d與圓的半徑的大小關系判斷,d=r 相切;d>r 相離;d3.能否利用判斷直線與圓的位置關系的幾何法判斷直線與橢圓的位置關系
【答案】不能采用幾何法,但是可以利用代數法判斷直線與橢圓的位置關系.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)點P(2,1)在橢圓+=1的內部. (　　)
(2)過橢圓外一點一定能作兩條直線與已知橢圓相切. (　　)
(3)過點A(0,1)的直線一定與橢圓x2+=1相交. (　　)
(4)直線y=k(x-a)與橢圓+=1(a>b>0)的位置關系是相交或相切. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.(多選題)已知點(3,2)在橢圓+=1(a>b>0)上,則(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.點(-3,-2)不在橢圓上
B.點(3,-2)在橢圓上
C.點(-3,2)在橢圓上
D.無法判斷點(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在橢圓上
【答案】BC
【解析】由橢圓的對稱性知,點(-3,-2),(-3,2),(3,-2)均在橢圓上.
3.已知直線l:x+y-3=0,橢圓+y2=1,則直線與橢圓的位置關系是(　　).
A.相離 B.相切
C.相交 D.相交或相切
【答案】A
【解析】把x+y-3=0代入+y2=1,
得+(3-x)2=1,即5x2-24x+32=0.
∵Δ=(-24)2-4×5×32=-64<0,
∴直線與橢圓相離.
4.已知直線y=kx+1與橢圓+y2=1相交于A,B兩點,若AB中點的橫坐標為1,則k的值為　　　　　.
【答案】-
【解析】設A(x1,y1),B(x2,y2),把y=kx+1代入+y2=1,得(1+4k2)x2+8kx=0,則x1+x2=-,因為AB中點的橫坐標為1,所以-=1,解得k=-.
【合作探究】
探究1：點與橢圓的位置關系
情境設置
　　問題:如何判斷點與橢圓的位置關系
【答案】把點的坐標代入橢圓方程左邊進行計算,其值大于1,點在橢圓外;其值小于1,點在橢圓內;其值等于1,點在橢圓上.
新知生成
點P(x0,y0)與橢圓+=1(a>b>0)的位置關系:
點P在橢圓上 +=1　;
點P在橢圓內部 +<1　;
點P在橢圓外部 +>1　.
新知運用
例1　若直線y=kx+1恒過定點A,且點A位于焦點在x軸上的橢圓+=1的內部(含邊界),求實數m的取值范圍.
方法指導　先求定點A,然后根據點A在橢圓內部(含邊界),建立不等式求解.
【解析】由題意知直線y=kx+1過定點A(0,1).
∵點A在橢圓+=1內或橢圓上,∴+≤1,∴m≥1.又橢圓焦點在x軸上,∴m<5,故實數m的取值范圍為[1,5).
【方法總結】判斷點與橢圓的位置關系,可將點的坐標代入橢圓方程,然后判斷.已知關鍵點的位置求參數范圍,可根據點的位置建立不等式求解.
鞏固訓練
　　已知直線l過點(3,-1),且橢圓C的方程為+=1,則直線l與橢圓C的公共點的個數為(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1 B.1或2 C.2 D.0
【答案】C
【解析】因為直線l過定點(3,-1),且+<1,
所以點(3,-1)在橢圓的內部,故直線l與橢圓有2個公共點.
探究2：直線與橢圓的位置關系
情境設置
　　問題1:如圖所示,移動直線l,觀察直線l與橢圓有幾種位置關系.
【答案】有三種,相切、相交、相離.
問題2:已知直線l和橢圓C的方程,如何判斷直線與橢圓的位置關系
【答案】要判斷直線與橢圓的位置關系,應通過解直線方程與橢圓方程組成的方程組,消去方程組中的一個變量,得到關于另一個變量的一元二次方程,則
Δ>0 直線與橢圓相交;
Δ=0 直線與橢圓相切;
Δ<0 直線與橢圓相離.
新知生成
直線y=kx+m與橢圓+=1(a>b>0)的位置關系的判斷方法:由消去y(或x)得到一個一元二次方程.
位置關系 解的個數 Δ的取值
相交 兩解 Δ>0
相切 一解 Δ=0
相離 無解 Δ<0
新知運用
例2　已知直線l:y=2x+m,橢圓C:+=1.試問當m取何值時,直線l與橢圓C:
(1)有兩個不同的公共點
(2)有且只有一個公共點
(3)沒有公共點
方法指導　聯立直線與橢圓方程,將原問題轉化為關于x的一元二次方程解的個數的判斷問題.
【解析】將直線l的方程與橢圓C的方程聯立,得消去y,得9x2+8mx+2m2-4=0.
該方程的根的判別式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.
(1)當Δ>0,即-3該方程有兩個不同的實數解,可知原方程組有兩組不同的實數解.這時直線l與橢圓C有兩個不同的公共點.
(2)當Δ=0,即m=±3時,
該方程有兩個相同的實數解,可知原方程組有兩組相同的實數解.這時直線l與橢圓C有且只有一個公共點.
(3)當Δ<0,即m>3或m<-3時,直線與橢圓沒有公共點.
【方法總結】判斷直線與橢圓的位置關系的方法
鞏固訓練
　　在平面直角坐標系xOy中,經過點(0,)且斜率為k的直線l與橢圓+y2=1有兩個不同的交點P和Q,求k的取值范圍.
【解析】由已知條件知直線l的方程為y=kx+,代入橢圓方程得+(kx+)2=1,整理得x2+2kx+1=0.
因為直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q,所以Δ=8k2-4=4k2-2>0,解得k<-或k>.
故k的取值范圍為∪.
探究3：弦長與中點弦問題
情境設置
　　問題1:借助橢圓圖形分析,你認為橢圓+=1(a>b>0)上的點到焦點的距離的最大值和最小值各是多少
【答案】點(a,0),(-a,0)與焦點F1(-c,0)的距離分別是橢圓上的點與焦點F1的最大距離和最小距離,分別為a+c和a-c.
問題2:如何求直線與圓相交的弦長 能用此法求直線與橢圓相交的弦長嗎
【答案】直線與圓相交的弦長問題,常常通過半弦長、圓的半徑與圓心到直線的距離構成的直角三角形來求解,此法不能用來求直線與橢圓相交的弦長.
新知生成
1.解決橢圓中點弦問題的兩種方法
(1)根與系數的關系法:聯立直線方程和橢圓方程,構成方程組,消去一個未知數,利用一元二次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決.
(2)點差法:利用交點在曲線上,坐標滿足方程,將交點坐標分別代入橢圓方程,然后作差,構造出中點坐標和斜率的關系,具體如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓+=1(a>b>0)上的兩個不同的點,M(x0,y0)是線段AB的中點,
則
由①-②,得(-)+(-)=0,變形得=-·=-·,即kAB=-.
2.求弦長的兩種方法
(1)求出直線與橢圓兩個交點的坐標,用兩點間的距離公式求弦長.
(2)聯立直線與橢圓的方程,消元得到關于一個未知數的一元二次方程,利用弦長公式:|P1P2|=·|P1P2|=·,其中x1,x2(y1,y2)是上述一元二次方程的兩根,由根與系數的關系求出兩根之和與兩根之積后代入公式可求得弦長.
特別提醒:如果直線方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情況.
新知運用
例3　過橢圓+=1內一點M(2,1)引一條弦,使弦被點M平分.
(1)求此弦所在的直線方程;
(2)求此弦長.
【解析】(1)當直線的斜率不存在時,此弦中點必然在x軸上,與其中點為M(2,1)矛盾,故直線斜率存在.
(法一)設所求直線方程為y-1=k(x-2),代入橢圓方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0,易知點M(2,1)在橢圓內,即Δ>0.
又設直線與橢圓的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1,x2是方程的兩個根,于是x1+x2=.又M(2,1)為AB的中點,∴==2,解得k=-.故所求直線的方程為x+2y-4=0.
(法二)設直線與橢圓的交點為A(x1,y1),B(x2,y2).
∵M(2,1)為AB的中點,∴x1+x2=4,y1+y2=2.
又A,B兩點在橢圓上,則+4=16,+4=16,兩式相減得(-)+4(-)=0,
∴(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,
∴=-=-,即kAB=-.
又直線AB過點M(2,1),
故所求直線的方程為x+2y-4=0.
(2)由(1)知x1+x2=4,x1x2==0,
∴|AB|=·
=·=2.
【方法總結】1.求直線與橢圓相交弦長的方法:①直接利用兩點間的距離公式,當弦的兩個端點的坐標易求時,可直接求出交點坐標,再用兩點間的距離公式求弦長;②利用弦長的公式求解.
2.解決橢圓中點弦問題的兩種方法:①利用根與系數的關系,聯立直線方程和橢圓方程,構成方程組,消去一個未知數,利用一元二次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決;②點差法,利用交點在曲線上,坐標滿足方程,將交點坐標分別代入橢圓方程,然后作差,構造出中點坐標與斜率的關系.
鞏固訓練
　　已知橢圓C:+=1,直線l與橢圓C交于A,B兩點,O為坐標原點.
(1)若線段AB的中點坐標為(1,1),求直線l的方程;
(2)若直線l過點P(1,0),且△OAB的面積為,求直線l的方程.
【解析】(1)設A(x1,y1),B(x2,y2),
則
兩式作差得=-,整理可得kAB==-·=-·,
又線段AB的中點坐標為(1,1),則x1+x2=2,y1+y2=2,∴kAB=-×=-,
∴直線l的方程為y-1=-(x-1),即l的方程為x+2y-3=0.
(2)當直線l的斜率為0時,O,A,B三點共線,不符合題意,則直線l的斜率不為0,可設直線l的方程為x=ty+1,
由得(t2+2)y2+2ty-3=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則
∴S△OAB=|OP|·|y1-y2|===,解得t=±1,
∴直線l的方程為x=y+1或x=-y+1,即直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.
【隨堂檢測】
1.直線y=kx-k+1與橢圓+=1的位置關系為(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.相切 B.相交 C.相離 D.不確定
【答案】B
【解析】直線y=kx-k+1恒過定點(1,1).因為+<1,所以點(1,1)在橢圓+=1的內部,所以直線y=kx-k+1與橢圓相交.故選B.
2.若直線y=kx+2與橢圓+=1相切,則斜率k的值是(　　).
A. B.- C.± D.±
【答案】C
【解析】由得(3k2+2)x2+12kx+6=0.
由題意知Δ=144k2-24(3k2+2)=0,解得k=±.
3.已知橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點是F(3,0),過點F的直線交橢圓E于A,B兩點,若AB的中點M的坐標為(1,-1),則橢圓E的標準方程為(　　).
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【答案】B
【解析】設點A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=2,y1+y2=-2,
+=1,?、?br/>+=1,?、?br/>由①-②,得+=0,
∴kAB==-=.
∵kAB==,∴=,又c2=a2-b2=9,
解得b2=9,a2=18,∴橢圓E的標準方程為+=1.
4.已知直線l:y=x-,橢圓C:x2+4y2=4.
(1)求證:直線l與橢圓C有兩個交點.
(2)求這兩個交點所成的弦長.
【解析】(1)由消去y整理得5x2-4x-3=0,
故Δ=(-4)2-4×5×(-3)=76>0,
所以直線l與橢圓C有兩個交點.
(2)設兩交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),
由(1)知x1+x2=,x1·x2=-,
所以|AB|=
=
=·=·
=·=.
23.1.2　課時2　橢圓簡單幾何性質的應用
【學習目標】
1.進一步掌握橢圓的方程及其性質的應用,會判斷點、直線與橢圓的位置關系.(邏輯推理)
2.能運用直線與橢圓的位置關系解決相關的弦長、中點弦問題.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.點與圓有幾種位置關系 點與橢圓呢
2.判斷直線與圓的位置關系有哪幾種方法
3.能否利用判斷直線與圓的位置關系的幾何法判斷直線與橢圓的位置關系
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)點P(2,1)在橢圓+=1的內部. (　　)
(2)過橢圓外一點一定能作兩條直線與已知橢圓相切. (　　)
(3)過點A(0,1)的直線一定與橢圓x2+=1相交. (　　)
(4)直線y=k(x-a)與橢圓+=1(a>b>0)的位置關系是相交或相切. (　　)
2.(多選題)已知點(3,2)在橢圓+=1(a>b>0)上,則(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.點(-3,-2)不在橢圓上
B.點(3,-2)在橢圓上
C.點(-3,2)在橢圓上
D.無法判斷點(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在橢圓上
3.已知直線l:x+y-3=0,橢圓+y2=1,則直線與橢圓的位置關系是(　　).
A.相離 B.相切
C.相交 D.相交或相切
4.已知直線y=kx+1與橢圓+y2=1相交于A,B兩點,若AB中點的橫坐標為1,則k的值為　　　　　.
【合作探究】
探究1：點與橢圓的位置關系
情境設置
　　問題:如何判斷點與橢圓的位置關系
新知生成
點P(x0,y0)與橢圓+=1(a>b>0)的位置關系:
點P在橢圓上 +=1　;
點P在橢圓內部 +<1　;
點P在橢圓外部 +>1　.
新知運用
例1　若直線y=kx+1恒過定點A,且點A位于焦點在x軸上的橢圓+=1的內部(含邊界),求實數m的取值范圍.
方法指導　先求定點A,然后根據點A在橢圓內部(含邊界),建立不等式求解.
【方法總結】判斷點與橢圓的位置關系,可將點的坐標代入橢圓方程,然后判斷.已知關鍵點的位置求參數范圍,可根據點的位置建立不等式求解.
鞏固訓練
　　已知直線l過點(3,-1),且橢圓C的方程為+=1,則直線l與橢圓C的公共點的個數為(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1 B.1或2 C.2 D.0
探究2：直線與橢圓的位置關系
情境設置
　　問題1:如圖所示,移動直線l,觀察直線l與橢圓有幾種位置關系.
問題2:已知直線l和橢圓C的方程,如何判斷直線與橢圓的位置關系
新知生成
直線y=kx+m與橢圓+=1(a>b>0)的位置關系的判斷方法:由消去y(或x)得到一個一元二次方程.
位置關系 解的個數 Δ的取值
相交 兩解 Δ>0
相切 一解 Δ=0
相離 無解 Δ<0
新知運用
例2　已知直線l:y=2x+m,橢圓C:+=1.試問當m取何值時,直線l與橢圓C:
(1)有兩個不同的公共點
(2)有且只有一個公共點
(3)沒有公共點
方法指導　聯立直線與橢圓方程,將原問題轉化為關于x的一元二次方程解的個數的判斷問題.
【方法總結】判斷直線與橢圓的位置關系的方法
鞏固訓練
　　在平面直角坐標系xOy中,經過點(0,)且斜率為k的直線l與橢圓+y2=1有兩個不同的交點P和Q,求k的取值范圍.
探究3：弦長與中點弦問題
情境設置
　　問題1:借助橢圓圖形分析,你認為橢圓+=1(a>b>0)上的點到焦點的距離的最大值和最小值各是多少
問題2:如何求直線與圓相交的弦長 能用此法求直線與橢圓相交的弦長嗎
新知生成
1.解決橢圓中點弦問題的兩種方法
(1)根與系數的關系法:聯立直線方程和橢圓方程,構成方程組,消去一個未知數,利用一元二次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決.
(2)點差法:利用交點在曲線上,坐標滿足方程,將交點坐標分別代入橢圓方程,然后作差,構造出中點坐標和斜率的關系,具體如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓+=1(a>b>0)上的兩個不同的點,M(x0,y0)是線段AB的中點,
則
由①-②,得(-)+(-)=0,變形得=-·=-·,即kAB=-.
2.求弦長的兩種方法
(1)求出直線與橢圓兩個交點的坐標,用兩點間的距離公式求弦長.
(2)聯立直線與橢圓的方程,消元得到關于一個未知數的一元二次方程,利用弦長公式:|P1P2|=·|P1P2|=·,其中x1,x2(y1,y2)是上述一元二次方程的兩根,由根與系數的關系求出兩根之和與兩根之積后代入公式可求得弦長.
特別提醒:如果直線方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情況.
新知運用
例3　過橢圓+=1內一點M(2,1)引一條弦,使弦被點M平分.
(1)求此弦所在的直線方程;
(2)求此弦長.
【方法總結】1.求直線與橢圓相交弦長的方法:①直接利用兩點間的距離公式,當弦的兩個端點的坐標易求時,可直接求出交點坐標,再用兩點間的距離公式求弦長;②利用弦長的公式求解.
2.解決橢圓中點弦問題的兩種方法:①利用根與系數的關系,聯立直線方程和橢圓方程,構成方程組,消去一個未知數,利用一元二次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決;②點差法,利用交點在曲線上,坐標滿足方程,將交點坐標分別代入橢圓方程,然后作差,構造出中點坐標與斜率的關系.
鞏固訓練
　　已知橢圓C:+=1,直線l與橢圓C交于A,B兩點,O為坐標原點.
(1)若線段AB的中點坐標為(1,1),求直線l的方程;
(2)若直線l過點P(1,0),且△OAB的面積為,求直線l的方程.
【隨堂檢測】
1.直線y=kx-k+1與橢圓+=1的位置關系為(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.相切 B.相交 C.相離 D.不確定
2.若直線y=kx+2與橢圓+=1相切,則斜率k的值是(　　).
A. B.- C.± D.±
3.已知橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點是F(3,0),過點F的直線交橢圓E于A,B兩點,若AB的中點M的坐標為(1,-1),則橢圓E的標準方程為(　　).
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
4.已知直線l:y=x-,橢圓C:x2+4y2=4.
(1)求證:直線l與橢圓C有兩個交點.
(2)求這兩個交點所成的弦長.
2

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