資源簡介

3.2.2　課時1　雙曲線的簡單幾何性質
【學習目標】
1.了解雙曲線的圖形及簡單幾何性質.(直觀想象)
2.理解雙曲線的漸近線及離心率的意義.(直觀想象)
3.會用雙曲線的幾何性質解決相應的問題.(邏輯推理)
【自主預習】
預學憶思
1.類比橢圓的幾何性質,結合圖形,你能得到雙曲線-=1(a>0,b>0)的哪些幾何性質
2.你知道雙曲線-=1(a>0,b>0)的頂點坐標、實軸長、虛軸長分別是什么嗎
3.雙曲線的漸近線的定義是什么 你能寫出漸近線方程嗎
4.雙曲線離心率的表達形式與橢圓一樣,那么它們的范圍相同嗎
5.什么是等軸雙曲線 它的離心率是多少
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)共漸近線的雙曲線的離心率相同. (　　)
(2)若雙曲線的漸近線互相垂直,則離心率e=. (　　)
(3)雙曲線有四個頂點,分別是雙曲線與其實軸及虛軸的交點. (　　)
(4)雙曲線-=1與-=1(a>0,b>0)的形狀相同. (　　)
2.已知雙曲線C:y2-=1,則該雙曲線的實軸長為(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1 B.2 C. D.2
3.已知雙曲線C:-=1的離心率為3,則m=(　　).
A.3 B. C.2 D.1
4.若雙曲線x2-=1的漸近線方程為y=±2x,則實數m=　　　　　.
【合作探究】
探究1：雙曲線的范圍、對稱性和頂點
情境設置
　　問題1:觀察平面直角坐標系中的雙曲線C:-=1(a>0,b>0),它有怎樣的范圍 你能利用它的方程給出證明嗎
問題2:觀察雙曲線的形狀,它有怎樣的對稱性 在平面直角坐標系中,要證明一個圖形關于坐標軸或原點對稱,就是要證明什么 你能利用雙曲線的方程證明它的對稱性嗎
問題3:觀察雙曲線,你覺得有哪些比較特殊的點 你能通過方程給出證明嗎
新知生成
雙曲線的簡單幾何性質
標準方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
性質 圖形
焦點 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c
范圍 x≤-a或 x≥a,y∈R y≤-a或 y≥a,x∈R
對稱性 對稱軸:坐標軸　對稱中心:(0,0)
頂點 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
軸 實軸:線段A1A2,長為2a. 虛軸:線段B1B2,長為2b. 實半軸長為a,虛半軸長為b
　　特別提醒:(1)焦點到漸近線的距離為b;
(2)利用漸近線可以較準確的畫出雙曲線的草圖;
(3)雙曲線上的點到焦點的最小值為c-a.
新知運用
例1　求雙曲線9y2-4x2=-36的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長,并作出草圖.
方法指導　先把方程化為標準形式,求出a,b,c的值,然后求解.
【方法總結】由雙曲線的方程研究其幾何性質的解題步驟
(1)把雙曲線方程化為標準形式是解決本題的關鍵.
(2)由標準方程確定焦點位置,確定a,b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c的值,從而寫出雙曲線的幾何性質.
鞏固訓練
求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長、虛半軸長和焦點坐標.
探究2：雙曲線的漸近線
情境設置
　　問題1:利用信息技術畫出雙曲線-=1和兩條直線±=0.在雙曲線的右支上取一點M,測量點M的橫坐標xM以及它到直線-=0的距離d.沿曲線向右上方拖動點M,觀察xM與d的大小關系,你發現了什么
問題2:學習了漸近線的概念,我們如何比較準確地畫出雙曲線
問題3:漸近線相同的雙曲線是同一條雙曲線嗎
問題4:已知兩條漸近線的方程為Ax±By=0(A>0,B>0),如何設雙曲線方程
新知生成
1.漸近線
一般地,雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩支向外延伸時,與兩條直線±=0逐漸接近,我們把這兩條直線叫作雙曲線的漸近線.實際上,雙曲線與它的漸近線無限接近,但永遠不相交.
2.等軸雙曲線
實軸和虛軸等長的雙曲線叫作等軸雙曲線,其離心率e=.
特別提醒:與雙曲線-=1或-=1(a>0,b>0)共漸近線的雙曲線方程可設為-=λ或-=λ(λ≠0).
新知運用
例2　(1)已知雙曲線C:-=1與雙曲線x2-y2=6有相同的焦點,則C的漸近線方程為(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.x±y=0 B.x±y=0
C.x±y=0 D.x±y=0
(2)已知焦點在x軸上的雙曲線,其漸近線方程為y=±x,焦距為2,則該雙曲線的標準方程為　　　　.
鞏固訓練
1.已知雙曲線x2-=1(b>0)的焦距為2,則其漸近線方程為(　　).
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
2.若雙曲線C:x2-my2=1的一條漸近線與直線y=2x+1平行,則m的值為(　　).
A.4 B. C.2 D.
3.兩頂點間的距離為6,漸近線方程為y=±x的雙曲線的標準方程為　　　　　　　　.
探究3：雙曲線的離心率
情境設置
　　問題1:橢圓的離心率可以刻畫橢圓的扁平程度,那么雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的什么幾何特征呢
問題2:如何用a,b表示雙曲線的離心率
新知生成
雙曲線的離心率:雙曲線的半焦距與實半軸長的比,叫作雙曲線的離心率.
范圍:雙曲線的離心率e=>1.
新知運用
例3　(1)若雙曲線 -=1(a>0,b>0)的一條漸近線經過點(3,-4),則此雙曲線的離心率為(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C. D.
(2)已知點A,B分別為雙曲線E的左、右頂點,點M在雙曲線E上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120°,則雙曲線E的離心率為(　　).
A. B.2 C. D.
方法指導　(1)漸近線經過點(3,-4) 漸近線的斜率 離心率;(2)由已知條件畫圖 點M的坐標 代入雙曲線方程得離心率.
【方法總結】求雙曲線離心率的兩種方法
(1)直接法:若已知a,c,則可直接利用e=求解,若已知a,b,則可利用e=求解.
(2)方程法:若無法求出a,b,c的具體值,但根據條件可確定a,b,c之間的關系,則可通過關系式b2=c2-a2,將關系式轉化為關于a,c的齊次方程,借助于e=,轉化為關于e的高次方程求解.
鞏固訓練
1.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左頂點為A,右焦點為F,動點B在C上,當BF⊥AF時,|AF|=|BF|,則C的離心率為(　　).
A. B.2 C. D.
2.焦點在x軸上,離心率為,且過點(-5,3)的雙曲線的標準方程為　　　　　　　　.
【隨堂檢測】
1.雙曲線-y2=1的頂點坐標是(　　).　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(4,0),(0,1) B.(-4,0),(4,0)
C.(0,1),(0,-1) D.(-4,0),(0,-1)
2.若雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=x,則雙曲線的離心率為(　　).
A. B. C. D.
3.兩頂點間的距離是6,且兩焦點的連線被兩頂點和中心四等分的雙曲線的標準方程為　　　　　　　　.
4.求雙曲線nx2-my2=mn(m>0,n>0)的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率、頂點坐標和漸近線方程.
23.2.2　課時1　雙曲線的簡單幾何性質
【學習目標】
1.了解雙曲線的圖形及簡單幾何性質.(直觀想象)
2.理解雙曲線的漸近線及離心率的意義.(直觀想象)
3.會用雙曲線的幾何性質解決相應的問題.(邏輯推理)
【自主預習】
預學憶思
1.類比橢圓的幾何性質,結合圖形,你能得到雙曲線-=1(a>0,b>0)的哪些幾何性質
【答案】x,y的范圍,實軸長,虛軸長,焦點,焦距,對稱性,頂點坐標和離心率.
2.你知道雙曲線-=1(a>0,b>0)的頂點坐標、實軸長、虛軸長分別是什么嗎
【答案】頂點坐標是(-a,0),(a,0),實軸長為2a,虛軸長為2b.
3.雙曲線的漸近線的定義是什么 你能寫出漸近線方程嗎
【答案】一般地,雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩支向外延伸時,與兩條直線y=±x逐漸接近,這兩條直線叫作雙曲線的漸近線.雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x;雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x.
4.雙曲線離心率的表達形式與橢圓一樣,那么它們的范圍相同嗎
【答案】它們的范圍不同,雙曲線離心率的范圍是(1,+∞),橢圓離心率的范圍是(0,1).
5.什么是等軸雙曲線 它的離心率是多少
【答案】實軸和虛軸等長的雙曲線叫作等軸雙曲線,它的離心率e=.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)共漸近線的雙曲線的離心率相同. (　　)
(2)若雙曲線的漸近線互相垂直,則離心率e=. (　　)
(3)雙曲線有四個頂點,分別是雙曲線與其實軸及虛軸的交點. (　　)
(4)雙曲線-=1與-=1(a>0,b>0)的形狀相同. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.已知雙曲線C:y2-=1,則該雙曲線的實軸長為(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1 B.2 C. D.2
【答案】B
【解析】因為雙曲線C:y2-=1的實半軸長a=1,所以該雙曲線的實軸長為2.
3.已知雙曲線C:-=1的離心率為3,則m=(　　).
A.3 B. C.2 D.1
【答案】B
【解析】由題意得a2=m,b2=4,因為C的離心率為3,所以=9,解得m=.
4.若雙曲線x2-=1的漸近線方程為y=±2x,則實數m=　　　　　.
【答案】4
【解析】∵雙曲線x2-=1的焦點在x軸上,
∴漸近線方程為y=±x,∴=2,即m=4.
【合作探究】
探究1：雙曲線的范圍、對稱性和頂點
情境設置
　　問題1:觀察平面直角坐標系中的雙曲線C:-=1(a>0,b>0),它有怎樣的范圍 你能利用它的方程給出證明嗎
【答案】發現雙曲線上點的橫坐標的范圍是x≤-a或x≥a,縱坐標的范圍是y∈R.證明如下:∵-=1,∴=+1≥1,即x2≥a2,解得x≥a或x≤-a.同理可得y∈R.
問題2:觀察雙曲線的形狀,它有怎樣的對稱性 在平面直角坐標系中,要證明一個圖形關于坐標軸或原點對稱,就是要證明什么 你能利用雙曲線的方程證明它的對稱性嗎
【答案】雙曲線是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形.要證明一個圖形關于坐標軸或原點對稱,就要證明在標準方程中,把x換成-x,或把y換成-y,或把x,y同時換成-x,-y時,方程都不變,所以圖形關于y軸、x軸和原點都是對稱的.根據上述方法可以證明,坐標軸是雙曲線的對稱軸,原點是雙曲線的對稱中心.
問題3:觀察雙曲線,你覺得有哪些比較特殊的點 你能通過方程給出證明嗎
【答案】雙曲線與坐標軸的交點比較特殊.
在標準方程-=1(a>0,b>0)中,令y=0,得x=±a;令x=0,則y無解.這說明雙曲線有兩個頂點,分別為A1(-a,0),A2(a,0).如圖,對稱軸上位于兩頂點間的線段A1A2叫作雙曲線-=1的實軸,其長度為2a,盡管此雙曲線與y軸無公共點,但y軸上有兩個特殊的點B1(0,-b),B2(0,b).我們稱線段B1B2為雙曲線的虛軸,其長度為2b.
新知生成
雙曲線的簡單幾何性質
標準方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
性質 圖形
焦點 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c
范圍 x≤-a或 x≥a,y∈R y≤-a或 y≥a,x∈R
對稱性 對稱軸:坐標軸　對稱中心:(0,0)
頂點 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
軸 實軸:線段A1A2,長為2a. 虛軸:線段B1B2,長為2b. 實半軸長為a,虛半軸長為b
　　特別提醒:(1)焦點到漸近線的距離為b;
(2)利用漸近線可以較準確的畫出雙曲線的草圖;
(3)雙曲線上的點到焦點的最小值為c-a.
新知運用
例1　求雙曲線9y2-4x2=-36的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長,并作出草圖.
方法指導　先把方程化為標準形式,求出a,b,c的值,然后求解.
【解析】將9y2-4x2=-36化為標準方程,得-=1,即-=1,
所以a=3,b=2,c=.
故頂點坐標為(-3,0),(3,0),
焦點坐標為(-,0),(,0),
實軸長為2a=6,虛軸長為2b=4.
草圖如圖所示:
【方法總結】由雙曲線的方程研究其幾何性質的解題步驟
(1)把雙曲線方程化為標準形式是解決本題的關鍵.
(2)由標準方程確定焦點位置,確定a,b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c的值,從而寫出雙曲線的幾何性質.
鞏固訓練
求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長、虛半軸長和焦點坐標.
【解析】把雙曲線方程9y2-16x2=144化為標準方程為-=1.
由此可知,實半軸長a=4,虛半軸長b=3,
所以c===5,焦點坐標為(0,-5),(0,5).
探究2：雙曲線的漸近線
情境設置
　　問題1:利用信息技術畫出雙曲線-=1和兩條直線±=0.在雙曲線的右支上取一點M,測量點M的橫坐標xM以及它到直線-=0的距離d.沿曲線向右上方拖動點M,觀察xM與d的大小關系,你發現了什么
【答案】雙曲線上的點在遠離原點時無限接近這條直線,但永遠不能到達這條直線.
問題2:學習了漸近線的概念,我們如何比較準確地畫出雙曲線
【答案】畫雙曲線時,我們可以先畫矩形框,然后畫出雙曲線的漸近線,最后畫雙曲線,這樣比較精確.
問題3:漸近線相同的雙曲線是同一條雙曲線嗎
【答案】不是,漸近線相同的雙曲線有無數條.
問題4:已知兩條漸近線的方程為Ax±By=0(A>0,B>0),如何設雙曲線方程
【答案】如果兩條漸近線的方程為Ax±By=0,那么雙曲線的方程可設為A2x2-B2y2=m(m≠0).
新知生成
1.漸近線
一般地,雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩支向外延伸時,與兩條直線±=0逐漸接近,我們把這兩條直線叫作雙曲線的漸近線.實際上,雙曲線與它的漸近線無限接近,但永遠不相交.
2.等軸雙曲線
實軸和虛軸等長的雙曲線叫作等軸雙曲線,其離心率e=.
特別提醒:與雙曲線-=1或-=1(a>0,b>0)共漸近線的雙曲線方程可設為-=λ或-=λ(λ≠0).
新知運用
例2　(1)已知雙曲線C:-=1與雙曲線x2-y2=6有相同的焦點,則C的漸近線方程為(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.x±y=0 B.x±y=0
C.x±y=0 D.x±y=0
(2)已知焦點在x軸上的雙曲線,其漸近線方程為y=±x,焦距為2,則該雙曲線的標準方程為　　　　.
【答案】(1)C　(2)-y2=1
【解析】(1)由x2-y2=6,得-=1,由題意得m+2m+3=12,解得m=3,所以C的標準方程為-=1,所以C的漸近線方程為y=±x,故選C.
(2)由題設,可知=,c=,所以由a2+b2=c2=5,可得a2=4,b2=1,又焦點在x軸上,所以雙曲線的標準方程為-y2=1.
鞏固訓練
1.已知雙曲線x2-=1(b>0)的焦距為2,則其漸近線方程為(　　).
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
【答案】A
【解析】由焦距2c=2,a2=1,得3=b2+1,解得b=,
∴=,∴漸近線方程為y=±x.
2.若雙曲線C:x2-my2=1的一條漸近線與直線y=2x+1平行,則m的值為(　　).
A.4 B. C.2 D.
【答案】B
【解析】因為雙曲線C:x2-my2=1,所以m>0,則雙曲線的漸近線方程為y=± x,又雙曲線的一條漸近線與直線y=2x+1平行,所以=2,所以m=.
3.兩頂點間的距離為6,漸近線方程為y=±x的雙曲線的標準方程為　　　　　　　　.
【答案】-=1或-=1
【解析】設以y=±x為漸近線的雙曲線方程為-=λ(λ≠0).
當λ>0時,a2=4λ,∴2a=2=6,解得λ=;
當λ<0時,a2=-9λ,∴2a=2=6,解得λ=-1.
∴雙曲線的標準方程為-=1或-=1.
探究3：雙曲線的離心率
情境設置
　　問題1:橢圓的離心率可以刻畫橢圓的扁平程度,那么雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的什么幾何特征呢
【答案】雙曲線的離心率e>1,且e越大,雙曲線的開口就越開闊.
問題2:如何用a,b表示雙曲線的離心率
【答案】e===.
新知生成
雙曲線的離心率:雙曲線的半焦距與實半軸長的比,叫作雙曲線的離心率.
范圍:雙曲線的離心率e=>1.
新知運用
例3　(1)若雙曲線 -=1(a>0,b>0)的一條漸近線經過點(3,-4),則此雙曲線的離心率為(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C. D.
(2)已知點A,B分別為雙曲線E的左、右頂點,點M在雙曲線E上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120°,則雙曲線E的離心率為(　　).
A. B.2 C. D.
方法指導　(1)漸近線經過點(3,-4) 漸近線的斜率 離心率;(2)由已知條件畫圖 點M的坐標 代入雙曲線方程得離心率.
【答案】(1)D　(2)D
【解析】(1)由題意知=,則e2=1+=,所以e=.
　　
(2)設雙曲線方程為-=1(a>0,b>0),不妨設點M在雙曲線的右支上,如圖.|AB|=|BM|=2a,∠MBA=120°,作MH⊥x軸于點H,則∠MBH=60°,|BH|=a,|MH|=a,所以點M(2a,a).將點M的坐標代入雙曲線方程-=1,得a=b,所以e=.故選D.
【方法總結】求雙曲線離心率的兩種方法
(1)直接法:若已知a,c,則可直接利用e=求解,若已知a,b,則可利用e=求解.
(2)方程法:若無法求出a,b,c的具體值,但根據條件可確定a,b,c之間的關系,則可通過關系式b2=c2-a2,將關系式轉化為關于a,c的齊次方程,借助于e=,轉化為關于e的高次方程求解.
鞏固訓練
1.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左頂點為A,右焦點為F,動點B在C上,當BF⊥AF時,|AF|=|BF|,則C的離心率為(　　).
A. B.2 C. D.
【答案】B
【解析】由動點B在C上,當BF⊥AF時,|AF|=|BF|,可得點B在右支上,
令x=c,可得-=1,解得y=±b=±,即|BF|=,則a+c=,
即a(a+c)=b2=c2-a2=(c-a)(a+c),
可得a=c-a,即c=2a,所以e==2.
2.焦點在x軸上,離心率為,且過點(-5,3)的雙曲線的標準方程為　　　　　　　　.
【答案】-=1
【解析】∵e==,∴c=a,b2=c2-a2=a2.
又∵焦點在x軸上,
∴設雙曲線的標準方程為-=1(a>0).
把點(-5,3)代入方程,解得a2=16.
∴雙曲線的標準方程為-=1.
【隨堂檢測】
1.雙曲線-y2=1的頂點坐標是(　　).　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(4,0),(0,1) B.(-4,0),(4,0)
C.(0,1),(0,-1) D.(-4,0),(0,-1)
【答案】B
【解析】由題意知,雙曲線的焦點在x軸上,且a=4,因此雙曲線的頂點坐標是(-4,0),(4,0).
2.若雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=x,則雙曲線的離心率為(　　).
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由雙曲線漸近線方程,可得=,即=,即=,得=,所以該雙曲線的離心率為.
3.兩頂點間的距離是6,且兩焦點的連線被兩頂點和中心四等分的雙曲線的標準方程為　　　　　　　　.
【答案】-=1或-=1
【解析】由雙曲線兩頂點間的距離是6,得2a=6,即a=3.
由兩焦點的連線被兩頂點和中心四等分,可得2c=4a=12,即c=6,所以b2=c2-a2=62-32=27.
由于焦點所在的坐標軸不確定,故所求雙曲線的標準方程為-=1或-=1.
4.求雙曲線nx2-my2=mn(m>0,n>0)的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率、頂點坐標和漸近線方程.
【解析】把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0),化為標準方程-=1(m>0,n>0),
由此可知,實半軸長a=,虛半軸長b=,c=,焦點坐標為(,0),(-,0),離心率e===,頂點坐標為(-,0),(,0),漸近線的方程為y=± x=±x.
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