資源簡介

3.2.2　課時2　雙曲線簡單幾何性質的應用
【學習目標】
1.進一步掌握雙曲線的方程及其幾何性質的應用,會判斷直線與雙曲線的位置關系.(邏輯推理)
2.能運用直線與雙曲線的位置關系解決相關的弦長、中點弦問題.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.前面我們學習了雙曲線的方程、簡單幾何性質,你能寫出雙曲線的標準方程及性質嗎
【答案】
標準方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
性質 圖形
焦點 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c
范圍 x≤-a或 x≥a,y∈R y≤-a或 y≥a,x∈R
對稱性 對稱軸:坐標軸　對稱中心:(0,0)
頂點 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
軸 實軸:線段A1A2,長為2a. 虛軸:線段B1B2,長為2b. 實半軸長為a,虛半軸長為b
離心率 e=∈(1,+∞)
漸近線 y=±x y=±x
2.若直線與圓(橢圓)有且只有一個公共點,則直線與圓(橢圓)相切.那么直線與雙曲線相切能用這個方法判斷嗎
【答案】不能.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若直線與雙曲線只有一個公共點,則直線與雙曲線相切. (　　)
(2)若直線與雙曲線的一條漸近線平行,則該直線與雙曲線有兩個交點. (　　)
【答案】(1)×　(2)×
2.(多選題)若直線x=a與雙曲線-y2=1有兩個交點,則a的值可以是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】CD
【解析】因為在雙曲線-y2=1中,x≥2或x≤-2,所以若直線x=a與雙曲線有兩個交點,則a>2或a<-2.
3.已知雙曲線C:x2-4y2=1,經過點P(2,0)的直線l與C有唯一公共點,則直線l的方程為(　　).
A.y=2x-1
B.y=-x+1
C.y=x-1或y=-x+1
D.y=2x-1或y=-x+1
【答案】C
【解析】由雙曲線的幾何性質可知,點P(2,0)在雙曲線右頂點的右側,當直線l與漸近線平行時,直線l與雙曲線C有唯一公共點,
由于雙曲線的漸近線為y=±x,
因此直線l的方程為y=(x-2)或y=-(x-2),即y=x-1或y=-x+1.
4.已知直線y=kx+1(k∈R)與雙曲線3x2-y2=1,則當k為何值時,直線與雙曲線有一個公共點
【解析】由
得(3-k2)x2-2kx-2=0,
因為直線與雙曲線有一個公共點,
所以3-k2=0或
解得k=±或k=±.
【合作探究】
探究1：直線與雙曲線的位置關系
情境設置
　　問題1:若直線和雙曲線只有一個公共點,則直線和雙曲線一定相切嗎
【答案】可能相切,也可能相交,當直線和漸近線平行時,直線和雙曲線相交且只有一個交點.
問題2:過點(0,2)且和雙曲線-=1只有一個公共點的直線有幾條
【答案】四條,其中有兩條切線,兩條和漸近線平行的直線.
問題3:判斷直線與雙曲線的位置關系要注意什么
【答案】(1)聯立直線方程與雙曲線方程,消元后得到的方程不一定是一元二次方程,也可能是一次方程,這時,直線一定與雙曲線的漸近線平行.(2)直線與雙曲線只有一個公共點時,直線不一定與雙曲線相切,也可能相交,這時,直線一定與雙曲線的漸近線平行.
新知生成
直線與雙曲線的位置關系
直線:Ax+By+C=0,雙曲線:-=1(a>0,b>0),兩方程聯立消去y,得mx2+nx+q=0.
位置關系 公共點 判定方法
相交 1個或2個 m=0或
相切 1個 m≠0且Δ=0
相離 0個 m≠0且Δ<0
新知運用
例1　已知直線y=kx與雙曲線4x2-y2=16.當k為何值時,直線與雙曲線滿足下列關系:
(1)有兩個公共點 (2)有一個公共點 (3)沒有公共點
方法指導　要研究直線與雙曲線的交點個數,通常需聯立直線與雙曲線方程組成方程組,消去方程組中的一個變量,得到關于另一個變量的一元二次方程或一元一次方程,再對方程解的個數進行討論.
【解析】由消去y,得(4-k2)x2-16=0.
當4-k2=0,即k=±2時,方程無解.
當4-k2≠0時,Δ=-4(4-k2)(-16)=64(4-k2)≠0,
當Δ>0,即-2當Δ<0,即k<-2或k>2時,方程無解.
綜上所述:
(1)當-2(2)不存在使直線與雙曲線有一個公共點的k值;
(3)當k≤-2或k≥2時,直線與雙曲線沒有公共點.
【方法總結】討論直線與雙曲線的位置關系時,一般聯立直線與雙曲線的方程,將其化為關于x(或y)的一元二次方程,這時首先要看二次項的系數是否等于0.當二次項系數等于0時,就轉化成關于x(或y)的一元一次方程;當二次項的系數不為0時,利用根的判別式,判斷直線與雙曲線的位置關系.
鞏固訓練
　　若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的左支交于不同的兩點,則k的取值范圍為　　　　.
【答案】1,
【解析】聯立方程組
得(1-k2)x2-4kx-10=0,　①
因為直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的左支交于不同的兩點,所以方程①有兩個不相等的負根.
所以
解得1探究2：與雙曲線有關的弦長及中點弦問題
情境設置
　　問題1:類比求橢圓弦長的方法,若斜率為k(k≠0)的直線與雙曲線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則如何求|AB|
【答案】同求橢圓弦長的方法,有|AB|=·|x1-x2|=|y1-y2|.
問題2:橢圓中點弦問題常用什么方法解決 雙曲線中點弦問題能用這種方法嗎
【答案】涉及橢圓中點弦問題常用點差法或根與系數的關系解決,此法也能用在雙曲線中點弦問題中.
新知生成
解決與雙曲線有關的中點弦問題的方法
第一種方法:聯立消元法,即聯立直線和雙曲線的方程,借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數的關系、中點坐標公式及參數法求解.
第二種方法:點差法,根據雙曲線弦中點的性質,求出直線的斜率,再用點斜式得出直線方程.
特別提醒:中點弦問題中判斷點的位置非常重要.
(1)若中點M在雙曲線內(含焦點區域),則被點M平分的弦一般存在.
(2)若中點M在雙曲線外,則被點M平分的弦可能不存在.檢驗所求的直線和雙曲線是否相交.
新知運用
例2　已知雙曲線C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,離心率e=,且雙曲線C過點P(2,1).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線l:y=kx-1與雙曲線C交于A,B兩點,線段AB的中點的橫坐標為-2,求線段AB的長.
【解析】(1)設雙曲線C:-=1(a>0,b>0),
由題意可得解得
所以雙曲線C的方程為-y2=1.
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),
聯立方程組消去y得(1-2k2)x2+4kx-4=0,
　　因為l與C有兩個交點,所以1-2k2≠0,即k2≠,且Δ=16k2+16(1-2k2)=16-16k2>0,解得k2<1且k2≠,
所以-1由根與系數的關系可得x1+x2=-,x1x2=-,
又因為線段AB的中點的橫坐標為-2,所以-=-4,即2k2+k-1=0,解得k=-1或k=,　②
結合①②可知k=,
此時l:y=x-1,x1+x2=-=-4,x1x2=-=-8,
所以|AB|=|x1-x2|=·=×=2,
即線段AB的長為2.
【方法總結】中點弦問題:可以聯立方程組消元后,用判別式和中點坐標公式求解;也可以用點差法和中點坐標公式求解.注意都需要檢驗.
鞏固訓練
已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0),離心率e=,虛軸長為2.
(1)求雙曲線C的標準方程;
(2)經過點P(1,1)的直線l與雙曲線C相交于A,B兩點,且P為AB的中點,求直線l的方程.
【解析】(1)∵e==,2b=2,∴c=a,b=1,
∵b2=c2-a2,∴1=a2-a2,解得a2=3,
∴雙曲線C的標準方程為-y2=1.
(2)設以P(1,1)為中點的弦的端點坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),
可得x1+x2=2,y1+y2=2,
由點A,B在雙曲線上,可得
兩式相減可得以P(1,1)為中點的弦所在的直線的斜率k==,
則以P(1,1)為中點的弦所在的直線方程為y-1=(x-1),即x-3y+2=0,
聯立方程組得6y2-12y+1=0,Δ=(-12)2-4×6×1=120>0,符合題意,
∴直線l的方程為x-3y+2=0.
探究3：雙曲線性質的綜合應用
情境設置
　　問題1:雙曲線與橢圓有哪些不同點
【答案】雙曲線與橢圓的六個不同點:
雙曲線 橢圓
曲線 兩支曲線 封閉的曲線
頂點 兩個頂點 四個頂點
軸 實、虛軸 長、短軸
漸近線 有漸近線 無漸近線
離心率 e>1 0a,b,c的關系 a2+b2=c2 a2-b2=c2
　　問題2:雙曲線常與哪些知識結合命題
【答案】雙曲線常與向量、直線等知識結合命題.
新知生成
與雙曲線有關的綜合問題
(1)當與向量知識結合時,注意運用向量的坐標運算,將向量間的關系轉化為點的坐標問題,再根據根與系數的關系,將所求問題與條件建立聯系求解.
(2)當與直線知識結合時,常常聯立直線與雙曲線的方程,消元后當二次項的系數不為0時,常常利用一元二次方程的根的判別式、根與系數的關系構造相關數量關系求解;當二次項系數為0時,直接分析求解.
新知運用
例3　已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)交x軸于A,B兩點,P是雙曲線上異于A,B的任意一點,直線PA,PB分別交y軸于點M,N,·=-4,且雙曲線的離心率為2.
(1)求雙曲線C的標準方程;
(2)設直線l:y=kx+m(km≠0)與雙曲線交于D,E兩點,Q為雙曲線虛軸在y軸正半軸的端點,若|QD|=|QE|,求實數m的取值范圍.
【解析】(1)由題意及雙曲線的對稱性,知A(-a,0),B(a,0),設點P(x0,y0)(x0≠±a),
則lPA:y=(x+a) M0,,lPB:y=(x-a) N0,-,
故·=a,-·-a,=-a2-.
又-=1,所以a2=b2(-a2),代入得·=-a2-b2=-4,所以a2+b2=4,所以c2=4,
又e2==4,所以a2=1,b2=3,
故雙曲線C的標準方程為x2-=1.
(2)由題意知,Q(0,),設點D(x1,y1),E(x2,y2)(x1≠x2),線段DE的中點坐標為G(x3,y3),
聯立得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0,
依題意得
即　①
又x1+x2=,
所以x3==,代入直線l的方程得y3=,
由|QD|=|QE|知,·=0,即,-·(1,k)=0,即km+3km-3k+k3=0(k≠0),
所以3-k2=m,　②
且k2=3-m>0,　③
由①②③式得m<-或0故實數m的取值范圍是-∞,-∪0,.
【方法總結】解決與雙曲線有關的綜合問題,常需要挖掘出題目中隱含的數量關系、垂直關系等,然后利用方程根與系數的關系構造等式或函數關系式進行合理的轉化,這其中要注意利用根的判別式來確定參數的限制條件.
鞏固訓練
已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,雙曲線C的右頂點A在圓O:x2+y2=2上,且·=-2.
(1)求雙曲線C的標準方程.
(2)若動直線l與雙曲線C恰有1個公共點,且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點M,N,則△OMN(O為坐標原點)的面積是否為定值 若為定值,求出該定值;若不為定值,試說明理由.
【解析】(1)設雙曲線C的半焦距為c,
由點A(a,0)在圓O:x2+y2=2上,可得a=,
由·=(-c-,0)·(c-,0)=2-c2=-2,解得c=2,
所以b2=c2-a2=2,
所以雙曲線C的標準方程-=1.
(2)設直線l與x軸相交于點D,雙曲線C的漸近線方程為y=±x.
當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=±,則|OD|=,|MN|=2,
所以S△OMN=·|MN|·|OD|=2.
當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=kx+m,則k≠0,D-,0,
把直線l的方程與雙曲線C的方程聯立可得(k2-1)x2+2kmx+m2+2=0,
因為直線l與雙曲線C有且只有一個公共點,且與雙曲線C的兩條漸近線分別相交,
所以直線l與雙曲線的漸近線不平行,所以k2-1≠0且m≠0,
所以可得m2=2(k2-1)>0,解得k>1或k<-1.
設M(x1,y1),N(x2,y2),
由解得y1=,
同理可得y2=,
所以S△OMN=·|OD|·|y1-y2|
=··-==2,
綜上所述,△OMN的面積恒為定值2.
【隨堂檢測】
1.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為45°的直線與C的右支有且僅有一個交點,則C的離心率的取值范圍為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[,+∞) B.[2,+∞)
C.(1,] D.(1,2]
【答案】A
【解析】由題意知,該直線的斜率的絕對值小于或等于漸近線的斜率,即≥1,
∴e2==≥2,解得e≥.
2.直線x+y=1與雙曲線4x2-y2=1相交所得的弦長為(　　).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】將直線x+y=1的方程代入4x2-y2=1中,得3x2+2x-2=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),
則x1+x2=-,x1x2=-,
∴|AB|=|x1-x2|
=
=×
=.
3.已知O為坐標原點,雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,從雙曲線C的右焦點F引其中一條漸近線的垂線,垂足為點A,若△AFO的面積為,則雙曲線C的標準方程為　　　　　　　.
【答案】-=1
【解析】因為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,所以e2=1+=,即b=2a.
不妨設從C的右焦點F(c,0)引漸近線y=x的垂線,則|AF|==b,所以|AO|==a,
因為△AFO的面積為,所以解得所以雙曲線C的標準方程為-=1.
4.已知點A(-,0)和B(,0),動點C到A,B兩點的距離之差的絕對值為2,記點C的軌跡為E.
(1)求軌跡E的方程;
(2)設E與直線y=x-2交于M,N兩點,求線段MN的長度.
【解析】(1)設C(x,y),則||CA|-|CB||=2,
所以點C的軌跡E為雙曲線-=1(a>0,b>0),
且2a=2,2c=|AB|=2,則a=1,c=,b2=c2-a2=2,
所以軌跡E的方程為x2-=1.
(2)由得x2+4x-6=0,
因為Δ=40>0,所以該直線與E有兩個交點.
設M(x1,y1),N(x2,y2)(x1≠x2),
則x1+x2=-4,x1x2=-6,
故|MN|=
=·=4,
即線段MN的長度為4.
23.2.2　課時2　雙曲線簡單幾何性質的應用
【學習目標】
1.進一步掌握雙曲線的方程及其幾何性質的應用,會判斷直線與雙曲線的位置關系.(邏輯推理)
2.能運用直線與雙曲線的位置關系解決相關的弦長、中點弦問題.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.前面我們學習了雙曲線的方程、簡單幾何性質,你能寫出雙曲線的標準方程及性質嗎
2.若直線與圓(橢圓)有且只有一個公共點,則直線與圓(橢圓)相切.那么直線與雙曲線相切能用這個方法判斷嗎
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若直線與雙曲線只有一個公共點,則直線與雙曲線相切. (　　)
(2)若直線與雙曲線的一條漸近線平行,則該直線與雙曲線有兩個交點. (　　)
2.(多選題)若直線x=a與雙曲線-y2=1有兩個交點,則a的值可以是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知雙曲線C:x2-4y2=1,經過點P(2,0)的直線l與C有唯一公共點,則直線l的方程為(　　).
A.y=2x-1
B.y=-x+1
C.y=x-1或y=-x+1
D.y=2x-1或y=-x+1
4.已知直線y=kx+1(k∈R)與雙曲線3x2-y2=1,則當k為何值時,直線與雙曲線有一個公共點
【合作探究】
探究1：直線與雙曲線的位置關系
情境設置
　　問題1:若直線和雙曲線只有一個公共點,則直線和雙曲線一定相切嗎
問題2:過點(0,2)且和雙曲線-=1只有一個公共點的直線有幾條
問題3:判斷直線與雙曲線的位置關系要注意什么
新知生成
直線與雙曲線的位置關系
直線:Ax+By+C=0,雙曲線:-=1(a>0,b>0),兩方程聯立消去y,得mx2+nx+q=0.
位置關系 公共點 判定方法
相交 1個或2個 m=0或
相切 1個 m≠0且Δ=0
相離 0個 m≠0且Δ<0
新知運用
例1　已知直線y=kx與雙曲線4x2-y2=16.當k為何值時,直線與雙曲線滿足下列關系:
(1)有兩個公共點 (2)有一個公共點 (3)沒有公共點
方法指導　要研究直線與雙曲線的交點個數,通常需聯立直線與雙曲線方程組成方程組,消去方程組中的一個變量,得到關于另一個變量的一元二次方程或一元一次方程,再對方程解的個數進行討論.
【方法總結】討論直線與雙曲線的位置關系時,一般聯立直線與雙曲線的方程,將其化為關于x(或y)的一元二次方程,這時首先要看二次項的系數是否等于0.當二次項系數等于0時,就轉化成關于x(或y)的一元一次方程;當二次項的系數不為0時,利用根的判別式,判斷直線與雙曲線的位置關系.
鞏固訓練
　　若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的左支交于不同的兩點,則k的取值范圍為　　　　.
探究2：與雙曲線有關的弦長及中點弦問題
情境設置
　　問題1:類比求橢圓弦長的方法,若斜率為k(k≠0)的直線與雙曲線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則如何求|AB|
問題2:橢圓中點弦問題常用什么方法解決 雙曲線中點弦問題能用這種方法嗎
新知生成
解決與雙曲線有關的中點弦問題的方法
第一種方法:聯立消元法,即聯立直線和雙曲線的方程,借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數的關系、中點坐標公式及參數法求解.
第二種方法:點差法,根據雙曲線弦中點的性質,求出直線的斜率,再用點斜式得出直線方程.
特別提醒:中點弦問題中判斷點的位置非常重要.
(1)若中點M在雙曲線內(含焦點區域),則被點M平分的弦一般存在.
(2)若中點M在雙曲線外,則被點M平分的弦可能不存在.檢驗所求的直線和雙曲線是否相交.
新知運用
例2　已知雙曲線C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,離心率e=,且雙曲線C過點P(2,1).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線l:y=kx-1與雙曲線C交于A,B兩點,線段AB的中點的橫坐標為-2,求線段AB的長.
【方法總結】中點弦問題:可以聯立方程組消元后,用判別式和中點坐標公式求解;也可以用點差法和中點坐標公式求解.注意都需要檢驗.
鞏固訓練
已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0),離心率e=,虛軸長為2.
(1)求雙曲線C的標準方程;
(2)經過點P(1,1)的直線l與雙曲線C相交于A,B兩點,且P為AB的中點,求直線l的方程.
探究3：雙曲線性質的綜合應用
情境設置
　　問題1:雙曲線與橢圓有哪些不同點
　　問題2:雙曲線常與哪些知識結合命題
新知生成
與雙曲線有關的綜合問題
(1)當與向量知識結合時,注意運用向量的坐標運算,將向量間的關系轉化為點的坐標問題,再根據根與系數的關系,將所求問題與條件建立聯系求解.
(2)當與直線知識結合時,常常聯立直線與雙曲線的方程,消元后當二次項的系數不為0時,常常利用一元二次方程的根的判別式、根與系數的關系構造相關數量關系求解;當二次項系數為0時,直接分析求解.
新知運用
例3　已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)交x軸于A,B兩點,P是雙曲線上異于A,B的任意一點,直線PA,PB分別交y軸于點M,N,·=-4,且雙曲線的離心率為2.
(1)求雙曲線C的標準方程;
(2)設直線l:y=kx+m(km≠0)與雙曲線交于D,E兩點,Q為雙曲線虛軸在y軸正半軸的端點,若|QD|=|QE|,求實數m的取值范圍.
【方法總結】解決與雙曲線有關的綜合問題,常需要挖掘出題目中隱含的數量關系、垂直關系等,然后利用方程根與系數的關系構造等式或函數關系式進行合理的轉化,這其中要注意利用根的判別式來確定參數的限制條件.
鞏固訓練
已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,雙曲線C的右頂點A在圓O:x2+y2=2上,且·=-2.
(1)求雙曲線C的標準方程.
(2)若動直線l與雙曲線C恰有1個公共點,且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點M,N,則△OMN(O為坐標原點)的面積是否為定值 若為定值,求出該定值;若不為定值,試說明理由.
【隨堂檢測】
1.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為45°的直線與C的右支有且僅有一個交點,則C的離心率的取值范圍為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[,+∞) B.[2,+∞)
C.(1,] D.(1,2]
2.直線x+y=1與雙曲線4x2-y2=1相交所得的弦長為(　　).
A. B. C. D.
3.已知O為坐標原點,雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,從雙曲線C的右焦點F引其中一條漸近線的垂線,垂足為點A,若△AFO的面積為,則雙曲線C的標準方程為　　　　　　　.
4.已知點A(-,0)和B(,0),動點C到A,B兩點的距離之差的絕對值為2,記點C的軌跡為E.
(1)求軌跡E的方程;
(2)設E與直線y=x-2交于M,N兩點,求線段MN的長度.
2

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