資源簡介

3.3.1　拋物線的標準方程
【學習目標】
1.了解拋物線的定義及焦點、準線的概念.(數學抽象)
2.掌握拋物線的標準方程及其推導過程.(直觀想象、數學建模)
【自主預習】
預學憶思
1.觀察教材第133頁圖3.3-1,將一直尺固定在畫圖板內直線l的位置上,取一個直角三角板,以它的一條直角邊靠緊直尺的一邊l.在另一條直角邊上取定點A,設三角板的直角頂點為C,再取一條長度正好等于AC的細線.現將這條細線的一端固定在三角板的頂點A處,另一端用大頭針固定在點F處,用一支鉛筆扣著細線,緊靠著三角板的這條直角邊把細線繃緊,然后使三角板緊靠著直尺上下滑動,這樣鉛筆尖所在的點P就描出了一條曲線.
(1)點P的軌跡是什么形狀
【答案】拋物線.
(2)|PC|與|PF|之間有什么關系
【答案】相等.
(3)拋物線上任意一點P到點F和直線l的距離都相等嗎
【答案】都相等.
2.觀察教材第134頁圖3.3-2,直線l的方程為x=-(p>0),定點F的坐標為,0,設P(x,y),根據拋物線的定義可知|PF|=|PC|,則點P的軌跡方程是什么
【答案】y2=2px(p>0).
3.拋物線方程中p(p>0)的幾何意義是什么
【答案】p的幾何意義是焦點到準線的距離.
4.拋物線方程有幾種形式
【答案】拋物線方程有四種形式,即y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py,其中p>0.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)拋物線的方程都是二次函數. (　　)
(2)拋物線的焦點到準線的距離是p. (　　)
(3)拋物線y=4x2的焦點坐標為(1,0). (　　)
(4)以(0,1)為焦點的拋物線的標準方程為x2=4y. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.拋物線y2=-8x的焦點坐標是(　　).
A.(2,0) B.(-2,0)
C.(4,0) D.(-4,0)
【答案】B
【解析】拋物線y2=-8x的焦點在x軸的負半軸上,且=2,因此焦點坐標是(-2,0).
3.若拋物線y2=16x上一點P的橫坐標為4,則點P到拋物線焦點F的距離|PF|=(　　).
A.12 B.10 C.8 D.6
【答案】C
【解析】因為2p=16,所以=4,所以|PF|=4+=4+4=8.
4.已知拋物線的頂點為坐標原點,焦點在y軸上,拋物線上的點M(m,-2)到焦點的距離為4,則m=　　　　.
【答案】±4
【解析】由已知,可設拋物線方程為x2=-2py(p>0).由拋物線的定義得2+=4,∴p=4,∴x2=-8y.將點M(m,-2)的坐標代入x2=-8y,得m2=16,∴m=±4.
【合作探究】
探究1：拋物線的定義
情境設置
　　問題1:在拋物線的定義中,若去掉條件“l不經過點F”,點的軌跡還是拋物線嗎
【答案】不一定是拋物線.當直線l經過點F時,點的軌跡是過點F且垂直于定直線的一條直線,l不經過定點F時,點的軌跡是拋物線.
問題2:到定點A(3,0)和定直線l:x=-3距離相等的點的軌跡是什么
【答案】根據拋物線的定義,可以判斷該軌跡是拋物線.
新知生成
拋物線的定義
平面內與一個定點F和一條定直線l(F l)距離相等的點的軌跡叫作拋物線.點F叫作拋物線的焦點,直線l叫作拋物線的準線.
新知運用
例1　如圖,在同一平面內,A,B為兩個不同的定點,圓A和圓B的半徑都為r,射線AB交圓A于點P,過點P作圓A的切線l,當rr≥|AB|變化時,l與圓B的公共點的軌跡是(　　).
A.圓 B.橢圓
C.雙曲線的一支 D.拋物線
【答案】D
【解析】
設切線l與圓B的公共點為M,過點A作直線AB的垂線m,過點M作MN⊥m,垂足為N,連接MB,如圖,
則|MB|=r,|MN|=|PA|=r,所以|MB|=|MN|,即動點M到定點B的距離等于動點M到定直線m的距離,且定點B不在定直線m上,根據拋物線的定義知,動點M的軌跡是以B為焦點,m為準線的拋物線.故選D.
鞏固訓練
若點P到直線x=-1的距離比它到點(2,0)的距離小1,則點P的軌跡為(　　).
A.圓 B.橢圓
C.雙曲線 D.拋物線
【答案】D
【解析】依題意,點P到直線x=-2的距離等于它到點(2,0)的距離,故點P的軌跡是拋物線.
探究2：拋物線的標準方程
情境設置
　　問題1:比較橢圓、雙曲線標準方程的建立過程,小明給出下列三種建立坐標系求拋物線方程的方法,你認為哪一種坐標系求出的方程最簡單
【答案】通過建立等式,化簡得出方程并比較可得,建立圖(3)中的坐標系求出的方程最簡單.
問題2:你能根據圖(3),推導出拋物線的標準方程嗎
【答案】設P(x,y),|FK|=p,則焦點F,0,準線l:x=-.
由拋物線的定義可得=x+,兩邊平方并整理,可得y2=2px(p>0),這就是所求的軌跡方程.
問題3:拋物線的標準方程有什么特點
【答案】等號的一邊是某個變量的平方,等號的另一邊是另一個變量的一次項.
問題4:若拋物線的焦點坐標為(2,0),則它的標準方程是什么
【答案】因為焦點在x軸正半軸上,所以設拋物線的標準方程為y2=2px(p>0),其焦點坐標為,0,則=2,解得p=4,所以拋物線的標準方程是y2=8x.
新知生成
拋物線的標準方程
圖象 標準方程 焦點坐標 準線方程
y2=2px(p>0) F,0 x=-
y2=-2px(p>0) F-,0 x=
x2=2py(p>0) F0, y=-
x2=-2py(p>0) F0,- y=
　　特別提醒:(1)p的幾何意義是焦點到準線的距離.
(2)標準方程對應的圖象的結構特征:頂點在坐標原點、焦點在坐標軸上.
(3)拋物線的開口方向:拋物線的開口方向取決于一次項變量(x或y)的取值范圍.
新知運用
例2　根據下列條件,分別求出拋物線的標準方程.
(1)焦點在y軸上,且焦點到準線的距離為5;
(2)經過點(-3,-1);
(3)焦點為直線3x-4y-12=0與坐標軸的交點.
方法指導　(1)先確定方程的形式→求出p→寫方程;
(2)寫出拋物線的方程→代入點的坐標求參數→寫方程;
(3)寫出焦點坐標→分情況討論焦點位置→寫方程.
【解析】(1)已知拋物線的焦點在y軸上,可設方程為x2=2my(m≠0),由焦點到準線的距離為5,知|m|=5,即m=±5,所以滿足條件的拋物線有兩條,它們的標準方程分別為x2=10y和x2=-10y.
(2)因為點(-3,-1)在第三象限,所以設所求拋物線的標準方程為y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0).
若拋物線的標準方程為y2=-2px(p>0),則由(-1)2=-2p·(-3),解得p=.
若拋物線的標準方程為x2=-2py(p>0),則由(-3)2=-2p·(-1),解得p=,
所以拋物線的標準方程為y2=-x或x2=-9y.
(3)對于直線方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,
所以拋物線的焦點為(0,-3)或(4,0).
當焦點為(0,-3)時,=3,所以p=6,此時拋物線的標準方程為x2=-12y;
當焦點為(4,0)時,=4,所以p=8,此時拋物線的標準方程為y2=16x.
所以拋物線的標準方程為x2=-12y或y2=16x.
【方法總結】求拋物線標準方程的兩種方法:(1)當焦點位置確定時,可利用待定系數法,設出拋物線的標準方程,由已知條件建立關于參數p的方程,求出p的值,進而寫出拋物線的標準方程;(2)當焦點位置不確定時,可設拋物線的方程為y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),利用已知條件求出m或n的值,進而寫出拋物線的標準方程.
鞏固訓練
求滿足下列條件的拋物線的標準方程,并求對應拋物線的準線方程.
(1)過點(-1,2);
(2)焦點在直線x-2y-4=0上.
【解析】(1)設所求的拋物線方程為y2=-2px(p>0)或x2=2py(p>0),
∵拋物線過點(-1,2),∴4=-2p·(-1)或(-1)2=2p·2,∴p=2或p=.
故所求的拋物線方程為y2=-4x或x2=y,
對應的準線方程分別為x=1,y=-.
(2)令y=0,得x=4,令x=0,得y=-2,∴拋物線的焦點為(4,0)或(0,-2).
當焦點為(4,0)時,設拋物線方程為y2=2px(p>0),由=4,得p=8,此時拋物線方程為y2=16x;
當焦點為(0,-2)時,設拋物線方程為x2=-2py(p>0),由=|-2|,得p=4,此時拋物線方程為x2=-8y.
故所求的拋物線方程為y2=16x或x2=-8y,對應的準線方程分別是x=-4,y=2.
探究3：拋物線定義及方程的應用
情境設置
　　問題:拋物線的定義有什么應用
【答案】(1)實現距離轉化.根據拋物線的定義,拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離,因此,由拋物線的定義可以實現點點距與點線距的相互轉化,從而簡化某些問題.(2)利用拋物線的定義可以解決最值問題.
新知生成
1.拋物線的定義中指明了拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相等,故二者可相互轉化,這也是利用拋物線的定義解題的實質.
2.解決與拋物線焦點、準線的距離有關的最值、定值問題時,首先要注意應用拋物線的定義進行轉化,其次是注意平面幾何知識的應用,例如,兩點之間線段最短;三角形三邊間的不等關系;點與直線上點的連線中,垂線段最短等.
新知運用
例3　已知P是拋物線y2=-2x上的一個動點,則點P到點M(0,2)的距離與點P到該拋物線準線l的距離之和的最小值為　　　　.
【答案】
【解析】如圖,設點P在拋物線準線上的投影為點P',拋物線的焦點為F,則F-,0.
　　由拋物線的定義知,點P到該拋物線準線的距離為|PP'|=|PF|,
∴點P到點M(0,2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和d=|PF|+|PM|≥|MF|==,故d的最小值為.
【方法總結】在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時,往往用拋物線的定義進行轉化,即化折線為直線解決最值問題.
鞏固訓練
1.已知F是拋物線y2=4x的焦點,M,N是該拋物線上的兩點,|MF|+|NF|=8,則線段MN的中點到準線的距離為(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.5 B.4 C.3 D.
【答案】B
【解析】∵F是拋物線y2=4x的焦點,∴F(1,0),準線方程為x=-1,設M(x1,y1),N(x2,y2),∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=8,解得x1+x2=6,∴線段MN的中點的橫坐標為3,∴線段MN的中點到準線的距離為3+1=4.
2.已知F為拋物線y2=6x的焦點,P為拋物線y2=6x上的任意一點,點B(4,3),則|PB|+|PF|的最小值為　　　　.
【答案】
【解析】
如圖,拋物線y2=6x的焦點為F,0,準線方程為l:x=-,作PN⊥l于點N,作BA⊥l于點A,∴|PB|+|PF|=|PB|+|PN|≥|AB|=4--=,當且僅當P為AB與拋物線的交點時取得等號,∴|PB|+|PF|的最小值為.
【隨堂檢測】
1.拋物線y2=2px(p>0)上的一點P(4,-8)到其焦點F的距離|PF|=(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.12 B.10 C.8 D.6
【答案】C
【解析】因為點P(4,-8)在拋物線y2=2px(p>0)上,所以(-8)2=2p·4,解得p=8,所以該拋物線的方程為y2=16x,準線方程為x=-4,所以|PF|=4-(-4)=8.
2.已知拋物線x2=2py(p>0)上一點P(x0,3)到其焦點F的距離為5,則拋物線的標準方程為(　　).
A.x2=2y B.x2=6y
C.x2=4y D.x2=8y
【答案】D
【解析】由題意得,該拋物線的準線方程為y=-,∴點P到準線的距離為3+=5,解得p=4,∴拋物線的標準方程為x2=8y.
3.設P是拋物線y2=4x上的一個動點,F是拋物線y2=4x的焦點,若B(3,2),則|PB|+|PF|的最小值為　　　　.
【答案】4
　　【解析】
過點B作BQ垂直準線于點Q,交拋物線于點P1,如圖,
則|P1Q|=|P1F|,則|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值為4.
23.3.1　拋物線的標準方程
【學習目標】
1.了解拋物線的定義及焦點、準線的概念.(數學抽象)
2.掌握拋物線的標準方程及其推導過程.(直觀想象、數學建模)
【自主預習】
預學憶思
1.觀察教材第133頁圖3.3-1,將一直尺固定在畫圖板內直線l的位置上,取一個直角三角板,以它的一條直角邊靠緊直尺的一邊l.在另一條直角邊上取定點A,設三角板的直角頂點為C,再取一條長度正好等于AC的細線.現將這條細線的一端固定在三角板的頂點A處,另一端用大頭針固定在點F處,用一支鉛筆扣著細線,緊靠著三角板的這條直角邊把細線繃緊,然后使三角板緊靠著直尺上下滑動,這樣鉛筆尖所在的點P就描出了一條曲線.
(1)點P的軌跡是什么形狀
(2)|PC|與|PF|之間有什么關系
(3)拋物線上任意一點P到點F和直線l的距離都相等嗎
2.觀察教材第134頁圖3.3-2,直線l的方程為x=-(p>0),定點F的坐標為,0,設P(x,y),根據拋物線的定義可知|PF|=|PC|,則點P的軌跡方程是什么
3.拋物線方程中p(p>0)的幾何意義是什么
4.拋物線方程有幾種形式
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)拋物線的方程都是二次函數. (　　)
(2)拋物線的焦點到準線的距離是p. (　　)
(3)拋物線y=4x2的焦點坐標為(1,0). (　　)
(4)以(0,1)為焦點的拋物線的標準方程為x2=4y. (　　)
2.拋物線y2=-8x的焦點坐標是(　　).
A.(2,0) B.(-2,0)
C.(4,0) D.(-4,0)
3.若拋物線y2=16x上一點P的橫坐標為4,則點P到拋物線焦點F的距離|PF|=(　　).
A.12 B.10 C.8 D.6
4.已知拋物線的頂點為坐標原點,焦點在y軸上,拋物線上的點M(m,-2)到焦點的距離為4,則m=　　　　.
【合作探究】
探究1：拋物線的定義
情境設置
　　問題1:在拋物線的定義中,若去掉條件“l不經過點F”,點的軌跡還是拋物線嗎
問題2:到定點A(3,0)和定直線l:x=-3距離相等的點的軌跡是什么
新知生成
拋物線的定義
平面內與一個定點F和一條定直線l(F l)距離相等的點的軌跡叫作拋物線.點F叫作拋物線的焦點,直線l叫作拋物線的準線.
新知運用
例1　如圖,在同一平面內,A,B為兩個不同的定點,圓A和圓B的半徑都為r,射線AB交圓A于點P,過點P作圓A的切線l,當rr≥|AB|變化時,l與圓B的公共點的軌跡是(　　).
A.圓 B.橢圓
C.雙曲線的一支 D.拋物線
鞏固訓練
若點P到直線x=-1的距離比它到點(2,0)的距離小1,則點P的軌跡為(　　).
A.圓 B.橢圓
C.雙曲線 D.拋物線
探究2：拋物線的標準方程
情境設置
　　問題1:比較橢圓、雙曲線標準方程的建立過程,小明給出下列三種建立坐標系求拋物線方程的方法,你認為哪一種坐標系求出的方程最簡單
問題2:你能根據圖(3),推導出拋物線的標準方程嗎
問題3:拋物線的標準方程有什么特點
問題4:若拋物線的焦點坐標為(2,0),則它的標準方程是什么
新知生成
拋物線的標準方程
圖象 標準方程 焦點坐標 準線方程
y2=2px(p>0) F,0 x=-
y2=-2px(p>0) F-,0 x=
x2=2py(p>0) F0, y=-
x2=-2py(p>0) F0,- y=
　　特別提醒:(1)p的幾何意義是焦點到準線的距離.
(2)標準方程對應的圖象的結構特征:頂點在坐標原點、焦點在坐標軸上.
(3)拋物線的開口方向:拋物線的開口方向取決于一次項變量(x或y)的取值范圍.
新知運用
例2　根據下列條件,分別求出拋物線的標準方程.
(1)焦點在y軸上,且焦點到準線的距離為5;
(2)經過點(-3,-1);
(3)焦點為直線3x-4y-12=0與坐標軸的交點.
方法指導　(1)先確定方程的形式→求出p→寫方程;
(2)寫出拋物線的方程→代入點的坐標求參數→寫方程;
(3)寫出焦點坐標→分情況討論焦點位置→寫方程.
【方法總結】求拋物線標準方程的兩種方法:(1)當焦點位置確定時,可利用待定系數法,設出拋物線的標準方程,由已知條件建立關于參數p的方程,求出p的值,進而寫出拋物線的標準方程;(2)當焦點位置不確定時,可設拋物線的方程為y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),利用已知條件求出m或n的值,進而寫出拋物線的標準方程.
鞏固訓練
求滿足下列條件的拋物線的標準方程,并求對應拋物線的準線方程.
(1)過點(-1,2);
(2)焦點在直線x-2y-4=0上.
探究3：拋物線定義及方程的應用
情境設置
　　問題:拋物線的定義有什么應用
新知生成
1.拋物線的定義中指明了拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相等,故二者可相互轉化,這也是利用拋物線的定義解題的實質.
2.解決與拋物線焦點、準線的距離有關的最值、定值問題時,首先要注意應用拋物線的定義進行轉化,其次是注意平面幾何知識的應用,例如,兩點之間線段最短;三角形三邊間的不等關系;點與直線上點的連線中,垂線段最短等.
新知運用
例3　已知P是拋物線y2=-2x上的一個動點,則點P到點M(0,2)的距離與點P到該拋物線準線l的距離之和的最小值為　　　　.
【方法總結】在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時,往往用拋物線的定義進行轉化,即化折線為直線解決最值問題.
鞏固訓練
1.已知F是拋物線y2=4x的焦點,M,N是該拋物線上的兩點,|MF|+|NF|=8,則線段MN的中點到準線的距離為(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.5 B.4 C.3 D.
2.已知F為拋物線y2=6x的焦點,P為拋物線y2=6x上的任意一點,點B(4,3),則|PB|+|PF|的最小值為　　　　.
【隨堂檢測】
1.拋物線y2=2px(p>0)上的一點P(4,-8)到其焦點F的距離|PF|=(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.12 B.10 C.8 D.6
2.已知拋物線x2=2py(p>0)上一點P(x0,3)到其焦點F的距離為5,則拋物線的標準方程為(　　).
A.x2=2y B.x2=6y
C.x2=4y D.x2=8y
3.設P是拋物線y2=4x上的一個動點,F是拋物線y2=4x的焦點,若B(3,2),則|PB|+|PF|的最小值為　　　　.
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