資源簡介

3.3.2　拋物線的簡單幾何性質
【學習目標】
1.掌握拋物線的簡單幾何性質:范圍、對稱性、頂點、離心率.(直觀想象)
2.掌握直線與拋物線的位置關系的判斷及相關問題.(數學運算)
3.對通徑、焦半徑公式進行初步探索.(邏輯推理)
【自主預習】
預學憶思
　　預習教材,類比橢圓、雙曲線的幾何性質,結合圖形,說出拋物線y2=2px(p>0)的下列性質.
1.拋物線y2=2px(p>0)中,x,y的范圍是什么
【答案】x≥0,y∈R.
2.拋物線y2=2px(p>0)的對稱軸是什么 是否存在對稱中心
【答案】對稱軸為x軸,不存在對稱中心.
3.拋物線的頂點坐標有幾個 頂點坐標是什么
【答案】只有一個頂點,頂點坐標為(0,0).
4.拋物線的離心率是多少
【答案】e=1.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)拋物線關于頂點對稱. (　　)
(2)拋物線只有一個焦點,一條對稱軸,無對稱中心. (　　)
(3)雖然拋物線的標準方程各不相同,但是拋物線的離心率都相同. (　　)
(4)拋物線x2=4y,y2=4x的x,y的范圍是不同的,但是其焦點到準線的距離是相同的,離心率也相同. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.若直線AB與拋物線y2=4x交于A,B兩點,且AB⊥x軸,|AB|=4,則拋物線的焦點到直線AB的距離為(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.5
【答案】A
【解析】已知|AB|=4及AB⊥x軸,不妨設點A的縱坐標為2,代入y2=4x得點A的橫坐標為2,從而直線AB的方程為x=2.又y2=4x的焦點為(1,0),所以拋物線的焦點到直線AB的距離為1.
3.(多選題)對于拋物線x2=y,下列描述正確的是(　　).
A.開口向上,焦點為(0,2)
B.開口向上,焦點為0,
C.焦點到準線的距離為4
D.準線方程為y=-4
【答案】AC
【解析】由拋物線x2=y,即x2=8y,可知拋物線的開口向上,焦點坐標為(0,2),焦點到準線的距離為4,準線方程為y=-2.
4.過拋物線y2=2x的焦點且與對稱軸垂直的弦長為　　　　　　.
【答案】2
【解析】拋物線y2=2x的焦點為F,0,對稱軸是x軸,故經過點F且垂直于x軸的直線l的方程為x=,
由得或
即直線l:x=與拋物線的交點為A,1,B,-1,則|AB|=2,即所求弦長為2.
【合作探究】
探究1：拋物線的簡單幾何性質
情境設置
　　問題1:觀察圖形,你能發現拋物線橫、縱坐標的取值范圍嗎 從“數”的角度,也就是從拋物線方程的角度,怎樣得到拋物線中橫、縱坐標的取值范圍呢
【答案】通過觀察圖形,學生很容易得到開口向右的拋物線中橫、縱坐標的取值范圍,即x≥0,y∈R.在方程y2=2px,p>0中,y并無限制,因此y∈R.因為2px=y2≥0,且p>0,所以x≥0.
問題2:從“數”的角度,怎樣說明拋物線y2=2px,p>0關于x軸對稱
【答案】要說明拋物線關于x軸對稱,只需要在拋物線上任取一點P(x0,y0),然后說明P(x0,y0)關于x軸的對稱點P'(x0,-y0)也在拋物線上即可.
問題3:從“數”的角度,如何從方程中得到拋物線的頂點
【答案】在拋物線的方程中,y2=2px,p>0,令x=0,得y=0,即拋物線的頂點為(0,0).
問題4:從“數”的角度,如何得到拋物線的離心率
【答案】根據拋物線離心率的定義可知e=1.
新知生成
拋物線的簡單幾何性質
標準方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
圖象
范圍 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
對稱軸 x軸 y軸
頂點 (0,0)
離心率 e=1
新知運用
例1　已知拋物線y2=8x.
(1)求出該拋物線的頂點坐標、焦點坐標、準線、對稱軸、x的取值范圍;
(2)以坐標原點O為頂點,作拋物線的內接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|,若焦點F是△OAB的重心,求△OAB的周長.
【解析】(1)拋物線y2=8x的頂點坐標、焦點坐標、準線、對稱軸、x的取值范圍分別為(0,0),(2,0),直線x=-2,x軸,[0,+∞).
(2)
如圖所示.由|OA|=|OB|可知AB⊥x軸,設垂足為點M.
因為焦點F是△OAB的重心,所以|OF|=|OM|.
因為F(2,0),所以|OM|=|OF|=3,
所以M(3,0).
設A(3,m)(m>0),代入y2=8x得m2=24,所以m=2或m=-2(舍去),
所以A(3,2),B(3,-2),|OA|=|OB|=,
所以△OAB的周長為2+4.
【方法總結】拋物線的幾何性質在解與拋物線有關的問題時具有廣泛的應用,但是在解題的過程中又容易忽視這些隱含的條件.其中應用最廣泛的是取值范圍、對稱性、頂點坐標.在解題時,應先注意開口方向、焦點位置,選準標準方程形式,然后利用條件求解.另外,要注意運用數形結合思想,根據拋物線的定義,將拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離相互轉化.
鞏固訓練
已知拋物線的頂點在坐標原點,對稱軸為x軸,且與圓x2+y2=4相交于A,B兩點,|AB|=2,求拋物線的方程.
【解析】由已知得,拋物線的焦點可能在x軸的正半軸上,也可能在x軸的負半軸上,
故可設拋物線的方程為y2=ax(a≠0).
設拋物線與圓x2+y2=4的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),
∵拋物線y2=ax(a≠0)與圓x2+y2=4都關于x軸對稱,∴點A與點B關于x軸對稱,
∴|y1|=|y2|且|y1|+|y2|=2,∴|y1|=|y2|=,代入圓的方程x2+y2=4,得x2+3=4,
∴x=±1,∴A(±1,)或A(±1,-),代入拋物線方程y2=ax(a≠0),得()2=±a,∴a=±3.
∴所求拋物線的方程是y2=3x或y2=-3x.
探究2：直線與拋物線的位置關系
情境設置
　　問題1:若直線與拋物線有且只有一個公共點,則直線與拋物線相切嗎
【答案】直線與拋物線相切時,只有一個公共點,但是只有一個公共點時,直線與拋物線可能相切也可能平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.
問題2:如何判斷點P(x0,y0)與拋物線y2=2px(p>0)的位置關系
【答案】(1)點P(x0,y0)在拋物線y2=2px(p>0)內部 <2px0;
(2)點P(x0,y0)在拋物線y2=2px(p>0)上 =2px0;
(3)點P(x0,y0)在拋物線y2=2px(p>0)外部 >2px0.
新知生成
直線與拋物線的位置關系
直線y=kx+b與拋物線y2=2px(p>0)的交點個數取決于關于x的方程組的解的個數,即一元二次方程k2x2+2(kb-p)x+b2=0的解的個數.
當k≠0時,若Δ>0,則直線與拋物線有兩個不同的公共點;若Δ=0,則直線與拋物線有一個公共點;若Δ<0,則直線與拋物線沒有公共點.
當k=0時,直線與拋物線的對稱軸平行或重合,此時直線與拋物線有一個公共點.
新知運用
例2　已知直線l:y=kx+1,拋物線C:y2=4x,求當k分別為何值時,直線l與拋物線C:①只有一個公共點;②有兩個公共點;③沒有公共點.
【解析】聯立消去y,
得k2x2+(2k-4)x+1=0.　(*)
當k=0時,(*)式只有一個解為x=,
∴直線l與拋物線C只有一個公共點為,1,
此時直線l平行于x軸.
當k≠0時,(*)式是一個一元二次方程,
Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k).
①當Δ=0,即k=1時,直線l與拋物線C有一個公共點,此時直線l與拋物線C相切;
②當Δ>0,即k<1且k≠0時,直線l與拋物線C有兩個公共點,此時直線l與拋物線C相交;
③當Δ<0,即k>1時,l與C沒有公共點,此時直線l與拋物線C相離.
綜上所述,當k=1或0時,l與C有一個公共點;
當k<1且k≠0時,l與C有兩個公共點;
當k>1時,l與C沒有公共點.
【方法總結】判斷直線與拋物線的位置關系的方法:聯立方程組消元,當二次項系數不等于零時,用判別式Δ來判定;當二次項系數等于0時,直線與拋物線相交于一點.
鞏固訓練
若直線l:y=(a+1)x-1與曲線C:y2=ax恰好有一個公共點,試求實數a的取值集合.
【解析】因為直線l與曲線C恰好有一個公共點,
所以方程組有唯一一組實數解,消去y,得[(a+1)x-1]2=ax,
整理得(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0.　①
(1)當a+1=0,即a=-1時,方程①是關于x的一元一次方程,解得x=-1,這時,原方程組有唯一解
(2)當a+1≠0,即a≠-1時,方程①是關于x的一元二次方程.
令Δ=[-(3a+2)]2-4(a+1)2=a(5a+4)=0,解得a=0或a=-.
當a=0時,原方程組有唯一解
當a=-時,原方程組有唯一解
綜上,實數a的取值集合是-1,-,0.
探究3：與拋物線有關的弦長問題
情境設置
　　問題1:連接拋物線上一點A與焦點F的線段叫作拋物線的焦半徑.你能否得到拋物線y2=2px(p>0)的焦半徑公式
【答案】設點A(x1,y1),則|AF|=x1+.
問題2:你能否總結出y2=-2px(p>0)、x2=2py(p>0)、x2=-2py(p>0)三種拋物線的焦半徑公式
【答案】設點A(x1,y1),開口向左:|AF|=-x1+.開口向上:|AF|=y1+.開口向下:|AF|=-y1+.
問題3:有一種特殊的焦點弦,它垂直于拋物線的對稱軸,這種焦點弦叫作通徑.你能否根據焦半徑公式求出通徑的長度
【答案】通徑|AB|=2p.
新知生成
1.拋物線的通徑(過焦點且垂直于對稱軸的弦)長為2p.
2.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的直線l與拋物線相交于A,B兩點,設A(x1,y1),B(x2,y2)則焦半徑|AF|=x1+=,|BF|=x2+=.(α是直線AF的傾斜角)
3.拋物線的焦點弦
過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的一條直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則
①y1y2=-p2,x1x2=;
②|AB|=x1+x2+p=(α是直線AB的傾斜角,α≠0°);
③+=.
新知運用
例3　已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點且斜率為2的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1(1)求該拋物線的方程;
(2)O為坐標原點,C為拋物線上一點,若=+λ,求λ的值.
【解析】(1)直線AB的方程是y=2x-,與y2=2px聯立,從而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=,由拋物線的定義得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,
所以拋物線的方程是y2=8x.
(2)由p=4,4x2-5px+p2=0可簡化為x2-5x+4=0,從而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,從而A(1,-2),B(4,4).
設=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),
又=8x3,所以[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.
【方法總結】直線與拋物線相交的弦長問題:設直線和拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,直線的斜率為k.
(1)一般的弦長公式:|AB|=|x1-x2|.
　　(2)焦點弦長公式:當直線經過拋物線y2=2px(p>0)的焦點時,弦長|AB|=x1+x2+p.
(3)“中點弦”問題的解題策略是點差法.
鞏固訓練
1.設F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點,O為坐標原點,則△OAB的面積為(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】(法一)易知焦點F,0,
由題意可知,直線AB的方程為y=x-,
代入拋物線的方程可得4y2-12y-9=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則y1+y2=3,y1y2=-,
故S△OAB=××=.
(法二)易知拋物線中p=,焦點F,0,
直線AB的斜率k=,
故直線AB的方程為y=x-,
由拋物線的性質可得,弦長|AB|==12,
又點O到直線AB的距離d=·sin 30°=,
故S△OAB=|AB|·d=.
2.設拋物線C:x2=4y的焦點為F,直線y=kx+2與拋物線C交于A,B兩點,且|AF|·|BF|=25,則k的值為(　　).
A.±2 B.-1 C.±1 D.-2
【答案】A
【解析】設A(x1,y1),B(x2,y2),將直線方程y=kx+2代入x2=4y,
消去x得y2-(4+4k2)y+4=0,
所以y1+y2=4+4k2,y1y2=4,
拋物線C:x2=4y的準線方程為y=-1,
因為|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1=4+4+4k2+1=25,解得k=±2.
【隨堂檢測】
1.若過點(2,4)的直線與拋物線y2=8x只有一個公共點,則這樣的直線有(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
【答案】B
【解析】因為點(2,4)在拋物線y2=8x上,所以過該點與拋物線相切的直線和過該點與x軸平行的直線都與拋物線只有一個公共點.
2.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線y=k(x+2)與拋物線C交于點A,B,其中點A的坐標為(1,2),則|FB|=(　　).
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】由點A(1,2)在拋物線C上得p=2,設B,t,由直線過定點(-2,0),得k==,解得t=4或t=2(舍去),即B(4,4),所以|FB|=4+=5.
3.已知拋物線y=ax2+1與直線y=x相切,則a=　　　　.
【答案】
　　【解析】由消去y,得ax2-x+1=0.
∵直線y=x與拋物線y=ax2+1相切,
∴方程ax2-x+1=0有兩個相等的實根.
∴Δ=(-1)2-4a=0,∴a=.
4.過拋物線C:y2=8x的焦點F的直線交拋物線C于A,B兩點,若|AF|=6,則|BF|=　　　　.
【答案】3
【解析】(法一)設A為第一象限內的點,A(x1,y1),B(x2,y2),則x1>0,y1>0,
由題意可得F(2,0),|AF|=x1+2=6,
則x1=4,由=8x1,得y1=4,
所以kAB==2,
直線AB的方程為y=2(x-2),
將直線AB的方程代入y2=8x,化簡得x2-5x+4=0,
解得x2=1,所以|BF|=x2+2=3.
(法二)由拋物線焦點弦的性質,可得+=,
所以=-=,可得BF=3.
23.3.2　拋物線的簡單幾何性質
【學習目標】
1.掌握拋物線的簡單幾何性質:范圍、對稱性、頂點、離心率.(直觀想象)
2.掌握直線與拋物線的位置關系的判斷及相關問題.(數學運算)
3.對通徑、焦半徑公式進行初步探索.(邏輯推理)
【自主預習】
預學憶思
　　預習教材,類比橢圓、雙曲線的幾何性質,結合圖形,說出拋物線y2=2px(p>0)的下列性質.
1.拋物線y2=2px(p>0)中,x,y的范圍是什么
2.拋物線y2=2px(p>0)的對稱軸是什么 是否存在對稱中心
3.拋物線的頂點坐標有幾個 頂點坐標是什么
4.拋物線的離心率是多少
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)拋物線關于頂點對稱. (　　)
(2)拋物線只有一個焦點,一條對稱軸,無對稱中心. (　　)
(3)雖然拋物線的標準方程各不相同,但是拋物線的離心率都相同. (　　)
(4)拋物線x2=4y,y2=4x的x,y的范圍是不同的,但是其焦點到準線的距離是相同的,離心率也相同. (　　)
2.若直線AB與拋物線y2=4x交于A,B兩點,且AB⊥x軸,|AB|=4,則拋物線的焦點到直線AB的距離為(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.5
3.(多選題)對于拋物線x2=y,下列描述正確的是(　　).
A.開口向上,焦點為(0,2)
B.開口向上,焦點為0,
C.焦點到準線的距離為4
D.準線方程為y=-4
4.過拋物線y2=2x的焦點且與對稱軸垂直的弦長為　　　　　　.
【合作探究】
探究1：拋物線的簡單幾何性質
情境設置
　　問題1:觀察圖形,你能發現拋物線橫、縱坐標的取值范圍嗎 從“數”的角度,也就是從拋物線方程的角度,怎樣得到拋物線中橫、縱坐標的取值范圍呢
問題2:從“數”的角度,怎樣說明拋物線y2=2px,p>0關于x軸對稱
問題3:從“數”的角度,如何從方程中得到拋物線的頂點
問題4:從“數”的角度,如何得到拋物線的離心率
新知生成
拋物線的簡單幾何性質
標準方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
圖象
范圍 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
對稱軸 x軸 y軸
頂點 (0,0)
離心率 e=1
新知運用
例1　已知拋物線y2=8x.
(1)求出該拋物線的頂點坐標、焦點坐標、準線、對稱軸、x的取值范圍;
(2)以坐標原點O為頂點,作拋物線的內接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|,若焦點F是△OAB的重心,求△OAB的周長.
【方法總結】拋物線的幾何性質在解與拋物線有關的問題時具有廣泛的應用,但是在解題的過程中又容易忽視這些隱含的條件.其中應用最廣泛的是取值范圍、對稱性、頂點坐標.在解題時,應先注意開口方向、焦點位置,選準標準方程形式,然后利用條件求解.另外,要注意運用數形結合思想,根據拋物線的定義,將拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離相互轉化.
鞏固訓練
已知拋物線的頂點在坐標原點,對稱軸為x軸,且與圓x2+y2=4相交于A,B兩點,|AB|=2,求拋物線的方程.
探究2：直線與拋物線的位置關系
情境設置
　　問題1:若直線與拋物線有且只有一個公共點,則直線與拋物線相切嗎
問題2:如何判斷點P(x0,y0)與拋物線y2=2px(p>0)的位置關系
新知生成
直線與拋物線的位置關系
直線y=kx+b與拋物線y2=2px(p>0)的交點個數取決于關于x的方程組的解的個數,即一元二次方程k2x2+2(kb-p)x+b2=0的解的個數.
當k≠0時,若Δ>0,則直線與拋物線有兩個不同的公共點;若Δ=0,則直線與拋物線有一個公共點;若Δ<0,則直線與拋物線沒有公共點.
當k=0時,直線與拋物線的對稱軸平行或重合,此時直線與拋物線有一個公共點.
新知運用
例2　已知直線l:y=kx+1,拋物線C:y2=4x,求當k分別為何值時,直線l與拋物線C:①只有一個公共點;②有兩個公共點;③沒有公共點.
【方法總結】判斷直線與拋物線的位置關系的方法:聯立方程組消元,當二次項系數不等于零時,用判別式Δ來判定;當二次項系數等于0時,直線與拋物線相交于一點.
鞏固訓練
若直線l:y=(a+1)x-1與曲線C:y2=ax恰好有一個公共點,試求實數a的取值集合.
探究3：與拋物線有關的弦長問題
情境設置
　　問題1:連接拋物線上一點A與焦點F的線段叫作拋物線的焦半徑.你能否得到拋物線y2=2px(p>0)的焦半徑公式
問題2:你能否總結出y2=-2px(p>0)、x2=2py(p>0)、x2=-2py(p>0)三種拋物線的焦半徑公式
問題3:有一種特殊的焦點弦,它垂直于拋物線的對稱軸,這種焦點弦叫作通徑.你能否根據焦半徑公式求出通徑的長度
新知生成
1.拋物線的通徑(過焦點且垂直于對稱軸的弦)長為2p.
2.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的直線l與拋物線相交于A,B兩點,設A(x1,y1),B(x2,y2)則焦半徑|AF|=x1+=,|BF|=x2+=.(α是直線AF的傾斜角)
3.拋物線的焦點弦
過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的一條直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則
①y1y2=-p2,x1x2=;
②|AB|=x1+x2+p=(α是直線AB的傾斜角,α≠0°);
③+=.
新知運用
例3　已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點且斜率為2的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1(1)求該拋物線的方程;
(2)O為坐標原點,C為拋物線上一點,若=+λ,求λ的值.
【方法總結】直線與拋物線相交的弦長問題:設直線和拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,直線的斜率為k.
(1)一般的弦長公式:|AB|=|x1-x2|.
　　(2)焦點弦長公式:當直線經過拋物線y2=2px(p>0)的焦點時,弦長|AB|=x1+x2+p.
(3)“中點弦”問題的解題策略是點差法.
鞏固訓練
1.設F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點,O為坐標原點,則△OAB的面積為(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C. D.
2.設拋物線C:x2=4y的焦點為F,直線y=kx+2與拋物線C交于A,B兩點,且|AF|·|BF|=25,則k的值為(　　).
A.±2 B.-1 C.±1 D.-2
【隨堂檢測】
1.若過點(2,4)的直線與拋物線y2=8x只有一個公共點,則這樣的直線有(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
2.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線y=k(x+2)與拋物線C交于點A,B,其中點A的坐標為(1,2),則|FB|=(　　).
A.3 B.4 C.5 D.6
3.已知拋物線y=ax2+1與直線y=x相切,則a=　　　　.
4.過拋物線C:y2=8x的焦點F的直線交拋物線C于A,B兩點,若|AF|=6,則|BF|=　　　　.
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