資源簡介

3.4　曲線與方程
【學習目標】
1.了解曲線上點的坐標與方程的解之間的一一對應關系.(數學抽象、直觀想象)
2.理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念.(數學抽象、直觀想象)
3.通過具體的實例掌握求曲線方程的一般步驟,會求曲線的方程.(邏輯推理)
【自主預習】
預學憶思
　　曲線的方程、方程的曲線的定義分別是什么
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)y2=x與y=表示同一條曲線. (　　)
(2)過點P(x0,y0)且斜率為k的直線的方程是=k. (　　)
(3)已知曲線C的方程是f(x,y)=0,若點P(x0,y0)在曲線C上,則有f(x0,y0)=0. (　　)
(4)以A(0,1),B(1,0),C(-1,0)為頂點的△ABC的BC邊上中線所在直線的方程是x=0. (　　)
2.已知直線l:x+y-3=0及曲線C:(x-3)2+(y-2)2=2,則點M(2,1)(　　).
A.在直線l上,但不在曲線C上
B.在直線l上,也在曲線C上
C.不在直線l上,也不在曲線C上
D.不在直線l上,但在曲線C上
3.在平面直角坐標系xOy中,若定點A(-1,2)與動點P(x,y)滿足·=3,則點P的軌跡方程為　　　　　.
4.已知動點M(x,y)到定點F(3,0)的距離與到定直線l:x=的距離之比是常數,求動點M的軌跡.
【合作探究】
探究1：曲線與方程的概念
情境設置
　　問題:如何用集合法判斷曲線與方程的關系
新知生成
　　一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如下關系:
(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解;
(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.
此時,這個方程叫作曲線的方程,這條曲線叫作方程的曲線.
新知運用
例1　如果坐標滿足方程f(x,y)=0的點都在曲線C上,那么(　　).
A.曲線C上的點的坐標都滿足方程f(x,y)=0
B.凡坐標不滿足方程f(x,y)=0的點都不在曲線C上
C.不在曲線C上的點的坐標必不滿足方程f(x,y)=0
D.不在曲線C上的點的坐標有些滿足方程f(x,y)=0,有些不滿足方程f(x,y)=0
方法指導　由于題中方程f(x,y)=0與曲線C不是一一對應的,因此曲線C上的點的坐標未必都滿足方程f(x,y)=0.
【方法總結】判斷方程是否是曲線的方程的兩個關鍵點:一是檢驗點的坐標是否滿足方程;二是檢驗以方程的解為坐標的點是否在曲線上.
鞏固訓練
　　判斷下列命題的真假,并說明原因.
(1)到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程為y=x.
(2)已知A,B兩點的坐標分別為(-1,0),(1,0),則滿足∠ACB=90°的動點C的軌跡方程為x2+y2=1.
探究2：曲線方程的判定與證明
情境設置
　　問題:如果曲線C的方程是f(x,y)=0,那么點P(x0,y0)在曲線C上的充要條件是什么
新知生成
　　若曲線C的方程是f(x,y)=0,則點P(x0,y0)在曲線C上 f(x0,y0)=0;點P(x0,y0)不在曲線C上 f(x0,y0)≠0.
新知運用
例2　方程(2x+3y-5)(-1)=0表示的幾何圖形是什么
【方法總結】按照曲線方程定義的兩個方面證明方程為曲線的軌跡方程,第一步需要按照求曲線方程的一般步驟來解,即設點——寫出動點適合的集合——用坐標表示——化簡方程;第二步證明以方程的解為坐標的點都在該曲線上.
鞏固訓練
　　關于方程x(x2+y2-1)=0和x2+(x2+y2-1)2=0,下列說法正確的是(　　).
A.都表示一條直線和一個圓
B.都表示兩點
C.前者表示一條直線和一個圓,后者表示兩點
D.前者表示兩點,后者表示一條直線和一個圓
探究3：利用直接法求軌跡
情境設置
　　問題:求曲線的方程和求軌跡一樣嗎
新知生成
　　(1)建系:建立適當的坐標系,用有序數對(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標.
(2)寫集合:寫出符合條件p的點M的集合P={M|p(M)}.
(3)列方程:用坐標表示條件p(M),列出方程f(x,y)=0.
(4)化簡:化方程f(x,y)=0為最簡形式.
(5)說明:說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上.
一般地,化簡前后方程的解集是相同的,步驟(5)可以省略不寫,如有特殊情況,可以適當說明.另外,也可以根據情況省略步驟(2),直接列出曲線方程.
新知運用
例3　已知點M(-1,0),N(1,0),且點P滿足·,·,·成公差為負數的等差數列,求點P的軌跡方程.
方法指導　結合數量積的運算將·,·,·用點P的坐標(x,y)表示出來,然后再整理化簡即可,但要注意限制條件“成公差為負數的等差數列”.
【方法總結】直接法求軌跡方程的常見類型及解題方法
(1)題中給出等量關系,求軌跡方程,直接代入即可得出方程.
(2)題中未明確給出等量關系,求軌跡方程,可利用已知條件尋找等量關系,得出方程.
鞏固訓練
　　已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長為8.求動圓圓心的軌跡C的方程.
【隨堂檢測】
1.方程|y|-1=表示的曲線是(　　).　　　　　 　　　　　　　　　　　　
A.兩個半圓 B.兩個圓
C.拋物線 D.一個圓
2.若方程x-2y-2k=0與2x-y-k=0所表示的兩條曲線的交點P在方程x2+y2=9表示的曲線上,則實數k=(　　).
A.±3 B.0
C.±2 D.一切實數
3.給出下列結論:
①方程=1表示斜率為1,在y軸上的截距為-2的直線;
②到x軸的距離為2的點的軌跡方程為y=-2;
③方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示四個點.
正確的結論的序號是　　　　.
4.已知動點M與距離為2a的兩個定點A,B的連線的斜率之積等于-,求動點M的軌跡方程.
23.4　曲線與方程
【學習目標】
1.了解曲線上點的坐標與方程的解之間的一一對應關系.(數學抽象、直觀想象)
2.理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念.(數學抽象、直觀想象)
3.通過具體的實例掌握求曲線方程的一般步驟,會求曲線的方程.(邏輯推理)
【自主預習】
預學憶思
　　曲線的方程、方程的曲線的定義分別是什么
【答案】如果(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解,(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點,此時,這個方程叫作曲線的方程,這條曲線叫作方程的曲線.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)y2=x與y=表示同一條曲線. (　　)
(2)過點P(x0,y0)且斜率為k的直線的方程是=k. (　　)
(3)已知曲線C的方程是f(x,y)=0,若點P(x0,y0)在曲線C上,則有f(x0,y0)=0. (　　)
(4)以A(0,1),B(1,0),C(-1,0)為頂點的△ABC的BC邊上中線所在直線的方程是x=0. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.已知直線l:x+y-3=0及曲線C:(x-3)2+(y-2)2=2,則點M(2,1)(　　).
A.在直線l上,但不在曲線C上
B.在直線l上,也在曲線C上
C.不在直線l上,也不在曲線C上
D.不在直線l上,但在曲線C上
【答案】B
【解析】將點M的坐標分別代入直線l和曲線C的方程,知點M在直線l上,也在曲線C上.
3.在平面直角坐標系xOy中,若定點A(-1,2)與動點P(x,y)滿足·=3,則點P的軌跡方程為　　　　　.
【答案】x-2y+3=0
【解析】由題意知,=(x,y),=(-1,2),則·=-x+2y.由·=3,得-x+2y=3,即點P的軌跡方程為x-2y+3=0.
4.已知動點M(x,y)到定點F(3,0)的距離與到定直線l:x=的距離之比是常數,求動點M的軌跡.
【解析】因為動點M(x,y)到定點F(3,0)和到定直線l:x=的距離之比是常數,
所以=,
兩邊平方并化簡,得16x2+25y2=400,即+=1,
所以點M的軌跡是長軸長為10,短軸長為8的橢圓.
【合作探究】
探究1：曲線與方程的概念
情境設置
　　問題:如何用集合法判斷曲線與方程的關系
【答案】若曲線是點集C,方程f(x,y)=0的解集為F,則曲線和方程概念中的兩個條件可以表示為①C F;②F C.
所以曲線和方程的概念中的兩個條件實際上是說明這兩個集合相等,這是判斷方程是否為所給曲線的方程,曲線是否為所給方程的曲線的標準.
新知生成
　　一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如下關系:
(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解;
(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.
此時,這個方程叫作曲線的方程,這條曲線叫作方程的曲線.
新知運用
例1　如果坐標滿足方程f(x,y)=0的點都在曲線C上,那么(　　).
A.曲線C上的點的坐標都滿足方程f(x,y)=0
B.凡坐標不滿足方程f(x,y)=0的點都不在曲線C上
C.不在曲線C上的點的坐標必不滿足方程f(x,y)=0
D.不在曲線C上的點的坐標有些滿足方程f(x,y)=0,有些不滿足方程f(x,y)=0
方法指導　由于題中方程f(x,y)=0與曲線C不是一一對應的,因此曲線C上的點的坐標未必都滿足方程f(x,y)=0.
【答案】C
【解析】滿足方程f(x,y)=0的點都在曲線C上,但曲線C上的點的坐標不一定都滿足方程f(x,y)=0,故A不正確;坐標不滿足方程f(x,y)=0的點,也可能在曲線C上,故B不正確;因為滿足方程f(x,y)=0的點都在曲線C上,所以不在曲線C上的點必不滿足方程f(x,y)=0,故C正確,D不正確.
【方法總結】判斷方程是否是曲線的方程的兩個關鍵點:一是檢驗點的坐標是否滿足方程;二是檢驗以方程的解為坐標的點是否在曲線上.
鞏固訓練
　　判斷下列命題的真假,并說明原因.
(1)到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程為y=x.
(2)已知A,B兩點的坐標分別為(-1,0),(1,0),則滿足∠ACB=90°的動點C的軌跡方程為x2+y2=1.
【解析】(1)假命題.因為到兩坐標軸距離相等的點的軌跡是兩條直線,即l1:y=x和l2:y=-x.
直線l1上的點的坐標都是方程y=x的解,而直線l2上的點(除原點外)的坐標都不是方程y=x的解.
這顯然和曲線與方程關系中的條件“曲線上的點的坐標都是這個方程的解”不相符.
(2)假命題.由題意可知,動點C的軌跡是以線段AB為直徑的圓(除去A,B兩點),
因此盡管動點C的坐標都滿足方程x2+y2=1,但以方程x2+y2=1的解為坐標的點不一定都在動點C的軌跡上.
探究2：曲線方程的判定與證明
情境設置
　　問題:如果曲線C的方程是f(x,y)=0,那么點P(x0,y0)在曲線C上的充要條件是什么
【答案】若點P在曲線C上,則f(x0,y0)=0;若f(x0,y0)=0,則點P在曲線C上.所以點P(x0,y0)在曲線C上的充要條件是f(x0,y0)=0.
新知生成
　　若曲線C的方程是f(x,y)=0,則點P(x0,y0)在曲線C上 f(x0,y0)=0;點P(x0,y0)不在曲線C上 f(x0,y0)≠0.
新知運用
例2　方程(2x+3y-5)(-1)=0表示的幾何圖形是什么
方法指導　本例中兩代數式的積為零包含2x+3y-5=0或-1=0,求解含根式的問題必須使根式有意義.
【解析】因為(2x+3y-5)(-1)=0,所以可得或-1=0,即2x+3y-5=0(x≥3)或x=4,故方程表示的幾何圖形為一條射線2x+3y-5=0(x≥3)和一條直線x=4.
【方法總結】按照曲線方程定義的兩個方面證明方程為曲線的軌跡方程,第一步需要按照求曲線方程的一般步驟來解,即設點——寫出動點適合的集合——用坐標表示——化簡方程;第二步證明以方程的解為坐標的點都在該曲線上.
鞏固訓練
　　關于方程x(x2+y2-1)=0和x2+(x2+y2-1)2=0,下列說法正確的是(　　).
A.都表示一條直線和一個圓
B.都表示兩點
C.前者表示一條直線和一個圓,后者表示兩點
D.前者表示兩點,后者表示一條直線和一個圓
【答案】C
【解析】x(x2+y2-1)=0 x=0或x2+y2=1,則方程x(x2+y2-1)=0表示直線x=0和以(0,0)為圓心,1為半徑的圓.
x2+(x2+y2-1)2=0 則方程x2+(x2+y2-1)2=0表示點(0,1),(0,-1).
探究3：利用直接法求軌跡
情境設置
　　問題:求曲線的方程和求軌跡一樣嗎
【答案】不一樣.若是求軌跡,則要先求出方程,再說明和討論所求軌跡是什么樣的圖形,即圖形的形狀、位置以及大小都需說明、討論清楚.
新知生成
　　(1)建系:建立適當的坐標系,用有序數對(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標.
(2)寫集合:寫出符合條件p的點M的集合P={M|p(M)}.
(3)列方程:用坐標表示條件p(M),列出方程f(x,y)=0.
(4)化簡:化方程f(x,y)=0為最簡形式.
(5)說明:說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上.
一般地,化簡前后方程的解集是相同的,步驟(5)可以省略不寫,如有特殊情況,可以適當說明.另外,也可以根據情況省略步驟(2),直接列出曲線方程.
新知運用
例3　已知點M(-1,0),N(1,0),且點P滿足·,·,·成公差為負數的等差數列,求點P的軌跡方程.
方法指導　結合數量積的運算將·,·,·用點P的坐標(x,y)表示出來,然后再整理化簡即可,但要注意限制條件“成公差為負數的等差數列”.
【解析】設點P(x,y),由M(-1,0),N(1,0),得=(x+1,y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),=(x-1,y),=(2,0),=(-2,0).
　　所以·=2(1+x),·=x2+y2-1,·=2(1-x).
又因為·,·,·成公差為負數的等差數列,
所以x2+y2-1=[2(1+x)+2(1-x)],且2(1-x)-2(1+x)<0,
所以x2+y2=3(x>0).
故點P的軌跡方程為x2+y2=3(x>0).
【方法總結】直接法求軌跡方程的常見類型及解題方法
(1)題中給出等量關系,求軌跡方程,直接代入即可得出方程.
(2)題中未明確給出等量關系,求軌跡方程,可利用已知條件尋找等量關系,得出方程.
鞏固訓練
　　已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長為8.求動圓圓心的軌跡C的方程.
【解析】
如圖,設動圓圓心O1的坐標為(x,y).由題意,得|O1A|=|O1M|.
當點O1不在y軸上時,過點O1作O1H⊥MN于點H,則H是MN的中點,
∴|O1M|2=|O1A|2=|O1H|2+|MH|2,即(x-4)2+y2=42+x2,
化簡得y2=8x(x≠0).
當點O1在y軸上時,點O1與點O重合,點O1的坐標(0,0)也滿足方程y2=8x,
∴動圓圓心的軌跡C的方程為y2=8x.
【隨堂檢測】
1.方程|y|-1=表示的曲線是(　　).　　　　　 　　　　　　　　　　　　
A.兩個半圓 B.兩個圓
C.拋物線 D.一個圓
【答案】A
【解析】當y≥1時,(x-1)2+(y-1)2=1,
當y≤-1時,(x-1)2+(y+1)2=1,
∴該方程表示的曲線為兩個半圓.故選A.
2.若方程x-2y-2k=0與2x-y-k=0所表示的兩條曲線的交點P在方程x2+y2=9表示的曲線上,則實數k=(　　).
A.±3 B.0
C.±2 D.一切實數
【答案】A
【解析】由得
∴交點P的坐標為(0,-k),
又交點P在方程x2+y2=9表示的曲線上,
∴k2=9,解得k=±3.故選A.
3.給出下列結論:
①方程=1表示斜率為1,在y軸上的截距為-2的直線;
②到x軸的距離為2的點的軌跡方程為y=-2;
③方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示四個點.
正確的結論的序號是　　　　.
【答案】③
【解析】方程=1表示斜率為1,在y軸上的截距為-2的直線且除去點(2,0),故①錯誤;到x軸的距離為2的點的軌跡方程為y=-2或y=2,故②錯誤;方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示點(-2,2),(-2,-2),(2,-2),(2,2),故③正確.
4.已知動點M與距離為2a的兩個定點A,B的連線的斜率之積等于-,求動點M的軌跡方程.
【解析】
如圖,以直線AB為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系,則A(-a,0),B(a,0).
設M(x,y)為軌跡上任意一點,則kMA=,kMB=(x≠±a).
∵kMA·kMB=-,∴·=-,
化簡得 x2+2y2=a2(x≠±a),
∴動點M的軌跡方程為x2+2y2=a2(x≠±a).
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