資源簡介

3.5　圓錐曲線的應用
【學習目標】
1.了解圓錐曲線的發展和應用.(數學抽象)
2.掌握圓錐曲線在天體運行軌道、斜拋物體軌跡、光學性質以及現代建筑中的應用與體現.(數學建模、數學運算)
【合作探究】
探究1：天體運動的軌道
例1　如圖, “天宮三號”的運行軌道是以地心(地球的中心)F為其中一個焦點的橢圓.已知它的近地點A(離地面最近的點)距地面m千米,遠地點B(離地面最遠的點)距離地面n千米,并且F,A,B在同一條直線上,地球的半徑為R千米,則“天宮三號”運行的軌道的短軸長為(　　 )千米.
A.2mn B.
C.mn D.2
【方法總結】開普勒行星運動定律激發了人們更深入的思考.牛頓根據開普勒定律得出萬有引力定律,人們按照萬有引力定律可以推出,太陽系的行星每時每刻都環繞太陽在橢圓軌
道上運行,而某些天體的運行速度若增大到某種程度,則它就將會沿拋物線或雙曲線運行.
鞏固訓練
　　人造地球衛星的運行軌道是以地心為焦點的橢圓.設地球的半徑為R,衛星近地點、遠地點離地面的距離分別為r1,r2,則衛星軌道的離心率等于(　　 ).
A. B.
C. D.
探究2：斜拋物體的軌跡
例2　公園要建造一個圓形噴水池.在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OA,O恰好在水面中心,OA=1.25米,安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水,水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下,且在過OA的任一平面上拋物線路徑如圖所示.為使水流形狀較為漂亮,設計成水流在到OA距離為1米處達到距水平最大高度為2.25米,如果不計其他因素,那么為了使噴出的水流不致落到池外,水池的半徑至少為(　　)米.
A.1　　　　B.2　　　　C.2.5　　　　D.4
【方法總結】運動場上推出的鉛球、投出的籃球,都是斜拋物體,它們的運動軌跡近似于拋物線.噴水池里噴出的水柱中的每一部分水也可以看作斜拋物體,水柱的形狀也接近于拋物線.
鞏固訓練
　　跳水運動員在進行10 m跳臺跳水比賽時,身體(看成一點)在空中的運動路線為經過原點O的一條拋物線(如圖所示,圖中標出的數據為已知條件).在跳某個規定動作時,正常情況下,該運動員在空中的最高處距水面 m,入水處距池邊的距離為4 m,同時,運動員在距水面高度為5 m或5 m以上時,必須完成規定的翻騰動作,并調整好入水姿勢,否則就會出現失誤.
(1)求這條拋物線的解析式.
(2)在某次試跳中,測得運動員在空中的運動路線是(1)中的拋物線,且運動員在空中調整好入水姿勢時,距池邊的水平距離為 m,問此次跳水會不會失誤 并通過計算說明理由.
(3)要使此次跳水不至于失誤,且該運動員按(1)中拋物線運行,則運動員在空中調整好入水姿勢時,距池邊的水平距離至多應為多少
探究3：光學性質及其應用
例3　圓錐曲線有著令人驚奇的光學性質,這些性質均與它們的焦點有關.如:從橢圓的一個焦點處出發的光線照射到橢圓上,經過反射后通過橢圓的另一個焦點;從拋物線的焦點處出發的光線照射到拋物線上,經反射后的光線平行于拋物線的對稱軸.某市進行科技展覽,其中有一個展品就利用了圓錐曲線的光學性質,此展品的一個截面由一條拋物線C1和一個“開了孔”的橢圓C2構成(小孔在橢圓的左上方).如圖,橢圓與拋物線均關于x軸對稱,且拋物線和橢圓的左端點都在坐標原點,F1,F2,為橢圓C2的焦點,同時F1也為拋物線C1的焦點,其中橢圓C2的短軸長為2,在焦點F2處放置一個光源,其中一條光線經過橢圓C2兩次反射后再次回到焦點F2,經過的路程為8.經過焦點F2照射的某些光線經橢圓C2反射后穿過小孔,再由拋物線C1反射之后不會被橢圓擋住.
(1)求拋物線C1的方程;
(2)若過焦點F2發出的一條光線經由橢圓C2上的點P反射后穿過小孔,再經拋物線C1上的點Q反射后剛好與橢圓C2相切,求此時的線段QF1的長;
(3)在(2)的條件下,求線段PQ的長.
【方法總結】(1)橢圓繞它的長軸旋轉一周形成一個旋轉橢球面.以旋轉橢球面做反射鏡時,從它的一個焦點F1發射的光線,經過橢球面的反射后,都聚集在另一個焦點F2處.(2)雙曲線繞實軸旋轉一周形成一個旋轉雙曲面.從旋轉雙曲面的一個焦點F2發射的光線,經過旋轉雙曲面的反射,會使得光線散開,而且光線就好像是從另一個焦點F1發射出來的一樣.(3)拋物線繞著它的對稱軸旋轉一周形成一個旋轉拋物面,將光源放在焦點F 處,光源發出的光線,經過旋轉拋物面反射后,成為一束平行于對稱軸的光線.在根據光的可逆性,當旋轉拋物面的軸與光線平行時,光線經反射后集中于焦點處.
鞏固訓練
　　圓錐曲線有良好的光學性質,光線從橢圓的一個焦點發出,被橢圓反射后會經過橢圓的另一個焦點(如圖1);光線從雙曲線的一個焦點發出,被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出(如圖2).封閉曲線E(如圖3)是由橢圓C1:+=1和雙曲線C2:-=1在y軸右側的一部分(實線)圍成.光線從橢圓C1上一點P0出發,經過點F2,然后在曲線E內多次反射,反射點依次為P1,P2,P3,P4,…,若P0,P4重合,則光線從P0到P4所經過的路程為　　　　.
探究4：圓錐曲線在現代建筑中的體現
例4　第24屆冬季奧林匹克運動會,已于2022年2月4日在北京市和張家口市聯合舉行.北京成為奧運史上第一個舉辦過夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會的城市.根據安排,國家體育場(鳥巢)成為北京冬奧會開、閉幕式的場館.國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖1所示,內外兩圈的鋼骨架是兩個“相似橢圓”(離心率相同的兩個橢圓我們稱為“相似橢圓”).如圖2,由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點B分別向內層橢圓引切線AC,BD,若兩切線斜率之積等于-,則橢圓的離心率為(　　 ).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C. D.
【方法總結】圓錐曲線廣泛存在于現實世界,它線型簡潔美觀而富有張力,同時還具有某些很好的力學性質,故而被建筑設計師們推崇并選用.如鳥巢、國家大劇院的設計等.
鞏固訓練
　　倫敦奧運會自行車賽車館有一個明顯的雙曲線屋頂,該賽車館是數學與建筑完美結合所造就的藝術品,如圖所示,若將雙曲線屋頂的一段近似看成離心率為的雙曲線C:-x2=1(a>0)上支的一部分,F是雙曲線C的下焦點,P為雙曲線C上支上的動點,則|PF|與點P到雙曲線C的一條漸近線的距離之和的最小值為(　　).
A.2 B.3 C.4 D.5
【隨堂檢測】
1.“九天攬月”是中華民族的偉大夢想,我國探月工程的進展與實力舉世矚目.“嫦娥四號”探測器實現歷史上的首次月背著陸,月球上“嫦娥四號”的著陸點,被命名為“天河基地”.如圖所示,這是“嫦娥四號”運行軌道示意圖.圓形軌道距月球表面100 km,橢圓形軌道的一個焦點是月球球心,一個長軸頂點位于兩軌道相切的變軌處,另一個長軸頂點距月球表面15 km,則橢圓形軌道的焦距為(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.85 km B.42.5 km C.50 km D.100 km
2.許多建筑融入數學元素后變得更具神韻,數學賦予了建筑活力,數學的美也被建筑表現得淋漓盡致.已知單葉雙曲面(由雙曲線繞虛軸旋轉形成立體圖形)型建筑如圖1所示,其中截面最細附近處的部分圖象如圖2所示,上、下底面與地面平行.現測得下底直徑|AB|=20米,上底直徑CD=20 米,AB與CD間的距離為80米,與上、下底面等距離的G處的直徑長度等于|CD|,則最細部分處的直徑為(　　).
A.10米 B.20米 C.10 米　 D.10 米
3.圓錐曲線有豐富的光學性質,從橢圓焦點發出的光線,經過橢圓反射后,反射光線經過另一個焦點;從拋物線焦點發出的光線,經過拋物線上一點反射后,反射光線平行于拋物線的對稱軸.已知橢圓C:+=1(a>b>0)過點(3,1),由點P(2,1)發出的平行于x軸的光線經過拋物線C1:y2=16x反射到橢圓C上后,反射光線經點(-4,0),則橢圓C的標準方程為　　　　　　　　.
23.5　圓錐曲線的應用
【學習目標】
1.了解圓錐曲線的發展和應用.(數學抽象)
2.掌握圓錐曲線在天體運行軌道、斜拋物體軌跡、光學性質以及現代建筑中的應用與體現.(數學建模、數學運算)
【合作探究】
探究1：天體運動的軌道
例1　如圖, “天宮三號”的運行軌道是以地心(地球的中心)F為其中一個焦點的橢圓.已知它的近地點A(離地面最近的點)距地面m千米,遠地點B(離地面最遠的點)距離地面n千米,并且F,A,B在同一條直線上,地球的半徑為R千米,則“天宮三號”運行的軌道的短軸長為(　　 )千米.
A.2mn B.
C.mn D.2
【答案】D
【解析】由題設條件可得|FB|=n+R,|FA|=R+m,
設橢圓的長半軸長為a,半焦距為c,則a+c=n+R,a-c=R+m,
故短半軸長為b==,
所以短軸長為2.
【方法總結】開普勒行星運動定律激發了人們更深入的思考.牛頓根據開普勒定律得出萬有引力定律,人們按照萬有引力定律可以推出,太陽系的行星每時每刻都環繞太陽在橢圓軌
道上運行,而某些天體的運行速度若增大到某種程度,則它就將會沿拋物線或雙曲線運行.
鞏固訓練
　　人造地球衛星的運行軌道是以地心為焦點的橢圓.設地球的半徑為R,衛星近地點、遠地點離地面的距離分別為r1,r2,則衛星軌道的離心率等于(　　 ).
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因為橢圓的離心率e=∈(0,1),
由題意結合圖形可知,a=,c=|OF1|=-r1-R=,
所以e===.
探究2：斜拋物體的軌跡
例2　公園要建造一個圓形噴水池.在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OA,O恰好在水面中心,OA=1.25米,安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水,水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下,且在過OA的任一平面上拋物線路徑如圖所示.為使水流形狀較為漂亮,設計成水流在到OA距離為1米處達到距水平最大高度為2.25米,如果不計其他因素,那么為了使噴出的水流不致落到池外,水池的半徑至少為(　　)米.
A.1　　　　B.2　　　　C.2.5　　　　D.4
【答案】C
【解析】如
圖,以拋物線的頂點M為坐標原點,建立平面直角坐標系,水柱與水面的交點為B.
設拋物線方程為x2=-2py(p>0),則點A在拋物線上,由A(-1,-1),得(-1)2=-2p·(-1),解得p=,則拋物線方程為x2=-y.
設B(x0,-2.25),則=2.25,又x0>0,解得x0=1.5,
則水池半徑為1+1.5=2.5米,
所以水池的半徑至少為2.5米.
【方法總結】運動場上推出的鉛球、投出的籃球,都是斜拋物體,它們的運動軌跡近似于拋物線.噴水池里噴出的水柱中的每一部分水也可以看作斜拋物體,水柱的形狀也接近于拋物線.
鞏固訓練
　　跳水運動員在進行10 m跳臺跳水比賽時,身體(看成一點)在空中的運動路線為經過原點O的一條拋物線(如圖所示,圖中標出的數據為已知條件).在跳某個規定動作時,正常情況下,該運動員在空中的最高處距水面 m,入水處距池邊的距離為4 m,同時,運動員在距水面高度為5 m或5 m以上時,必須完成規定的翻騰動作,并調整好入水姿勢,否則就會出現失誤.
(1)求這條拋物線的解析式.
(2)在某次試跳中,測得運動員在空中的運動路線是(1)中的拋物線,且運動員在空中調整好入水姿勢時,距池邊的水平距離為 m,問此次跳水會不會失誤 并通過計算說明理由.
(3)要使此次跳水不至于失誤,且該運動員按(1)中拋物線運行,則運動員在空中調整好入水姿勢時,距池邊的水平距離至多應為多少
【解析】(1)在給定的平面直角坐標系下,設最高點為A,入水點為B,拋物線的解析式為y=ax2+bx+c.
由題意知,O,B兩點的坐標分別為(0,0),(2,-10),且頂點A的縱坐標為,
則有
　　解得或
∵拋物線的對稱軸在y軸右側,∴->0.
又拋物線的圖象開口向下,
∴a<0,∴b>0,
∴a=-,b=,c=0.
∴拋物線的解析式為y=-x2+x.
(2)當運動員在空中距池邊的水平距離為 m,即x=-2=時,
y=-×2+×=-,
此時運動員距水面的高為10-= m<5 m.
因此,此次跳水會出現失誤.
(3)當運動員在x軸上方,即y>0的區域內完成動作并做好入水姿勢時,當然不會失誤,但很難做到.
當y≤0,即x≥時,要使跳水不出現失誤,則應有|y|≤10-5,得-y≤5,得x2-x≤5,解得≤x≤.
此時,運動員距池邊的距離至多為2+= m.
探究3：光學性質及其應用
例3　圓錐曲線有著令人驚奇的光學性質,這些性質均與它們的焦點有關.如:從橢圓的一個焦點處出發的光線照射到橢圓上,經過反射后通過橢圓的另一個焦點;從拋物線的焦點處出發的光線照射到拋物線上,經反射后的光線平行于拋物線的對稱軸.某市進行科技展覽,其中有一個展品就利用了圓錐曲線的光學性質,此展品的一個截面由一條拋物線C1和一個“開了孔”的橢圓C2構成(小孔在橢圓的左上方).如圖,橢圓與拋物線均關于x軸對稱,且拋物線和橢圓的左端點都在坐標原點,F1,F2,為橢圓C2的焦點,同時F1也為拋物線C1的焦點,其中橢圓C2的短軸長為2,在焦點F2處放置一個光源,其中一條光線經過橢圓C2兩次反射后再次回到焦點F2,經過的路程為8.經過焦點F2照射的某些光線經橢圓C2反射后穿過小孔,再由拋物線C1反射之后不會被橢圓擋住.
(1)求拋物線C1的方程;
(2)若過焦點F2發出的一條光線經由橢圓C2上的點P反射后穿過小孔,再經拋物線C1上的點Q反射后剛好與橢圓C2相切,求此時的線段QF1的長;
(3)在(2)的條件下,求線段PQ的長.
【解析】(1)設橢圓C2的長軸長為2a,短軸長為2b,焦距為2c,
由題意可知,2b=2,4a=8,解得b=,a=2,則c==1,
故拋物線C1的焦點F1的坐標為(1, 0),即拋物線C1的方程為y2=4x.
(2)因為光線經過拋物線C1的焦點,所以光線經過拋物線C1反射后平行于x軸,所以點Q的縱坐標為,故設Q(x0,),代入拋物線C1的方程,解得x0=,即Q,,
又F1(1, 0),故|QF1|==.
(3)由(2)知==-4,即tan∠QF1F2=-4,
又∠QF1F2+∠PF1F2=π,所以tan∠PF1F2=4,
又∠PF1F2∈(0,π),所以cos∠PF1F2=.
設|PF1|=x,|PF2|=4-x,又|F1F2|=2,在△PF1F2中,由余弦定理知,
|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|·cos∠PF1F2,
即(4-x)2=x2+4-2x·2×,解得x=.
故線段PQ的長為+=.
【方法總結】(1)橢圓繞它的長軸旋轉一周形成一個旋轉橢球面.以旋轉橢球面做反射鏡時,從它的一個焦點F1發射的光線,經過橢球面的反射后,都聚集在另一個焦點F2處.(2)雙曲線繞實軸旋轉一周形成一個旋轉雙曲面.從旋轉雙曲面的一個焦點F2發射的光線,經過旋轉雙曲面的反射,會使得光線散開,而且光線就好像是從另一個焦點F1發射出來的一樣.(3)拋物線繞著它的對稱軸旋轉一周形成一個旋轉拋物面,將光源放在焦點F 處,光源發出的光線,經過旋轉拋物面反射后,成為一束平行于對稱軸的光線.在根據光的可逆性,當旋轉拋物面的軸與光線平行時,光線經反射后集中于焦點處.
鞏固訓練
　　圓錐曲線有良好的光學性質,光線從橢圓的一個焦點發出,被橢圓反射后會經過橢圓的另一個焦點(如圖1);光線從雙曲線的一個焦點發出,被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出(如圖2).封閉曲線E(如圖3)是由橢圓C1:+=1和雙曲線C2:-=1在y軸右側的一部分(實線)圍成.光線從橢圓C1上一點P0出發,經過點F2,然后在曲線E內多次反射,反射點依次為P1,P2,P3,P4,…,若P0,P4重合,則光線從P0到P4所經過的路程為　　　　.
【答案】4
【解析】設橢圓C1的長半軸長為a1,短半軸長為b1,半焦距為c1,雙曲線C2的實半軸長為a2,虛半軸為b2,半焦距為c2,則a1=4,b1=2,c1=2,雙曲線a2=3,b2=,c2=2,
所以橢圓C1和雙曲線C2的焦點重合.
根據雙曲線的定義有|P1F1|-|P1F2|=6,|P3F1|-|P3F2|=6,
所以|P1F1|-6=|P1F2|,　①
|P3F1|-6=|P3F2|,　②
根據橢圓的定義有|P1F1|+|P1P2|+|P2F2|=8,|P3F1|+|P3P0|+|P0F2|=8,
所以光線從P0到P4所經過的路程為|P0F2|+|P1F2|+|P1P2|+|P2F2|+|P3F2|+|P3P0|=|P0F2|+|P1F1|-6+|P1P2|+|P2F2|+|P3F1|-6+|P3P0|=(|P1F1|+|P1P2|+|P2F2|)+(|P3F1|+|P3P0|+|P0F2|)-12=8+8-12=4.
探究4：圓錐曲線在現代建筑中的體現
例4　第24屆冬季奧林匹克運動會,已于2022年2月4日在北京市和張家口市聯合舉行.北京成為奧運史上第一個舉辦過夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會的城市.根據安排,國家體育場(鳥巢)成為北京冬奧會開、閉幕式的場館.國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖1所示,內外兩圈的鋼骨架是兩個“相似橢圓”(離心率相同的兩個橢圓我們稱為“相似橢圓”).如圖2,由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點B分別向內層橢圓引切線AC,BD,若兩切線斜率之積等于-,則橢圓的離心率為(　　 ).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設內層橢圓的方程為+=1(a>b>0),
因為內外層的橢圓的離心率相同,所以可設外層橢圓的方程為+=1(m>1),切線AC的方程為y=k1(x+ma).
聯立方程組整理得(b2+a2)x2+2ma3x+m2a4-a2b2=0,
由Δ=(2ma3)2-4(b2+a2)(m2a4-a2b2)=0,整理得=·.
設切線BD的方程為y=k2x+mb,則同理可得=·(m2-1).
因為兩切線斜率之積等于-,可得·=···(m2-1)==-2,
即=,所以離心率e===.故選C.
【方法總結】圓錐曲線廣泛存在于現實世界,它線型簡潔美觀而富有張力,同時還具有某些很好的力學性質,故而被建筑設計師們推崇并選用.如鳥巢、國家大劇院的設計等.
鞏固訓練
　　倫敦奧運會自行車賽車館有一個明顯的雙曲線屋頂,該賽車館是數學與建筑完美結合所造就的藝術品,如圖所示,若將雙曲線屋頂的一段近似看成離心率為的雙曲線C:-x2=1(a>0)上支的一部分,F是雙曲線C的下焦點,P為雙曲線C上支上的動點,則|PF|與點P到雙曲線C的一條漸近線的距離之和的最小值為(　　).
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】D
【解析】依題意,雙曲線C:-x2=1(a>0)的離心率為,可得1+=,解得a=2,
則雙曲線C的方程為-x2=1,
故下焦點為F(0,-),上焦點為F'(0,),漸近線方程為x=±y.
根據圖形的對稱性,如圖所示,不妨取漸近線方程為l:x=y,即y=2x,
∵P為雙曲線C上支上的動點,
∴|PF|=2a+|PF'|=4+|PF'|.
過點P作PQ⊥l,垂足為Q,過點F'作F'M⊥l,垂足為M,
則|PF|+|PQ|=4+|PF'|+|PQ|≥4+|F'M|=4+=4+1=5,
∴|PF|與點P到雙曲線C的一條漸近線的距離之和的最小值為5.
故選D.
【隨堂檢測】
1.“九天攬月”是中華民族的偉大夢想,我國探月工程的進展與實力舉世矚目.“嫦娥四號”探測器實現歷史上的首次月背著陸,月球上“嫦娥四號”的著陸點,被命名為“天河基地”.如圖所示,這是“嫦娥四號”運行軌道示意圖.圓形軌道距月球表面100 km,橢圓形軌道的一個焦點是月球球心,一個長軸頂點位于兩軌道相切的變軌處,另一個長軸頂點距月球表面15 km,則橢圓形軌道的焦距為(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.85 km B.42.5 km C.50 km D.100 km
【答案】A
【解析】設長半軸長為a,半焦距為c,月球半徑為r,則兩式相減得2c=85,即橢圓形軌道的焦距為85 km.故選A.
2.許多建筑融入數學元素后變得更具神韻,數學賦予了建筑活力,數學的美也被建筑表現得淋漓盡致.已知單葉雙曲面(由雙曲線繞虛軸旋轉形成立體圖形)型建筑如圖1所示,其中截面最細附近處的部分圖象如圖2所示,上、下底面與地面平行.現測得下底直徑|AB|=20米,上底直徑CD=20 米,AB與CD間的距離為80米,與上、下底面等距離的G處的直徑長度等于|CD|,則最細部分處的直徑為(　　).
A.10米 B.20米 C.10 米　 D.10 米
【答案】B
【解析】取
DC的中點H,以GH的中點O為原點,建立平面直角坐標系,如圖.
由題意可知C(10,20),B(10,-60).
設雙曲線方程為-=1(a>0,b>0),
將C,B兩點的坐標代入得
解得
則|EF|=2a=20.
故選B.
3.圓錐曲線有豐富的光學性質,從橢圓焦點發出的光線,經過橢圓反射后,反射光線經過另一個焦點;從拋物線焦點發出的光線,經過拋物線上一點反射后,反射光線平行于拋物線的對稱軸.已知橢圓C:+=1(a>b>0)過點(3,1),由點P(2,1)發出的平行于x軸的光線經過拋物線C1:y2=16x反射到橢圓C上后,反射光線經點(-4,0),則橢圓C的標準方程為　　　　　　　　.
【答案】+=1
【解析】依題意,拋物線C1:y2=16x的焦點為(4, 0),又光的反射具有可逆性,
則由點P(2,1)發出的平行于x軸的光線經過拋物線C1反射后必過點(4,0),再經過橢圓C反射經過點(-4,0),因此,(4,0),(-4,0)為橢圓C的兩個焦點,半焦距c=4,又點(3,1)在橢圓C上,于是得解得所以橢圓C的標準方程為+=1.
2

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