資源簡介

4.1　兩個計數原理
【學習目標】
1.通過實例,能歸納總結出分類加法計數原理、分步乘法計數原理.(數學抽象)
2.正確理解“完成一件事情”的含義,能根據具體問題的特征,選擇“分類”或“分步”.(數學抽象)
3.能利用兩個計數原理解決一些簡單的實際問題.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.計數問題是我們從小就經常遇到的,通過列舉一個一個的數是計數的基本方法,但當問題中的數量很大時,列舉的方法效率不高,此時能否設計巧妙的“計數法”來提高效率呢 是什么計數法
【答案】能,是分類計數法和分步計數法.
2.使用分類加法計數原理的關鍵是什么 有什么要求
【答案】使用分類加法計數原理的關鍵是分類必須明確標準,每一種方法必須屬于某一類方法,不同類的任意兩種方法是不同的方法.要求是分類要做到“不重復”“不遺漏”.
3.使用分步乘法計數原理的關鍵是什么 有什么要求
【答案】使用分步乘法計數原理的關鍵是明確題目中所指的“做一件事”是什么事,單獨用題中所給的某種方法是不是能完成這件事,是不是要經過幾個步驟才能完成這件事.要求是各步之間必須連續,只有按照這幾步逐步去做,才能完成這件事,各步之間不能重復也不能遺漏.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在分類加法原理中,兩類辦法中的某兩種方法可以相同. (　　)
(2)在分類加法原理中,任何一類辦法中的任何一種方法都能完成這件事. (　　)
(3)在分步乘法原理中,每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的. (　　)
(4)在分步乘法原理中,如果事情是分兩步完成的,那么其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事,只有兩個步驟都完成后,這件事情才算完成. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.已知從甲地到乙地,一天中有5次火車,12次客車,3次飛機航班,還有6次輪船.某人某天要從甲地到乙地,則共有不同走法的種數是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.26 B.60 C.18 D.1080
【答案】A
【解析】由分類加法計數原理知,有5+12+3+6=26(種)不同走法.
3.現有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲,如果一條長褲與一件上衣配成一套,那么不同的配法種數為　　　　.
【答案】12
【解析】要完成配套,分兩步:第一步,選上衣,從4件上衣中任選1件,有4種不同選法;第二步,選長褲,從3條長褲中任選1條,有3種不同選法.由分步乘法計數原理知,共有4×3=12(種)不同的配法.
4.多項式(a1+a2+a3)(b1+b2)+(a4+a5)(b3+b4)的展開式共有　　　　項.
【答案】10
【解析】多項式的展開式共有3×2+2×2=10(項).
【合作探究】
探究1：分類加法計數原理
情境設置
　　問題1:用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字給教室里的一個座位編號,總共能編出多少種不同的號碼
【答案】因為英文字母共有26個,阿拉伯數字共有10個,所以總共可以編出26+10=36(種)不同的號碼.
問題2:在1,2,3,4四個數字中任取數(不重復取)作和,則取出這些數的不同的和有多少種
【答案】第一類,取兩個數,則1+2=3,1+3=4,1+4=5,2+3=5(舍去),2+4=6,3+4=7,共5種.
第二類,取三個數,則1+2+3=6(舍去),1+2+4=7(舍去),1+3+4=8,2+3+4=9,共2種.
第三類,取四個數,則1+2+3+4=10,共1種.
故取出這些數得到不同的和有5+2+1=8(種).
問題3:你能說說解決以上問題的步驟嗎
【答案】解決以上問題的步驟如下:
(1)求完成一件事的所有方法數,這些方法可以分成n類,且類與類之間兩兩不相交;
(2)求每一類中的方法數;
(3)把各類的方法數相加,就可以得到完成這件事的所有方法數.
新知生成
1.分類加法計數原理
如果完成一件事有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法,…,在第n類辦法中有mn種不同的方法,且每種方法都能獨立完成這件事,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法,我們把這叫作分類加法計數原理,簡稱為分類計數原理,或加法原理.
注意:完成這件事的若干種方法可以分成n類,且類與類之間兩兩不相交.
2.使用分類加法計數原理計數的兩個條件
(1)根據問題的特點確定一個適合它的分類標準,在這個標準下進行分類.
(2)完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類,分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法,滿足這些條件,才可以用分類加法計數原理.
新知運用
例1　(1)某同學計劃用不超過30元的現金購買筆與筆記本.已知筆的單價為4元,筆記本的單價為5元,且筆至少要買2支,筆記本至少要買2本,問不同的購買方案有多少種
(2)在所有的兩位數中,個位數字小于十位數字的兩位數共有多少個
【解析】(1)設購買筆x支,筆記本y本,
則得
將y的取值分為三類:
①當y=2時,2≤x≤5,因為x為整數,
所以x可取2,3,4,5,共有4種方案.
②當y=3時,2≤x≤,因為x為整數,
所以x可取2,3,共有2種方案.
③當y=4時,2≤x≤,因為x為整數,
所以x只能取2,只有1種方案.
由分類加法計數原理得不同的購買方案有4+2+1=7(種).
(2)設個位數字為m,十位數字為n,且m當m=0時,n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,有9個;
當m=1時,n=2,3,4,5,6,7,8,9,有8個;
當m=2時,n=3,4,5,6,7,8,9,有7個;
…
當m=8時,n=9,有1個.
由分類加法計數原理知,符合題意的兩位數共有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(個).即個位數字小于十位數字的兩位數共有45個.
【變式探究】將本例(2)中的“小于”改為“大于”,其他條件不變,兩位數共有多少個 若把“小于”改為“不大于”,怎樣求解
【解析】當把“小于”改為“大于”時,設個位數字為m,十位數字為n,且m>n.當m=2時,n=1,有1個;當m=3時,n=2,1,有2個;當m=4時,n=3,2,1,有3個;…;當m=9時,n=8,7,6,5,4,3,2,1,有8個.所以這樣的兩位數共有1+2+3+…+8=36(個).
把“小于”改為“不大于”時,因為所有兩位數共有90個,而個位數字大于十位數字的兩位數有36個,所以個位數字不大于十位數字的兩位數有90-36=54(個).
【方法總結】利用分類加法計數原理計數時的解題流程
警示:確定分類標準時要確保每一類都能獨立完成這件事.
鞏固訓練
　　設橢圓+=1(a>0,b>0)的焦點在y軸上,其中a∈
{1,2,3,4,5},b∈,求滿足上述條件的橢圓的個數.
【解析】因為橢圓的焦點在y軸上,所以b>a,
則當a=1時,b可取2,3,4,5,6,7,有6種取法;
當a=2時,b可取3,4,5,6,7,有5種取法;
當a=3時,b可取4,5,6,7,有4種取法;
當a=4時,b可取5,6,7,有3種取法;
當a=5時,b可取6,7,有2種取法.
由分類加法計數原理知,共有6+5+4+3+2=20(個)滿足條件的橢圓.
探究2：分步乘法計數原理
情境設置
　　如圖,小明從街道的E處出發,先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動.
問題1:小明從E處到F處的最短路徑有多少條
【答案】由題意可知,E→F共有6種走法.
問題2:小明到老年公寓可以選擇的最短路徑有多少條
【答案】由題意可知,E→F共有6種走法,F→G共有3種走法,由分步乘法計數原理知,共有6×3=18(種)走法.
新知生成
分步乘法計數原理
如果完成一件事需要分成n個步驟,第一步有m1種不同的方法,第二步有m2種不同的方法,…,第n步有mn種不同的方法,每個步驟都完成才算做完這件事,那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.我們把這叫作分步乘法計數原理,簡稱為分步計數原理,或乘法原理.
新知運用
例2　已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的點(a,b∈M),問:
(1)P(a,b)可表示平面上多少個不同的點
(2)P(a,b)可表示平面上多少個第二象限的點
(3)P(a,b)可表示多少個不在直線y=x上的點
方法指導　確定點P,需要依次確定點P的橫坐標和縱坐標,故用分步乘法計數原理求解.
　　【解析】(1)確定平面上的點P(a,b)可分兩步完成:第一步確定a的值,共有6種方法;第二步確定b的值,也有6種方法.根據分步乘法計數原理,得到P(a,b)可表示平面上6×6=36(個)不同的點.
(2)確定第二象限的點,可分兩步完成:第一步確定a,因為a<0,所以有3種方法;第二步確定b,因為b>0,所以有2種方法.由分步乘法計數原理,得到P(a,b)可表示平面上3×2=6(個)第二象限的點.
(3)分兩步:第一步確定a,有6種方法;第二步確定b,有5種方法.根據分步乘法計數原理,得到不在直線y=x上的點共有6×5=30(個).
【方法總結】利用分步乘法計數原理解題的一般思路
(1)將完成這件事的過程分成若干步;
(2)求出每一步中的方法數;
(3)將每一步中的方法數相乘得最終結果.
鞏固訓練
　　已知某種新產品的編號由1個英文字母和1個數字組合而成,且英文字母在前.其中英文字母可以是A,B,C,D,E,F這6個字母中的1個,數字可以是1,2,…,9這9個數字中的1個,那么共有多少種不同的編號
【解析】根據題意,分兩步完成:
第一步,從6個英文字母中選1個,有6種方法;
第二步,從9個數字中選1個,有9種方法.
根據分步乘法計數原理,不同取法的種數為6×9=54.
所以共有54種不同的編號.
探究3：兩個計數原理的綜合應用
情境設置
　　問題:如何區分“完成一件事”需要分類還是分步
【答案】區分“完成一件事”是需要分類還是分步,關鍵是看一步能否完成這件事,若能完成,則是分類,否則,是分步.
新知生成
　　兩個計數原理的區別與聯系
分類加法計數原理 分步乘法計數原理
相同點 回答的都是有關做一件事的不同方法種數的問題
不同點 針對的是“分類”問題,各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以做完這件事 針對的是“分步”問題,各個步驟中的方法互相依存,只有每一個步驟都完成才算做完這件事
新知運用
例3　通常,我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成,第一部分為用漢字表示的省、自治區、直轄市簡稱和用英文字母表示的發牌機關代號,第二部分為由阿拉伯數字和英文字母組成的序號.其中,序號的編碼規則為:(1)由10個阿拉伯數字和除O,I之外的24個英文字母組成;(2)最多只能有2個英文字母.如果某地級市發牌機關采用5位序號編碼,那么這個發牌機關最多能發放多少張汽車號牌
【解析】由號牌編號的組成可知,這個發牌機關所能發放的最多號牌數就是序號的個數.根據序號編碼規則,5位序號可以分為三類:沒有字母,有1個字母,有2個字母.
(1)當沒有字母時,序號的每一位都是數字,確定一個序號可以分5個步驟,每一步都可以從10個數字中選1個,各有10種選法.根據分步乘法計數原理,這類號牌的張數為10×10×10×10×10=100000.
(2)當有1個字母時,這個字母可以分別在序號的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位,這類序號可以分為五個子類.
當第1位是字母時,分5個步驟確定一個序號中的字母和數字:第1步,從24個字母中選1個放在第1位,有24種選法;第2~5步都是從10個數字中選1個放在相應的位置,各有10種選法.根據分步乘法計數原理,號牌的張數為24×10×10×10×10=240000.
　　同理,其余四個子類號牌也各有240000張.
根據分類加法計數原理,這類號牌的張數共有240000×5=1200000.
(3)當有2個字母時,根據這2個字母在序號中的位置,可以將這類序號分為十個子類:第1位和第2位,第1位和第3位,第1位和第4位,第1位和第5位,第2位和第3位,第2位和第4位,第2位和第5位,第3位和第4位,第3位和第5位,第4位和第5位.
當第1位和第2位是字母時,分5個步驟確定一個序號中的字母和數字:第1~2步都是從24個字母中選1個分別放在第1位、第2位,各有24種選法;第3~5步都是從10個數字中選1個放在相應的位置,各有10種選法.根據分步乘法計數原理,號牌的張數為24×24×10×10×10=576000,同理,其余九個子類號牌也各有576000張.
根據分類加法計數原理,號牌的張數為576000×10=5760000.
綜合(1)(2)(3),根據分類加法計數原理,這個發牌機關最多能發放的汽車號牌的張數為100000+1200000+5760000=7060000.
【方法總結】利用兩個計數原理解題時的三個注意點:(1)當題目無從下手時,可考慮要完成的這件事是什么,即怎樣做才算完成這件事,然后給出完成這件事的一種或幾種方法,從這幾種方法中歸納出解題方法.(2)分類時標準要明確,應做到不重、不漏,有時要恰當畫出示意圖或樹形圖,使問題的分析更直觀、清楚,便于探索規律.(3)混合問題一般是先分類再分步.
鞏固訓練
　　現有高二四個班的學生34人,其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10人,他們自愿組成數學課外小組.若推選兩人做中心發言,這兩人需來自不同的班級,有多少種不同的選法
【解析】分六類,每類又分兩步:從一、二班學生中各選1人,有7×8種不同的選法;從一、三班學生中各選1人,有7×9種不同的選法;從一、四班學生中各選1人,有7×10種不同的選法;從二、三班學生中各選1人,有8×9種不同的選法;從二、四班學生中各選1人,有8×10種不同的選法;從三、四班學生中各選1人,有9×10種不同的選法.
所以共有不同的選法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(種).
【隨堂檢測】
1.已知兩條異面直線a,b上分別有5個點和8個點,則這13個點可以確定不同的平面個數為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.40 B.16 C.13 D.10
【答案】C
【解析】分兩類情況討論:第1類,直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面;第2類,直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面.根據分類加法計數原理,共可以確定8+5=13(個)不同的平面.
2.有3名大學生志愿者,每人從2個不同的社區中選擇1個進行服務,則不同的選擇方法共有(　　).
A.12種 B.9種 C.8種 D.6種
【答案】C
【解析】每名大學生志愿者都有2種不同的選擇方法,根據分步乘法計數原理可知,不同的選擇方法共有23=8(種).
3.如圖所示,在A,B間有四個焊接點,若焊接點脫落,則可能導致電路不通.今發現A,B之間線路不通,則焊接點脫落的不同情況有　　　　　種.
　　【答案】13
【解析】按照焊接點脫落的個數進行分類:
第一類,脫落1個,有1,4,共2種;
第二類,脫落2個,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),共6種;
第三類,脫落3個,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4種;
第四類,脫落4個,有(1,2,3,4),共1種.
根據分類加法計數原理,共有2+6+4+1=13(種)焊接點脫落的不同情況.
4.如圖,提供4種不同的顏色給圖中A,B,C,D 四塊區域涂色,若相鄰的區域不能涂同一種顏色,則不同的涂法共有　　　　　 種.
【答案】48
【解析】先對B 區域涂色,共有4種不同的涂法,再對D 區域涂色,共有3種不同的涂法,再對A 區域涂色,共有2種不同的涂法,最后對C 區域涂色,共有2種不同的涂法.根據分步乘法計數原理,不同的涂法共有4×3×2×2=48(種).
24.1　兩個計數原理
【學習目標】
1.通過實例,能歸納總結出分類加法計數原理、分步乘法計數原理.(數學抽象)
2.正確理解“完成一件事情”的含義,能根據具體問題的特征,選擇“分類”或“分步”.(數學抽象)
3.能利用兩個計數原理解決一些簡單的實際問題.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.計數問題是我們從小就經常遇到的,通過列舉一個一個的數是計數的基本方法,但當問題中的數量很大時,列舉的方法效率不高,此時能否設計巧妙的“計數法”來提高效率呢 是什么計數法
2.使用分類加法計數原理的關鍵是什么 有什么要求
3.使用分步乘法計數原理的關鍵是什么 有什么要求
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在分類加法原理中,兩類辦法中的某兩種方法可以相同. (　　)
(2)在分類加法原理中,任何一類辦法中的任何一種方法都能完成這件事. (　　)
(3)在分步乘法原理中,每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的. (　　)
(4)在分步乘法原理中,如果事情是分兩步完成的,那么其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事,只有兩個步驟都完成后,這件事情才算完成. (　　)
2.已知從甲地到乙地,一天中有5次火車,12次客車,3次飛機航班,還有6次輪船.某人某天要從甲地到乙地,則共有不同走法的種數是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.26 B.60 C.18 D.1080
3.現有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲,如果一條長褲與一件上衣配成一套,那么不同的配法種數為　　　　.
4.多項式(a1+a2+a3)(b1+b2)+(a4+a5)(b3+b4)的展開式共有　　　　項.
【合作探究】
探究1：分類加法計數原理
情境設置
　　問題1:用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字給教室里的一個座位編號,總共能編出多少種不同的號碼
問題2:在1,2,3,4四個數字中任取數(不重復取)作和,則取出這些數的不同的和有多少種
問題3:你能說說解決以上問題的步驟嗎
新知生成
1.分類加法計數原理
如果完成一件事有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法,…,在第n類辦法中有mn種不同的方法,且每種方法都能獨立完成這件事,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法,我們把這叫作分類加法計數原理,簡稱為分類計數原理,或加法原理.
注意:完成這件事的若干種方法可以分成n類,且類與類之間兩兩不相交.
2.使用分類加法計數原理計數的兩個條件
(1)根據問題的特點確定一個適合它的分類標準,在這個標準下進行分類.
(2)完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類,分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法,滿足這些條件,才可以用分類加法計數原理.
新知運用
例1　(1)某同學計劃用不超過30元的現金購買筆與筆記本.已知筆的單價為4元,筆記本的單價為5元,且筆至少要買2支,筆記本至少要買2本,問不同的購買方案有多少種
(2)在所有的兩位數中,個位數字小于十位數字的兩位數共有多少個
【變式探究】將本例(2)中的“小于”改為“大于”,其他條件不變,兩位數共有多少個 若把“小于”改為“不大于”,怎樣求解
【方法總結】利用分類加法計數原理計數時的解題流程
警示:確定分類標準時要確保每一類都能獨立完成這件事.
鞏固訓練
　　設橢圓+=1(a>0,b>0)的焦點在y軸上,其中a∈
{1,2,3,4,5},b∈,求滿足上述條件的橢圓的個數.
探究2：分步乘法計數原理
情境設置
　　如圖,小明從街道的E處出發,先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動.
問題1:小明從E處到F處的最短路徑有多少條
問題2:小明到老年公寓可以選擇的最短路徑有多少條
新知生成
分步乘法計數原理
如果完成一件事需要分成n個步驟,第一步有m1種不同的方法,第二步有m2種不同的方法,…,第n步有mn種不同的方法,每個步驟都完成才算做完這件事,那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.我們把這叫作分步乘法計數原理,簡稱為分步計數原理,或乘法原理.
新知運用
例2　已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的點(a,b∈M),問:
(1)P(a,b)可表示平面上多少個不同的點
(2)P(a,b)可表示平面上多少個第二象限的點
(3)P(a,b)可表示多少個不在直線y=x上的點
方法指導　確定點P,需要依次確定點P的橫坐標和縱坐標,故用分步乘法計數原理求解.
　
【方法總結】利用分步乘法計數原理解題的一般思路
(1)將完成這件事的過程分成若干步;
(2)求出每一步中的方法數;
(3)將每一步中的方法數相乘得最終結果.
鞏固訓練
　　已知某種新產品的編號由1個英文字母和1個數字組合而成,且英文字母在前.其中英文字母可以是A,B,C,D,E,F這6個字母中的1個,數字可以是1,2,…,9這9個數字中的1個,那么共有多少種不同的編號
探究3：兩個計數原理的綜合應用
情境設置
　　問題:如何區分“完成一件事”需要分類還是分步
【答案】區分“完成一件事”是需要分類還是分步,關鍵是看一步能否完成這件事,若能完成,則是分類,否則,是分步.
新知生成
　　兩個計數原理的區別與聯系
分類加法計數原理 分步乘法計數原理
相同點 回答的都是有關做一件事的不同方法種數的問題
不同點 針對的是“分類”問題,各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以做完這件事 針對的是“分步”問題,各個步驟中的方法互相依存,只有每一個步驟都完成才算做完這件事
新知運用
例3　通常,我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成,第一部分為用漢字表示的省、自治區、直轄市簡稱和用英文字母表示的發牌機關代號,第二部分為由阿拉伯數字和英文字母組成的序號.其中,序號的編碼規則為:(1)由10個阿拉伯數字和除O,I之外的24個英文字母組成;(2)最多只能有2個英文字母.如果某地級市發牌機關采用5位序號編碼,那么這個發牌機關最多能發放多少張汽車號牌
【方法總結】利用兩個計數原理解題時的三個注意點:(1)當題目無從下手時,可考慮要完成的這件事是什么,即怎樣做才算完成這件事,然后給出完成這件事的一種或幾種方法,從這幾種方法中歸納出解題方法.(2)分類時標準要明確,應做到不重、不漏,有時要恰當畫出示意圖或樹形圖,使問題的分析更直觀、清楚,便于探索規律.(3)混合問題一般是先分類再分步.
鞏固訓練
　　現有高二四個班的學生34人,其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10人,他們自愿組成數學課外小組.若推選兩人做中心發言,這兩人需來自不同的班級,有多少種不同的選法
【隨堂檢測】
1.已知兩條異面直線a,b上分別有5個點和8個點,則這13個點可以確定不同的平面個數為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.40 B.16 C.13 D.10
2.有3名大學生志愿者,每人從2個不同的社區中選擇1個進行服務,則不同的選擇方法共有(　　).
A.12種 B.9種 C.8種 D.6種
3.如圖所示,在A,B間有四個焊接點,若焊接點脫落,則可能導致電路不通.今發現A,B之間線路不通,則焊接點脫落的不同情況有　　　　　種.
　
4.如圖,提供4種不同的顏色給圖中A,B,C,D 四塊區域涂色,若相鄰的區域不能涂同一種顏色,則不同的涂法共有　　　　　 種.
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