資源簡介

4.2　課時1　排列與排列數公式
【學習目標】
1.理解排列和排列數的概念,能正確寫出一些簡單問題的所有排列.(邏輯推理)
2.能夠用列舉法、樹狀圖求排列的方法種數.(直觀想象)
3.理解排列數公式及簡單應用.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.甲、乙、丙3名同學排成一行照相,共有多少種排法
【答案】根據分步乘法計數原理,3名同學排成一行照相,共有N=3×2×1=6(種)排法.
2.北京、廣州、南京、武漢4個城市相互通航,請列舉岀所有機票(直達)的情況,并指出共有多少種機票情況.
【答案】由列舉法列出,如圖所示:
根據分步乘法計數原理,共有4×3=12(種)機票.
3.前面兩個問題中的元素是如何排列的
【答案】這些問題都是對給定的n個元素或者其中的一些元素,按照一定的順序進行排列.
4.若兩個排列的元素相同,則這兩個排列是相同的排列嗎
【答案】不是,因為相同的兩個排列不僅元素相同,而且元素的排列順序也相同.
5.什么是排列數
【答案】從n個不同元素中取出m個元素的排列數,用符號表示.
6.排列數公式有什么應用
【答案】排列數公式=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)適用m已知的排列數的計算以及排列數的方程和不等式.在運用時要注意它的特點,從n起連續寫出m個數的乘積即可.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在一個排列中,同一個元素不能重復出現. (　　)
(2)從1,2,3,4中任選兩個元素,就組成一個排列. (　　)
(3)用a,b,c構成的所有不同排列的個數為3. (　　)
(4)89×90×91×…×100可以表示為. (　　)
　　【答案】(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.已知=132,則n=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.11 B.12 C.13 D.14
【答案】B
【解析】∵=n(n-1)=132,∴n=12.
3.從5本不同的書中選2本送給2名同學,每人1本,則不同的送書方法的種數為(　　).
A.5 B.10 C.20 D.60
【答案】C
【解析】此問題相當于從5個不同元素中取出2個元素的排列數,即共有=20(種)不同的送書方法.
4.從-1,0,1,2,3五個數字中任取三個組成空間直角坐標系中一個點的坐標,試用畫樹形圖的方法求這樣的點有多少個
【解析】按“橫”“縱”“豎”坐標的順序確定點的坐標,畫出橫坐標為-1的點的坐標對應的樹形圖如圖所示:
由圖可知點的坐標為
(-1,0,1),(-1,0,2),(-1,0,3),
(-1,1,0),(-1,1,2),(-1,1,3),
(-1,2,0),(-1,2,1),(-1,2,3),
(-1,3,0),(-1,3,1),(-1,3,2),
共有4×3=12(個)點,
類比可知,橫坐標為0,1,2,3的點也各有12個,所以共有5×12=60(個)點.
【合作探究】
探究1：排列的概念
情境設置
　　問題1:已知密碼開關由四個元件構成,每個元件要五選一,也就是有625種可能.請問625是怎么得來的
【答案】開密碼鎖可以分為四個步驟,每一個步驟都有5種可能,總共四個步驟就有54=625(種)不同的可能.
問題2:宣城市與黃山市在地圖上相鄰,為了區分兩者的地界,在紅、黃、藍三種顏料中取兩種顏料,一種涂在黃山市地圖上,一種涂在宣城市地圖上,一共有多少種方法
【答案】完成涂色只需要分兩個步驟,第一步先給黃山市涂色, 有三種顏色可供選擇,第二步給宣城市涂色,這里還剩兩種顏色可選擇,由分步乘法計數原理可知共有3×2=6(種)方法.
問題3:某校慶祝建黨百年朗誦活動中,A,B,C 三位朗誦員站成一排面向觀眾,一共有多少種不同的站法
【答案】完成站位這件事需要有三個步驟,第一步選出最左邊站的朗誦員,有三種情況,第二步選出中間的朗誦員,有兩種情況,第三步選出最右邊的朗誦員,只有一種情況.由分步乘法計數原理可知共有3×2×1=6(種)不同的站法.
問題4:問題1,2,3的共同特征是什么
【答案】三道題目的共同特征就是從一些不同元素中,取出部分元素,再按照順序排成一列.
新知生成
1.排列
一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一列,叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
2.排列的含義與相同排列
(1)排列的含義:一是“取出元素”,二是“按照一定順序排成一列”.
(2)排列相同:當且僅當這兩個排列的元素及其排列順序完全相同.
新知運用
一、排列概念的理解
例1　判斷下列問題是否為排列問題.
(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同);
(2)選2個小組分別去植樹和種菜;
(3)選2個小組去種菜;
(4)選10人組成一個學習小組;
(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員;
(6)某班40名學生在假期相互通信.
【解析】(1)雖然機票是不同的,但票價是一樣的,不存在順序問題,所以不是排列問題.
(2)植樹和種菜是不同的,存在順序問題,屬于排列問題.
(3)(4)不存在順序問題,不屬于排列問題.
(5)中每個人的職務不同,存在順序問題,屬于排列問題.
(6)A給B寫信與B給A寫信是不同的,所以存在順序問題,屬于排列問題.
綜上,(2)(5)(6)屬于排列問題.
【方法總結】排列的根本特征是每一個排列不僅與選取的元素有關,而且與元素的排列順序也有關.這就說,在判斷一個問題是否是排列問題時,可以考慮所取出的元素,任意交換兩個,若結果變化,則是排列問題,否則,不是排列問題.
鞏固訓練
　　給出以下問題:
(1)從3,5,7,9四個數字中任取兩個數作為對數的底數和真數,有多少個不同的值
(2)從0到9這十個數字中任取兩個數,組成點的坐標,可得到多少個不同的點的坐標
其中是排列問題的是　　　　.(填序號)
【答案】(1)(2)
【解析】(1)是.對數值與底數和真數的取值不同有關系,與順序有關.同理,(2)也是排列問題.
二、寫出簡單的排列
例2　A,B,C,D四個人坐成一排照相有多少種坐法 將它們列出來.
【解析】先安排A有4種坐法,安排B有3種坐法,安排C有2種坐法,安排D有1種坐法,由分步乘法計數原理得,共有4×3×2×1=24(種)坐法.
畫出樹形圖如圖所示:
由樹形圖可知,所有坐法為ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA.
【變式探究】對本例,若加上限制條件“D不能在‘排頭’(即每個排列的最左端不是D)”,則這樣的排列有幾個
【解析】由例2的樹形圖可知這樣的排列共有24-6=18(個).
鞏固訓練
　　從0,1,2,3這四個數字中,每次取出三個不同的數字組成一個三位數.
(1)能組成多少個不同的三位數 并寫出這些三位數;
(2)若組成的這些三位數中,1不能在百位,2不能在十位,3不能在個位,則這樣的三位數共有多少個 并寫出這些三位數.
【解析】(1)組成三位數分3個步驟:
第1步,選百位上的數字,0不能排在首位,故有3種不同的排法;
　　第2步,選十位上的數字,有3種不同的排法;
第3步,選個位上的數字,有2種不同的排法.
所以共有3×3×2=18個不同的三位數.
畫出樹形圖如圖所示:
由樹形圖知,所有的三位數為102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.
(2)畫出樹形圖如圖所示:
由樹形圖知,符合條件的三位數有8個,分別為201,210,230,231,301,302,310,312.
探究2：排列數與排列數公式
情境設置
　　小明和小寧兩個同學從寫有數字1,2,3,4的卡片中選取卡片進行組數字游戲.
問題1:從這4個數字中選出2個或3個分別能構成多少個無重復數字的兩位數或三位數
【答案】若從這4個數字中選出2個,則能構成=4×3=12(個)無重復數字的兩位數;若選出3個,則能構成=4×3×2=24(個)無重復數字的三位數.
問題2:由問題1知=4×3=12,=4×3×2=24,你能否得出的意義和的值
【答案】的意義:假定有排好順序的2個空位,從n個元素a1,a2,…,an中任取2個元素去填空,一個空位填一個元素,每一種填法就得到一個排列;反過來,任何一個排列總可以由這樣的一種填法得到,因此,所有不同的填法的種數就是排列數.由分步乘法計數原理知,完成上述填空共有n(n-1)種填法,所以=n(n-1).
問題3:你能寫出的值嗎 有什么特征 若m=n呢
【答案】=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)(m,n∈N+,m≤n).
(1)公式特征:第一個因數是n,后面每一個因數比它前面一個少1,最后一個因數是n-m+1,共有m個因數;
(2)當m=n時,即n個不同元素全部取出的一個排列,即=n·(n-1)·(n-2)·…·2·1=n!.
問題4:排列與排列數有何區別
【答案】“一個排列”是指從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一列,不是數;“排列數”是指從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數,是一個數.所以符號只表示排列數,而不表示具體的排列.
新知生成
1.排列數
從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素,所有不同排列的個數叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數,用符號 表示.
2.排列數公式
=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1),其中n,m∈N+,并且m≤n,這個公式叫作排列數公式.
3.全排列
從n個不同元素中取出n個不同的元素(即全部取出)排成一列,叫作n個元素的一個全排列,此時,=n(n-1)(n-2)·…·3·2·1.
將右端簡記為n!,叫作n的階乘,表示1到n的連乘積.規定:0!=1.
4.排列數公式的階乘形式
排列數公式的階乘形式:=.
新知運用
例3　計算下列各題:
(1);
(2);
(3).
方法指導　對于(1)(2),直接用排列數的連乘形式公式計算;對于(3),可利用排列數階乘形式的公式求解.
【解析】(1)=10×9×8=720.
(2)(法一)===.
(法二)====.
(3)=·(n-m)!·=1.
【方法總結】　排列數的計算方法:(1)排列數的計算主要是利用排列數的乘積公式進行.應用時注意:連續正整數的積可以寫成某個排列數,其中最大的是排列元素的總個數,而正整數(因式)的個數是選取元素的個數,這是排列數公式的逆用.(2)應用排列數公式的階乘形式時,一般寫出它們的式子后,再提取公因式,然后計算,這樣往往會減少運算量.
鞏固訓練
　　(1)計算;
(2)解方程3=4.
【解析】(1)=12×11×10=1320.
(2)由3=4,得=,
化簡得x2-19x+78=0,解得x1=6,x2=13.
又因為x≤8,且x-1≤9,所以原方程的解是x=6.
【隨堂檢測】
1.甲、乙、丙三名同學排成一排,不同的排列方法有(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3種 B.4種 C.6種 D.12種
【答案】C
【解析】由排列的定義得,共有=6(種)不同的排列方法.
2.90×91×92×…×100可以表示為(　　).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由排列數公式得原式為,故選B.
3.已知=7,則n的值為　　　　.
【答案】7
【解析】由排列數公式,得n(n-1)=7(n-4)(n-5),n∈N+,
∴3n2-31n+70=0,解得n=7或n=(舍去).
24.2　課時1　排列與排列數公式
【學習目標】
1.理解排列和排列數的概念,能正確寫出一些簡單問題的所有排列.(邏輯推理)
2.能夠用列舉法、樹狀圖求排列的方法種數.(直觀想象)
3.理解排列數公式及簡單應用.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.甲、乙、丙3名同學排成一行照相,共有多少種排法
2.北京、廣州、南京、武漢4個城市相互通航,請列舉岀所有機票(直達)的情況,并指出共有多少種機票情況.
3.前面兩個問題中的元素是如何排列的
4.若兩個排列的元素相同,則這兩個排列是相同的排列嗎
5.什么是排列數
6.排列數公式有什么應用
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在一個排列中,同一個元素不能重復出現. (　　)
(2)從1,2,3,4中任選兩個元素,就組成一個排列. (　　)
(3)用a,b,c構成的所有不同排列的個數為3. (　　)
(4)89×90×91×…×100可以表示為. (　　)
　
2.已知=132,則n=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.11 B.12 C.13 D.14
3.從5本不同的書中選2本送給2名同學,每人1本,則不同的送書方法的種數為(　　).
A.5 B.10 C.20 D.60
4.從-1,0,1,2,3五個數字中任取三個組成空間直角坐標系中一個點的坐標,試用畫樹形圖的方法求這樣的點有多少個
【合作探究】
探究1：排列的概念
情境設置
　　問題1:已知密碼開關由四個元件構成,每個元件要五選一,也就是有625種可能.請問625是怎么得來的
問題2:宣城市與黃山市在地圖上相鄰,為了區分兩者的地界,在紅、黃、藍三種顏料中取兩種顏料,一種涂在黃山市地圖上,一種涂在宣城市地圖上,一共有多少種方法
問題3:某校慶祝建黨百年朗誦活動中,A,B,C 三位朗誦員站成一排面向觀眾,一共有多少種不同的站法
問題4:問題1,2,3的共同特征是什么
新知生成
1.排列
一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一列,叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
2.排列的含義與相同排列
(1)排列的含義:一是“取出元素”,二是“按照一定順序排成一列”.
(2)排列相同:當且僅當這兩個排列的元素及其排列順序完全相同.
新知運用
一、排列概念的理解
例1　判斷下列問題是否為排列問題.
(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同);
(2)選2個小組分別去植樹和種菜;
(3)選2個小組去種菜;
(4)選10人組成一個學習小組;
(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員;
(6)某班40名學生在假期相互通信.
【方法總結】排列的根本特征是每一個排列不僅與選取的元素有關,而且與元素的排列順序也有關.這就說,在判斷一個問題是否是排列問題時,可以考慮所取出的元素,任意交換兩個,若結果變化,則是排列問題,否則,不是排列問題.
鞏固訓練
　　給出以下問題:
(1)從3,5,7,9四個數字中任取兩個數作為對數的底數和真數,有多少個不同的值
(2)從0到9這十個數字中任取兩個數,組成點的坐標,可得到多少個不同的點的坐標
其中是排列問題的是　　　　.(填序號)
二、寫出簡單的排列
例2　A,B,C,D四個人坐成一排照相有多少種坐法 將它們列出來.
【
【變式探究】對本例,若加上限制條件“D不能在‘排頭’(即每個排列的最左端不是D)”,則這樣的排列有幾個
鞏固訓練
　　從0,1,2,3這四個數字中,每次取出三個不同的數字組成一個三位數.
(1)能組成多少個不同的三位數 并寫出這些三位數;
(2)若組成的這些三位數中,1不能在百位,2不能在十位,3不能在個位,則這樣的三位數共有多少個 并寫出這些三位數.
探究2：排列數與排列數公式
情境設置
　　小明和小寧兩個同學從寫有數字1,2,3,4的卡片中選取卡片進行組數字游戲.
問題1:從這4個數字中選出2個或3個分別能構成多少個無重復數字的兩位數或三位數
問題2:由問題1知=4×3=12,=4×3×2=24,你能否得出的意義和的值
問題3:你能寫出的值嗎 有什么特征 若m=n呢
問題4:排列與排列數有何區別
新知生成
1.排列數
從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素,所有不同排列的個數叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數,用符號 表示.
2.排列數公式
=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1),其中n,m∈N+,并且m≤n,這個公式叫作排列數公式.
3.全排列
從n個不同元素中取出n個不同的元素(即全部取出)排成一列,叫作n個元素的一個全排列,此時,=n(n-1)(n-2)·…·3·2·1.
將右端簡記為n!,叫作n的階乘,表示1到n的連乘積.規定:0!=1.
4.排列數公式的階乘形式
排列數公式的階乘形式:=.
新知運用
例3　計算下列各題:
(1);
(2);
(3).
方法指導　對于(1)(2),直接用排列數的連乘形式公式計算;對于(3),可利用排列數階乘形式的公式求解.
【方法總結】　排列數的計算方法:(1)排列數的計算主要是利用排列數的乘積公式進行.應用時注意:連續正整數的積可以寫成某個排列數,其中最大的是排列元素的總個數,而正整數(因式)的個數是選取元素的個數,這是排列數公式的逆用.(2)應用排列數公式的階乘形式時,一般寫出它們的式子后,再提取公因式,然后計算,這樣往往會減少運算量.
鞏固訓練
　　(1)計算;
(2)解方程3=4.
【隨堂檢測】
1.甲、乙、丙三名同學排成一排,不同的排列方法有(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3種 B.4種 C.6種 D.12種
2.90×91×92×…×100可以表示為(　　).
A. B. C. D.
3.已知=7,則n的值為　　　　.
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