資源簡(jiǎn)介

4.2　課時(shí)2　排列數(shù)的應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.進(jìn)一步加深對(duì)排列概念的理解.(抽象概括)
2.掌握幾種有限制條件的排列問(wèn)題的處理方法,能應(yīng)用排列數(shù)公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
1.怎樣判斷一個(gè)問(wèn)題是否為排列問(wèn)題
【答案】關(guān)鍵是看它有無(wú)順序,有順序的是排列問(wèn)題,否則不是.
2.解簡(jiǎn)單的排列應(yīng)用題的基本思想是什么
【答案】將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為排列問(wèn)題,然后利用排列數(shù)公式求解.
3.解簡(jiǎn)單的排列應(yīng)用題的方法有哪些
【答案】特殊優(yōu)先安排,相鄰捆綁,間隔插空,正難則反,等價(jià)轉(zhuǎn)化等方法.
自學(xué)檢測(cè)
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)2,3,4與3,4,2為同一個(gè)排列. (　　)
(2)從n個(gè)人中選出2個(gè),分別從事兩項(xiàng)不同的工作,若選派的種數(shù)為72,則n的值為8. (　　)
(3)甲、乙、丙三名同學(xué)排成一排,不同的排列方法有3種. (　　)
(4)1位老師和5位同學(xué)站成一排照相,老師不站在兩端的排法種數(shù)為480. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.用1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字可組成(　　)個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.24 B.12 C.81 D.64
【答案】A
【解析】由題意,從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來(lái)全排列,共可寫出=24(個(gè))沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).
3.用數(shù)字1,2,3組成允許有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù),其個(gè)數(shù)為　　　　.
【答案】9
【解析】若取相同的數(shù)字,有3種方法;若取不同的數(shù)字,有=6(種)方法.一共有9種方法,所以一共可以組成9個(gè)兩位數(shù).
4.由1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)三位數(shù) 其中沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有多少個(gè)
【解析】由1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)字可組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為6×6×6=216.
其中沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),相當(dāng)于從六個(gè)不同的元素中任取三個(gè)元素的排列問(wèn)題,因而這樣的三位數(shù)共有=6×5×4=120(個(gè)).
【合作探究】
探究1：排隊(duì)、排節(jié)目問(wèn)題
情境設(shè)置
　　在冬奧會(huì)招募志愿者活動(dòng)中,甲、乙等5人報(bào)名參加了A,B,C三個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作,因工作需要,每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需1名志愿者.
問(wèn)題1:若甲不能參加A,B項(xiàng)目,乙不能參加B,C項(xiàng)目,甲,乙都參加,則有幾種方法
【答案】若甲,乙都參加,則甲只能參加C項(xiàng)目,乙只能參加A項(xiàng)目,B項(xiàng)目由其他三人中任意一人參加,此時(shí)有3種方法.
問(wèn)題2:若甲、乙都不參加,則有多少種方法
【答案】若甲、乙都不參加,則有=6(種)方法.
問(wèn)題3:若甲不能參加A,B項(xiàng)目,乙不能參加B,C項(xiàng)目,則共有多少種不同的志愿者分配方案
【答案】若甲,乙都參加,則甲只能參加C項(xiàng)目,乙只能參加A項(xiàng)目,B項(xiàng)目由其他三人中任意一人參加,此時(shí)有3種方法;
若甲參加,乙不參加,則甲只能參加C項(xiàng)目,A,B項(xiàng)目由其他三人中的兩人參加,此時(shí)有=6(種)方法;
若乙參加,甲不參加,則乙只能參加A項(xiàng)目,B,C項(xiàng)目由其他三人中的兩人參加,此時(shí)有=6(種)方法;
若甲、乙都不參加,則有=6(種)方法.
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知,共有3+6+6+6=21(種)方法.
問(wèn)題4:根據(jù)上述問(wèn)題,歸納解簡(jiǎn)單排列應(yīng)用題的方法.
【答案】解簡(jiǎn)單的排列應(yīng)用題,首先必須認(rèn)真分析題意,看能否把問(wèn)題歸結(jié)為排列問(wèn)題,即是否有順序.如果是的話,再進(jìn)一步分析,這里n個(gè)不同的元素指的是什么,以及從n個(gè)不同的元素中任取m個(gè)元素的每一種排列對(duì)應(yīng)的是什么事情,然后才能運(yùn)用排列數(shù)公式求解.
新知生成
　　排隊(duì)、排節(jié)目問(wèn)題的解題策略
(1)合理歸類,要將題目大致歸類,常見(jiàn)的類型有特殊元素、特殊位置、相鄰問(wèn)題、不相鄰問(wèn)題等,再針對(duì)每一類采用相應(yīng)的方法解題.
(2)恰當(dāng)結(jié)合,排列問(wèn)題的解決離不開(kāi)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,解題過(guò)程中要恰當(dāng)結(jié)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.
(3)正難則反,這是一個(gè)基本的數(shù)學(xué)思想,巧妙應(yīng)用排除法可起到事半功倍的效果.
新知運(yùn)用
例1　有7名學(xué)生,其中3名男生,4名女生,在下列不同條件下,求不同的排法種數(shù).
(1)選5人排成一排;
(2)全體站成一排,男生互不相鄰;
(3)全體站成一排,其中甲不站在最左邊,也不站在最右邊;
(4)全體站成一排,其中甲不站在最左邊,乙不站在最右邊;
(5)男生順序已定,女生順序不定;
(6)站成三排,前排2名同學(xué),中間排3名同學(xué),后排2名同學(xué),其中甲站在中間排的中間位置;
(7)7名同學(xué)站成一排,其中甲、乙相鄰,但都不與丙相鄰;
(8)7名同學(xué)坐圓桌吃飯,其中甲、乙相鄰.
方法指導(dǎo)　(1)利用部分排列即可求解;(2)因?yàn)槟猩ゲ幌噜?故使用插空法求解即可;(3)利用特殊元素或位置優(yōu)先排列的方法求解;(4)利用分類別排列或用全排列數(shù)減去不符合題意的排列數(shù)即可求解;(5)利用排列消序即可求解;(6)利用特殊元素優(yōu)先排列并結(jié)合剩余人全排列即可求解;(7)利用插空法結(jié)合捆綁法即可求解;(8)利用捆綁法并結(jié)合排列消序即可求解.
【解析】(1)從7人中選5人排列,不同的排法種數(shù)為=2520.
(2)先排女生,有種排法,再在女生之間及兩端的5個(gè)空位中任選3個(gè)空位排男生,有種排法,故不同的排法種數(shù)為=1440.
(3)(法一)先排甲,有5種排法,其余6人有種排法,故不同的排法種數(shù)為5×=3600.
(法二)左、右兩邊位置可安排除甲外其余6人中的2人,有種排法,其他位置有種排法,故不同的排法種數(shù)為=3600.
(4)(法一)分兩類:第一類,甲在最右邊,有種排法;第二類,甲不在最右邊,甲可從除去兩端的位置后剩下的5個(gè)中任選1個(gè),有種排法,而乙可排在除去最右邊的位置及甲的位置后剩下的5個(gè)中任選1個(gè),有種排法,其余人全排列,有種排法,故不同的排法種數(shù)為+=3720.
(法二)7名學(xué)生全排列,有種排法,其中當(dāng)甲在最左邊時(shí),有種排法,當(dāng)乙在最右邊時(shí),有種排法,甲在最左邊、乙在最右邊都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情形,有種排法,故不同的排法種數(shù)為-2+=3720.
(5)7名學(xué)生站成一排,有種排法,其中3名男生的排法有種,由于男生順序已定,女生順序不定,故不同的排法種數(shù)為=840.
(6)首先把甲放在中間排的中間位置,則問(wèn)題可以看作剩余6人的全排列,故不同的排法種數(shù)為=720.
(7)先排出甲、乙、丙3人外的4人,有種排法,由于甲、乙相鄰,故再把甲、乙排好,有種排法,最后把排好的甲、乙這個(gè)整體與丙分別插入原先排好的4人之間及兩端的5個(gè)空隙中,有種排法,故不同的排法種數(shù)為=960.
(8)將甲、乙看作一個(gè)整體,相當(dāng)于6名學(xué)生坐圓桌吃飯,有種排法,甲、乙兩人可交換位置,故不同的排法種數(shù)為=240.
【方法總結(jié)】(1)排列問(wèn)題的本質(zhì)是“元素”占“位置”問(wèn)題,有限制條件的排列問(wèn)題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位置上或某個(gè)位置上不排某些元素,解決該類排列問(wèn)題的方法主要是按“優(yōu)先”原則,即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位置.(2)在實(shí)際排列問(wèn)題中,某些元素要求必須相鄰時(shí),可以先將這些元素看作一個(gè)整體,與其他元素排列后,再考慮相鄰元素的內(nèi)部排序,這種方法稱為“捆綁法”,即“相鄰元素捆綁法”.(3)某些元素要求不相鄰時(shí),可以先安排其他元素,再將這些不相鄰元素插入相應(yīng)空檔,這種方法稱為“插空法”,即“不相鄰元素插空法”.
鞏固訓(xùn)練
　　現(xiàn)有5名男生,4名女生排成一排.
(1)若從中選出3人排成一排,則有多少種排法
(2)若男生甲不站排頭,女生乙不站排尾,則有多少種不同排法
(3)若要求女生必須站在一起,則有多少種不同排法
(4)若4名女生互不相鄰,則有多少種不同排法
【解析】(1)只要從9名學(xué)生中任選3名排列即可,所以共有=9×8×7=504(種)不同排法.
(2)將排法分成兩類:一類是甲站在排尾,其余的可全排列,有種排法;另一類是甲既不站排尾又不站排頭,有種排法,乙不站排尾而站余下的7個(gè)位置中的一個(gè),有種排法,其余人全排列,于是這一類有··種排法.
由分類加法計(jì)數(shù)原理知,共有+··=287280(種)不同排法.
(3)女生必須站在一起,是女生的全排列問(wèn)題,有種排法,全體女生視為一個(gè)元素與其他男生全排列有種排法.
由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,共有·=17280(種)不同排法.
(4)分兩步:第一步,男生的全排列有種排法;第二步,男生排好后,男生之間有4個(gè)空,加上男生排列的兩端共6個(gè)空,女生在這6個(gè)空中排列,有種排法.
由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,共有·=43200(種)不同排法.
探究2：有關(guān)數(shù)字的排列問(wèn)題
情境設(shè)置
　　問(wèn)題1:偶數(shù)的個(gè)位數(shù)字有何特征 從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)不同數(shù)字能組成多少個(gè)不同的偶數(shù)
【答案】偶數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定能被2整除.先從2,4中任取一個(gè)數(shù)字排在個(gè)位,共2種不同的排列,再?gòu)氖Ｓ鄶?shù)字中任取一個(gè)數(shù)字排在十位,共4種排法,故從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)數(shù)字能組成2×4=8(個(gè))不同的偶數(shù).
問(wèn)題2:在一個(gè)三位數(shù)中,位于百位的數(shù)字x能是0嗎 如果在0~9這十個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù),如何排才能使百位數(shù)字不為0
【答案】在一個(gè)三位數(shù)中,百位數(shù)字不能為0,在具體排數(shù)時(shí),從元素0的角度出發(fā),①若選0,則可先將0排在十位或個(gè)位的一個(gè)位置,其余數(shù)字可排百位、個(gè)位(或十位)位置.②若不選0,則從9個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)數(shù)字排百位,十位與個(gè)位位置;從“位置”角度出發(fā),可先從1~9這9個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字排百位,然后再?gòu)氖Ｓ?個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字排十位與個(gè)位位置.
新知生成
　　數(shù)字排列問(wèn)題的求解策略
(1)首位數(shù)字不為0.
(2)若所選數(shù)字中含有0,則可先排0,即“元素分析法”.
(3)若排列的是特殊數(shù)字,如偶數(shù),則先排個(gè)位數(shù)字,即“位置分析法”.
(4)此類問(wèn)題往往需要分類,可依據(jù)特殊元素、特殊位置分類.
新知運(yùn)用
例2　用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的:(1)六位奇數(shù) (2)個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù) (3)不大于4310的四位偶數(shù)
【解析】(1)(法一)從特殊位置入手(直接法):第一步,排個(gè)位,從1,3,5三個(gè)數(shù)字中選1個(gè),有種排法;第二步,排十萬(wàn)位,有種排法;第三步,排其他位,有種排法.故可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位奇數(shù)共有=288(個(gè)).
(法二)從特殊元素入手(直接法):0不在兩端有種排法;從1,3,5中任選一個(gè)排在個(gè)位上,有種排法;其他數(shù)字全排列有種排法.故可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位奇數(shù)共有=288(個(gè)).
(2)(法一:排除法)6個(gè)數(shù)字的全排列有個(gè);0在十萬(wàn)位上的排列有個(gè);5在個(gè)位上的排列有個(gè);0在十萬(wàn)位上且5在個(gè)位上的排列有個(gè).故符合題意的六位數(shù)共有-2+=504(個(gè)).
(法二:直接法)個(gè)位上不排5,有種排法.但十萬(wàn)位上數(shù)字的排法因個(gè)位上排0與不排0而有所不同,因此,需分兩類:第一類,當(dāng)個(gè)位上排0時(shí),有種排法;第二類,當(dāng)個(gè)位上不排0時(shí),有··種排法.故符合題意的六位數(shù)共有+··=504(個(gè)).
(3)(法一:直接法)①當(dāng)千位上排1,3時(shí),有··種排法;②當(dāng)千位上排2時(shí),有·種排法;③當(dāng)千位上排4時(shí),形如40□□,42□□的各有種排法,形如41□□的有·種排法,形如43□□的只有4310和4302這2個(gè)數(shù).故共有··+·+2+·+2=110(個(gè))符合條件的四位偶數(shù).
(法二:排除法)四位偶數(shù)中,①0在個(gè)位的有個(gè);②0在十位和百位的有··個(gè);③不含0的有·個(gè).故四位偶數(shù)有+··+·=156(個(gè)).其中形如5□□□的有·個(gè),形如45□□的有·個(gè),形如435□的有個(gè),形如432□的有1個(gè),形如431□而大于4310的只有4312這1個(gè)數(shù),故大于4310的四位偶數(shù)共有·+·++1+1=46(個(gè)),因此符合題意的四位偶數(shù)共有156-46=110(個(gè)).
【變式探究1】若本例中條件不變,能組成多少個(gè)被5整除的五位數(shù)
【解析】個(gè)位上的數(shù)字必須是0或5.若個(gè)位上是0,則有個(gè);若個(gè)位上是5,不含0,則有個(gè);若含0,但0不作首位,則0的位置有種排法,其余各位有種排法,故共有++=216(個(gè))能被5整除的五位數(shù).
【變式探究2】若本例條件不變,能組成的所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)數(shù)列{an},則240135是第幾項(xiàng)
【解析】由于是六位數(shù),首位數(shù)字不能為0,首位數(shù)字為1有個(gè)數(shù),首位數(shù)字為2,萬(wàn)位上為0,1,3中的一個(gè)有3個(gè)數(shù),所以240135的項(xiàng)數(shù)是+3+1=193,即240135是數(shù)列的第193項(xiàng).
【變式探究3】若用0,1,3,5,7這五個(gè)數(shù)字,則可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且5不在十位位置上的五位數(shù)
【解析】本題可分兩類:第一類,因?yàn)?在十位位置上,這時(shí),5不在十位位置上,所以五位數(shù)的個(gè)數(shù)為=24;第二類,因?yàn)?不在十位位置上,這時(shí),5不能排在十位位置上,所以,十位位置上只能排1,3,7之一,有=3(種).又因?yàn)?不能排在萬(wàn)位位置上,所以,萬(wàn)位位置上只能排5或1,3,7被選作十位上的數(shù)字后余下的兩個(gè)數(shù)字之一,有=3(種).十位、萬(wàn)位上的數(shù)字選定后,其余三個(gè)數(shù)字全排列即可,有=6(種).根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,第二類中所求五位數(shù)的個(gè)數(shù)為··=54.由分類加法計(jì)數(shù)原理,符合條件的五位數(shù)共有24+54=78(個(gè)).
【方法總結(jié)】　數(shù)字排列問(wèn)題常見(jiàn)的解題方法:(1)“兩優(yōu)先排法”:特殊元素優(yōu)先排列,特殊位置優(yōu)先填充.如“0”不排“首位”.(2)“分類討論法”:按照某一標(biāo)準(zhǔn)將排列分成幾類,然后按照分類加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行,要注意以下兩點(diǎn):一是分類標(biāo)準(zhǔn)必須恰當(dāng);二是分類過(guò)程要做到不重不漏.(3)“排除法”:全排列數(shù)減去不符合條件的排列數(shù).(4)“位置分析法”:按位置逐步討論,把要求數(shù)字的每個(gè)數(shù)位排好.
鞏固訓(xùn)練
　　用1,2,3,4,5,6,7這七個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).
(1)這些四位數(shù)中偶數(shù)有多少個(gè) 能被5整除的有多少個(gè)
(2)這些四位數(shù)中大于6500的有多少個(gè)
【解析】(1)偶數(shù)的個(gè)位數(shù)只能是2,4,6,有種排法,其他位上有種排法,
由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,這些四位數(shù)中偶數(shù)共有=360(個(gè)).
能被5整除的數(shù)個(gè)位必須是5,故有=120(個(gè)).
(2)當(dāng)最高位上是7時(shí),大于6500的有個(gè);
當(dāng)最高位上是6時(shí),百位上只能是7或5,有2個(gè).
故由分類加法計(jì)數(shù)原理知,這些四位數(shù)中大于6500的共有+2=160(個(gè)).
【隨堂檢測(cè)】
1.從4男3女7名志愿者中,選1女2男分別到A,B,C地執(zhí)行任務(wù),則不同的選派方法有(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.36種 B.108種 C.210種 D.72種
【答案】B
【解析】選1女派往某地有種方法,選2男派往另外兩地有種方法,則不同的選派方法共有=108(種).
2.5人排成一排,其中甲、乙至少一人在兩端的排法種數(shù)為(　　).
A.6 B.84 C.24 D.48
【答案】B
【解析】5人全排列有種,甲,乙都不在兩端的排法有種,故甲、乙至少一人在兩端共有-=84種不同的排法.
3.用1,2,3,4,5,6,7組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù),若1,3,5,7的順序一定,則有　　　　個(gè)七位數(shù)符合條件.
【答案】210
【解析】對(duì)1,3,5,7全排列,有=24種排法,故1,3,5,7的順序一定的排法數(shù)只占總排法數(shù)的,故有×=210(個(gè))七位數(shù)符合條件.
4.用1,2,3,4,5,6,7排出無(wú)重復(fù)數(shù)字的七位數(shù),按下述要求各有多少個(gè)
(1)偶數(shù)不相鄰;
(2)偶數(shù)一定在奇數(shù)位上;
(3)1和2之間恰好夾有一個(gè)奇數(shù),沒(méi)有偶數(shù).
【解析】(1)用插空法,共有=1440(個(gè)).
(2)先把偶數(shù)排在奇數(shù)位上有種排法,再排奇數(shù)有種排法,所以共有=576(個(gè)).
(3)在1和2之間放一個(gè)奇數(shù)有種方法,把1,2和相應(yīng)的奇數(shù)看成整體和其他4個(gè)數(shù)進(jìn)行排列有種排法,所以共有=720(個(gè)).
24.2　課時(shí)2　排列數(shù)的應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.進(jìn)一步加深對(duì)排列概念的理解.(抽象概括)
2.掌握幾種有限制條件的排列問(wèn)題的處理方法,能應(yīng)用排列數(shù)公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
1.怎樣判斷一個(gè)問(wèn)題是否為排列問(wèn)題
2.解簡(jiǎn)單的排列應(yīng)用題的基本思想是什么
3.解簡(jiǎn)單的排列應(yīng)用題的方法有哪些
自學(xué)檢測(cè)
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)2,3,4與3,4,2為同一個(gè)排列. (　　)
(2)從n個(gè)人中選出2個(gè),分別從事兩項(xiàng)不同的工作,若選派的種數(shù)為72,則n的值為8. (　　)
(3)甲、乙、丙三名同學(xué)排成一排,不同的排列方法有3種. (　　)
(4)1位老師和5位同學(xué)站成一排照相,老師不站在兩端的排法種數(shù)為480. (　　)
2.用1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字可組成(　　)個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.24 B.12 C.81 D.64
3.用數(shù)字1,2,3組成允許有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù),其個(gè)數(shù)為　　　　.
4.由1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)三位數(shù) 其中沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有多少個(gè)
【合作探究】
探究1：排隊(duì)、排節(jié)目問(wèn)題
情境設(shè)置
　　在冬奧會(huì)招募志愿者活動(dòng)中,甲、乙等5人報(bào)名參加了A,B,C三個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作,因工作需要,每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需1名志愿者.
問(wèn)題1:若甲不能參加A,B項(xiàng)目,乙不能參加B,C項(xiàng)目,甲,乙都參加,則有幾種方法
問(wèn)題2:若甲、乙都不參加,則有多少種方法
問(wèn)題3:若甲不能參加A,B項(xiàng)目,乙不能參加B,C項(xiàng)目,則共有多少種不同的志愿者分配方案
問(wèn)題4:根據(jù)上述問(wèn)題,歸納解簡(jiǎn)單排列應(yīng)用題的方法.
新知生成
　　排隊(duì)、排節(jié)目問(wèn)題的解題策略
(1)合理歸類,要將題目大致歸類,常見(jiàn)的類型有特殊元素、特殊位置、相鄰問(wèn)題、不相鄰問(wèn)題等,再針對(duì)每一類采用相應(yīng)的方法解題.
(2)恰當(dāng)結(jié)合,排列問(wèn)題的解決離不開(kāi)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,解題過(guò)程中要恰當(dāng)結(jié)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.
(3)正難則反,這是一個(gè)基本的數(shù)學(xué)思想,巧妙應(yīng)用排除法可起到事半功倍的效果.
新知運(yùn)用
例1　有7名學(xué)生,其中3名男生,4名女生,在下列不同條件下,求不同的排法種數(shù).
(1)選5人排成一排;
(2)全體站成一排,男生互不相鄰;
(3)全體站成一排,其中甲不站在最左邊,也不站在最右邊;
(4)全體站成一排,其中甲不站在最左邊,乙不站在最右邊;
(5)男生順序已定,女生順序不定;
(6)站成三排,前排2名同學(xué),中間排3名同學(xué),后排2名同學(xué),其中甲站在中間排的中間位置;
(7)7名同學(xué)站成一排,其中甲、乙相鄰,但都不與丙相鄰;
(8)7名同學(xué)坐圓桌吃飯,其中甲、乙相鄰.
方法指導(dǎo)　(1)利用部分排列即可求解;(2)因?yàn)槟猩ゲ幌噜?故使用插空法求解即可;(3)利用特殊元素或位置優(yōu)先排列的方法求解;(4)利用分類別排列或用全排列數(shù)減去不符合題意的排列數(shù)即可求解;(5)利用排列消序即可求解;(6)利用特殊元素優(yōu)先排列并結(jié)合剩余人全排列即可求解;(7)利用插空法結(jié)合捆綁法即可求解;(8)利用捆綁法并結(jié)合排列消序即可求解.
【方法總結(jié)】(1)排列問(wèn)題的本質(zhì)是“元素”占“位置”問(wèn)題,有限制條件的排列問(wèn)題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位置上或某個(gè)位置上不排某些元素,解決該類排列問(wèn)題的方法主要是按“優(yōu)先”原則,即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位置.(2)在實(shí)際排列問(wèn)題中,某些元素要求必須相鄰時(shí),可以先將這些元素看作一個(gè)整體,與其他元素排列后,再考慮相鄰元素的內(nèi)部排序,這種方法稱為“捆綁法”,即“相鄰元素捆綁法”.(3)某些元素要求不相鄰時(shí),可以先安排其他元素,再將這些不相鄰元素插入相應(yīng)空檔,這種方法稱為“插空法”,即“不相鄰元素插空法”.
鞏固訓(xùn)練
　　現(xiàn)有5名男生,4名女生排成一排.
(1)若從中選出3人排成一排,則有多少種排法
(2)若男生甲不站排頭,女生乙不站排尾,則有多少種不同排法
(3)若要求女生必須站在一起,則有多少種不同排法
(4)若4名女生互不相鄰,則有多少種不同排法
探究2：有關(guān)數(shù)字的排列問(wèn)題
情境設(shè)置
　　問(wèn)題1:偶數(shù)的個(gè)位數(shù)字有何特征 從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)不同數(shù)字能組成多少個(gè)不同的偶數(shù)
問(wèn)題2:在一個(gè)三位數(shù)中,位于百位的數(shù)字x能是0嗎 如果在0~9這十個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù),如何排才能使百位數(shù)字不為0
新知生成
　　數(shù)字排列問(wèn)題的求解策略
(1)首位數(shù)字不為0.
(2)若所選數(shù)字中含有0,則可先排0,即“元素分析法”.
(3)若排列的是特殊數(shù)字,如偶數(shù),則先排個(gè)位數(shù)字,即“位置分析法”.
(4)此類問(wèn)題往往需要分類,可依據(jù)特殊元素、特殊位置分類.
新知運(yùn)用
例2　用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的:(1)六位奇數(shù) (2)個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù) (3)不大于4310的四位偶數(shù)
【變式探究1】若本例中條件不變,能組成多少個(gè)被5整除的五位數(shù)
【變式探究2】若本例條件不變,能組成的所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)數(shù)列{an},則240135是第幾項(xiàng)
【變式探究3】若用0,1,3,5,7這五個(gè)數(shù)字,則可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且5不在十位位置上的五位數(shù)
【方法總結(jié)】　數(shù)字排列問(wèn)題常見(jiàn)的解題方法:(1)“兩優(yōu)先排法”:特殊元素優(yōu)先排列,特殊位置優(yōu)先填充.如“0”不排“首位”.(2)“分類討論法”:按照某一標(biāo)準(zhǔn)將排列分成幾類,然后按照分類加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行,要注意以下兩點(diǎn):一是分類標(biāo)準(zhǔn)必須恰當(dāng);二是分類過(guò)程要做到不重不漏.(3)“排除法”:全排列數(shù)減去不符合條件的排列數(shù).(4)“位置分析法”:按位置逐步討論,把要求數(shù)字的每個(gè)數(shù)位排好.
鞏固訓(xùn)練
　　用1,2,3,4,5,6,7這七個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).
(1)這些四位數(shù)中偶數(shù)有多少個(gè) 能被5整除的有多少個(gè)
(2)這些四位數(shù)中大于6500的有多少個(gè)
【隨堂檢測(cè)】
1.從4男3女7名志愿者中,選1女2男分別到A,B,C地執(zhí)行任務(wù),則不同的選派方法有(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.36種 B.108種 C.210種 D.72種
2.5人排成一排,其中甲、乙至少一人在兩端的排法種數(shù)為(　　).
A.6 B.84 C.24 D.48
3.用1,2,3,4,5,6,7組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù),若1,3,5,7的順序一定,則有　　　　個(gè)七位數(shù)符合條件.
4.用1,2,3,4,5,6,7排出無(wú)重復(fù)數(shù)字的七位數(shù),按下述要求各有多少個(gè)
(1)偶數(shù)不相鄰;
(2)偶數(shù)一定在奇數(shù)位上;
(3)1和2之間恰好夾有一個(gè)奇數(shù),沒(méi)有偶數(shù).
2

展開(kāi)更多......

收起↑