資源簡介

4.3　課時1　組合與組合數公式
【學習目標】
1.理解并掌握組合與組合數的概念,掌握組合與排列之間的聯系與區別.(數學抽象)
2.會推導組合數公式,并會應用公式進行求值.(數學運算)
3.理解組合數的兩個性質,并會求值、化簡和證明.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動,有多少種不同的選法 這一問題與“從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動,其中1名同學參加上午的活動,另外1名同學參加下午的活動”有什么區別和聯系
2.你能說說排列與組合之間的區別和聯系嗎
3.我們知道,“排列”與“排列數”是兩個不同的概念,那么“組合”與“組合數”是同一個概念嗎 為什么
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)從a,b,c三個不同的元素中任取兩個元素的一個組合是. (　　)
(2)從1,3,5,7中任取兩個數相乘可得個積. (　　)
(3)1,2,3與3,2,1是同一個組合. (　　)
(4)=5×4×3=60. (　　)
2.(+)÷的值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6 B.101 C. D.
3.在報名的3名男教師和3名女教師中,選取3人參加義務獻血,要求男、女教師都有,則不同的選取方法種數為　　　　　.(結果用數值表示)
4.求不等式-n<5的解集.
【合作探究】
探究1：組合的概念
情境設置
　　“校園歌手大賽”是某校的特色文化活動之一,它為同學們緊張、忙碌的學習生活提供了休閑、放松的平臺,同時也給同學們出了一道數學題.比較下列兩個問題并發現它們之間的關系.
問題1:高二(1)班有3名同學想參加比賽,但是學校只給了每個班2個名額,且其中1名參加流行組,1名參加民歌組,共有幾種不同的報名結果
問題2:高二(1)班有3名同學想參加比賽,但是學校只給了每個班2個名額,共有幾種不同的報名結果
問題3:上述兩個問題的區別是什么
新知生成
1.組合:一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素,不論次序地構成一組,叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.
2.相同組合:當且僅當這兩個組合的元素完全相同.
3.排列與組合的區別
排列需要考慮元素的順序,組合不需要考慮元素的順序.
新知運用
例1　判斷下列問題是排列問題,還是組合問題.
(1)10個人相互寫一封信,共寫出了多少封信
(2)10個人相互通一次電話,共通了多少次電話
(3)10支球隊以單循環進行比賽(每兩隊比賽一次),這次比賽需要進行多少場次
(4)從10個人中選出3人擔任不同學科的科代表,有多少種選法
方法指導　區分排列與組合的方法是看事件是否有順序,而區分事件有無順序的方法是:把問題的一個選擇結果寫出來,然后交換這個結果中任意兩個元素的位置,若對結果產生影響,即說明有順序,是排列問題;若對結果沒有影響,即說明無順序,是組合問題.
【方法總結】判斷一個問題是否是組合問題的方法技巧:區分排列與組合的關鍵是看結果是否與元素的順序有關,若交換某兩個元素的位置對結果產生影響,則是排列問題,而交換任意兩個元素的位置對結果沒有影響,則是組合問題,也就是說排列問題與選取元素的順序有關,組合問題與選取元素的順序無關.
鞏固訓練
　　判斷下列問題是排列問題,還是組合問題.
(1)把當日動物園的4張門票分給5個人,每人至多分一張,而且票必須分完,有多少種分配方法
(2)從2,3,5,7,11這5個質數中,每次取2個數分別作為分子和分母構成一個分數,共能構成多少個不同的分數
(3)從9名學生中選出4名參加一個聯歡會,有多少種不同的選法
探究2：組合數公式
情境設置
　　問題1:組合的概念的要點是什么
問題2:兩個組合是相同組合的充要條件是什么
問題3:前面已經提到,組合和排列有關系,我們能否利用這種關系,由排列數來求組合數呢
問題4:如何理解組合與組合數
新知生成
1.組合數
從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素,所有不同組合的個數叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數,用符號表示.
2.組合數公式
組合 數公 式 乘積式 ==
階乘式 =
備注 ①n∈N+,m∈N且m≤n;②規定=1
新知運用
例2　計算:(1)3-2;(2)解關于n的不等式>.
方法指導　恰當選擇組合數公式,一般地,公式=常用于n為具體數的數目,偏向于組合數的計算;公式=常用于n為字母的題目,偏向于解不等式或證明恒等式.注意使用組合數公式的隱含條件.
【方法總結】　(1)公式=(n∈N+,m∈N,m≤n)一般用于求值計算.
(2)公式=一般用于化簡、證明或m,n較大的計算.
(3)在求解有關組合數的方程或不等式時,必須注意隱含條件,即中的n為正整數,m為自然數,且n≥m.因此求出方程或不等式的解后,要進行檢驗,將不符合的解舍去.
鞏固訓練
　　若-<,則n的取值集合為　　　　.
探究3：組合數的性質
情境設置
　　問題1:試用兩種方法求:從a,b,c,d,e 5人中選出3人參加數學競賽,2人參加英語競賽,共有多少種選法 你有什么發現 你能得到一般結論嗎
問題2:從含有隊長的10名排球隊員中選出6人參加比賽,共有多少種選法 若隊長必須參加,有多少種選法 若隊長不能參加,有多少種選法 你有什么發現 你能推廣到一般結論嗎
問題3:在問題2中,若隊長必須參加,有多少種選法 若隊長不能參加有多少種選法 由問題2,3,你發現什么結論 你能推廣到一般結論嗎
新知生成
　　組合數的性質
(1)=;
(2)=+.
新知運用
例3　(1)求++…+的值;
(2)證明:++2=.
方法指導　利用組合數的性質做恰當變形后進行計算求值或證明.
【方法總結】　(1)性質“=”的意義及作用
(2)要注意=+的順用、逆用及其變形應用.順用是將一個組合數拆成兩個,逆用則是“合二為一”,變形一般為=-,它為某些項相互抵消提供了方便,在解題中要注意靈活運用.
鞏固訓練
(1)化簡:-+;
(2)已知-=,求n的值.
【隨堂檢測】
1.現有如下問題:
①將圖案不同的4張撲克牌分給兩人,每人2張,有幾種方法
②將圖案不同的4張撲克牌分給四人,每人1張,有幾種分法
③空間中的10個點,任意3個點都不共線,能構成多少個以這些點為頂點的三角形
其中是組合問題的個數為(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
2.+=(　　).
A.25 B.30 C.35 D.40
3.計算:+=　　　　.
4.已知-=-,求的值.
24.3　課時1　組合與組合數公式
【學習目標】
1.理解并掌握組合與組合數的概念,掌握組合與排列之間的聯系與區別.(數學抽象)
2.會推導組合數公式,并會應用公式進行求值.(數學運算)
3.理解組合數的兩個性質,并會求值、化簡和證明.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動,有多少種不同的選法 這一問題與“從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動,其中1名同學參加上午的活動,另外1名同學參加下午的活動”有什么區別和聯系
【答案】共有3種方法.由于“甲上午、乙下午”與“乙上午、甲下午”是兩種不同的選法,因此解決后面的問題時,不僅要從3名同學中選出2名,而且還要將他們按照“上午在前,下午在后”的順序排列,這是上一節研究的排列問題.本問題要研究的問題只是從3名同學中選出2名去參加一項活動,而不需要排列他們的順序.
2.你能說說排列與組合之間的區別和聯系嗎
【答案】從排列與組合的定義可以知道,兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,這是排列、組合的共同點;它們的不同點是:排列與元素的順序有關,組合與元素的順序無關.只有元素相同且順序也相同的兩個排列才是相同的;只要兩個組合的元素相同,不論元素的順序如何,都是相同的組合.
3.我們知道,“排列”與“排列數”是兩個不同的概念,那么“組合”與“組合數”是同一個概念嗎 為什么
【答案】“組合”與“組合數”是兩個不同的概念,“組合”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組”,它不是一個數,而是指具體的一件事;“組合數”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數”,它是一個具體的數值.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)從a,b,c三個不同的元素中任取兩個元素的一個組合是. (　　)
(2)從1,3,5,7中任取兩個數相乘可得個積. (　　)
(3)1,2,3與3,2,1是同一個組合. (　　)
(4)=5×4×3=60. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.(+)÷的值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6 B.101 C. D.
【答案】C
【解析】原式=(+)÷=÷==.
3.在報名的3名男教師和3名女教師中,選取3人參加義務獻血,要求男、女教師都有,則不同的選取方法種數為　　　　　.(結果用數值表示)
【答案】18
【解析】選取方式有:選2名男教師1名女教師或選2名女教師1名男教師,
則不同的選取方法有2=18(種).
4.求不等式-n<5的解集.
【解析】由-n <5,得-n<5,即n2-3n-10<0,解得-2由題設條件知n≥2,且n∈N+,
所以n=2,3,4.故原不等式的解集為{2,3,4}.
【合作探究】
探究1：組合的概念
情境設置
　　“校園歌手大賽”是某校的特色文化活動之一,它為同學們緊張、忙碌的學習生活提供了休閑、放松的平臺,同時也給同學們出了一道數學題.比較下列兩個問題并發現它們之間的關系.
問題1:高二(1)班有3名同學想參加比賽,但是學校只給了每個班2個名額,且其中1名參加流行組,1名參加民歌組,共有幾種不同的報名結果
【答案】有=6(種).
問題2:高二(1)班有3名同學想參加比賽,但是學校只給了每個班2個名額,共有幾種不同的報名結果
【答案】由列舉法可知有3種.
問題3:上述兩個問題的區別是什么
【答案】問題1是排列問題,有順序,問題2是無順序問題,是我們要學習的組合問題.
新知生成
1.組合:一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素,不論次序地構成一組,叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.
2.相同組合:當且僅當這兩個組合的元素完全相同.
3.排列與組合的區別
排列需要考慮元素的順序,組合不需要考慮元素的順序.
新知運用
例1　判斷下列問題是排列問題,還是組合問題.
(1)10個人相互寫一封信,共寫出了多少封信
(2)10個人相互通一次電話,共通了多少次電話
(3)10支球隊以單循環進行比賽(每兩隊比賽一次),這次比賽需要進行多少場次
(4)從10個人中選出3人擔任不同學科的科代表,有多少種選法
方法指導　區分排列與組合的方法是看事件是否有順序,而區分事件有無順序的方法是:把問題的一個選擇結果寫出來,然后交換這個結果中任意兩個元素的位置,若對結果產生影響,即說明有順序,是排列問題;若對結果沒有影響,即說明無順序,是組合問題.
【解析】(1)是排列問題,因為發信人與收信人是有順序區別的.
(2)是組合問題,因為甲與乙通一次電話,也就是乙與甲通一次電話,沒有順序的區別.
(3)是組合問題,因為每兩支球隊比賽一次,沒有順序的區別.
(4)是排列問題,因為3個人擔任哪一科的科代表是有順序區別的.
【方法總結】判斷一個問題是否是組合問題的方法技巧:區分排列與組合的關鍵是看結果是否與元素的順序有關,若交換某兩個元素的位置對結果產生影響,則是排列問題,而交換任意兩個元素的位置對結果沒有影響,則是組合問題,也就是說排列問題與選取元素的順序有關,組合問題與選取元素的順序無關.
鞏固訓練
　　判斷下列問題是排列問題,還是組合問題.
(1)把當日動物園的4張門票分給5個人,每人至多分一張,而且票必須分完,有多少種分配方法
(2)從2,3,5,7,11這5個質數中,每次取2個數分別作為分子和分母構成一個分數,共能構成多少個不同的分數
(3)從9名學生中選出4名參加一個聯歡會,有多少種不同的選法
【解析】(1)是組合問題,由于4張票是相同的(都是當日動物園的門票),不同的分配方法取決于從5人中選擇哪4人,這和順序無關.
(2)是排列問題,選出的2個數作分子或分母,結果是不同的.
(3)是組合問題,選出的4人無角色差異,不需要排列他們的順序.
探究2：組合數公式
情境設置
　　問題1:組合的概念的要點是什么
【答案】(1)取出的對象是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m個對象與順序無關,無序性是組合的特征性質.
問題2:兩個組合是相同組合的充要條件是什么
【答案】只要兩個組合中的元素完全相同,不管順序如何,這兩個組合就是相同的組合.
問題3:前面已經提到,組合和排列有關系,我們能否利用這種關系,由排列數來求組合數呢
【答案】能,下面從4個元素取出3個元素的排列與組合來分析:分析從4個元素取出3個元素的排列數為=24,組合數為=4,比較發現組合數===4.
問題4:如何理解組合與組合數
【答案】“組合”與“組合數”也是兩個不同的概念,“組合”是指“從n個不同元素中取m(m≤n)個元素合成一組”,它不是一個數,而是具體的一件事;“組合數”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數”,它是一個具體的數值.例如,從3個不同元素a,b,c中每次取出兩個元素的組合為ab,ac,bc,其中每一種都叫一個組合,這些組合共有3個,則組合數為3.
新知生成
1.組合數
從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素,所有不同組合的個數叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數,用符號表示.
2.組合數公式
組合 數公 式 乘積式 ==
階乘式 =
備注 ①n∈N+,m∈N且m≤n;②規定=1
新知運用
例2　計算:(1)3-2;(2)解關于n的不等式>.
方法指導　恰當選擇組合數公式,一般地,公式=常用于n為具體數的數目,偏向于組合數的計算;公式=常用于n為字母的題目,偏向于解不等式或證明恒等式.注意使用組合數公式的隱含條件.
【解析】(1)3-2=3×-2×=148.
(2)由>,得>,所以n2-9n-10<0,解得-1【方法總結】　(1)公式=(n∈N+,m∈N,m≤n)一般用于求值計算.
(2)公式=一般用于化簡、證明或m,n較大的計算.
(3)在求解有關組合數的方程或不等式時,必須注意隱含條件,即中的n為正整數,m為自然數,且n≥m.因此求出方程或不等式的解后,要進行檢驗,將不符合的解舍去.
鞏固訓練
　　若-<,則n的取值集合為　　　　.
【答案】{5,6,7,8,9,10,11}
【解析】由-<,
可得n2-11n-12<0,解得-1又n∈N+,且n≥5,所以n∈{5,6,7,8,9,10,11}.
探究3：組合數的性質
情境設置
　　問題1:試用兩種方法求:從a,b,c,d,e 5人中選出3人參加數學競賽,2人參加英語競賽,共有多少種選法 你有什么發現 你能得到一般結論嗎
【答案】(法一)從5人中選出3人參加數學競賽,剩余2人參加英語競賽,共==10(種)選法.
(法二)從5人中選出2人參加英語競賽,剩余3人參加數學競賽,共==10(種)選法.
發現:=.推廣到一般結論:=.
問題2:從含有隊長的10名排球隊員中選出6人參加比賽,共有多少種選法 若隊長必須參加,有多少種選法 若隊長不能參加,有多少種選法 你有什么發現 你能推廣到一般結論嗎
【答案】共有==210(種)選法.若隊長必須參加,共=126(種)選法;若隊長不能參加,共=84(種)選法.從10名隊員中選出6人可分為隊長參賽與隊長不參賽兩類,由分類加法計數原理可得+=.一般地,+=.
問題3:在問題2中,若隊長必須參加,有多少種選法 若隊長不能參加有多少種選法 由問題2,3,你發現什么結論 你能推廣到一般結論嗎
【答案】若隊長必須參加,共有=126(種)選法.若隊長不能參加,共有=84(種)選法.
由問題2,3發現,從10名隊員中選出6人可分為隊長參賽與隊長不參賽兩類,由分類加法計數原理可得=+.
能,一般地,=+.
新知生成
　　組合數的性質
(1)=;
(2)=+.
新知運用
例3　(1)求++…+的值;
(2)證明:++2=.
方法指導　利用組合數的性質做恰當變形后進行計算求值或證明.
【解析】(1)(法一)原式=+-+-+…+-==330.
(法二)原式=+++…+=++…+=++…+=…=+==330.
(2)利用公式=+推導得,
左邊=(+)+(+)=+==右邊.
【方法總結】　(1)性質“=”的意義及作用
(2)要注意=+的順用、逆用及其變形應用.順用是將一個組合數拆成兩個,逆用則是“合二為一”,變形一般為=-,它為某些項相互抵消提供了方便,在解題中要注意靈活運用.
鞏固訓練
(1)化簡:-+;
(2)已知-=,求n的值.
【解析】(1)原式=(+)-=-=0.
(2)由-=,可得=+,
則=,故8+7=n+1,解得n=14.
【隨堂檢測】
1.現有如下問題:
①將圖案不同的4張撲克牌分給兩人,每人2張,有幾種方法
②將圖案不同的4張撲克牌分給四人,每人1張,有幾種分法
③空間中的10個點,任意3個點都不共線,能構成多少個以這些點為頂點的三角形
其中是組合問題的個數為(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】由組合的定義可知①③兩個問題與順序無關,是組合問題.
2.+=(　　).
A.25 B.30 C.35 D.40
【答案】B
【解析】+=+=10+20=30.故選B.
3.計算:+=　　　　.
【答案】466
【解析】因為所以所以n=10.
原式=+=+=+31=466.
4.已知-=-,求的值.
【解析】由已知得2=+,
所以2·=+,
整理得n2-21n+98=0,
解得n=7或n=14,
要求的值,故n≥12,所以n=14,于是=91.
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