資源簡(jiǎn)介

4.3　課時(shí)2　組合數(shù)的應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.能應(yīng)用組合知識(shí)解決有關(guān)組合的簡(jiǎn)單實(shí)際問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2.能解決有限制條件的組合問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
1.組合與排列的異同點(diǎn)是什么
2.組合數(shù)的性質(zhì)有哪些
自學(xué)檢測(cè)
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)+=(m≥2且m∈N+). (　　)
(2)從4名男生3名女生中任選2人,至少有1名女生的選法共有種. (　　)
(3)把4本書分成3堆,每堆至少一本,共有種不同分法. (　　)
(4)由三個(gè)3和四個(gè)4可以組成30個(gè)不同的七位數(shù). (　　)
2.從甲、乙、丙、丁 四個(gè)人中選取2人參加會(huì)議,不同的選取方法有(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6種 B.8種 C.12種 D.16種
3.某城市街道如圖所示,某人要選擇最短路程從A地前往B地,則不同的走法有　　　　種.
4.從2位女生,4位男生中選出3人參加垃圾分類宣傳活動(dòng).
(1)共有多少種不同的選擇方法
(2)如果至少有1位女生入選,共有多少種不同的選擇方法
【合作探究】
探究1：簡(jiǎn)單的組合問題
情境設(shè)置
　　平面內(nèi)有A,B,C,D這4個(gè)點(diǎn).
問題1:以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條
問題2:以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條
問題3:如何解決簡(jiǎn)單組合問題
新知生成
　　解答簡(jiǎn)單的組合問題的思考方法:
(1)弄清要做的這件事是什么事.
(2)選出的元素是否與順序有關(guān),也就是看看是不是組合問題.
(3)結(jié)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理,利用組合數(shù)公式求出結(jié)果.
特別提醒:要關(guān)注將要計(jì)的數(shù)是分類還是分步,在分類和分步時(shí),一定要注意有無重復(fù)或遺漏.
新知運(yùn)用
例1　在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,某學(xué)校有12人通過了初試,學(xué)校要從中選出5人去參加市級(jí)培訓(xùn),在下列條件下,有多少種不同的選法
(1)任意選5人;
(2)甲、乙、丙三人必須參加;
(3)甲、乙、丙三人不能參加;
(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加.
【方法總結(jié)】求解簡(jiǎn)單組合問題的一般步驟
鞏固訓(xùn)練
　　現(xiàn)有10名教師,其中男教師6名,女教師4名.
(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會(huì)議,有多少種不同的選法
(2)選出2名男教師或2名女教師參加會(huì)議,有多少種不同的選法
(3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會(huì)議,有多少種不同的選法
探究2：有限制條件的組合問題
情境設(shè)置
　　問題1:從2,3,4,5,6,7中任取3個(gè)不同的數(shù)字,組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),要求個(gè)位數(shù)最大,百位數(shù)最小,這樣的三位數(shù)有多少個(gè)
問題2:某天然氣公司決定從10名辦公室工作人員中裁去4人,要求甲、乙二人不能全部裁去,請(qǐng)問不同的裁員方案有多少種
問題3:根據(jù)問題1,2,想一想如何解決有限制條件的問題
新知生成
　　有限制條件的組合應(yīng)用題中“含”與“不含”問題的解題策略:
(1)這類問題的解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置,一般來講,特殊要先滿足,其余則“一視同仁”.
(2)若正面入手不易,則從反面入手,尋找問題的突破口,即采用排除法.
(3)解題時(shí)要注意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語的確切含義,準(zhǔn)確把握分類標(biāo)準(zhǔn).
新知運(yùn)用
例2　某課外活動(dòng)小組共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有一名隊(duì)長(zhǎng),現(xiàn)從中選5人主持某項(xiàng)活動(dòng),在下列不同條件下,各有多少種選法
(1)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選;
(2)至多有兩名女生當(dāng)選;
(3)既要有隊(duì)長(zhǎng),又要有女生當(dāng)選.
【方法總結(jié)】有限制條件的抽(選)取問題,主要有兩類:一是“含”與“不含”問題,其解法常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步計(jì)數(shù).二是“至多”“至少”問題,其解法常有兩種解決思路:①直接分類法,但要注意分類要不重不漏;②間接法,注意找準(zhǔn)對(duì)立面,確保不重不漏.
鞏固訓(xùn)練
　　在12件產(chǎn)品中,有10件正品,2件次品,從這12件產(chǎn)品中任意抽取3件.
(1)共有多少種不同的抽法
(2)抽出的3件中恰有1件次品的抽法有多少種
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種
探究3：分組、分配問題
情境設(shè)置
　　問題1:把a(bǔ),b,c,d平均分成兩組,有多少種分法
　　問題2:把a(bǔ),b,c,d分成兩組,一組3個(gè)元素,一組1個(gè)元素,有多少種分法
問題3:若把4個(gè)不同的蘋果分給三個(gè)人,每人至少1個(gè),共有幾種方法
新知生成
1.一般地,平均分成n堆(組),必須除以n!,如若部分平均分成m堆(組),必須再除以m!,即平均分組問題,一般來說,km個(gè)不同的元素分成k組,每組m個(gè),則不同的分法有種.故平均分組要除以分組數(shù)的全排列.
2.一般地,如果把不同的元素分配給幾個(gè)不同對(duì)象,并且每個(gè)不同對(duì)象可接受的元素個(gè)數(shù)沒有限制,那么實(shí)際上是先分組后排列的問題,即分組方案數(shù)乘不同對(duì)象數(shù)的全排列數(shù).通過以上分析不難得出解不定向分配題的一般原則:先分組后排列.
新知運(yùn)用
例3　6本不同的書,按下列要求各有多少種不同的選法
(1)分給甲、乙、丙三人,每人兩本;
(2)分為三份,每份兩本;
(3)分為三份,一份一本,一份兩本,一份三本;
(4)分給甲、乙、丙三人,一人一本,一人兩本,一人三本;
(5)分給甲、乙、丙三人,每人至少一本.
【方法總結(jié)】組問題屬于“組合”問題,常見的分組問題有三種:(1)完全均勻分組,每組的元素個(gè)數(shù)均相等;(2)部分均勻分組,應(yīng)注意不要重復(fù),有n組均勻,最后必須除以n!;(3)完全非均勻分組,這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.
鞏固訓(xùn)練
　　將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官,每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名,則不同的分配方案有　　　　種.
【隨堂檢測(cè)】
1.將2名教師、4名學(xué)生分成2個(gè)小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成,則不同的安排方案共有(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.12種 B.10種 C.9種 D.8種
2.編號(hào)為1,2,3,4,5的5個(gè)人分別去坐編號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)座位,其中有且只有兩個(gè)人的編號(hào)與座位號(hào)一致的坐法有(　　).
A.10種 B.20種 C.30種 D.60種
3.為了配合創(chuàng)建全國(guó)文明城市的活動(dòng),某?，F(xiàn)從4名男教師和5名女教師中選取3人,組成創(chuàng)文明志愿者小組.若小組中男女至少各有一人,則不同的選法共有(　　).
A.140種 B.84種 C.70種 D.35種
4.將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里,使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào),則不同的放球方法有　　　　種.
24.3　課時(shí)2　組合數(shù)的應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.能應(yīng)用組合知識(shí)解決有關(guān)組合的簡(jiǎn)單實(shí)際問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2.能解決有限制條件的組合問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
1.組合與排列的異同點(diǎn)是什么
【答案】共同點(diǎn):排列與組合都是從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素.
不同點(diǎn):排列與元素的順序有關(guān),組合與元素的順序無關(guān).
2.組合數(shù)的性質(zhì)有哪些
【答案】(1)=;(2)+=.
自學(xué)檢測(cè)
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)+=(m≥2且m∈N+). (　　)
(2)從4名男生3名女生中任選2人,至少有1名女生的選法共有種. (　　)
(3)把4本書分成3堆,每堆至少一本,共有種不同分法. (　　)
(4)由三個(gè)3和四個(gè)4可以組成30個(gè)不同的七位數(shù). (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.從甲、乙、丙、丁 四個(gè)人中選取2人參加會(huì)議,不同的選取方法有(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6種 B.8種 C.12種 D.16種
【答案】A
【解析】按照組合的定義,從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選取2人參加會(huì)議,有==6(種)選法.
3.某城市街道如圖所示,某人要選擇最短路程從A地前往B地,則不同的走法有　　　　種.
【答案】10
【解析】因?yàn)閺腁地到B地的路程最短,我們可以在地面畫出模型,實(shí)地實(shí)驗(yàn)探究一下走法可得出:①要走的路程最短必須走5步,且不能重復(fù);②向東的走法定出后,向南的走法隨之確定,所以我們只要確定出向東的三步或向南的兩步走法有多少種即可.故不同走法的種數(shù)為=10.
4.從2位女生,4位男生中選出3人參加垃圾分類宣傳活動(dòng).
(1)共有多少種不同的選擇方法
(2)如果至少有1位女生入選,共有多少種不同的選擇方法
【解析】(1)從2位女生,4位男生中選出3人參加垃圾分類宣傳活動(dòng),選擇方法數(shù)為=20.
(2)沒有女生入選的選擇方法數(shù)為=4,所以至少有1位女生入選的選擇方法數(shù)為20-4=16.
【合作探究】
探究1：簡(jiǎn)單的組合問題
情境設(shè)置
　　平面內(nèi)有A,B,C,D這4個(gè)點(diǎn).
問題1:以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條
【答案】每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段有2條,故滿足條件的有向線段條數(shù)為=4×3=12.
問題2:以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條
【答案】以每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段只有1條,故滿足條件的線段條數(shù)為==6.
問題3:如何解決簡(jiǎn)單組合問題
【答案】分析選出的元素是否與順序有關(guān),若與順序無關(guān),利用組合、組合數(shù)公式求解即可,若與順序有關(guān),可利用排列求解.
新知生成
　　解答簡(jiǎn)單的組合問題的思考方法:
(1)弄清要做的這件事是什么事.
(2)選出的元素是否與順序有關(guān),也就是看看是不是組合問題.
(3)結(jié)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理,利用組合數(shù)公式求出結(jié)果.
特別提醒:要關(guān)注將要計(jì)的數(shù)是分類還是分步,在分類和分步時(shí),一定要注意有無重復(fù)或遺漏.
新知運(yùn)用
例1　在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,某學(xué)校有12人通過了初試,學(xué)校要從中選出5人去參加市級(jí)培訓(xùn),在下列條件下,有多少種不同的選法
(1)任意選5人;
(2)甲、乙、丙三人必須參加;
(3)甲、乙、丙三人不能參加;
(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加.
【解析】(1)共有=792(種)不同的選法.
(2)甲、乙、丙三人必須參加,只需從另外的9人中選2人,共有=36(種)不同的選法.
(3)甲、乙、丙三人不能參加,只需從另外的9人中選5人,共有=126(種)不同的選法.
(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加,分兩步,先從甲、乙、丙中選1人,有種選法,再從另外的9人中選4人,有種選法.因此共有=378(種)不同的選法.
【方法總結(jié)】求解簡(jiǎn)單組合問題的一般步驟
鞏固訓(xùn)練
　　現(xiàn)有10名教師,其中男教師6名,女教師4名.
(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會(huì)議,有多少種不同的選法
(2)選出2名男教師或2名女教師參加會(huì)議,有多少種不同的選法
(3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會(huì)議,有多少種不同的選法
【解析】(1)從10名教師中選2名去參加會(huì)議的選法種數(shù),就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù),即==45.
(2)可把問題分兩類情況:第1類,選出2名男教師,有種方法;第2類,選出2名女教師,有種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知,共有+=15+6=21(種)不同的選法.
(3)從6名男教師中選2名的選法有種,從4名女教師中選2名的選法有種,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知,不同的選法共有=15×6=90(種).
探究2：有限制條件的組合問題
情境設(shè)置
　　問題1:從2,3,4,5,6,7中任取3個(gè)不同的數(shù)字,組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),要求個(gè)位數(shù)最大,百位數(shù)最小,這樣的三位數(shù)有多少個(gè)
【答案】先從6個(gè)數(shù)中任意取3個(gè)數(shù),有=20(種)選法,再把三個(gè)數(shù)里最大的數(shù)排列在個(gè)位,有1種排法,把最小的數(shù)排在百位,有1種排法,剩下的數(shù)排在十位,有1種排法,共有20×1×1×1=20(種)方法.
問題2:某天然氣公司決定從10名辦公室工作人員中裁去4人,要求甲、乙二人不能全部裁去,請(qǐng)問不同的裁員方案有多少種
【答案】甲、乙中裁一人的方案有種,甲、乙都不裁的方案有種,故不同的裁員方案共有+=182(種).
問題3:根據(jù)問題1,2,想一想如何解決有限制條件的問題
【答案】解決有限制條件的組合問題,需將特殊元素優(yōu)先安排,注意含有“至多”“至少”等限制語句,可以此作為分類依據(jù),或采用間接法求解.
新知生成
　　有限制條件的組合應(yīng)用題中“含”與“不含”問題的解題策略:
(1)這類問題的解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置,一般來講,特殊要先滿足,其余則“一視同仁”.
(2)若正面入手不易,則從反面入手,尋找問題的突破口,即采用排除法.
(3)解題時(shí)要注意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語的確切含義,準(zhǔn)確把握分類標(biāo)準(zhǔn).
新知運(yùn)用
例2　某課外活動(dòng)小組共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有一名隊(duì)長(zhǎng),現(xiàn)從中選5人主持某項(xiàng)活動(dòng),在下列不同條件下,各有多少種選法
(1)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選;
(2)至多有兩名女生當(dāng)選;
(3)既要有隊(duì)長(zhǎng),又要有女生當(dāng)選.
【解析】(1)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)含有兩種情況:有一名隊(duì)長(zhǎng)和有兩名隊(duì)長(zhǎng).故共有+=825(種).(或采用排除法,有-=825(種))
(2)至多有兩名女生含有三種情況:有兩名女生,只有一名女生,沒有女生.故共有++=966(種).
(3)分兩種情況:第一種,女隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選,有種;第二種,女隊(duì)長(zhǎng)不當(dāng)選,有+++種.故共有++++=790(種).
【方法總結(jié)】有限制條件的抽(選)取問題,主要有兩類:一是“含”與“不含”問題,其解法常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步計(jì)數(shù).二是“至多”“至少”問題,其解法常有兩種解決思路:①直接分類法,但要注意分類要不重不漏;②間接法,注意找準(zhǔn)對(duì)立面,確保不重不漏.
鞏固訓(xùn)練
　　在12件產(chǎn)品中,有10件正品,2件次品,從這12件產(chǎn)品中任意抽取3件.
(1)共有多少種不同的抽法
(2)抽出的3件中恰有1件次品的抽法有多少種
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種
【解析】(1)從這12件產(chǎn)品中任意抽出3件,共有=220(種)不同的抽法.
(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法,是指2件正品,1件次品,有=90(種)不同的抽法.
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法種數(shù),可以用12件產(chǎn)品中任意抽出3件的抽法種數(shù)減去抽出3件產(chǎn)品全是正品的抽法種數(shù),因此,共有-=220-120=100(種)不同的抽法.
探究3：分組、分配問題
情境設(shè)置
　　問題1:把a(bǔ),b,c,d平均分成兩組,有多少種分法
【答案】把a(bǔ),b,c,d平均分成兩組,有=3(種)分法.
　　問題2:把a(bǔ),b,c,d分成兩組,一組3個(gè)元素,一組1個(gè)元素,有多少種分法
【答案】共有=4(種)分法.
問題3:若把4個(gè)不同的蘋果分給三個(gè)人,每人至少1個(gè),共有幾種方法
【答案】先分組1,1,2,有種方法,再把這三組分給3個(gè)人,共有=36(種)分法.
新知生成
1.一般地,平均分成n堆(組),必須除以n!,如若部分平均分成m堆(組),必須再除以m!,即平均分組問題,一般來說,km個(gè)不同的元素分成k組,每組m個(gè),則不同的分法有種.故平均分組要除以分組數(shù)的全排列.
2.一般地,如果把不同的元素分配給幾個(gè)不同對(duì)象,并且每個(gè)不同對(duì)象可接受的元素個(gè)數(shù)沒有限制,那么實(shí)際上是先分組后排列的問題,即分組方案數(shù)乘不同對(duì)象數(shù)的全排列數(shù).通過以上分析不難得出解不定向分配題的一般原則:先分組后排列.
新知運(yùn)用
例3　6本不同的書,按下列要求各有多少種不同的選法
(1)分給甲、乙、丙三人,每人兩本;
(2)分為三份,每份兩本;
(3)分為三份,一份一本,一份兩本,一份三本;
(4)分給甲、乙、丙三人,一人一本,一人兩本,一人三本;
(5)分給甲、乙、丙三人,每人至少一本.
【解析】(1)根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有=90(種).
(2)分給甲、乙、丙三人,每人兩本有種方法,這個(gè)過程可以分兩步完成:第一步,分為三份,每份兩本,設(shè)有x種方法;第二步,再將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué),有種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得=x,所以x==15.因此分為三份,每份兩本一共有15種方法.
(3)這是“不均勻分組”問題,一共有=60(種)方法.
(4)在(3)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行全排列,所以一共有=360(種)方法.
(5)可以分為三類情況:①“2、2、2型”,即(1)中的分配情況,有=90(種)方法;②“1、2、3型”,即(4)中的分配情況,有=360(種)方法;③“1、1、4型”,有=90(種)方法,所以一共有90+360+90=540(種)方法.
【方法總結(jié)】組問題屬于“組合”問題,常見的分組問題有三種:(1)完全均勻分組,每組的元素個(gè)數(shù)均相等;(2)部分均勻分組,應(yīng)注意不要重復(fù),有n組均勻,最后必須除以n!;(3)完全非均勻分組,這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.
鞏固訓(xùn)練
　　將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官,每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名,則不同的分配方案有　　　　種.
【答案】36
【解析】分兩步完成:第一步,將4名大學(xué)生按2,1,1分成三組,其分法有種;第二步,將分好的三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn),其分法有種,
則滿足條件的分配方案有·=36(種).
【隨堂檢測(cè)】
1.將2名教師、4名學(xué)生分成2個(gè)小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成,則不同的安排方案共有(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.12種 B.10種 C.9種 D.8種
【答案】A
【解析】先安排1名教師和2名學(xué)生到甲地,再將剩下的1名教師和2名學(xué)生安排到乙地,共有=12(種)安排方案.
2.編號(hào)為1,2,3,4,5的5個(gè)人分別去坐編號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)座位,其中有且只有兩個(gè)人的編號(hào)與座位號(hào)一致的坐法有(　　).
A.10種 B.20種 C.30種 D.60種
【答案】B
【解析】先選擇兩個(gè)編號(hào)與座位號(hào)一致的人,方法數(shù)有=10,另外三個(gè)人編號(hào)與座位號(hào)不一致,方法數(shù)有2,所以不同的坐法有10×2=20(種).
3.為了配合創(chuàng)建全國(guó)文明城市的活動(dòng),某?，F(xiàn)從4名男教師和5名女教師中選取3人,組成創(chuàng)文明志愿者小組.若小組中男女至少各有一人,則不同的選法共有(　　).
A.140種 B.84種 C.70種 D.35種
【答案】C
【解析】從4名男教師和5名女教師中,選取3人,共有種情況.
若全為男生,共有種情況;若全為女生,共有種情況.
所以若小組中男女至少各有一人,則不同的選法共有--=70(種).故選C.
4.將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里,使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào),則不同的放球方法有　　　　種.
【答案】10
【解析】根據(jù)2號(hào)盒子里放球的個(gè)數(shù)分類.第一類,2號(hào)盒子里放2個(gè)球,有種放法.第二類,2號(hào)盒子里放3個(gè)球,有種放法,因此不同的放球方法的種數(shù)為+=10.
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