資源簡介

4.4　課時1　二項式定理
【學習目標】
1.能用兩種計數原理證明二項式定理.(邏輯推理)
2.掌握二項式定理及其二項展開式的通項公式.(數學抽象)
3.能解決與二項展開式有關的簡單問題.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.你能寫出(b+a)n的二項展開式嗎 二項展開式中的字母a,b能交換位置嗎
【答案】(1)(b+a)n=bn+bn-1a+bn-2a2+…+an.
(2)二項展開式中的字母a,b是不能交換位置的.雖然(a+b)n與(b+a)n的結果相同,但(a+b)n與(b+a)n的展開式是有區別的,即二者的展開式中的項的排列順序是不同的,不能混淆,如(a+b)3的展開式中第2項是3a2b,而(b+a)3的展開式中第2項是3ab2,故兩者是不同的.
2.(1+2x)n的二項展開式是什么 其第5項的二項式系數和第5項的系數各是什么
【答案】(1+2x)n=+2x+(2x)2+(2x)3+…+(2x)n.其第5項的二項式系數為,第5項的系數為·24=16.
3.在二項式定理中,項的系數與二項式系數有什么區別
【答案】二項式系數與展開式中對應項的系數不一定相等,二項式系數僅與二項式的指數及項數有關,與二項式無關,而項的系數與二項式、二項式的指數及項數均有關.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)(a+b)n展開式中共有n項. (　　)
(2)二項式(a+b)n與(b+a)n展開式中第r+1項相同. (　　)
(3)arbn-r是(b+a)n展開式中的第r(r=0,1,2,…,n)項. (　　)
(4)在(1±x)n的展開式中各項的系數與其二項式系數均相等. (　　)
　　【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.若(x+2)n的展開式共有11項,則n=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.9 B.10 C.11 D.8
【答案】B
【解析】因為(a+b)n的展開式共有n+1項,而(x+2)n的展開式共有11項,所以n=10.
3.將(a1+b1+c1)(a2+b2+c2+d2)展開后有　　　個不同的項.
【答案】12
【解析】由題意知,共有=12(個)不同的項.
4.求x+6的展開式.
【解析】根據二項式定理可知x+6=x+x-16
=x6+x5x-1+x4x-2+x3x-3+x2x-4+x1x-5+x-6
=x6+6x4+15x2+20+15x-2+6x-4+x-6.
【合作探究】
探究1：二項式定理
情境設置
　　問題1:在初中,我們用多項式乘法法則得到了(a+b)2的展開式:(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法計數原理解釋上述展開過程
【答案】從上述過程可以看到,(a+b)2是2個(a+b)相乘,根據多項式乘法法則,每個(a+b)在相乘時有兩種選擇,選a或選b,而且每個(a+b)中的a或b都選定后,才能得到展開式的一項.于是,由分步乘法計數原理,在合并同類項之前,(a+b)2的展開式共有2×2=22項,而且每一項都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式.
問題2:在合并同類項之前,(a+b)2的展開式為aa+ab+ba+bb,每項都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式,你能從組合的觀點解釋合并同類項后a2-kbk的系數特點嗎
【答案】當k=0時,a2-kbk=a2,是由2個(a+b)中都不選b得到的,相當于從2個(a+b)中取0個b(即都取a)的組合數,因此a2只有1個;
當k=1時,a2-kbk=ab,是由一個(a+b)中選a,另一個(a+b)中選b得到的,由于b選定后,a的選法也隨之確定,因此,ab出現的次數相當于從2個(a+b)中取1個b的組合數,即ab共有2個;
當k=2時,a2-kbk=b2,是由2個(a+b)中都選b得到的,相當于從2個(a+b)中取2個b的組合數,因此b2只有1個.
由上述分析可以得到(a+b)2=a2+ab+b2.
問題3:仿照上述過程,你認為(a+b)3,(a+b)4,(a+b)n的展開式是什么
【答案】(a+b)3=a3+a2b+ab2+b3;
(a+b)4=a4+a3b+a2b2+ab3+b4;
(a+b)n=an+an-1b+…+abn-1+bn.
新知生成
　　二項式定理
公式(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn(n∈N+)叫作二項式定理.等號右邊的多項式叫作(a+b)n的二項展開式,一共有(n+1)項,其中各項的系數(其中0≤r≤n,r∈N,n∈N+)叫作二項式系數.
新知運用
例1　(1)求的展開式.
(2)化簡:(x+1)n-(x+1)n-1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n.
方法指導　(1)解答本題先將看成a,-看成b,利用二項式定理展開,也可以先將化簡后再展開.(2)可先把x+1看成一個整體,分析其結構形式,逆用二項式定理求解.
【解析】(1)(法一)=()4-()3·+()2-··+=x2-2x+-+.
(法二)==(2x-1)4=(16x4-32x3+24x2-8x+1)=x2-2x+-+.
(2)原式=(x+1)n+(x+1)n-1(-1)+(x+1)n-2(-1)2+…+(x+1)n-k(-1)k+…+(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
【方法總結】二項式定理的雙向應用:(1)正用:將二項式(a+b)n展開,得到一個多項式,即二項式定理從左到右使用是展開.對較復雜的式子,先化簡再用二項式定理展開.(2)逆用:將展開式合并成二項式(a+b)n的形式,即二項式定理從右到左使用是合并.對于化簡、求和、證明等問題的求解,要熟悉公式的特點、項數、各項冪指數的規律以及各項系數的規律.
鞏固訓練
1.1-2+4-8+16+…+(-2)n的值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.-1 C.(-1)n D.3n
【答案】C
【解析】1-2+4-8+16+…+(-2)n=[1+(-2)]n=(1-2)n=(-1)n.
2.求x2+-23的展開式.
【解析】x2+-23=x-6=(x2-1)6
=[(x2)6-(x2)5+(x2)4-(x2)3+(x2)2-x2+]
=(x12-6x10+15x8-20x6+15x4-6x2+1)
=x6-6x4+15x2-20+-+.
探究2：二項展開式的通項
情境設置
　　問題1:在(a+b)n的二項展開式中,第k項是什么
【答案】Tk=T(k-1)+1=an-k+1bk-1 .
問題2:在(a+b)n的二項展開式中,Tk+1=an-kbk是二項展開式的第幾項 其二項式系數是什么
【答案】Tk+1=an-kbk是第k+1項,其二項式系數為.
問題3:(1+3x)n的二項展開式是什么 其第6項的二項式系數和第6項的系數各是什么
【答案】(1+3x)n=+·3x+(3x)2+(3x)3+…+(3x)n.其第6項的二項式系數為,第6項的系數為·35=243.
新知生成
　　二項展開式的通項
(a+b)n展開式中的an-rbr叫作二項展開式的通項,記作Tr+1,它表示展開式的第r+1項,即Tr+1=an-rbr.
新知運用
例2　已知在-n的展開式中,第6項為常數項.
(1)求n的值;
(2)求含x2的項的系數;
(3)求第4項的二項式系數及第4項的系數;
(4)求展開式中所有的有理項.
方法指導　(1)寫出二項式的通項Tr+1,令r=5,x的指數為0,求出n的值;(2)由二項式的通項求含x2的項的系數;(3)由二項式的通項寫出第4項的二項式系數及第4項的系數;(4)令通項中“變元”的冪指數為整數,建立方程,解方程得對應的有理項.
【解析】(1)通項為Tr+1=(-3)r
=(-3)r.
因為第6項為常數項,所以當r=5時,有=0,即n=10.
(2)令=2,得r=2,可得所求的項的系數為·(-3)2=405.
(3)因為-10的展開式的通項是Tr+1=(-3)r,
所以第4項的二項式系數為=120,第4項的系數為(-3)3=-120×27=-3240.
(4)根據通項公式,由題意得則r可取2,5,8.
則第3項,第6項與第9項為有理項,
它們分別為(-3)2x2,(-3)5,(-3)8x-2,
即405x2,-61236,295245x-2.
【方法總結】求二項展開式的特定項問題,一般需要建立方程求k的值,再將k的值代回通項求解,注意k的取值范圍(k=0,1,2,…,n).(1)第m項:此時k+1=m,直接代入通項;(2)常數項:即這項中不含“變元”,令通項中“變元”的冪指數為0,建立方程.
鞏固訓練
　　求x2-9的展開式中:
(1)第6項的二項式系數;
(2)第3項的系數;
(3)常數項.
【解析】(1)由二項式定理及展開式的通項公式可得,第6項的二項式系數為=126.
(2)由題意可知,T3=(x2)7-2=9x12,故第3項的系數為9.
(3)因為Tk+1=(x2)9-k-k=-kx18-3k,令18-3k=0,解得k=6,所以T7=-6=,即常數項為.
探究3：有理項問題
情境設置
　　問題1:什么是展開式的有理項
【答案】展開式中的有理項,就是指系數為有理數,次數為整數的項,一般是指通項公式中字母的指數為整數的項.
問題2:什么是二項式中的整數項 與有理項相同嗎
【答案】二項式中整數項是有理項的一部分,是有理項中分母不含字母的部分,與有理項不同.
新知生成
1.求二項式中的有理項,一般是先寫出通項公式,其所有的字母的指數恰好都是整數的項.解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數,根據具體要求,令其屬于整數,再根據數的整除性來求解.
2.求二項展開式中的整數項,其通項公式中同一字母的指數應是自然數,求解方式與求有理項一致.
新知運用
例3　在+n的展開式中,前3項的系數成等差數列.
(1)求展開式中x的系數;
(2)求展開式中的有理項,其中的整數項有幾個
方法指導　(1)由=+可得出關于n的一元二次方程,結合n的取值范圍可求得n的值,然后寫出展開式的通項,令x的指數為1,求出參數的值,代入通項即可得解;(2)設展開式中,第k+1項為有理項,可知4-k∈Z,求出k的可能取值,代入通項即可得解.
【解析】(1)因為前3項的系數成等差數列,且前3項的系數分別為,,,
所以=+,即n=1+,所以n2-9n+8=0,解得n=8或n=1(舍去),則二項式+8展開式的通項公式為Tk+1=···=··.
令4-k=1,得k=4,所以展開式中x的系數為·=.
(2)設展開式中,第k+1項為有理項,則4-k∈Z,
則當k=0,4,8時對應的項為有理項,有理項分別為T1=x4,T5=x,T9=.
該展開式中的整數項為T1=x4,T5=x,共有2項.
【方法總結】求展開式的有理項,應寫出它的通項公式,令未知量的指數為整數,便能求出符合題意的有理項.
鞏固訓練
　　在-n(n≥3,n∈N+)的展開式中,第2,3,4項的二項式系數依次成等差數列.
(1)證明:展開式中沒有常數項.
(2)求展開式中所有的有理項.
【解析】(1)由第2,3,4項的二項式系數依次成等差數列,得2=+,
解得n=2(舍去)或n=7,
所以-7的展開式的通項公式為Tr+1=()7-r-r=-r,
令=0,得r= N+,故展開式中沒有常數項.
(2)令∈Z,則r=2或r=6,
所以T3=-2=x2,T7=·-6x-1=,
故展開式中的有理項為T3=x2和T7=.
【隨堂檢測】
1.在(1-2x)6的展開式中,x3的系數為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.20 B.-20 C.160 D.-160
【答案】D
【解析】(1-2x)6的展開式的通項公式為Tr+1=·16-r·(-2)rxr=(-2)rxr,
令r=3可得T4=(-2)3x3=-160x3,所以x3的系數為-160.
2.化簡(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1 的結果為(　　).
A.x4 B.(x-1)4 C.(x+1)4 D.x4-1
【答案】A
【解析】(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1
=(x+1)4+(x+1)3×(-1)+(x+1)2×(-1)2+(x+1)×(-1)3+(-1)4
=[(x+1)-1]4=x4.
3.1+(1+x)6的展開式中x2的系數為(　　).
A.15 B.20 C.30 D.35
【答案】C
【解析】因為(1+x)6的展開式的通項為Tk+1=xk,所以1+(1+x)6的展開式中含x2的項為1·x2和·x4,所以1+(1+x)6的展開式中x2的系數為+=2=2×=30.
4.x2+-2n的展開式中的常數項是70,則n=　　　　.
【答案】4
【解析】x2+-2n=x-2n的展開式的通項公式為Tr+1=·(-1)r·x2n-2r,
令2n-2r=0,求得n=r,故展開式的常數項為(-1)n·=70,求得n=4.
5.已知二項式3x+4.
(1)求展開式中x的系數;
(2)求展開式中所有含x的有理項.
【解析】(1)由題意知,展開式的第r+1項為Tr+1=(3x)4-r·r=34-r.
令4-r=1,得r=2,則展開式中x的系數為32×=54.
(2)由(1)可知,令4-r∈Z,則有r=0,2,4,
所以含x的有理項有第1項81x4,第3項54x,第5項x-2.
24.4　課時1　二項式定理
【學習目標】
1.能用兩種計數原理證明二項式定理.(邏輯推理)
2.掌握二項式定理及其二項展開式的通項公式.(數學抽象)
3.能解決與二項展開式有關的簡單問題.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.你能寫出(b+a)n的二項展開式嗎 二項展開式中的字母a,b能交換位置嗎
2.(1+2x)n的二項展開式是什么 其第5項的二項式系數和第5項的系數各是什么
3.在二項式定理中,項的系數與二項式系數有什么區別
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)(a+b)n展開式中共有n項. (　　)
(2)二項式(a+b)n與(b+a)n展開式中第r+1項相同. (　　)
(3)arbn-r是(b+a)n展開式中的第r(r=0,1,2,…,n)項. (　　)
(4)在(1±x)n的展開式中各項的系數與其二項式系數均相等. (　　)
　
2.若(x+2)n的展開式共有11項,則n=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.9 B.10 C.11 D.8
3.將(a1+b1+c1)(a2+b2+c2+d2)展開后有　　　個不同的項.
4.求x+6的展開式.
【合作探究】
探究1：二項式定理
情境設置
　　問題1:在初中,我們用多項式乘法法則得到了(a+b)2的展開式:(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法計數原理解釋上述展開過程
問題2:在合并同類項之前,(a+b)2的展開式為aa+ab+ba+bb,每項都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式,你能從組合的觀點解釋合并同類項后a2-kbk的系數特點嗎
問題3:仿照上述過程,你認為(a+b)3,(a+b)4,(a+b)n的展開式是什么
新知生成
　　二項式定理
公式(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn(n∈N+)叫作二項式定理.等號右邊的多項式叫作(a+b)n的二項展開式,一共有(n+1)項,其中各項的系數(其中0≤r≤n,r∈N,n∈N+)叫作二項式系數.
新知運用
例1　(1)求的展開式.
(2)化簡:(x+1)n-(x+1)n-1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n.
方法指導　(1)解答本題先將看成a,-看成b,利用二項式定理展開,也可以先將化簡后再展開.(2)可先把x+1看成一個整體,分析其結構形式,逆用二項式定理求解.
【方法總結】二項式定理的雙向應用:(1)正用:將二項式(a+b)n展開,得到一個多項式,即二項式定理從左到右使用是展開.對較復雜的式子,先化簡再用二項式定理展開.(2)逆用:將展開式合并成二項式(a+b)n的形式,即二項式定理從右到左使用是合并.對于化簡、求和、證明等問題的求解,要熟悉公式的特點、項數、各項冪指數的規律以及各項系數的規律.
鞏固訓練
1.1-2+4-8+16+…+(-2)n的值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.-1 C.(-1)n D.3n
2.求x2+-23的展開式.
探究2：二項展開式的通項
情境設置
　　問題1:在(a+b)n的二項展開式中,第k項是什么
問題2:在(a+b)n的二項展開式中,Tk+1=an-kbk是二項展開式的第幾項 其二項式系數是什么
問題3:(1+3x)n的二項展開式是什么 其第6項的二項式系數和第6項的系數各是什么
新知生成
　　二項展開式的通項
(a+b)n展開式中的an-rbr叫作二項展開式的通項,記作Tr+1,它表示展開式的第r+1項,即Tr+1=an-rbr.
新知運用
例2　已知在-n的展開式中,第6項為常數項.
(1)求n的值;
(2)求含x2的項的系數;
(3)求第4項的二項式系數及第4項的系數;
(4)求展開式中所有的有理項.
方法指導　(1)寫出二項式的通項Tr+1,令r=5,x的指數為0,求出n的值;(2)由二項式的通項求含x2的項的系數;(3)由二項式的通項寫出第4項的二項式系數及第4項的系數;(4)令通項中“變元”的冪指數為整數,建立方程,解方程得對應的有理項.
【方法總結】求二項展開式的特定項問題,一般需要建立方程求k的值,再將k的值代回通項求解,注意k的取值范圍(k=0,1,2,…,n).(1)第m項:此時k+1=m,直接代入通項;(2)常數項:即這項中不含“變元”,令通項中“變元”的冪指數為0,建立方程.
鞏固訓練
　　求x2-9的展開式中:
(1)第6項的二項式系數;
(2)第3項的系數;
(3)常數項.
探究3：有理項問題
情境設置
　　問題1:什么是展開式的有理項
問題2:什么是二項式中的整數項 與有理項相同嗎
新知生成
1.求二項式中的有理項,一般是先寫出通項公式,其所有的字母的指數恰好都是整數的項.解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數,根據具體要求,令其屬于整數,再根據數的整除性來求解.
2.求二項展開式中的整數項,其通項公式中同一字母的指數應是自然數,求解方式與求有理項一致.
新知運用
例3　在+n的展開式中,前3項的系數成等差數列.
(1)求展開式中x的系數;
(2)求展開式中的有理項,其中的整數項有幾個
方法指導　(1)由=+可得出關于n的一元二次方程,結合n的取值范圍可求得n的值,然后寫出展開式的通項,令x的指數為1,求出參數的值,代入通項即可得解;(2)設展開式中,第k+1項為有理項,可知4-k∈Z,求出k的可能取值,代入通項即可得解.
【方法總結】求展開式的有理項,應寫出它的通項公式,令未知量的指數為整數,便能求出符合題意的有理項.
鞏固訓練
　　在-n(n≥3,n∈N+)的展開式中,第2,3,4項的二項式系數依次成等差數列.
(1)證明:展開式中沒有常數項.
(2)求展開式中所有的有理項.
【隨堂檢測】
1.在(1-2x)6的展開式中,x3的系數為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.20 B.-20 C.160 D.-160
2.化簡(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1 的結果為(　　).
A.x4 B.(x-1)4 C.(x+1)4 D.x4-1
3.1+(1+x)6的展開式中x2的系數為(　　).
A.15 B.20 C.30 D.35
4.x2+-2n的展開式中的常數項是70,則n=　　　　.
5.已知二項式3x+4.
(1)求展開式中x的系數;
(2)求展開式中所有含x的有理項.
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