資源簡介

4.4　課時2　二項式系數的性質
【學習目標】
1.了解楊輝三角.(邏輯推理)
2.掌握二項式系數的性質.(邏輯推理、數學運算)
3.會用賦值法求項(二項式)的系數和.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.在(1+2x)2022的展開式中,二項式系數的最大項是第幾項 最大值是多少 在(1+x)2022的展開式中,二項式系數的最大值是多少
2.若(a+b)n的展開式中只有第5項的二項式系數最大,則n為何值
3.(a+b)n的展開式的各個二項式系數的和與a,b的取值有關系嗎
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)二項展開式中系數最大的項與二項式系數最大的項是相同的. (　　)
(2)二項展開式的二項式系數和為++…+. (　　)
(3)在(a-b)n的展開式中,當n為偶數時,二項展開式中中間一項的系數最大. (　　)
(4)在(a+b)n的展開式中,二項式系數具有對稱性,所以=. (　　)
2.(1+2x)7 的展開式中二項式系數最大的項是(　　).
A.280x3 B.560x4
C.280x3和560x4 D.672x5和560x4
3.在(1+x)n(n∈N+)的二項展開式中,若只有x5的系數最大,則n=　　　　.
4.若x-6的展開式中常數項為-160,則展開式中各項系數之和為　　　　.
【合作探究】
探究1：楊輝三角
情境設置
　　下圖是歷史上的楊輝三角.
問題1:各行的數字有什么關系
問題2:第1,2,3,4,5,6行的數字之和各是多少 由此你能猜出第n行的數字之和嗎
由此你能得出什么結論
問題4:試寫出第n行、第n+1行的數字,并探討與,之間有什么關系
問題5:楊輝三角有什么作用
新知生成
　　楊輝三角的特點
(1)在同一行中每行兩端都是1,與這兩個1等距離的項的系數相等.
(2)在相鄰的兩行中,除1以外的每一個數都等于它“肩上”的兩個數的和,即=+.
新知運用
例1　楊輝三角在我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中被記載.如圖所示,在楊輝三角中,第15行第15個數是　　　　　.(用數字作答)
【方法總結】解決與楊輝三角有關問題的一般思路:(1)觀察:對題目要橫看、豎看、隔行看、連續看,多角度觀察.(2)找規律:通過觀察找出每一行的數之間,行與行之間的數據的規律.
鞏固訓練
　　將楊輝三角中的奇數全部換成1,偶數全部換成0,得到如圖所示的三角數表.從上往下數,第1次全行的數都為1的是第1行,第2次全行的數都為1的是第3行,…,第n次全行的數都為1的是第　　　　行;第61行中1的個數是　　　　.
探究2：二項式系數的性質
情境設置
　　問題1:根據楊輝三角的特點,在楊輝三角同一行中與兩個1等距離的項的系數相等,你可以得到二項式系數的什么性質
問題2:計算,并說明你得到的結論.
.
問題3:二項式系數何時取得最大值
新知生成
1.對稱性
二項式系數f(r) 關于直線r=對稱,即f(r)=f(n-r) .在二項展開式中,與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等,即= .
2.最大值與單調性
二項式系數f(r) 從兩端向中間逐漸增大,且當n是偶數時,展開式的項數n+1 是奇數,中間一項的二項式系數 取得最大值;當n是奇數時,展開式的項數n+1是偶數,中間兩項的二項式系數, 相等,且同時取得最大值.
新知運用
例2　已知(+x2)2n的展開式的二項式系數和比(3x-1)n的展開式的二項式系數和大992,求2x-2n的展開式中:
(1)二項式系數最大的項;
(2)系數的絕對值最大的項.
方法指導　(1)先根據二項式系數和列方程求n的值,再根據組合數性質確定二項式系數最大的項,最后根據二項展開式通項公式求結果;(2)先根據二項展開式通項公式得各項系數,根據條件列方程組,解得系數的絕對值最大的項的項數,再代入二項展開式通項公式得結果.
【方法總結】1.根據二項式系數的性質,當n為奇數時,中間兩項的二項式系數最大;當n為偶數時,中間一項的二項式系數最大.
2.求展開式中系數最大項與求二項式系數最大項是不同的,需根據各項系數的正、負變化情況,一般采用列不等式(組),解不等式(組)的方法求解.一般地,如果第r+1項的系數最大,那么與之相鄰兩項(第r項,第r+2項)的系數均不大于第r+1項的系數,由此列不等式組可確定r的范圍,再依據r∈N來確定r的值,即可求出最大項.
鞏固訓練
　　在-8的展開式中,
(1)求二項式系數最大的項.
(2)系數的絕對值最大的項是第幾項
(3)求系數最大的項與系數最小的項.
探究3：賦值法的應用
情境設置
　　問題1:如何求二項式系數和
問題2:什么是賦值法
新知生成
　　二項展開式中系數和的求法:
(1)對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子求其展開式的各項系數之和,常用賦值法,只需令x=1即可;對形如(ax+by)n(a,b∈R,n∈N+)的式子求其展開式各項系數之和,只需令x=y=1即可.
(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)展開式中各項系數之和為f(1),奇數項系數之和為a0+a2+a4+…=,偶數項系數之和為a1+a3+a5+…=.
新知運用
例3　設(1-2x)2020=a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020(x∈R).
(1)求a0+a1+a2+…+a2020的值;
(2)求a1+a3+a5+…+a2019的值;
(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2020|的值.
方法指導　先觀察所求式子與展開式各項的特點,利用賦值法進行求解.
【方法總結】
鞏固訓練
　　(多選題)已知(1-2x)2021=a0+a1x+a2x2+…+a2021x2021,則下列說法中正確的是(　　).
A.展開式中所有項的二項式系數的和為22021
B.展開式中所有奇次項系數的和為
C.展開式中所有偶次項系數的和為
D.+++…+=-1
【隨堂檢測】
1.使得3x+n(n∈N+)的展開式中含有常數項的最小的n的值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6 B.5
C.4 D.3
2.設(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,則a0+a1+a2+…+a11的值為(　　).
A.-2 B.1
C.2 D.2×39
3.當n∈N時,將三項式(x2+x+1)n 展開,可得到如圖所示的三項展開式和“廣義楊輝三角形”:
(x2+x+1)0=1
(x2+x+1)1=x2+x+1
(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1
(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1
(x2+x+1)4=x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+1
…
若在(1+ax)(x2+x+1)5 的展開式中,x8 的系數為75,則實數a 的值為(　　).
A.1 B.-1 C.2 D.-2
4.已知+2xn的展開式中前三項的二項式系數的和等于37,求展開式中二項式系數最大的項的系數.
24.4　課時2　二項式系數的性質
【學習目標】
1.了解楊輝三角.(邏輯推理)
2.掌握二項式系數的性質.(邏輯推理、數學運算)
3.會用賦值法求項(二項式)的系數和.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.在(1+2x)2022的展開式中,二項式系數的最大項是第幾項 最大值是多少 在(1+x)2022的展開式中,二項式系數的最大值是多少
【答案】在(1+2x)2022和(1+x)2022的二項展開式中,都含有2023項,中間一項的二項式系數最大,即第1012項的二項式系數最大,最大值是.
2.若(a+b)n的展開式中只有第5項的二項式系數最大,則n為何值
【答案】由二項式系數的性質可知,第5項為二項展開式的中間項,即二項展開式共有9項,故n=8.
3.(a+b)n的展開式的各個二項式系數的和與a,b的取值有關系嗎
【答案】(a+b)n的展開式的各個二項式系數的和與a,b的值無關,其和為+++…+=2n.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)二項展開式中系數最大的項與二項式系數最大的項是相同的. (　　)
(2)二項展開式的二項式系數和為++…+. (　　)
(3)在(a-b)n的展開式中,當n為偶數時,二項展開式中中間一項的系數最大. (　　)
(4)在(a+b)n的展開式中,二項式系數具有對稱性,所以=. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.(1+2x)7 的展開式中二項式系數最大的項是(　　).
A.280x3 B.560x4
C.280x3和560x4 D.672x5和560x4
【答案】C
【解析】(1+2x)7 展開式的通項公式為Tr+1=(2x)r=2rxr,
因為(1+2x)7 展開式共有8項,所以第4項和第5項的二項式系數最大,
所以(1+2x)7 展開式中二項式系數最大的項為23x3和24x4,即280x3和560x4.故選C.
3.在(1+x)n(n∈N+)的二項展開式中,若只有x5的系數最大,則n=　　　　.
【答案】10
【解析】由題意知,(1+x)n的展開式中,x5的系數就是第6項的二項式系數,因為只有它是二項式系數中最大的,所以n=10.
4.若x-6的展開式中常數項為-160,則展開式中各項系數之和為　　　　.
【答案】1
【解析】由Tr+1=x6-r-r=(-2a)rx6-2r,只有當r=3時展開式中才存在常數項,從而得(-2a)3=-160,求得a=1,令x=1,則各項系數之和為1.
【合作探究】
探究1：楊輝三角
情境設置
　　下圖是歷史上的楊輝三角.
問題1:各行的數字有什么關系
【答案】每一行中的系數具有對稱性.
問題2:第1,2,3,4,5,6行的數字之和各是多少 由此你能猜出第n行的數字之和嗎
【答案】第1,2,3,4,5,6行的數字之和分別是21,22,23,24,25,26,故第n行的數字之和應為2n.
問題3:第2行的數字2與第1行的各個數字之間有什么關系
第3行的數字3與第2行的數字之間有什么關系
第4行的數字4,6與第3行的數字之間有什么關系
第5行的數字5,10與第4行的數字之間有什么關系
第6行的數字6,15,20與第5行的數字之間有什么關系
由此你能得出什么結論
【答案】2=1+1,3=1+2,4=1+3,6=3+3,5=1+4,10=4+6,6=1+5,15=5+10,20=10+10.結論:相鄰兩行中,除1外的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和.
問題4:試寫出第n行、第n+1行的數字,并探討與,之間有什么關系
【答案】第n行　1　　　…　　　…　　1
第n+1行　1　　　…　　　…　　1
關系:=+.
問題5:楊輝三角有什么作用
【答案】利用楊輝三角可以直觀看出二項式系數的性質,當二項式的次數不大時,可借助它直接寫出各項的二項式系數.
新知生成
　　楊輝三角的特點
(1)在同一行中每行兩端都是1,與這兩個1等距離的項的系數相等.
(2)在相鄰的兩行中,除1以外的每一個數都等于它“肩上”的兩個數的和,即=+.
新知運用
例1　楊輝三角在我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中被記載.如圖所示,在楊輝三角中,第15行第15個數是　　　　　.(用數字作答)
【答案】15
【解析】由楊輝三角知,
第0行:1,
第1行:,,
第2行:,,,
第3行:,,,,
第4行:,,,,,
由此可得第n行,第r(1≤r ≤n+1)個數為,
所以第15行第15個數是= =15.
【方法總結】解決與楊輝三角有關問題的一般思路:(1)觀察:對題目要橫看、豎看、隔行看、連續看,多角度觀察.(2)找規律:通過觀察找出每一行的數之間,行與行之間的數據的規律.
鞏固訓練
　　將楊輝三角中的奇數全部換成1,偶數全部換成0,得到如圖所示的三角數表.從上往下數,第1次全行的數都為1的是第1行,第2次全行的數都為1的是第3行,…,第n次全行的數都為1的是第　　　　行;第61行中1的個數是　　　　.
【答案】2n-1　32
【解析】觀察可得第1行、第3行、第7行、第15行全行都為1,故第n次全行的數都為1的是第2n-1行.
當n=6,26-1=63,∴第63行共有64個1,遞推知第62行共有32個1,故第61行共有32個1.
探究2：二項式系數的性質
情境設置
　　問題1:根據楊輝三角的特點,在楊輝三角同一行中與兩個1等距離的項的系數相等,你可以得到二項式系數的什么性質
【答案】對稱性,因為=,也可以從f(k)=的圖象中得到.
問題2:計算,并說明你得到的結論.
【答案】=.
當k<時,>1,說明二項式系數逐漸增大;
同理,當k>時,二項式系數逐漸減小.
問題3:二項式系數何時取得最大值
【答案】當n是偶數時,中間一項的二項式系數取得最大值;當n是奇數時,中間兩項的二項式系數,相等,且同時取得最大值.
新知生成
1.對稱性
二項式系數f(r) 關于直線r=對稱,即f(r)=f(n-r) .在二項展開式中,與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等,即= .
2.最大值與單調性
二項式系數f(r) 從兩端向中間逐漸增大,且當n是偶數時,展開式的項數n+1 是奇數,中間一項的二項式系數 取得最大值;當n是奇數時,展開式的項數n+1是偶數,中間兩項的二項式系數, 相等,且同時取得最大值.
新知運用
例2　已知(+x2)2n的展開式的二項式系數和比(3x-1)n的展開式的二項式系數和大992,求2x-2n的展開式中:
(1)二項式系數最大的項;
(2)系數的絕對值最大的項.
方法指導　(1)先根據二項式系數和列方程求n的值,再根據組合數性質確定二項式系數最大的項,最后根據二項展開式通項公式求結果;(2)先根據二項展開式通項公式得各項系數,根據條件列方程組,解得系數的絕對值最大的項的項數,再代入二項展開式通項公式得結果.
【解析】由題意知,22n-2n=992,解得n=5.
(1)2x-10的展開式中第6項的二項式系數最大,
即T6=T5+1=·(2x)5·-5=-8064.
(2)設第r+1項的系數的絕對值最大,
∵Tr+1=·(2x)10-r·-r=(-1)r··210-r·x10-2r,
∴
∴即
∴≤r≤,∴r=3,
∴T4=(2x)7-3=-15360x4,
即系數的絕對值最大的項為-15360x4.
【方法總結】1.根據二項式系數的性質,當n為奇數時,中間兩項的二項式系數最大;當n為偶數時,中間一項的二項式系數最大.
2.求展開式中系數最大項與求二項式系數最大項是不同的,需根據各項系數的正、負變化情況,一般采用列不等式(組),解不等式(組)的方法求解.一般地,如果第r+1項的系數最大,那么與之相鄰兩項(第r項,第r+2項)的系數均不大于第r+1項的系數,由此列不等式組可確定r的范圍,再依據r∈N來確定r的值,即可求出最大項.
鞏固訓練
　　在-8的展開式中,
(1)求二項式系數最大的項.
(2)系數的絕對值最大的項是第幾項
(3)求系數最大的項與系數最小的項.
【解析】Tr+1=·()8-r·-r=(-1)r··2r·.
(1)二項式系數最大的項為中間項,即第5項,故T5=·24·=1120x-6.
(2)設第r+1項系數的絕對值最大,
則即整理得所以r=5或r=6.
故系數的絕對值最大的項是第6項和第7項.
(3)由(2)知,展開式中的第6項和第7項系數的絕對值最大,第6項的系數為負,第7項的系數為正.
故系數最大的項為T7=·26·x-11=1792x-11.
系數最小的項為T6=(-1)5·25=-1792.
探究3：賦值法的應用
情境設置
　　問題1:如何求二項式系數和
【答案】賦值法,在二項展開式中令a=b=1,整理可得+++…+=2n.
問題2:什么是賦值法
【答案】賦值法是給代數式(或方程或函數表達式)中的某些字母賦予一定的特殊值,從而達到解決問題的目的.
新知生成
　　二項展開式中系數和的求法:
(1)對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子求其展開式的各項系數之和,常用賦值法,只需令x=1即可;對形如(ax+by)n(a,b∈R,n∈N+)的式子求其展開式各項系數之和,只需令x=y=1即可.
(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)展開式中各項系數之和為f(1),奇數項系數之和為a0+a2+a4+…=,偶數項系數之和為a1+a3+a5+…=.
新知運用
例3　設(1-2x)2020=a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020(x∈R).
(1)求a0+a1+a2+…+a2020的值;
(2)求a1+a3+a5+…+a2019的值;
(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2020|的值.
方法指導　先觀察所求式子與展開式各項的特點,利用賦值法進行求解.
【解析】(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a2020=(-1)2020=1.
(2)令x=-1,得a0-a1+a2-…-a2019+a2020=32020,
結合(1)得2(a1+a3+…+a2019)=1-32020,∴a1+a3+a5+…+a2019=.
(3)∵Tr+1=(-2x)r=(-1)r··(2x)r,∴a2k-1<0(k∈N+),a2k>0(k∈N).
∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2020|=a0-a1+a2-a3+…-a2019+a2020=32020.
【方法總結】
鞏固訓練
　　(多選題)已知(1-2x)2021=a0+a1x+a2x2+…+a2021x2021,則下列說法中正確的是(　　).
A.展開式中所有項的二項式系數的和為22021
B.展開式中所有奇次項系數的和為
C.展開式中所有偶次項系數的和為
D.+++…+=-1
【答案】ACD
【解析】由二項式定理知,++…+=(1+1)2021=22021,故A正確.
當x=1時,有a0+a1+a2+…+a2021=-1,　①
當x=-1時,有a0-a1+a2-a3+…+a2020-a2021=32021,　②
由得a1+a3+a5+…+a2021=-,故B錯誤.
由得a0+a2+a4+…+a2020=,故C正確.
由二項式定理知,Tr+1=(-2x)r=(-2)rxr,
則a1=(-2)·,a2=(-2)2·,…,a2021=(-2)2021·,
所以+++…+= -+-+…+-=(1-1)2021-=-1,故D正確.
故選ACD.
【隨堂檢測】
1.使得3x+n(n∈N+)的展開式中含有常數項的最小的n的值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6 B.5
C.4 D.3
【答案】D
【解析】3x+n的展開式的通項公式為Tr+1=(3x)n-r·r=3n-r··,
令n-=0,可得n=,當r=2時,n取得最小值,最小值為3.
2.設(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,則a0+a1+a2+…+a11的值為(　　).
A.-2 B.1
C.2 D.2×39
【答案】A
【解析】令x=-1,得a0+a1+a2+…+a11=-2.
3.當n∈N時,將三項式(x2+x+1)n 展開,可得到如圖所示的三項展開式和“廣義楊輝三角形”:
(x2+x+1)0=1
(x2+x+1)1=x2+x+1
(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1
(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1
(x2+x+1)4=x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+1
…
若在(1+ax)(x2+x+1)5 的展開式中,x8 的系數為75,則實數a 的值為(　　).
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【答案】C
【解析】由“廣義楊輝三角形”可得(x2+x+1)5=x10+5x9+15x8+30x7+45x6+51x5+45x4+30x3+15x2+5x+1,
故在(1+ax)(x2+x+1)5 的展開式中,x8 的系數為15+30a=75,解得a=2.
4.已知+2xn的展開式中前三項的二項式系數的和等于37,求展開式中二項式系數最大的項的系數.
【解析】由++=37,得1+n+n(n-1)=37,解得n=8或n=-9(舍去),則第5項的二項式系數最大,T5=××(2x)4=x4,故該項的系數為.
2

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