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第1章 章末小結
【知識導圖】
【題型探究】
已知Sn求an
例1　已知數列{an}的前n項和Sn=2n-n2,an=log5bn,其中bn>0,求數列{bn}的前n項和.
方法指導　由數列{an}的前n項和Sn,先分兩步求得數列{an}的通項公式,再根據an=log5bn求得數列{bn}的通項公式,并判斷其類型再求和.
小結　注意由Sn求an時,分兩步完成后要判斷a1是否符合當n≥2時的式子,若符合,則可統一為一個式子,若不符合,則需要分段寫出.
等差、等比數列的性質
例2　(1)設數列{an}為等差數列,其前n項和為Sn,已知a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若對任意n∈N+都有Sn≤Sk成立,則k的值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.22 B.21 C.20 D.19
(2)已知公比為的等比數列{an}的各項都是正數,且a3a11=16,則log2a16=(　　).
A.4 B.5 C.6 D.7
　　方法指導　利用等差、等比數列的性質進行運算.
小結　(1)等差數列中利用等差中項將已知等式化簡求出基本量,注意由判斷出使得Sn取最大值時的項數.(2)設{an}為等比數列,m,n,p,q∈N+,若m+n=p+q,則am·an=ap·aq,=qm-n.利用等比數列的性質解題時要充分發揮項的“下標”的指導作用,分析等比數列項與項之間的關系,選擇恰當的性質解題.
裂項相消法求和
例3　(2022年新高考全國Ⅰ卷)記Sn為數列{an}的前n項和,已知a1=1,是公差為的等差數列.
(1)求{an}的通項公式.
(2)證明:++…+<2.
小結　本題考查數列的遞推關系式、數列的通項公式的求法、數列的求和以及裂項相消法在數列求和中的應用,主要考查學生的運算能力和數學思維能力.先利用前n項和求出an與an-1之間的關系,再利用遞推關系求出an的表達式是本題的解題關鍵.
等差數列、等比數列的證明
例4　(2021年全國甲卷)已知數列{an}的各項均為正數,記Sn為{an}的前n項和,從下面①②③中選取兩個作為條件,證明另外一個成立.
①數列{an}是等差數列;②數列{}是等差數列;③a2=3a1.
方法指導　首先確定條件和結論,然后結合等差數列的通項公式和前n項和公式證明結論即可.
小結　本題主要考查等差數列的判定與證明、等差數列的通項公式、等差數列的前n項和公式等知識,提升學生邏輯推理和數學運算的核心素養.證明數列是等差數列的主要方法:
(1)定義法:對于n≥2的任意自然數,驗證an-an-1為同一常數.
(2)等差中項法:驗證2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N+)都成立.
(3)通項公式:an=pn+q(p,q為常數) {an}是等差數列.
(4)前n項和公式:Sn=An2+Bn(A,B為常數) {an}是等差數列.
問題的最終判定還是利用等差數列的定義.
錯位相減法求和
例5　(2020年全國Ⅰ卷)設{an}是公比不為1的等比數列,a1為a2,a3的等差中項.
(1)求{an}的公比;
(2)若a1=1,求數列{nan}的前n項和.
方法指導　(1)由已知條件結合等差中項的性質,建立關于公比q的方程,求解即可得出結論;
(2)由(1)結合條件得出{an}的通項公式,根據{nan}的通項公式特征運用錯位相減法,即可求出結論.
小結　本題考查等比數列通項公式基本量的計算、等差中項的性質以及錯位相減法求和.如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的,那么這個數列的前n項和可用錯位相減法求解.本題考查了數學運算和邏輯推理的核心素養.
分組求和法
例6　(2021年新高考全國Ⅰ卷)已知數列{an}滿足a1=1,an+1=
(1)記bn=a2n,寫出b1,b2,并求數列{bn}的通項公式;
(2)求{an}的前20項和.
　　方法指導　(1)由數列{an}的通項公式可求得a2,a4,從而可求得b1,b2,由bn-bn-1=3可得數列{bn}是等差數列,從而可求得數列{bn}的通項公式;
(2)由數列{an}的通項公式可得數列{an}的奇數項和偶數項分別構成等差數列,再求解即可.
小結　本題主要考查數列的遞推式,數列的求和,提升學生數學運算和邏輯推理的核心素養.
1.若數列{cn}的通項公式為cn=an±bn,且{an},{bn}為等差數列或等比數列,則可采用分組求和法求數列{cn}的前n項和.
2.若數列{cn}的通項公式為cn=其中數列{an},{bn}是等比數列或等差數列,則可采用分組求和法求{cn}的前n項和.
數列的單調性
例7　已知數列{an}中,an=1+(n∈N+,a∈R且a≠0).
(1)若a=-7,求數列{an}中的最大項和最小項的值;
(2)若對任意的n∈N+,都有an≤a6成立,求實數a的取值范圍.
方法指導　(1)先代入a的值,構造函數判斷其單調性,再求出最大項和最小項;(2)先構造函數判斷an的單調性,再由條件列出不等式,求出實數a的取值范圍.
小結　本題考查數列與函數思想的綜合應用,通過構造函數來判斷數列的單調性.本題考查了數學抽象、邏輯推理和數學運算的核心素養.
數列的實際應用
例8　某市去年11月份發生流感,據統計,11月1日該市新的流感病毒感染者有20人,此后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人,由于該市醫療部門采取措施,使該種病毒的傳播得到控制,從某天起,每天的新感染者平均比前一天的新感染者減少30人,到11月30日止,該市在這30日內感染該病毒的患者總共8670人,問11月幾日,該市感染此病毒的新患者人數最多 并求這一天的新患者人數.
方法指導　先設第n天新患者人數最多,由題意分析出前n天流感病毒感染人數構成一個等差數列,后(30-n)天也構成一個等差數列,再由等差數列前n項和公式計算.
小結　對于數列的實際應用問題,要先弄清把哪些量構成一個數列,并判斷出數列的類型,寫出數列的基本量,再判斷所求是數列的某一項還是前n項和.本題考查了數學建模和數學運算的核心素養.
【拓展延伸】
數學文化與數列
數列中的數學文化題一般以數學名著以及古典建筑等中的等差數列和等比數列問題為背景,考查等差數列和等比數列的概念、通項公式和前n項和公式.解決這類問題的關鍵是將古代實際問題轉化為現代數學問題.
一、等差數列中的數學文化
例1　(2020年全國Ⅱ卷)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層,上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環,向外每環依次增加9塊,下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊,向外每環依次也增加9塊.已知每層環數相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)(　　).
A.3699塊 B.3474塊 C.3402塊 D.3339塊
小結　以數學文化為背景的等差數列題型的求解關鍵:(1)會脫去數學文化背景,讀懂題意;(2)構建數學模型,即由題意構建等差數列模型;(3)解模,即把文字語言轉化為求等差數列的相關問題,如求指定項、公差或項數、通項公式或前n項和等.
二、等比數列中的數學文化
例2　(多選題)在《增減算法統宗》中有這樣一則故事:“三百七十八里關,初行健步不為難;次日腳痛減一半,如此六日過其關.”則下列說法正確的是(　　).
A.此人第六天只走了5里路
B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
C.此人第二天走的路程比全程的還多0.5里
D.此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
小結　以數學文化為背景的等比數列題型的求解關鍵:(1)會透過數學文化的“表象”看“本質”;(2)構建數學模型,即盯準題眼,構建等比數列的模型;(3)解模,即把文字語言轉化為求等比數列的相關問題,如求指定項、公比或項數、通項公式或前n項和等.
三、遞推數列中的數學文化
例3　斐波那契數列,又稱黃金分割數列,因數學家萊昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入,故又稱為“兔子數列”,指的是這樣一個數列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,….從第3項開始,每一項都等于前兩項之和,記此數列為{an},則++…+=(　　).
A.a2020a2021 B.a2020a2022
C.a2021a2022 D.a2022a2023
小結　以數學文化為背景的已知遞推公式的數列題型的求解關鍵是耐心讀題、仔細理解題意,將實際問題轉化為數學模型進行解答,“盯緊”題設條件中的遞推公式,利用此遞推關系式往要求的量轉化.
2第1章 章末小結
【知識導圖】
【題型探究】
已知Sn求an
例1　已知數列{an}的前n項和Sn=2n-n2,an=log5bn,其中bn>0,求數列{bn}的前n項和.
方法指導　由數列{an}的前n項和Sn,先分兩步求得數列{an}的通項公式,再根據an=log5bn求得數列{bn}的通項公式,并判斷其類型再求和.
【解析】設數列{bn}的前n項和為Tn,
當n=1時,a1=S1=1;
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=3-2n.
經檢驗,a1=1也符合上式,∴an=3-2n(n∈N+).
又∵an=log5bn,∴bn==53-2n(n∈N+).
∵==,b1=5,
∴數列{bn}是以5為首項,為公比的等比數列,
∴Tn==1-.
小結　注意由Sn求an時,分兩步完成后要判斷a1是否符合當n≥2時的式子,若符合,則可統一為一個式子,若不符合,則需要分段寫出.
等差、等比數列的性質
例2　(1)設數列{an}為等差數列,其前n項和為Sn,已知a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若對任意n∈N+都有Sn≤Sk成立,則k的值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.22 B.21 C.20 D.19
(2)已知公比為的等比數列{an}的各項都是正數,且a3a11=16,則log2a16=(　　).
A.4 B.5 C.6 D.7
　　方法指導　利用等差、等比數列的性質進行運算.
【答案】(1)C　(2)B
【解析】(1)因為a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,所以a4=33,a5=31,所以數列{an}是以首項為39,公差為-2的等差數列.對任意n∈N+都有Sn≤Sk成立,則Sk為數列{Sn}的最大項,而在數列{an}中,a20=1>0,a21=-1<0,故S20為數列{Sn}的最大項.
(2)因為數列{an}是公比為的等比數列,a3a11=16,
所以=16.
又因為an>0,
所以a7=4,
所以a16=a7q9=32.
故log2a16=log232=log225=5.
小結　(1)等差數列中利用等差中項將已知等式化簡求出基本量,注意由判斷出使得Sn取最大值時的項數.(2)設{an}為等比數列,m,n,p,q∈N+,若m+n=p+q,則am·an=ap·aq,=qm-n.利用等比數列的性質解題時要充分發揮項的“下標”的指導作用,分析等比數列項與項之間的關系,選擇恰當的性質解題.
裂項相消法求和
例3　(2022年新高考全國Ⅰ卷)記Sn為數列{an}的前n項和,已知a1=1,是公差為的等差數列.
(1)求{an}的通項公式.
(2)證明:++…+<2.
【解析】(1)∵a1=1,∴S1=a1=1,∴=1,
又是公差為的等差數列,
∴=1+(n-1)=,∴Sn=,
當n≥2時,Sn-1=,
∴an=Sn-Sn-1=-,
整理得(n-1)an=(n+1)an-1,
即=,
∴an=a1···…··
=1×××…··=,
顯然對于n=1也成立,
∴{an}的通項公式為an=(n∈N+).
(2)∵==2-,
∴++…+=2×1-+-+…+-=21-<2.
小結　本題考查數列的遞推關系式、數列的通項公式的求法、數列的求和以及裂項相消法在數列求和中的應用,主要考查學生的運算能力和數學思維能力.先利用前n項和求出an與an-1之間的關系,再利用遞推關系求出an的表達式是本題的解題關鍵.
等差數列、等比數列的證明
例4　(2021年全國甲卷)已知數列{an}的各項均為正數,記Sn為{an}的前n項和,從下面①②③中選取兩個作為條件,證明另外一個成立.
①數列{an}是等差數列;②數列{}是等差數列;③a2=3a1.
方法指導　首先確定條件和結論,然后結合等差數列的通項公式和前n項和公式證明結論即可.
【解析】若選擇①③為條件,則②為結論.
證明如下:
設數列{an}的公差為d,
由題意可得a2=a1+d=3a1,∴d=2a1,
數列{an}的前n項和Sn=na1+d=na1+×2a1=n2a1,
故-=n-(n-1)=,
∴數列{}是等差數列.
若選擇①②為條件,則③為結論.
證明如下:
設數列{an}的公差為d,
則=,==,==,
∵數列{}為等差數列,∴+=2,即[+]2=(2)2,整理得d=2a1,∴a2=a1+d=3a1.
若選擇②③為條件,則①為結論.
證明如下:
∵S2=a1+a2=4a1,∴=2,
則數列{}的公差d=-=,
∴數列{}的通項公式為=+(n-1)d=n,
∴當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,
∵當n=1時上式也成立,∴數列{an}的通項公式為an=(2n-1)a1,
由an+1-an=[2(n+1)-1]a1-(2n-1)a1=2a1,可知數列{an}是等差數列.
小結　本題主要考查等差數列的判定與證明、等差數列的通項公式、等差數列的前n項和公式等知識,提升學生邏輯推理和數學運算的核心素養.證明數列是等差數列的主要方法:
(1)定義法:對于n≥2的任意自然數,驗證an-an-1為同一常數.
(2)等差中項法:驗證2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N+)都成立.
(3)通項公式:an=pn+q(p,q為常數) {an}是等差數列.
(4)前n項和公式:Sn=An2+Bn(A,B為常數) {an}是等差數列.
問題的最終判定還是利用等差數列的定義.
錯位相減法求和
例5　(2020年全國Ⅰ卷)設{an}是公比不為1的等比數列,a1為a2,a3的等差中項.
(1)求{an}的公比;
(2)若a1=1,求數列{nan}的前n項和.
方法指導　(1)由已知條件結合等差中項的性質,建立關于公比q的方程,求解即可得出結論;
(2)由(1)結合條件得出{an}的通項公式,根據{nan}的通項公式特征運用錯位相減法,即可求出結論.
【解析】(1)設數列{an}的公比為q(q≠1),∵a1為a2,a3的等差中項,
∴2a1=a2+a3,a1≠0,∴q2+q-2=0,
∵q≠1,∴q=-2.
(2)設數列{nan}的前n項和為Sn,∵a1=1,q=-2,∴an=(-2)n-1,
∴Sn=1×1+2×(-2)+3×(-2)2+…+n·(-2)n-1,　①
-2Sn=1×(-2)+2×(-2)2+3×(-2)3+…+(n-1)·(-2)n-1+n(-2)n,　②
由①-②得,3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n(-2)n
=-n(-2)n=,
∴Sn=.
小結　本題考查等比數列通項公式基本量的計算、等差中項的性質以及錯位相減法求和.如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的,那么這個數列的前n項和可用錯位相減法求解.本題考查了數學運算和邏輯推理的核心素養.
分組求和法
例6　(2021年新高考全國Ⅰ卷)已知數列{an}滿足a1=1,an+1=
(1)記bn=a2n,寫出b1,b2,并求數列{bn}的通項公式;
(2)求{an}的前20項和.
　　方法指導　(1)由數列{an}的通項公式可求得a2,a4,從而可求得b1,b2,由bn-bn-1=3可得數列{bn}是等差數列,從而可求得數列{bn}的通項公式;
(2)由數列{an}的通項公式可得數列{an}的奇數項和偶數項分別構成等差數列,再求解即可.
【解析】(1)因為a1=1,an+1=
所以a2=a1+1=2,a3=a2+2=4,a4=a3+1=5,
所以b1=a2=2,b2=a4=5,
bn-bn-1=a2n-a2n-2=a2n-a2n-1+a2n-1-a2n-2=1+2=3,
所以數列{bn}是以2為首項,3為公差的等差數列,
所以bn=2+3(n-1)=3n-1(n∈N+).
(2)由(1)可得a2n=3n-1,n∈N+,
則a2n-1=a2n-2+2=3(n-1)-1+2=3n-2,n≥2,
當n=1時,a1=1也符合上式,所以a2n-1=3n-2,n∈N+,
所以數列{an}的奇數項和偶數項分別為等差數列,
則{an}的前20項和為a1+a2+…+a20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)
=10+×3+10×2+×3=300.
小結　本題主要考查數列的遞推式,數列的求和,提升學生數學運算和邏輯推理的核心素養.
1.若數列{cn}的通項公式為cn=an±bn,且{an},{bn}為等差數列或等比數列,則可采用分組求和法求數列{cn}的前n項和.
2.若數列{cn}的通項公式為cn=其中數列{an},{bn}是等比數列或等差數列,則可采用分組求和法求{cn}的前n項和.
數列的單調性
例7　已知數列{an}中,an=1+(n∈N+,a∈R且a≠0).
(1)若a=-7,求數列{an}中的最大項和最小項的值;
(2)若對任意的n∈N+,都有an≤a6成立,求實數a的取值范圍.
方法指導　(1)先代入a的值,構造函數判斷其單調性,再求出最大項和最小項;(2)先構造函數判斷an的單調性,再由條件列出不等式,求出實數a的取值范圍.
【解析】(1)∵an=1+(n∈N+,a∈R且a≠0),且a=-7,∴an=1+(n∈N+).結合函數f(x)=1+的單調性可知,1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1(n∈N+),
∴數列{an}中的最大項為a5=2,最小項為a4=0.
(2)已知an=1+=1+,
對任意的n∈N+,都有an≤a6成立,
結合函數f(x)=1+的單調性可知,5<<6,
∴-10小結　本題考查數列與函數思想的綜合應用,通過構造函數來判斷數列的單調性.本題考查了數學抽象、邏輯推理和數學運算的核心素養.
數列的實際應用
例8　某市去年11月份發生流感,據統計,11月1日該市新的流感病毒感染者有20人,此后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人,由于該市醫療部門采取措施,使該種病毒的傳播得到控制,從某天起,每天的新感染者平均比前一天的新感染者減少30人,到11月30日止,該市在這30日內感染該病毒的患者總共8670人,問11月幾日,該市感染此病毒的新患者人數最多 并求這一天的新患者人數.
方法指導　先設第n天新患者人數最多,由題意分析出前n天流感病毒感染人數構成一個等差數列,后(30-n)天也構成一個等差數列,再由等差數列前n項和公式計算.
【解析】設第n天新患者人數最多,則從第(n-1)天起該市醫療部門采取措施,于是前n天流感病毒感染者總人數構成一個首項為20,公差為50的等差數列的前n項和,設為Sn,則Sn=20n+×50=25n2-5n(1≤n≤30,n∈N+).而后(30-n)天的流感病毒感染者的總人數構成一個首項為20+(n-1)×50-30=50n-60,公差為-30,項數為30-n的等差數列的和,設為Tn,則Tn=(30-n)(50n-60)+×(-30)=-65n2+2445n-14850,依題設構建方程Sn+Tn=8670,所以25n2-5n+(-65n2+2445n-14850)=8670,化簡得n2-61n+588=0,所以n=12或n=49(舍去).第12天的新的患者人數為20+(12-1)×50=570.故11月12日,該市感染此病毒的新患者人數最多,新患者人數為570.
小結　對于數列的實際應用問題,要先弄清把哪些量構成一個數列,并判斷出數列的類型,寫出數列的基本量,再判斷所求是數列的某一項還是前n項和.本題考查了數學建模和數學運算的核心素養.
【拓展延伸】
數學文化與數列
數列中的數學文化題一般以數學名著以及古典建筑等中的等差數列和等比數列問題為背景,考查等差數列和等比數列的概念、通項公式和前n項和公式.解決這類問題的關鍵是將古代實際問題轉化為現代數學問題.
一、等差數列中的數學文化
例1　(2020年全國Ⅱ卷)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層,上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環,向外每環依次增加9塊,下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊,向外每環依次也增加9塊.已知每層環數相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)(　　).
A.3699塊 B.3474塊 C.3402塊 D.3339塊
【答案】C
【解析】由題意知,由天心石開始向外的每環的扇面形石板塊數構成一個等差數列,記為{an},易知其首項a1=9,公差d=9,所以an=a1+(n-1)d=9n.設數列{an}的前n項和為Sn,由等差數列的性質知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等差數列,所以2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n,所以(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=S2n-2Sn=-2×=9n2=729,解得n=9.所以三層共有扇面形石板的塊數為S3n===3402.故選C.
小結　以數學文化為背景的等差數列題型的求解關鍵:(1)會脫去數學文化背景,讀懂題意;(2)構建數學模型,即由題意構建等差數列模型;(3)解模,即把文字語言轉化為求等差數列的相關問題,如求指定項、公差或項數、通項公式或前n項和等.
二、等比數列中的數學文化
例2　(多選題)在《增減算法統宗》中有這樣一則故事:“三百七十八里關,初行健步不為難;次日腳痛減一半,如此六日過其關.”則下列說法正確的是(　　).
A.此人第六天只走了5里路
B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
C.此人第二天走的路程比全程的還多0.5里
D.此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
【答案】BD
【解析】根據題意,此人每天行走的路程成等比數列,設此人第n天走an里路,則數列{an}是首項為a1,公比為q=的等比數列.
則S6===378,解得a1=192.
所以a6=a1q5=192×5=6,故A錯誤.
由a1=192,得S6-a1=378-192=186,且192-186=6,故B正確.
a2=a1q=192×=96,而S6=94.5,96-94.5=1.5,故C錯誤.
a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=192×1++=336,則后三天走的路程為378-336=42,而且336÷42=8,故D正確.故選BD.
小結　以數學文化為背景的等比數列題型的求解關鍵:(1)會透過數學文化的“表象”看“本質”;(2)構建數學模型,即盯準題眼,構建等比數列的模型;(3)解模,即把文字語言轉化為求等比數列的相關問題,如求指定項、公比或項數、通項公式或前n項和等.
三、遞推數列中的數學文化
例3　斐波那契數列,又稱黃金分割數列,因數學家萊昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入,故又稱為“兔子數列”,指的是這樣一個數列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,….從第3項開始,每一項都等于前兩項之和,記此數列為{an},則++…+=(　　).
A.a2020a2021 B.a2020a2022
C.a2021a2022 D.a2022a2023
【答案】C
【解析】由已知條件可知an+2=an+1+an,則an+1=an+2-an,又a1=a2,
所以=a1a2,=a2(a3-a1)=a2a3-a1a2,=a3(a4-a2)=a3a4-a2a3,…,
=a2020(a2021-a2019)=a2020a2021-a2019a2020,
=a2021(a2022-a2020)=a2021a2022-a2020a2021,
上述各式相加得++…+
=a2a1+(a2a3-a1a2)+(a3a4-a2a3)+…+(a2020a2021-a2019a2020)+(a2021a2022-a2020a2021)
=a2021a2022.故選C.
小結　以數學文化為背景的已知遞推公式的數列題型的求解關鍵是耐心讀題、仔細理解題意,將實際問題轉化為數學模型進行解答,“盯緊”題設條件中的遞推公式,利用此遞推關系式往要求的量轉化.
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