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第2章 章末小結
【知識導圖】
【題型探究】
直線的傾斜角與斜率
例1　已知兩點M(2,-3),N(-3,-2),直線l過點P(1,1)且與線段MN相交,則直線l的斜率k的取值范圍是　　　　.
小結　求直線的傾斜角與斜率的注意點:(1)求直線的傾斜角,關鍵是依據平面幾何知識判斷直線向上方向與x軸正方向之間所成的角,同時應明確傾斜角的范圍.(2)當直線的傾斜角α∈0,時,隨著α的增大,直線的斜率k為非負值且逐漸變大;當直線的傾斜角α∈,π時,隨著α的增大,直線的斜率k為負值且逐漸變大.
直線方程及其應用
例2　在平面直角坐標系中,已知菱形ABCD的頂點A(-1,2)和C(5,4),AB所在直線的方程為x-y+3=0.
(1)求對角線BD所在的直線方程;
(2)求AD所在直線的方程.
小結　求直線方程的兩種方法:(1)直接法:根據已知條件,選擇適當的直線方程形式,直接寫出直線方程,選擇時應注意各種形式的方程的適用范圍,必要時要分類討論.(2)待定系數法:設定含有參數的直線方程,由條件求出參數,最后代入直線方程.
兩條直線的位置關系
例3　設常數m∈R,已知兩條直線l1:mx+3y-1=0,l2:x+(m-2)y+1=0.
(1)若l1與l2垂直,求m的值.
(2)若l1與l2平行,求m的值.
小結　兩條直線的位置關系的判斷方法及注意點:(1)判斷方法:兩條直線的位置關系有相交(特例垂直)、平行、重合三種,主要考查兩條直線的平行和垂直,通常借助直線的斜截式方程來判斷兩條直線的位置關系.(2)注意點:解題時要注意分析斜率是否存在,用一般式方程來判斷,可以避免討論斜率不存在的情況.
距離問題
例4　點A(0,-1)到直線y=k(x+1)的距離的最大值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B. C. D.2
小結　距離問題的解決方法:牢記各類距離的公式并能直接應用,解決距離問題時,往往將代數運算與幾何圖形的直觀分析相結合.本題考查了邏輯推理、數學運算的素養.
圓的方程
例5　(1)(2022年全國甲卷)設點M在直線2x+y-1=0 上,點(3,0) 和(0,1) 均在☉M 上,則☉M 的方程為　　　　　　　.
(2)(2022年全國乙卷)過四點(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2) 中的三點的一個圓的方程為　　　　　　.
小結　求圓的方程的方法:先設出圓的標準方程或一般方程,然后利用待定系數法解題.
直線與圓的位置關系
例6　(1)(多選題)(2021年新高考全國Ⅱ卷)已知直線l:ax+by-r2=0與圓C:x2+y2=r2,點A(a,b),則下列說法正確的是(　　).
A.若點A在圓C上,則直線l與圓C相切
B.若點A在圓C內,則直線l與圓C相離
C.若點A在圓C外,則直線l與圓C相離
D.若點A在直線l上,則直線l與圓C相切
(2)(2022年新高考全國Ⅰ卷)寫出與圓x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16 都相切的一條直線的方程:　　　　　.
小結　直線與圓的位置關系是高考考查的重點,切線問題更是重中之重,判斷點、直線與圓的位置關系以幾何法為主,解題時應充分利用圓的幾何性質以簡化解題過程.本題滲透了邏輯推理、數學運算的素養.
弦長問題
例7　(多選題)(2021年新高考全國Ⅰ卷)已知點P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上,點A(4,0),B(0,2),則(　　).
A.點P到直線AB的距離小于10
B.點P到直線AB的距離大于2
C.當∠PBA最小時,|PB|=3
D.當∠PBA最大時,|PB|=3
小結　直線與圓相交時求弦長的常用的方法是解弦心距d,圓的半徑r及半弦長構成的直角三角形.本題滲透了直觀想象、邏輯推理、數學運算的素養.
圓與圓的位置關系
例8　已知圓C1:x2+y2+4x-4y-5=0與圓C2:x2+y2-8x+4y+7=0.
(1)證明圓C1與圓C2相切,并求過切點的兩圓公切線的方程;
(2)求過點(2,3)且與兩圓相切于(1)中切點的圓的方程.
小結　判斷兩圓位置關系的兩種比較方法
(1)幾何法是利用兩圓半徑和或差與圓心距作比較,得到兩圓位置關系.
(2)代數法是把兩圓位置關系的判斷完全轉化為代數問題,轉化為方程組解的組數問題,從而體現了幾何問題與代數問題之間的相互聯系,但這種方法只能判斷出不相交、相交和相切三種位置關系,而不能像幾何法一樣,能準確判斷出外離、外切、相交、內切和內含五種位置關系.
【拓展延伸】
阿波羅尼斯圓及其應用
阿波羅尼斯是古希臘著名數學家,與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠,他對圓錐曲線有深刻而系統的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書,阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一.
在近幾年的高考中,以阿波羅尼斯圓為背景的考題不斷出現,備受命題者的青睞,下面我們通過一道例題來講解如何運用阿波羅尼斯圓,進一步加強對與此圓有關試題的認識.
例1　如圖,A,B為兩定點,動點P滿足|PA|=λ|PB|(λ>0),求證:當λ=1時,動點P的軌跡為直線;當λ≠1時,動點P的軌跡為圓,后世稱之為阿波羅尼斯圓.
例2　在△ABC中,若|AB|=2,|AC|=|BC|,則S△ABC的最大值為　　　　.
小結　阿波羅尼斯圓是一個重要的題根,備受許多命題者青睞.我們在學習過程中應該強化對這一知識點的整理.如果掌握這一知識背景,可以主動引導求解的方向,降低求解的難度.但在有些問題中,阿波羅尼斯圓并不那么明顯,需要對圖形分析后才能找到對應的動點具有阿波羅尼斯圓的特點.
2第2章 章末小結
【知識導圖】
【題型探究】
直線的傾斜角與斜率
例1　已知兩點M(2,-3),N(-3,-2),直線l過點P(1,1)且與線段MN相交,則直線l的斜率k的取值范圍是　　　　.
【答案】(-∞,-4]∪,+∞
【解析】
如圖,若直線l與線段MN相交,則k≤kPM或k≥kPN,
因為kPM==-4,kPN==,所以k≤-4或k≥.
小結　求直線的傾斜角與斜率的注意點:(1)求直線的傾斜角,關鍵是依據平面幾何知識判斷直線向上方向與x軸正方向之間所成的角,同時應明確傾斜角的范圍.(2)當直線的傾斜角α∈0,時,隨著α的增大,直線的斜率k為非負值且逐漸變大;當直線的傾斜角α∈,π時,隨著α的增大,直線的斜率k為負值且逐漸變大.
直線方程及其應用
例2　在平面直角坐標系中,已知菱形ABCD的頂點A(-1,2)和C(5,4),AB所在直線的方程為x-y+3=0.
(1)求對角線BD所在的直線方程;
(2)求AD所在直線的方程.
【解析】(1)
如圖所示,菱形ABCD的頂點A(-1,2)和C(5,4),
所以AC的中點為M(2,3),
由題意知,直線AC的斜率kAC==,
又因為AC⊥BD,即kAC·kBD=-1,
所以直線BD的斜率kBD=-3,
所以直線BD的方程為y-3=-3(x-2),即3x+y-9=0.
(2)將直線AB的方程和直線BD的方程聯立,
得解得即B,.
又C(5,4),所以kAD=kBC=-.
又A(-1,2),所以直線AD的方程為y-2=-(x+1),即x+7y-13=0.
小結　求直線方程的兩種方法:(1)直接法:根據已知條件,選擇適當的直線方程形式,直接寫出直線方程,選擇時應注意各種形式的方程的適用范圍,必要時要分類討論.(2)待定系數法:設定含有參數的直線方程,由條件求出參數,最后代入直線方程.
兩條直線的位置關系
例3　設常數m∈R,已知兩條直線l1:mx+3y-1=0,l2:x+(m-2)y+1=0.
(1)若l1與l2垂直,求m的值.
(2)若l1與l2平行,求m的值.
【解析】(1)根據題意,若l1與l2垂直,則m+3(m-2)=0,解得m=.
(2)根據題意,若l1與l2平行,則m(m-2)=1×3=3,
解得m=-1或m=3,
當m=-1時,直線l1:-x+3y-1=0,l2:x-3y+1=0,兩條直線重合,不符合題意;
當m=3時,直線l1:3x+3y-1=0,l2:x+y+1=0,兩條直線平行,符合題意.
故m=3.
小結　兩條直線的位置關系的判斷方法及注意點:(1)判斷方法:兩條直線的位置關系有相交(特例垂直)、平行、重合三種,主要考查兩條直線的平行和垂直,通常借助直線的斜截式方程來判斷兩條直線的位置關系.(2)注意點:解題時要注意分析斜率是否存在,用一般式方程來判斷,可以避免討論斜率不存在的情況.
距離問題
例4　點A(0,-1)到直線y=k(x+1)的距離的最大值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B. C. D.2
【答案】B
【解析】由y=k(x+1)可知直線過定點P(-1,0),
當直線y=k(x+1)與AP垂直時,點A到直線y=k(x+1)的距離最大,最大值為|AP|=.故選B.
小結　距離問題的解決方法:牢記各類距離的公式并能直接應用,解決距離問題時,往往將代數運算與幾何圖形的直觀分析相結合.本題考查了邏輯推理、數學運算的素養.
圓的方程
例5　(1)(2022年全國甲卷)設點M在直線2x+y-1=0 上,點(3,0) 和(0,1) 均在☉M 上,則☉M 的方程為　　　　　　　.
(2)(2022年全國乙卷)過四點(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2) 中的三點的一個圓的方程為　　　　　　.
【答案】(1)(x-1)2+(y+1)2=5
(2)(x-2)2+(y-3)2=13 或(x-2)2+(y-1)2=5 或x-2+y-2=或x-2+(y-1)2=(寫出一個即可)
【解析】(1)∵點M在直線2x+y-1=0上,
∴設點M為(a,1-2a),又點(3,0)和(0,1)均在☉M上,
∴點M到兩點的距離相等且為半徑R,
∴==R,
a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1,
∴M(1,-1),R=,
故☉M的方程為(x-1)2+(y+1)2=5.
(2)依題意,設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
若圓過點(0,0),(4,0),(-1,1),則
解得
故圓的方程為x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13;
若圓過點(0,0),(4,0),(4,2),則解得
故圓的方程為x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5;
若圓過點(0,0),(4,2),(-1,1),則解得
故圓的方程為x2+y2-x-y=0,即x-2+y-2=;
若圓過點(-1,1),(4,0),(4,2),則解得
故圓的方程為x2+y2-x-2y-=0,即x-2+(y-1)2=.
小結　求圓的方程的方法:先設出圓的標準方程或一般方程,然后利用待定系數法解題.
直線與圓的位置關系
例6　(1)(多選題)(2021年新高考全國Ⅱ卷)已知直線l:ax+by-r2=0與圓C:x2+y2=r2,點A(a,b),則下列說法正確的是(　　).
A.若點A在圓C上,則直線l與圓C相切
B.若點A在圓C內,則直線l與圓C相離
C.若點A在圓C外,則直線l與圓C相離
D.若點A在直線l上,則直線l與圓C相切
(2)(2022年新高考全國Ⅰ卷)寫出與圓x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16 都相切的一條直線的方程:　　　　　.
【答案】(1)ABD　(2)3x+4y-5=0或x=-1或7x-24y-25=0(寫出一個即可)
【解析】(1)圓心C(0,0)到直線l的距離d=,
若點A(a,b)在圓C上,則a2+b2=r2,故∴d==|r|,則直線l與圓C相切,故A正確;
若點A(a,b)在圓C內,則a2+b2|r|,則直線l與圓C相離,故B正確;
若點A(a,b)在圓C外,則a2+b2>r2,∴d=<|r|,則直線l與圓C相交,故C錯誤;
若點A(a,b)在直線l上,則a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,∴d==|r|,則直線l與圓C相切,故D正確.故選ABD.
(2)由兩圓方程可得,兩圓圓心距d==5,兩圓半徑分別為r1=1,r2=4,∵r1+r2=5=d,∴兩圓外切,∴兩圓有三條公切線,如圖所示.
∵kOC=,∴=-,設直線l1:y=-x+b,即3x+4y-4b=0,由=1,得b=(負值已舍去),
∴直線l1的方程為3x+4y-5=0.
由圖可知,l2:x=-1,且l2與l3關于直線y=x對稱,
聯立解得
即直線l2與l3的一個交點為-1,-,
在l2上取一點(-1,0),設該點關于直線y=x的對稱點為(x0,y0),則解得
∴==,
∴直線l3的方程為y=(x+1)-,即7x-24y-25=0.
故與兩圓都相切的直線方程可以是3x+4y-5=0或x=-1或7x-24y-25=0.
小結　直線與圓的位置關系是高考考查的重點,切線問題更是重中之重,判斷點、直線與圓的位置關系以幾何法為主,解題時應充分利用圓的幾何性質以簡化解題過程.本題滲透了邏輯推理、數學運算的素養.
弦長問題
例7　(多選題)(2021年新高考全國Ⅰ卷)已知點P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上,點A(4,0),B(0,2),則(　　).
A.點P到直線AB的距離小于10
B.點P到直線AB的距離大于2
C.當∠PBA最小時,|PB|=3
D.當∠PBA最大時,|PB|=3
【答案】ACD
【解析】圓(x-5)2+(y-5)2=16的圓心為M(5,5),半徑為4,直線AB的方程為+=1,即x+2y-4=0,圓心M到直線AB的距離為==>4,
所以點P到直線AB的距離的最小值為-4<2,最大值為+4<10,故A正確,B錯誤;
如圖所示,當∠PBA最大或最小時,PB與圓M相切,連接MP,BM,可知PM⊥PB,
|BM|==,|MP|=4,由勾股定理可得|BP|==3,故C,D正確.故選ACD.
小結　直線與圓相交時求弦長的常用的方法是解弦心距d,圓的半徑r及半弦長構成的直角三角形.本題滲透了直觀想象、邏輯推理、數學運算的素養.
圓與圓的位置關系
例8　已知圓C1:x2+y2+4x-4y-5=0與圓C2:x2+y2-8x+4y+7=0.
(1)證明圓C1與圓C2相切,并求過切點的兩圓公切線的方程;
(2)求過點(2,3)且與兩圓相切于(1)中切點的圓的方程.
【解析】(1)把圓C1與圓C2都化為標準方程形式,得(x+2)2+(y-2)2=13,(x-4)2+(y+2)2=13,
圓心與半徑長分別為C1(-2,2),r1=,
C2(4,-2),r2=.
因為|C1C2|==2=r1+r2,
所以圓C1與圓C2相切.
由得12x-8y-12=0,
即3x-2y-3=0,就是過切點的兩圓公切線的方程.
(2)由圓系方程,可設所求圓的方程為x2+y2+4x-4y-5+λ(3x-2y-3)=0,
將點(2,3)代入方程,解得λ=,
所以所求圓的方程為x2+y2+4x-4y-5+(3x-2y-3)=0,即x2+y2+8x-y-9=0.
小結　判斷兩圓位置關系的兩種比較方法
(1)幾何法是利用兩圓半徑和或差與圓心距作比較,得到兩圓位置關系.
(2)代數法是把兩圓位置關系的判斷完全轉化為代數問題,轉化為方程組解的組數問題,從而體現了幾何問題與代數問題之間的相互聯系,但這種方法只能判斷出不相交、相交和相切三種位置關系,而不能像幾何法一樣,能準確判斷出外離、外切、相交、內切和內含五種位置關系.
【拓展延伸】
阿波羅尼斯圓及其應用
阿波羅尼斯是古希臘著名數學家,與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠,他對圓錐曲線有深刻而系統的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書,阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一.
在近幾年的高考中,以阿波羅尼斯圓為背景的考題不斷出現,備受命題者的青睞,下面我們通過一道例題來講解如何運用阿波羅尼斯圓,進一步加強對與此圓有關試題的認識.
例1　如圖,A,B為兩定點,動點P滿足|PA|=λ|PB|(λ>0),求證:當λ=1時,動點P的軌跡為直線;當λ≠1時,動點P的軌跡為圓,后世稱之為阿波羅尼斯圓.
【解析】設P(x,y),|AB|=2m(m>0),以AB的中點為原點,直線AB為x軸建立平面直角坐標系,則A(-m,0),B(m,0).
由|PA|=λ|PB|得=λ,
兩邊平方并化簡整理得(λ2-1)x2-2m(λ2+1)x+(λ2-1)y2=m2(1-λ2),
當λ=1時,x=0,點P的軌跡為線段AB的垂直平分線;
當λ≠1時,x-m2+y2=,點P的軌跡為以點m,0為圓心,以為半徑的圓.
例2　在△ABC中,若|AB|=2,|AC|=|BC|,則S△ABC的最大值為　　　　.
【答案】2
【解析】(法一:利用余弦定理和函數的最值問題處理)
設|AC|=|BC|=x,所以cos C=,則sin C==,
所以S=|AC||BC|sin C==,
故當x2=12時,S△ABC取得最大值,最大值為2.
(法二:建立平面直角坐標系處理最值問題)
以AB的中點O為原點,直線AB為x軸建立平面直角坐標系,如圖,則A(-1,0),B(1,0),設C(x,y),由|AC|=|BC|得=·,
整理得y2=-x2+6x-1=-(x-3)2+8≤8,
所以|y|≤2,
則S△ABC=×2|y|≤2,
所以S△ABC的最大值是2.
(法三:利用阿波羅尼斯圓求解)
顯然這是一例阿波羅尼斯圓,建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(-1,0),B(1,0),
因為=,所以點C的軌跡是一個阿波羅尼斯圓,計算得點C的軌跡方程為(x-3)2+y2=8(y≠0),
設圓心為M,顯然當CM⊥x軸時,△ABC的面積最大,此時|CM|=2,
所以(S△ABC)max=×2×2=2.
(法四:利用阿波羅尼斯圓及內外角平分線求解)
既然△ABC存在,說明點C的軌跡不包括其與x軸的兩個交點P,Q,現在問:P,Q這兩點究竟有什么性質 因為點C的軌跡方程為(x-3)2+y2=8,所以點P(3-2,0),點Q(3+2,0),所以|PA|=4-2,|PB|=2-2,所以==,所以CP為△ABC的內角平分線.
　　因為==,所以CQ為△ABC的外角平分線.
這就是說,P,Q分別是線段AB的內分點和外分點,而PQ正是阿波羅尼斯圓的直徑,于是阿波羅尼斯圓在我國又被稱為“內外圓”.因此該題又有如下的簡潔解法:
因為動點C 到定點A(-1,0),B(1,0)距離之比為,所以 |x+1|=|x-1|,解得x1=3+2或x2=3-2,
則x1=3-2為內分點,x2=3+2為外分點,
圓半徑r=(x2-x1)=2,即三角形高的最大值,
故△ABC的面積的最大值是×2×2=2.
小結　阿波羅尼斯圓是一個重要的題根,備受許多命題者青睞.我們在學習過程中應該強化對這一知識點的整理.如果掌握這一知識背景,可以主動引導求解的方向,降低求解的難度.但在有些問題中,阿波羅尼斯圓并不那么明顯,需要對圖形分析后才能找到對應的動點具有阿波羅尼斯圓的特點.
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