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第3章 章末小結
【知識導圖】
【題型探究】
圓錐曲線的定義及應用
例1　(1)(2022年全國乙卷)設F為拋物線C:y2=4x的焦點,點A在C上,點B(3,0),若|AF|=|BF|,則|AB|=(　　).
A.2　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.3
　　(2)(2021年全國甲卷)已知F1,F2是雙曲線C的兩個焦點,P為C上一點,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,則C的離心率為(　　).
A. B. C. D.
【答案】(1)B　(2)A
【解析】(1)由題意得F(1,0),則|AF|=|BF|=2,
即點A到準線x=-1的距離為2,所以點A的橫坐標為-1+2=1.
不妨設點A在x軸上方,代入得A(1,2),
所以|AB|==2.故選 B.
(2)因為|PF1|=3|PF2|,由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2a,所以|PF2|=a,|PF1|=3a.
因為∠F1PF2=60°,由余弦定理可得4c2=9a2+a2-2×3a·a·cos 60°,整理可得4c2=7a2,所以e2==,即e=.故選A.
小結　涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個定點構成的三角形問題時,常用定義結合解三角形的知識來解決;在求有關拋物線的最值問題時,常利用定義把到焦點的距離轉化為到準線的距離,結合幾何圖形,利用幾何意義去解決.運用定義解題時應注意圓錐曲線定義中的限制條件.本題滲透了數學運算、邏輯推理的素養.
圓錐曲線的方程
例2　(2021年北京卷)雙曲線C:-=1的離心率為2,過點(,),則該雙曲線的標準方程為(　　).
A.-y2=1 B.x2-=1
C.x2-=1 D.-y2=1
【答案】B
【解析】∵e==2,∴c=2a,b==a,則雙曲線C的方程為-=1,
將點(,)的坐標代入雙曲線C的方程可得-==1,解得a=1,故b=,
因此,雙曲線C的方程為x2-=1.故選B.
小結　一般求已知曲線類型的曲線方程問題,可采用“先定形,后定式,再定量”的步驟.本題考查了數學運算的素養.
圓錐曲線的幾何性質
例3　(1)(多選題)(2022年新高考全國Ⅰ卷)已知O為坐標原點,點A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上,過點B(0,-1)的直線交C于P,Q兩點,則(　　).
A.C的準線方程為y=-1
B.直線AB與C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
(2)(2022年新高考全國Ⅰ卷)已知橢圓C:+=1(a>b>0), C的上頂點為A,兩個焦點為F1,F2,離心率為.過F1且垂直于AF2的直線與C交于D,E兩點,|DE|=6,則△ADE的周長是　　　　　.
【答案】(1)BCD　(2)13
【解析】(1)∵點A(1,1)在拋物線C:x2=2py上,∴1=2p,得p=,∴拋物線C的方程為x2=y,∴準線方程為y=-,故A不正確.
直線AB的方程為y=2x-1,聯立得x2-2x+1=0,∵Δ=22-4=0,∴直線AB與拋物線C相切,故B正確.
設直線PQ的方程為y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2).
聯立得x2-kx+1=0,∴Δ=k2-4>0,得|k|>2,∴x1+x2=k,x1x2=1.
∵|OP|·|OQ|=·======|k|>2.又∵|OA|2=1+1=2,∴|OP|·|OQ|>|OA|2,故C正確.
|BA|2=1+(1+1)2=5,|BP|·|BQ|=·=·=·====|(x1+x2)2-2x1x2+3|=k2+1>5,∴|BP|·|BQ|>|BA|2,故D正確.
(2)根據離心率得a=2c,b=c,所以△AF1F2是等邊三角形,點A與點F2關于直線DE對稱,所以△ADE的周長等于△F2DE的周長,根據橢圓的定義知,該周長為4a=8c.
不妨設F1是左焦點,則直線DE的方程是y=(x+c),設點D(xD,yD),E(xE,yE),將直線DE的方程代入橢圓的方程+=1,消去y,化簡并整理得13x2+8cx-32c2=0,所以xD+xE=-,xDxE=-c2,
所以|DE|===·=·=c=6,解得c=.所以△ADE的周長為8c=13.
小結　應用圓錐曲線的性質時,要注意與數形結合、方程思想等結合運用.本題考查了數學運算、直觀想象以及邏輯推理的素養.
直線與圓錐曲線的位置關系
例4　(2021年新高考全國Ⅱ卷)已知橢圓C的方程為+=1(a>b>0),右焦點為F(,0),且離心率為.
(1)求橢圓C的方程.
(2)設M,N是橢圓C上的兩點,直線MN與曲線x2+y2=b2(x>0)相切.證明:M,N,F三點共線的充要條件是|MN|=.
【解析】(1)由題意得,c=,e==,所以a=,b2=a2-c2=1,所以橢圓C的方程為+y2=1.
(2)由(1)得,曲線方程為x2+y2=1(x>0),
當直線MN的斜率不存在時,直線MN:x=1,不合題意.
當直線MN的斜率存在時,設M(x1,y1),N(x2,y2),
必要性:
若M,N,F三點共線,可設直線MN:y=k(x-),即kx-y-k=0,
由直線MN與曲線x2+y2=1(x>0)相切可得=1,解得k=±1,
聯立可得4x2-6x+3=0,所以x1+x2=,x1x2=,
所以|MN|=·=,所以必要性成立.
充分性:
設直線MN:y=kx+b(kb<0),即kx-y+b=0,
由直線MN與曲線x2+y2=1(x>0)相切可得=1,所以b2=k2+1,
聯立可得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0,
所以x1+x2=-,x1x2=,
所以|MN|=·=·=·=,化簡得(k2-1)2=0,所以k=±1,
所以或
故直線MN:y=x-或y=-x+,
可知直線MN過點F(,0),所以M,N,F三點共線,充分性成立.
因此M,N,F三點共線的充要條件是|MN|=.
小結　直線與圓錐曲線的位置關系,涉及函數、方程、不等式、平面幾何等諸多方面的知識,形成了求軌跡、最值、對稱、取值范圍、線段的長度等多種問題.解決此類問題應注意數形結合,以形輔數的方法,還要多結合圓錐曲線的定義,根與系數的關系以及“點差法”等.本題滲透了數學運算、邏輯推理、直觀想象的素養.
與圓錐曲線有關的最值和范圍問題
例5　(2022年全國甲卷)設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點D(p,0),過F的直線交C于M,N兩點.當直線MD垂直于x軸時,|MF|=3.
(1)求C的方程.
(2)設直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當α-β取得最大值時,求直線AB的方程.
【解析】(1)由題意可知,當x=p時,y2=2p2,得yM=p,可知|MD|=p,|FD|=.
則在Rt△MFD中,|FD|2+|MD|2=|MF|2,得2+(p)2=9,解得p=2.
則拋物線C的方程為y2=4x.
(2)設M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),
由(1)可知F(1,0),D(2,0),則tan α=kMN===,
又N,D,B三點共線,則kND=kBD,即=,
∴=,
得y2y4=-8,即y4=-;同理由M,D,A三點共線,得y3=-,
則tan β==.
由題意可知,直線MN的斜率不為0,不妨設直線MN的方程為 x=my+1,
由消去x得y2-4my-4=0,
∴y1+y2=4m,y1y2=-4,則tan α==,tan β==,
則tan(α-β)===,當m>0時,tan(α-β)=≤=;當m<0時,tan(α-β)無最大值.
∴當且僅當2m=,即m=時,tan(α-β)取最大值.
此時直線AB的方程為y-y3=(x-x3),即4x-(y3+y4)y+y3y4=0,
又y3+y4=--==8m=4,y3y4=·=-16,
∴直線AB的方程為4x-4y-16=0,即x-y-4=0.
小結　圓錐曲線中的最值問題通常有兩類:一類是有關長度、面積的最值問題;一類是圓錐曲線中有關幾何元素的最值問題.這兩類問題的解決往往需要回歸定義,結合所學平面幾何知識,建立目標函數,利用函數的性質或不等式知識,以及數形結合,設參,轉化,代換等途徑來解決.本題考查學生的數學運算、邏輯推理的素養.
圓錐曲線中的定點、定值問題
例6　(2020年全國Ⅰ卷)已知A,B分別為橢圓E:+y2=1(a>1)的左、右頂點,G為E的上頂點,·=8,P為直線x=6上的動點,PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D.
(1)求E的方程.
(2)證明:直線CD過定點.
【解析】(1)依據題意作出如下圖象:
由橢圓方程E:+y2=1(a>1)可得A(-a,0),B(a,0),G(0,1),∴=(a,1),=(a,-1),
∴·=a2-1=8,得a2=9,
∴橢圓E的方程為+y2=1.
(2)設P(6,y0),則直線AP的方程為y=(x+3),即y=(x+3),
聯立直線AP的方程與橢圓E方程可得整理得(+9)x2+6x+9-81=0,解得x=-3或x=,
將x=代入直線方程y=(x+3),可得y=,
∴點C的坐標為,.
同理可得,點D的坐標為,.
當≠3時,直線CD的方程為y-=x-,
整理可得y+=x-=x-,
整理得y=x+=x-,
∴直線CD過定點,0.
當=3時,直線CD:x=,直線CD過點,0.
故直線CD過定點,0.
小結　對于圓錐曲線中的定點、定值問題,有以下兩種求法:(1)從特殊情況入手,先求含變量的定點(定值),再證明這個點(值)與變量的關系.(2)直接推理、計算,并在計算的過程中消去變量,從而得到定點(定值).
【拓展延伸】
圓錐曲線的光學性質及應用
　　圓錐曲線包括橢圓、拋物線、雙曲線和圓,通過平面直角坐標系,它們又與一元二次方程對應,所以圓錐曲線又叫作二次曲線.圓錐曲線一直是幾何學研究的重要課題之一,在我們的實際生活中也存在著許許多多的圓錐曲線.
一、圓錐曲線的光學性質
1.橢圓的光學性質
從橢圓的一個焦點發出的光,經過橢圓反射后,反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上,如圖所示.
橢圓的這種光學性質,常被用來設計一些照明設備或聚熱裝置,例如點F1處放置一個熱源,那么紅外線也能聚焦于點F2處,對F2處的物體加熱.電影放映機的反光鏡也是這個原理.
2.雙曲線的光學性質
從雙曲線的一個焦點發出的光,經過雙曲線反射后,反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上,如圖.
雙曲線的這種反向虛聚焦性質,在天文望遠鏡的設計等方面,也能找到實際應用.
3.拋物線的光學性質
從拋物線的焦點發出的光,經過拋物線反射后,反射光線都平行于拋物線的對稱軸,如圖所示.
拋物線的這種聚焦性質,成為聚能裝置或定向發射裝置的最佳選擇.例如探照燈、汽車大燈等反射鏡面的縱剖線是拋物線,把光源置于它的焦點處,經鏡面反射后能成為平行光束,使照射距離加大,并可通過轉動拋物線的對稱軸方向,控制照射方向.衛星通信像碗一樣接收或發射天線,一般也是以拋物線對稱軸旋轉得到的,把接收器置于其焦點,拋物線的對稱軸跟蹤對準衛星,這樣可以把衛星發射的微弱電磁波訊號射線最大限度地集中到接收器上,保證接收效果;反之,把發射裝置安裝在焦點,讓對稱軸跟蹤衛星,則可以使發射的電磁波訊號射線能平行地到達衛星的接收裝置,同樣保證接收效果.最常見的太陽能熱水器,它也是以拋物線鏡面聚集太陽光,以加熱焦點處的儲水器的.
二、圓錐曲線光學的應用
例1　如圖所示,橢圓有這樣的光學性質:從橢圓的一個焦點出發的光線,經橢圓反射后,反射光線經過橢圓的另一個焦點,根據橢圓的光學性質解決下題:已知曲線C的方程為+=1,其左、右焦點分別是F1,F2,直線l與橢圓C相切于點P,且|PF1|=,過點P且與直線l垂直的直線l'與橢圓長軸交于點M,則|F1M|∶|F2M|=　　　　　　.
【答案】3∶5
【解析】由橢圓的光學性質得到直線l'平分∠F1PF2,所以=,
由|PF1|=,|PF1|+|PF2|=4,得|PF2|=,故|F1M|∶|F2M|=3∶5.
例2　雙曲線的光學性質為:如圖①,從雙曲線右焦點F2發出的光線經雙曲線鏡面反射,反射光線的反向延長線經過左焦點F1.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”,就是利用了雙曲線的這個光學性質.某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分,如圖②,其方程為-=1(a>0,b>0),F1,F2分別為其左、右焦點,若從右焦點F2發出的光線經雙曲線上的點A和點B反射后,滿足∠BAD=90°,tan∠ABC=-,則該雙曲線的離心率為(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】易知F1,A,D三點共線,F1,B,C三點共線,如圖,
設|AF1|=m,|AF2|=n,則m-n=2a,
由tan∠ABC=-,得tan∠ABF1=,
又∠F1AB=180°-∠F2AD=90°,
所以tan∠ABF1==,則|AB|=m,
所以|BF2|=|AB|-|AF2|=m-n,
所以|BF1|=2a+|BF2|=2a+m-n=4a+m,
由|AF1|2+|AB|2=|BF1|2,得m2+m2=4a+m2,整理得m2-am-6a2=0,
因為m>0,所以m=3a,則n=3a-2a=a,
在Rt△AF1F2中,m2+n2=(2c)2,即9a2+a2=4c2,所以e==.故選C.
例3　拋物線具有以下光學性質:從焦點出發的光線經拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸.該性質在實際生產中的應用非常廣泛.如圖,從拋物線y2=4x的焦點F發出的兩條光線a,b分別經拋物線上位于第一象限的A,B兩點反射,已知兩條入射光線與x軸所成銳角均為60°,則兩條反射光線a'和b'之間的距離為(　　).
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由y2=4x,得F(1,0),∠OFA=60°,所以lAF:y-0=-(x-1),即y=-x+,聯立方程消去x得y+2=,解得y1=,y2=-2(舍去),即yA=.
同理lBF:y-0=(x-1),即y=x-,聯立方程消去x得y-2=,解得y3=2,y4=-(舍去),即yB=2.
所以|yA-yB|=2-=,即兩條反射光線a'和b'之間的距離為.故選C.
三、總結
我們生活的地球每時每刻都在環繞太陽的橢圓軌跡上運行,太陽系其他行星也如此,太陽則位于橢圓的一個焦點上.如果這些行星運行速度增大到某一程度,它們就會沿拋物線或雙曲線運行.人類發射人造地球衛星或人造行星就是遵照了這個原理.
由拋物線繞其軸旋轉,可得到一個叫作旋轉拋物面的曲面.它也有一條軸,即拋物線的軸.在這個軸上有一個具有奇妙性質的焦點,任何一條過焦點的直線由拋物面反射出來以后,都成為平行于對稱軸的直線.這就是我們為什么要把探照燈反光鏡做成旋轉拋物面的道理.
由雙曲線的一支繞其虛軸旋轉,可以得到雙曲面,它又是一種直紋曲面,由兩組母直線族組成,各組內母直線互不相交,而與另一組母直線卻相交.人們在設計高大的立塔時,就采用單葉雙曲面的體形,既輕巧又堅固.(比如教材當中的冷卻塔)
由此可見,對于圓錐曲線的價值,無論如何也不會估計過高.圓錐曲線的光學性質是奇妙的,奇妙的背后蘊含著奇妙的數學關系.我們只有善于觀察,勤于鉆研,及時總結,才能閃現更多的靈感,才能在奧妙的數學世界暢游.
2第3章 章末小結
【知識導圖】
【題型探究】
圓錐曲線的定義及應用
例1　(1)(2022年全國乙卷)設F為拋物線C:y2=4x的焦點,點A在C上,點B(3,0),若|AF|=|BF|,則|AB|=(　　).
A.2　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.3
　　(2)(2021年全國甲卷)已知F1,F2是雙曲線C的兩個焦點,P為C上一點,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,則C的離心率為(　　).
A. B. C. D.
小結　涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個定點構成的三角形問題時,常用定義結合解三角形的知識來解決;在求有關拋物線的最值問題時,常利用定義把到焦點的距離轉化為到準線的距離,結合幾何圖形,利用幾何意義去解決.運用定義解題時應注意圓錐曲線定義中的限制條件.本題滲透了數學運算、邏輯推理的素養.
圓錐曲線的方程
例2　(2021年北京卷)雙曲線C:-=1的離心率為2,過點(,),則該雙曲線的標準方程為(　　).
A.-y2=1 B.x2-=1
C.x2-=1 D.-y2=1
小結　一般求已知曲線類型的曲線方程問題,可采用“先定形,后定式,再定量”的步驟.本題考查了數學運算的素養.
圓錐曲線的幾何性質
例3　(1)(多選題)(2022年新高考全國Ⅰ卷)已知O為坐標原點,點A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上,過點B(0,-1)的直線交C于P,Q兩點,則(　　).
A.C的準線方程為y=-1
B.直線AB與C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
(2)(2022年新高考全國Ⅰ卷)已知橢圓C:+=1(a>b>0), C的上頂點為A,兩個焦點為F1,F2,離心率為.過F1且垂直于AF2的直線與C交于D,E兩點,|DE|=6,則△ADE的周長是　　　　　.
小結　應用圓錐曲線的性質時,要注意與數形結合、方程思想等結合運用.本題考查了數學運算、直觀想象以及邏輯推理的素養.
直線與圓錐曲線的位置關系
例4　(2021年新高考全國Ⅱ卷)已知橢圓C的方程為+=1(a>b>0),右焦點為F(,0),且離心率為.
(1)求橢圓C的方程.
(2)設M,N是橢圓C上的兩點,直線MN與曲線x2+y2=b2(x>0)相切.證明:M,N,F三點共線的充要條件是|MN|=.
小結　直線與圓錐曲線的位置關系,涉及函數、方程、不等式、平面幾何等諸多方面的知識,形成了求軌跡、最值、對稱、取值范圍、線段的長度等多種問題.解決此類問題應注意數形結合,以形輔數的方法,還要多結合圓錐曲線的定義,根與系數的關系以及“點差法”等.本題滲透了數學運算、邏輯推理、直觀想象的素養.
與圓錐曲線有關的最值和范圍問題
例5　(2022年全國甲卷)設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點D(p,0),過F的直線交C于M,N兩點.當直線MD垂直于x軸時,|MF|=3.
(1)求C的方程.
(2)設直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當α-β取得最大值時,求直線AB的方程.
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小結　圓錐曲線中的最值問題通常有兩類:一類是有關長度、面積的最值問題;一類是圓錐曲線中有關幾何元素的最值問題.這兩類問題的解決往往需要回歸定義,結合所學平面幾何知識,建立目標函數,利用函數的性質或不等式知識,以及數形結合,設參,轉化,代換等途徑來解決.本題考查學生的數學運算、邏輯推理的素養.
圓錐曲線中的定點、定值問題
例6　(2020年全國Ⅰ卷)已知A,B分別為橢圓E:+y2=1(a>1)的左、右頂點,G為E的上頂點,·=8,P為直線x=6上的動點,PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D.
(1)求E的方程.
(2)證明:直線CD過定點.
小結　對于圓錐曲線中的定點、定值問題,有以下兩種求法:(1)從特殊情況入手,先求含變量的定點(定值),再證明這個點(值)與變量的關系.(2)直接推理、計算,并在計算的過程中消去變量,從而得到定點(定值).
【拓展延伸】
圓錐曲線的光學性質及應用
　　圓錐曲線包括橢圓、拋物線、雙曲線和圓,通過平面直角坐標系,它們又與一元二次方程對應,所以圓錐曲線又叫作二次曲線.圓錐曲線一直是幾何學研究的重要課題之一,在我們的實際生活中也存在著許許多多的圓錐曲線.
一、圓錐曲線的光學性質
1.橢圓的光學性質
從橢圓的一個焦點發出的光,經過橢圓反射后,反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上,如圖所示.
橢圓的這種光學性質,常被用來設計一些照明設備或聚熱裝置,例如點F1處放置一個熱源,那么紅外線也能聚焦于點F2處,對F2處的物體加熱.電影放映機的反光鏡也是這個原理.
2.雙曲線的光學性質
從雙曲線的一個焦點發出的光,經過雙曲線反射后,反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上,如圖.
雙曲線的這種反向虛聚焦性質,在天文望遠鏡的設計等方面,也能找到實際應用.
3.拋物線的光學性質
從拋物線的焦點發出的光,經過拋物線反射后,反射光線都平行于拋物線的對稱軸,如圖所示.
拋物線的這種聚焦性質,成為聚能裝置或定向發射裝置的最佳選擇.例如探照燈、汽車大燈等反射鏡面的縱剖線是拋物線,把光源置于它的焦點處,經鏡面反射后能成為平行光束,使照射距離加大,并可通過轉動拋物線的對稱軸方向,控制照射方向.衛星通信像碗一樣接收或發射天線,一般也是以拋物線對稱軸旋轉得到的,把接收器置于其焦點,拋物線的對稱軸跟蹤對準衛星,這樣可以把衛星發射的微弱電磁波訊號射線最大限度地集中到接收器上,保證接收效果;反之,把發射裝置安裝在焦點,讓對稱軸跟蹤衛星,則可以使發射的電磁波訊號射線能平行地到達衛星的接收裝置,同樣保證接收效果.最常見的太陽能熱水器,它也是以拋物線鏡面聚集太陽光,以加熱焦點處的儲水器的.
二、圓錐曲線光學的應用
例1　如圖所示,橢圓有這樣的光學性質:從橢圓的一個焦點出發的光線,經橢圓反射后,反射光線經過橢圓的另一個焦點,根據橢圓的光學性質解決下題:已知曲線C的方程為+=1,其左、右焦點分別是F1,F2,直線l與橢圓C相切于點P,且|PF1|=,過點P且與直線l垂直的直線l'與橢圓長軸交于點M,則|F1M|∶|F2M|=　　　　　　.
例2　雙曲線的光學性質為:如圖①,從雙曲線右焦點F2發出的光線經雙曲線鏡面反射,反射光線的反向延長線經過左焦點F1.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”,就是利用了雙曲線的這個光學性質.某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分,如圖②,其方程為-=1(a>0,b>0),F1,F2分別為其左、右焦點,若從右焦點F2發出的光線經雙曲線上的點A和點B反射后,滿足∠BAD=90°,tan∠ABC=-,則該雙曲線的離心率為(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C. D.
例3　拋物線具有以下光學性質:從焦點出發的光線經拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸.該性質在實際生產中的應用非常廣泛.如圖,從拋物線y2=4x的焦點F發出的兩條光線a,b分別經拋物線上位于第一象限的A,B兩點反射,已知兩條入射光線與x軸所成銳角均為60°,則兩條反射光線a'和b'之間的距離為(　　).
A. B.
C. D.
三、總結
我們生活的地球每時每刻都在環繞太陽的橢圓軌跡上運行,太陽系其他行星也如此,太陽則位于橢圓的一個焦點上.如果這些行星運行速度增大到某一程度,它們就會沿拋物線或雙曲線運行.人類發射人造地球衛星或人造行星就是遵照了這個原理.
由拋物線繞其軸旋轉,可得到一個叫作旋轉拋物面的曲面.它也有一條軸,即拋物線的軸.在這個軸上有一個具有奇妙性質的焦點,任何一條過焦點的直線由拋物面反射出來以后,都成為平行于對稱軸的直線.這就是我們為什么要把探照燈反光鏡做成旋轉拋物面的道理.
由雙曲線的一支繞其虛軸旋轉,可以得到雙曲面,它又是一種直紋曲面,由兩組母直線族組成,各組內母直線互不相交,而與另一組母直線卻相交.人們在設計高大的立塔時,就采用單葉雙曲面的體形,既輕巧又堅固.(比如教材當中的冷卻塔)
由此可見,對于圓錐曲線的價值,無論如何也不會估計過高.圓錐曲線的光學性質是奇妙的,奇妙的背后蘊含著奇妙的數學關系.我們只有善于觀察,勤于鉆研,及時總結,才能閃現更多的靈感,才能在奧妙的數學世界暢游.
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