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第4章 章末小結(jié)
【知識(shí)導(dǎo)圖】
【題型探究】
兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
例1　在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”平面模型如圖所示,圖中正方形ABCD內(nèi)部為“趙爽弦圖”(由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成),△ABE,△BCF,△CDG,△DAH這4個(gè)三角形和“趙爽弦圖”ABCD涂色,且相鄰區(qū)域(即圖中有公共點(diǎn)的區(qū)域)不同色,已知有4種不同的顏色可供選擇,則不同的涂色方法種數(shù)是(　　).
A.48 B.54 C.72 D.108
方法指導(dǎo)　設(shè)這五個(gè)區(qū)分別為①,②,③,④,⑤區(qū),由分步乘法計(jì)數(shù)原理分步為每一個(gè)區(qū)進(jìn)行涂色,當(dāng)給④區(qū)涂色時(shí),分為④區(qū)與②區(qū)同色和④區(qū)與②區(qū)不同色這兩個(gè)情況,討論即可得出答案.
小結(jié)　(1)應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理,要明確分類的標(biāo)準(zhǔn),做到不重不漏,每一類中的每一種方法都能獨(dú)立地“完成這件事情”;(2)應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理,應(yīng)準(zhǔn)確理解“分步”的含義,完成這件事,需要分成若干步驟,只有每個(gè)步驟都完成了,這件事情才能完成.求解過程滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng).
排列組合應(yīng)用題
例2　(1)(2022年新高考全國(guó)Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演,若甲不站在兩端,丙和丁相鄰,則不同排列方式共有(　　).
A.12種 B.24種 C.36種 D.48種
(2)(2020年新高考全國(guó)Ⅱ卷)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者,每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館,甲場(chǎng)館安排1名,乙場(chǎng)館安排2名,丙場(chǎng)館安排3名,則不同的安排方法共有(　　).
A.120種 B.90種
C.60種 D.30種
小結(jié)　將具體問題抽象為排列問題或組合問題,是解排列、組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步.(1)正確分類或分步,恰當(dāng)選擇兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.(2)有限制條件的排列組合問題應(yīng)優(yōu)先考慮“受限元素”或“受限位置”.而排列組合討論的問題的共同點(diǎn)是“元素不相同”,不同點(diǎn)是排列與順序有關(guān),組合與順序無關(guān).本題滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
二項(xiàng)式定理的應(yīng)用
例3　在二項(xiàng)式+2n的展開式中.
(1)若展開式后三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于67,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);
(2)若n為滿足8方法指導(dǎo)　(1)根據(jù)條件求出n的值,然后判斷第幾項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,并求之;(2)常數(shù)項(xiàng)說明x的指數(shù)為0,根據(jù)這一特點(diǎn),利用項(xiàng)數(shù)n與第幾項(xiàng)r的關(guān)系求解出n的值.
小結(jié)　二項(xiàng)式定理的問題類型及解答策略:(1)確定二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)或指定項(xiàng)系數(shù):先寫出其通項(xiàng)公式,建立方程,確定項(xiàng)數(shù),然后代入通項(xiàng)公式求解.(2)求二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和與差:賦值代入.(3)確定二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最大或最小項(xiàng):利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
二項(xiàng)式定理中的“賦值”問題
例4　已知(1+ax)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.若a3=-80,則a1+a2+a3+a4+a5=(　　).
A.1 B.0 C.-1 D.-2
小結(jié)　賦值法的應(yīng)用規(guī)律與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān),包括求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)、各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的和,主要方法是賦值法,通過觀察展開式右邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和所求式子的關(guān)系,確定給字母所賦的值,有時(shí)賦值后得到的式子比所求式子多一項(xiàng)或少一項(xiàng),此時(shí)要專門求出這一項(xiàng),而在求奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和時(shí),往往要賦值兩次,再由方程組求出結(jié)果.
【拓展延伸】
數(shù)學(xué)文化與計(jì)數(shù)原理
　　數(shù)學(xué)文化是國(guó)家文化素質(zhì)教育的重要組成部分,是數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與文化學(xué)、社會(huì)學(xué)的交叉學(xué)科.其內(nèi)涵是一種理性思維方法在實(shí)踐過程中不斷探索形成的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)精神及其應(yīng)用. 縱觀近幾年高考,計(jì)數(shù)原理部分以數(shù)學(xué)文化為背景的問題層出不窮,讓人耳目一新.同時(shí)考生們也受困于背景陌生,使閱讀受阻,思路無法打開.下面通過對(duì)典型例題的剖析,讓同學(xué)們?cè)黾訉?duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識(shí),進(jìn)而加深對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
一、以古代文化經(jīng)典為素材
例1　如圖,洛書(古稱龜書)是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源,在古代傳說中有神龜出于洛水,其甲殼上有此圖象,結(jié)構(gòu)是戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽(yáng)數(shù),四角黑點(diǎn)為陰數(shù).若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽(yáng)數(shù)中隨機(jī)選取3個(gè)數(shù),則選取的3個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)的方法數(shù)為(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.30 B.40 C.42 D.44
小結(jié)　本題滲透了古代數(shù)學(xué)文化,在悠久燦爛的中國(guó)古代文化中,數(shù)學(xué)文化是其中一朵絢爛的奇葩.數(shù)學(xué)不僅是中國(guó)古代實(shí)用科學(xué)的基石,而且含有神秘的文化色彩,有著深厚的文化積淀,它滲透在數(shù)學(xué)的各個(gè)章節(jié),有待我們?nèi)ネ诰?
二、以數(shù)學(xué)家為素材
例2　楊輝三角如圖所示,數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中,就已經(jīng)出現(xiàn)了這個(gè)表,它揭示了(a+b)n(n∈N)展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律.圖中第7行從左到右第4個(gè)數(shù)是　　　　;第n行的所有數(shù)的和為　　　　.
小結(jié)　“楊輝三角”出現(xiàn)在楊輝編著的《詳解九章算法》一書中,此書還說明表內(nèi)除“1”以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和.楊輝指出這個(gè)方法出于《釋鎖》算書,且我國(guó)北宋數(shù)學(xué)家賈憲(約公元11世紀(jì))已經(jīng)用過它,這表明我國(guó)發(fā)現(xiàn)這個(gè)表不晚于11世紀(jì).
三、以古建筑為背景
例3　永定土樓位于中國(guó)東南沿海的福建省龍巖市,是世界上獨(dú)一無二的神奇的山區(qū)居民建筑,是中國(guó)古建筑的一朵奇葩.2008年7月,永定土樓成功列入世界遺產(chǎn)名錄.它歷史悠久、風(fēng)格獨(dú)特、規(guī)模宏大、結(jié)構(gòu)精巧.土樓具體有圓形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊腳樓等類型.現(xiàn)有某大學(xué)建筑系學(xué)生要重點(diǎn)對(duì)這七種主要類型的土樓進(jìn)行調(diào)查研究.要求調(diào)查順序中,圓形要排在第一個(gè),五角形、八角形不能相鄰,則不同的排法共有　　　　種.
小結(jié)　本題以永定土樓為背景,讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時(shí)欣賞我國(guó)古建筑,弘揚(yáng)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化.
2第4章 章末小結(jié)
【知識(shí)導(dǎo)圖】
【題型探究】
兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
例1　在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”平面模型如圖所示,圖中正方形ABCD內(nèi)部為“趙爽弦圖”(由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成),△ABE,△BCF,△CDG,△DAH這4個(gè)三角形和“趙爽弦圖”ABCD涂色,且相鄰區(qū)域(即圖中有公共點(diǎn)的區(qū)域)不同色,已知有4種不同的顏色可供選擇,則不同的涂色方法種數(shù)是(　　).
A.48 B.54 C.72 D.108
方法指導(dǎo)　設(shè)這五個(gè)區(qū)分別為①,②,③,④,⑤區(qū),由分步乘法計(jì)數(shù)原理分步為每一個(gè)區(qū)進(jìn)行涂色,當(dāng)給④區(qū)涂色時(shí),分為④區(qū)與②區(qū)同色和④區(qū)與②區(qū)不同色這兩個(gè)情況,討論即可得出答案.
【答案】C
【解析】
如圖,設(shè)“趙爽弦圖”ABCD為①區(qū),△ABE,△BCF,△CDG,△DAH這4個(gè)三角形分別為②,③,④,⑤區(qū).
第一步,給①區(qū)涂色,有4種涂色方法.
第二步,給②區(qū)涂色,有3種涂色方法.
第三步,給③區(qū)涂色,有2種涂色方法.
第四步,給④區(qū)涂色,若④區(qū)與②區(qū)同色,則⑤區(qū)有2種涂色方法.
若④區(qū)與②區(qū)不同色,則④區(qū)有1種涂色方法,⑤區(qū)有1種涂色方法.
由分類、分步計(jì)數(shù)原理可得共有4×3×2×(2+1×1)=72(種)涂色方法,故選C.
小結(jié)　(1)應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理,要明確分類的標(biāo)準(zhǔn),做到不重不漏,每一類中的每一種方法都能獨(dú)立地“完成這件事情”;(2)應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理,應(yīng)準(zhǔn)確理解“分步”的含義,完成這件事,需要分成若干步驟,只有每個(gè)步驟都完成了,這件事情才能完成.求解過程滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng).
排列組合應(yīng)用題
例2　(1)(2022年新高考全國(guó)Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演,若甲不站在兩端,丙和丁相鄰,則不同排列方式共有(　　).
A.12種 B.24種 C.36種 D.48種
(2)(2020年新高考全國(guó)Ⅱ卷)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者,每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館,甲場(chǎng)館安排1名,乙場(chǎng)館安排2名,丙場(chǎng)館安排3名,則不同的安排方法共有(　　).
A.120種 B.90種
C.60種 D.30種
【答案】(1)B　(2)C
【解析】(1)因?yàn)楸投∫谝黄?先把丙和丁捆綁,看成一個(gè)元素,連同乙、戊看成三個(gè)元素排列,有3!種排列方式;為使甲不在兩端,必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入,有2種插空方式;注意到丙和丁兩人的順序可交換,有2種排列方式,故安排這5名同學(xué)共有3!×2×2=24(種)不同的排列方式,故選B.
(2)首先從6名同學(xué)中選1名去甲場(chǎng)館,方法數(shù)有,
然后從其余5名同學(xué)中選2名去乙場(chǎng)館,方法數(shù)有,
最后剩下的3名同學(xué)去丙場(chǎng)館,故不同的安排方法共有·=6×10=60(種).故選C.
小結(jié)　將具體問題抽象為排列問題或組合問題,是解排列、組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步.(1)正確分類或分步,恰當(dāng)選擇兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.(2)有限制條件的排列組合問題應(yīng)優(yōu)先考慮“受限元素”或“受限位置”.而排列組合討論的問題的共同點(diǎn)是“元素不相同”,不同點(diǎn)是排列與順序有關(guān),組合與順序無關(guān).本題滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
二項(xiàng)式定理的應(yīng)用
例3　在二項(xiàng)式+2n的展開式中.
(1)若展開式后三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于67,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);
(2)若n為滿足8方法指導(dǎo)　(1)根據(jù)條件求出n的值,然后判斷第幾項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,并求之;(2)常數(shù)項(xiàng)說明x的指數(shù)為0,根據(jù)這一特點(diǎn),利用項(xiàng)數(shù)n與第幾項(xiàng)r的關(guān)系求解出n的值.
【解析】(1)由已知得++=++=+n+1=67,
整理得n2+n-132=0,即(n+12)(n-11)=0,顯然n=11(負(fù)值舍去),
則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)和第7項(xiàng),
T6=6x-625=231,T7=5x-5·26x3=924x-2.
(2)設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),r為整數(shù),
Tr+1=n-rx-(n-r)2r=22r-n,則有=0,即n=r,
所以8當(dāng)r=6時(shí),n=9;當(dāng)r=7時(shí),n=(不符合題意,舍去),所以n=9,
常數(shù)項(xiàng)為T7=23=672.
小結(jié)　二項(xiàng)式定理的問題類型及解答策略:(1)確定二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)或指定項(xiàng)系數(shù):先寫出其通項(xiàng)公式,建立方程,確定項(xiàng)數(shù),然后代入通項(xiàng)公式求解.(2)求二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和與差:賦值代入.(3)確定二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最大或最小項(xiàng):利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
二項(xiàng)式定理中的“賦值”問題
例4　已知(1+ax)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.若a3=-80,則a1+a2+a3+a4+a5=(　　).
A.1 B.0 C.-1 D.-2
【答案】D
【解析】由題意得(1+ax)5展開式的通項(xiàng)公式為Tk+1=15-k(ax)k=(ax)k,
令k=3,則T4=a3x3,所以a3=a3=-80,解得a=-2,
令x=0,可得a0=1,令x=1,可得a0+a1+…+a5=(1-2×1)5=-1,
所以a1+a2+a3+a4+a5=-2,故選D.
小結(jié)　賦值法的應(yīng)用規(guī)律與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān),包括求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)、各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的和,主要方法是賦值法,通過觀察展開式右邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和所求式子的關(guān)系,確定給字母所賦的值,有時(shí)賦值后得到的式子比所求式子多一項(xiàng)或少一項(xiàng),此時(shí)要專門求出這一項(xiàng),而在求奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和時(shí),往往要賦值兩次,再由方程組求出結(jié)果.
【拓展延伸】
數(shù)學(xué)文化與計(jì)數(shù)原理
　　數(shù)學(xué)文化是國(guó)家文化素質(zhì)教育的重要組成部分,是數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與文化學(xué)、社會(huì)學(xué)的交叉學(xué)科.其內(nèi)涵是一種理性思維方法在實(shí)踐過程中不斷探索形成的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)精神及其應(yīng)用. 縱觀近幾年高考,計(jì)數(shù)原理部分以數(shù)學(xué)文化為背景的問題層出不窮,讓人耳目一新.同時(shí)考生們也受困于背景陌生,使閱讀受阻,思路無法打開.下面通過對(duì)典型例題的剖析,讓同學(xué)們?cè)黾訉?duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識(shí),進(jìn)而加深對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
一、以古代文化經(jīng)典為素材
例1　如圖,洛書(古稱龜書)是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源,在古代傳說中有神龜出于洛水,其甲殼上有此圖象,結(jié)構(gòu)是戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽(yáng)數(shù),四角黑點(diǎn)為陰數(shù).若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽(yáng)數(shù)中隨機(jī)選取3個(gè)數(shù),則選取的3個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)的方法數(shù)為(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.30 B.40 C.42 D.44
【答案】B
【解析】根據(jù)題意,4個(gè)陰數(shù)即2,4,6,8;5個(gè)陽(yáng)數(shù)即1,3,5,7,9,
從中任選3個(gè),使選出的三個(gè)數(shù)的和為奇數(shù),共有兩種可能:
①選出的3個(gè)數(shù)都是奇數(shù),有=10(種)選法;
②選出的3個(gè)數(shù)有2個(gè)偶數(shù),1個(gè)奇數(shù),共有=30(種)選法.
綜上所述,一共有30+10=40(種)選法.故選B.
小結(jié)　本題滲透了古代數(shù)學(xué)文化,在悠久燦爛的中國(guó)古代文化中,數(shù)學(xué)文化是其中一朵絢爛的奇葩.數(shù)學(xué)不僅是中國(guó)古代實(shí)用科學(xué)的基石,而且含有神秘的文化色彩,有著深厚的文化積淀,它滲透在數(shù)學(xué)的各個(gè)章節(jié),有待我們?nèi)ネ诰?
二、以數(shù)學(xué)家為素材
例2　楊輝三角如圖所示,數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中,就已經(jīng)出現(xiàn)了這個(gè)表,它揭示了(a+b)n(n∈N)展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律.圖中第7行從左到右第4個(gè)數(shù)是　　　　;第n行的所有數(shù)的和為　　　　.
【答案】35　2n
【解析】根據(jù)題意,在圖中,第0行有1個(gè)數(shù),為1;
第1行有2個(gè)數(shù),依次為,;
第2行有3個(gè)數(shù),依次為,,;
…
則第7行有8個(gè)數(shù),依次為,,…,,故第7行從左到右第4個(gè)數(shù)是=35,
第n行有n+1個(gè)數(shù),依次為,,,…,,其和為+++…+=2n.
小結(jié)　“楊輝三角”出現(xiàn)在楊輝編著的《詳解九章算法》一書中,此書還說明表內(nèi)除“1”以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和.楊輝指出這個(gè)方法出于《釋鎖》算書,且我國(guó)北宋數(shù)學(xué)家賈憲(約公元11世紀(jì))已經(jīng)用過它,這表明我國(guó)發(fā)現(xiàn)這個(gè)表不晚于11世紀(jì).
三、以古建筑為背景
例3　永定土樓位于中國(guó)東南沿海的福建省龍巖市,是世界上獨(dú)一無二的神奇的山區(qū)居民建筑,是中國(guó)古建筑的一朵奇葩.2008年7月,永定土樓成功列入世界遺產(chǎn)名錄.它歷史悠久、風(fēng)格獨(dú)特、規(guī)模宏大、結(jié)構(gòu)精巧.土樓具體有圓形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊腳樓等類型.現(xiàn)有某大學(xué)建筑系學(xué)生要重點(diǎn)對(duì)這七種主要類型的土樓進(jìn)行調(diào)查研究.要求調(diào)查順序中,圓形要排在第一個(gè),五角形、八角形不能相鄰,則不同的排法共有　　　　種.
【答案】480
【解析】因?yàn)閳A形排在第一個(gè),五角形、八角形不能相鄰,所以采用插空法.
其他四個(gè)圖形全排列有=24(種)排法,
然后把五角形、八角形進(jìn)行插空,有=20(種)不同的排法,
則滿足條件的排法共有=480(種).
小結(jié)　本題以永定土樓為背景,讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時(shí)欣賞我國(guó)古建筑,弘揚(yáng)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化.
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