資源簡介

5.1.1　數列的概念
【學習目標】
1.了解數列的概念和數列的幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式),會根據數列的前幾項寫出數列的通項公式.(數學抽象、邏輯推理)
2.理解數列的通項公式,并能夠根據通項公式求數列中的某些項.(數學運算)
3.用函數思想理解數列,掌握數列的單調性,要求能夠對數列進行合理分類,以提高學生分析問題和解決問題的能力.(數學抽象、邏輯推理)
【自主預習】
1.數列的定義是什么
【答案】　一般地,我們把按照確定的順序排列的一列數稱為數列.
2.數列的項與項數有什么不同
【答案】　數列的項與項數是兩個不同的概念,數列的項是指這個數列中的某一個確定的數,它是一個函數值,即f(n);而項數是指這個數在數列中的位置序號,它是函數值f(n)對應的自變量的值,即n.
3.同一個數在數列中能重復出現嗎
【答案】　能,數列中的數可以重復出現.
4.數列1,2,3,4,5與集合{1,2,3,4,5}有什么區別
【答案】　一方面,形式上不一致;另一方面,集合中的元素具有無序性.
5.什么叫數列的通項公式
【答案】　如果數列{an}的第n項an與序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫作這個數列的通項公式.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)數列1,1,1,…是無窮數列. (　　)
(2)數列1,2,3,4和數列1,2,4,3是同一個數列. (　　)
(3)有些數列沒有通項公式. (　　)
(4)如果一個數列不是遞增數列,那么它一定是遞減數列. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.已知數列{an}的通項公式為an=,那么a5=(　　).
A. B. C. D.
【答案】　B
【解析】　∵an=,∴a5==,故選B.
3.數列0,1,2,3,4,…的一個通項公式可以為(　　).
A.an=n-1 B.an=n
C.an=n+1 D.an=n2-1
【答案】　A
【解析】　結合選項可知,an=n-1,故選A.
4.下列說法正確的是　　　　.(填序號)
①1,1,1,1是有窮數列;
②從小到大的自然數構成一個無窮遞增數列;
③數列1,2,3,4,…,2n是無窮數列.
【答案】　①②
【解析】　因為1,1,1,1只有4項,所以①正確;②正確;數列1,2,3,4,…,2n,共有2n項,是有窮數列,所以③錯誤.
【合作探究】
探究1　數列的概念
　　2022年在北京舉辦了冬奧會,第17屆冬季奧運會是在1994年舉辦的,冬奧會每四年舉辦一屆.
問題1:北京冬奧會是第多少屆
【答案】　由題意可知舉辦冬奧會的年份分別是1994,1998,2002,2006,2010,2014,2018,2022,因為1994年是第17屆,所以2022年北京冬奧會是第24屆.
問題2:預計第27屆冬奧會是哪一年
【答案】　是2034年.
問題3:我們能否引入一個概念,體現從第17屆冬奧會到第24屆冬奧會,屆別與舉辦年份之間的關系
【答案】　記第i屆冬奧會舉辦年份為ai,那么a17=1994,a18=1998,a19=2002,a20=2006,a21=2010,a22=2014,a23=2018,a24=2022.
問題4:結合教材中的例子,這些數的共同特點是什么
【答案】　(1)都是一系列數;(2)這些數有一定的次序.
新知生成
1.數列的定義:按照一定順序排列的一列數稱為數列,數列中的每一個數叫作這個數的項.各項依次稱為這個數列的第1項(通常也叫作首項),第2項……排在第n位的數稱為這個數列的第n項.
2.數列的項數:組成數列的數的個數稱為數列的項數.
注意:(1)數列中的數是按一定次序排列的,因此,如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同,那么它們就是不同的數列.
(2)數列的定義中,并沒有規定數列中的數必須不相同,因此,同一個數在數列中是允許重復出現的.
3.數列的分類
類別 含義
按項的 個數 有窮數列 項數　有限　的數列
無窮數列 項數　無限　的數列
按項的 變化 趨勢 遞增數列 從第2項起,每一項都　大于　它的前一項的數列
遞減數列 從第2項起,每一項都　小于　它的前一項的數列
常數列 各項　相等　的數列
　　注意:擺動數列是從第2項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數列.
新知運用
例1　下列數列哪些是有窮數列 哪些是無窮數列 哪些是遞增數列 哪些是遞減數列 哪些是常數列
(1)1,0.84,0.842,0.843,…;
(2)2,4,6,8,10,…;
(3)7,7,7,7,…;
(4),,,,…;
(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1.
【解析】　(5)是有窮數列;(1)(2)(3)(4)是無窮數列;(2)是遞增數列;(1)(4)(5)是遞減數列;(3)是常數列.
【方法總結】　　(1)判斷數列是何種數列一定要嚴格按照定義進行判斷.
(2)判斷數列的單調性時一定要確保每一項均大于(或均小于)后一項,不能有例外.
　　下列數列哪些是有窮數列 哪些是無窮數列 哪些是遞增數列 哪些是遞減數列 哪些是常數列
(1)2017,2018,2019,2020,2021,2022,2023;
(2)0,,,…,,…;
(3)1,,,…,,…;
(4)-,,-,,…;
(5)1,0,-1,…,sin,…;
(6)9,9,9,9,9,9.
【解析】　(1)(6)是有窮數列;(2)(3)(4)(5)是無窮數列;(1)(2)是遞增數列;(3)是遞減數列;(6)是常數列.
探究2　數列的通項
　　數列的一般形式是a1,a2,…,an,…,簡記為{an}.
問題1:數列{an}中的各項ak與各項序號k(k=1,2,3,…,n,…)之間的對應關系是什么
【答案】　　序號 1 2 3 … n …
↓ ↓ ↓ ↓
　　　　　　項　 a1 a2 a3 … an …
問題2:你能從函數的角度解釋這個數列的特點嗎
【答案】　數列{an}可以看成從正整數集N+(或它的有限子集{1,2,…,n})到實數集R的函數,其自變量是序號n,對應的函數值是數列的第n項an,記為an=f(n).
問題3:在數列中,符號{an}與an所表示的意義是否相同
【答案】　{an}與an是兩個不同的概念,{an}表示數列a1,a2,a3,…,an,…,而an只表示數列{an}中的第n項.
新知生成
一般地,如果數列的第n項an與　n　之間的關系可以用　an=f(n)　來表示,其中f(n)是關于n的不含其他未知數的表達式,則稱此關系式為這個數列的通項公式.
注意:①并不是所有數列都能寫出其通項公式;②一個數列的通項公式有時不是唯一的;③數列的通項公式具有雙重身份,它既能表示數列的第n項,又是這個數列中所有各項的一般表示.通項公式反映了一個數列項與項數的函數關系.
新知運用
例2　(1)在數列0,,,,…,,…中,是它的第　　　　項.
(2)根據下面各數列的前幾項,寫出數列的一個通項公式:
①-1,7,-13,19,…;
②,,,,,…;
③3,5,3,5;
④5,55,555,5555,….
【答案】　(1)7
【解析】　(1)令=,解得n=7,所以是它的第7項.
(2)①偶數項為正,奇數項為負,故通項公式的正負性可用(-1)n來調節,觀察各項的絕對值,后一項的絕對值總比它前一項的絕對值大6,故數列的一個通項公式為an=(-1)n(6n-5).
②這是一個分數數列,其分子構成偶數數列,而分母可分解為1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,每一項都是兩個相鄰奇數的乘積.故數列的一個通項公式為an=.
③(法一)數列給出前4項,其中奇數項為3,偶數項為5,
所以通項公式的一種表示方法為an=
(法二)此數列還可以這樣考慮,4+1=5,4-1=3,因此數列的一個通項公式又可以寫為an=4+(-1)n.
④將原數列改寫為×9,×99,×999,…,易知數列9,99,999,…的通項為10n-1,故數列的一個通項公式為an=(10n-1).
【方法總結】　　1.根據所給數列的前幾項求其通項公式時,需仔細觀察分析,抓住以下幾方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相鄰項的變化特征;③拆項后的特征;④各項符號特征,并對此進行聯想、歸納.
2.觀察、分析問題的特點是最重要的,觀察要有目的,觀察項與序號之間的關系、規律,利用我們熟知的一些基本數列(如自然數列、奇偶數列等)進行轉換而使問題得到解決;對于正負符號的變化,可用(-1)n或(-1)n+1來調整.
　　寫出下列各數列的一個通項公式,它們的前幾項分別是:
(1)1,3,7,15,31,…;
(2),,,,,…;
(3)-,,-,,-,…;
(4)2×3,3×4,4×5,5×6,….
【解析】　(1)由1=2-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,31=25-1,…,
可得an=2n-1.
(2)由=,=,=,=,=,…,
可得an=.
(3)由-,,-,,-,…可知奇數項為負數,偶數項為正數,
可得an=(-1)n×.
(4)由2×3=(1+1)×(1+2),3×4=(2+1)×(2+2),4×5=(3+1)×(3+2),5×6=(4+1)×(4+2),…,
可得an=(n+1)(n+2).
探究3　數列的函數特性
問題1:我們已經歸納出了數列的概念,從給出的具體例子中你能發現數列與函數的聯系嗎 如果數列是函數,那么它們的對應關系、定義域分別是什么
【答案】　數列是特殊的函數,它們的對應關系是an=f(n),定義域是N+ .
問題2:1,3,5,7是一個數列,7,5,3,1也是一個數列,這兩個數列是不是同一個數列 是否具有單調性 你能寫出一個遞增的數列嗎
【答案】　不是;具有單調性,數列1,3,5,7是遞增數列,數列7,5,3,1是遞減數列;能,如2,4,6,8,10,….
新知生成
(1)數列的定義域為正整數集N+ (或它的有限子集).數列{an}是從正整數集(或它的有限子集)到實數集的函數.
(2)單調性
從第二項起,每一項都大于它的前一項(an+1>an )的數列叫作遞增數列;從第二項起,每一項都小于它的前一項(an+1新知運用
例3　(1)已知遞增數列{an}滿足an=則實數m 的取值范圍是(　　).
A.[12,+∞) B.(1,12)
C.(1,9) D.[9,+∞)
(2)已知數列{an}滿足an=n+,則數列{an}的最小值為　　　　.
【答案】　(1)B　(2)
【解析】　(1)∵{an}為遞增數列,∴即解得1即實數m 的取值范圍為(1,12).故選B.
(2)∵f(x)=x+ 在(0,4) 上單調遞減,在(4,+∞) 上單調遞增,且5<4<6,
∴當x=n(n∈N+)時,f(n)min=min{f(5),f(6)},
又f(5)=5+=,f(6)=6+=,>,
∴f(n)min=,
即數列{an}的最小值為.
【方法總結】　　數列的單調性與最值
(1)數列的單調性可以依據相應函數的單調性進行判斷,也可以根據an+1-an的符號進行判斷.
(2)求數列中最大(小)項的方法
①若an最大,則若an最小,則要注意等號是否成立,即兩項有無可能相等.
②考慮數列的單調性,注意自變量為正整數,如果取最值時的自變量不是正整數,那么需要與該數相鄰的正整數驗證比較.
1.已知數列{an}的通項公式為an=若{an}是遞增數列,則實數a 的取值范圍是(　　).
A.(3,6) B.(1,2) C.(1,3) D.(2,3)
【答案】　D
【解析】　由題意可得解得22.已知數列{an}的通項公式為an=n2-11n+,a5 是數列{an}的最小項,則實數a 的取值范圍是　　　　.
【答案】　[-25,0]
【解析】　由題意可得n2-11n+≥25-55+,整理得(n-5)(n-6)≥,
當n≤4 時,不等式化簡為a≥5n(n-6)恒成立,所以a≥-25;
當n≥6 時,不等式化簡為a≤5n(n-6)恒成立,所以a≤0.
綜上,-25≤a≤0.
【隨堂檢測】
1.下列數列中,既是遞增數列又是無窮數列的是(　　).
A.-1,-2,-3,-4,…
B.-1,-,-,-,…
C.-1,-2,-4,-8,…
D.1,,,,…,
【答案】　B
【解析】　A,B,C中的數列都是無窮數列,但是A,C中的數列是遞減數列,故選B.
2.數列0.9,0.99,0.999,…的一個通項公式是(　　).
A.1+ B.-1+
C.1- D.1-
【答案】　C
【解析】　原數列前幾項可改寫為1-,1-,1-,…,故該數列的一個通項公式為an=1-.故選C.
3.已知數列{an}的通項公式為an=n·,則數列{an}中的最大項為(　　).
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　因為數列{an}的通項公式為an=n·,顯然an>0,令即得2≤n≤3,所以數列{an}中的最大項為a2=a3=2×=.
4.若數列{an}滿足an=log2(n2+3)-2,則log23是這個數列的第　　　　項.
【答案】　3
【解析】　令an=log2(n2+3)-2=log23,解得n=3.
25.1.1　數列的概念
【學習目標】
1.了解數列的概念和數列的幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式),會根據數列的前幾項寫出數列的通項公式.(數學抽象、邏輯推理)
2.理解數列的通項公式,并能夠根據通項公式求數列中的某些項.(數學運算)
3.用函數思想理解數列,掌握數列的單調性,要求能夠對數列進行合理分類,以提高學生分析問題和解決問題的能力.(數學抽象、邏輯推理)
【自主預習】
1.數列的定義是什么
2.數列的項與項數有什么不同
3.同一個數在數列中能重復出現嗎
4.數列1,2,3,4,5與集合{1,2,3,4,5}有什么區別
5.什么叫數列的通項公式
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)數列1,1,1,…是無窮數列. (　　)
(2)數列1,2,3,4和數列1,2,4,3是同一個數列. (　　)
(3)有些數列沒有通項公式. (　　)
(4)如果一個數列不是遞增數列,那么它一定是遞減數列. (　　)
2.已知數列{an}的通項公式為an=,那么a5=(　　).
A. B. C. D.
3.數列0,1,2,3,4,…的一個通項公式可以為(　　).
A.an=n-1 B.an=n
C.an=n+1 D.an=n2-1
4.下列說法正確的是　　　　.(填序號)
①1,1,1,1是有窮數列;
②從小到大的自然數構成一個無窮遞增數列;
③數列1,2,3,4,…,2n是無窮數列.
【合作探究】
探究1　數列的概念
　　2022年在北京舉辦了冬奧會,第17屆冬季奧運會是在1994年舉辦的,冬奧會每四年舉辦一屆.
問題1:北京冬奧會是第多少屆
問題2:預計第27屆冬奧會是哪一年
問題3:我們能否引入一個概念,體現從第17屆冬奧會到第24屆冬奧會,屆別與舉辦年份之間的關系
問題4:結合教材中的例子,這些數的共同特點是什么
新知生成
1.數列的定義:按照一定順序排列的一列數稱為數列,數列中的每一個數叫作這個數的項.各項依次稱為這個數列的第1項(通常也叫作首項),第2項……排在第n位的數稱為這個數列的第n項.
2.數列的項數:組成數列的數的個數稱為數列的項數.
注意:(1)數列中的數是按一定次序排列的,因此,如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同,那么它們就是不同的數列.
(2)數列的定義中,并沒有規定數列中的數必須不相同,因此,同一個數在數列中是允許重復出現的.
3.數列的分類
類別 含義
按項的 個數 有窮數列 項數　有限　的數列
無窮數列 項數　無限　的數列
按項的 變化 趨勢 遞增數列 從第2項起,每一項都　大于　它的前一項的數列
遞減數列 從第2項起,每一項都　小于　它的前一項的數列
常數列 各項　相等　的數列
　　注意:擺動數列是從第2項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數列.
新知運用
例1　下列數列哪些是有窮數列 哪些是無窮數列 哪些是遞增數列 哪些是遞減數列 哪些是常數列
(1)1,0.84,0.842,0.843,…;
(2)2,4,6,8,10,…;
(3)7,7,7,7,…;
(4),,,,…;
(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1.
【方法總結】　　(1)判斷數列是何種數列一定要嚴格按照定義進行判斷.
(2)判斷數列的單調性時一定要確保每一項均大于(或均小于)后一項,不能有例外.
　　下列數列哪些是有窮數列 哪些是無窮數列 哪些是遞增數列 哪些是遞減數列 哪些是常數列
(1)2017,2018,2019,2020,2021,2022,2023;
(2)0,,,…,,…;
(3)1,,,…,,…;
(4)-,,-,,…;
(5)1,0,-1,…,sin,…;
(6)9,9,9,9,9,9.
探究2　數列的通項
　　數列的一般形式是a1,a2,…,an,…,簡記為{an}.
問題1:數列{an}中的各項ak與各項序號k(k=1,2,3,…,n,…)之間的對應關系是什么
問題2:你能從函數的角度解釋這個數列的特點嗎
問題3:在數列中,符號{an}與an所表示的意義是否相同
新知生成
一般地,如果數列的第n項an與　n　之間的關系可以用　an=f(n)　來表示,其中f(n)是關于n的不含其他未知數的表達式,則稱此關系式為這個數列的通項公式.
注意:①并不是所有數列都能寫出其通項公式;②一個數列的通項公式有時不是唯一的;③數列的通項公式具有雙重身份,它既能表示數列的第n項,又是這個數列中所有各項的一般表示.通項公式反映了一個數列項與項數的函數關系.
新知運用
例2　(1)在數列0,,,,…,,…中,是它的第　　　　項.
(2)根據下面各數列的前幾項,寫出數列的一個通項公式:
①-1,7,-13,19,…;
②,,,,,…;
③3,5,3,5;
④5,55,555,5555,….
【方法總結】　　1.根據所給數列的前幾項求其通項公式時,需仔細觀察分析,抓住以下幾方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相鄰項的變化特征;③拆項后的特征;④各項符號特征,并對此進行聯想、歸納.
2.觀察、分析問題的特點是最重要的,觀察要有目的,觀察項與序號之間的關系、規律,利用我們熟知的一些基本數列(如自然數列、奇偶數列等)進行轉換而使問題得到解決;對于正負符號的變化,可用(-1)n或(-1)n+1來調整.
　　寫出下列各數列的一個通項公式,它們的前幾項分別是:
(1)1,3,7,15,31,…;
(2),,,,,…;
(3)-,,-,,-,…;
(4)2×3,3×4,4×5,5×6,….
探究3　數列的函數特性
問題1:我們已經歸納出了數列的概念,從給出的具體例子中你能發現數列與函數的聯系嗎 如果數列是函數,那么它們的對應關系、定義域分別是什么
問題2:1,3,5,7是一個數列,7,5,3,1也是一個數列,這兩個數列是不是同一個數列 是否具有單調性 你能寫出一個遞增的數列嗎
新知生成
(1)數列的定義域為正整數集N+ (或它的有限子集).數列{an}是從正整數集(或它的有限子集)到實數集的函數.
(2)單調性
從第二項起,每一項都大于它的前一項(an+1>an )的數列叫作遞增數列;從第二項起,每一項都小于它的前一項(an+1新知運用
例3　(1)已知遞增數列{an}滿足an=則實數m 的取值范圍是(　　).
A.[12,+∞) B.(1,12)
C.(1,9) D.[9,+∞)
(2)已知數列{an}滿足an=n+,則數列{an}的最小值為　　　　.
【方法總結】　　數列的單調性與最值
(1)數列的單調性可以依據相應函數的單調性進行判斷,也可以根據an+1-an的符號進行判斷.
(2)求數列中最大(小)項的方法
①若an最大,則若an最小,則要注意等號是否成立,即兩項有無可能相等.
②考慮數列的單調性,注意自變量為正整數,如果取最值時的自變量不是正整數,那么需要與該數相鄰的正整數驗證比較.
1.已知數列{an}的通項公式為an=若{an}是遞增數列,則實數a 的取值范圍是(　　).
A.(3,6) B.(1,2) C.(1,3) D.(2,3)
2.已知數列{an}的通項公式為an=n2-11n+,a5 是數列{an}的最小項,則實數a 的取值范圍是　　　　.
【隨堂檢測】
1.下列數列中,既是遞增數列又是無窮數列的是(　　).
A.-1,-2,-3,-4,…
B.-1,-,-,-,…
C.-1,-2,-4,-8,…
D.1,,,,…,
2.數列0.9,0.99,0.999,…的一個通項公式是(　　).
A.1+ B.-1+
C.1- D.1-
3.已知數列{an}的通項公式為an=n·,則數列{an}中的最大項為(　　).
A. B. C. D.
4.若數列{an}滿足an=log2(n2+3)-2,則log23是這個數列的第　　　　項.
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