資源簡介

5.1.2　數(shù)列中的遞推
【學習目標】
1.了解數(shù)列遞推公式的概念,知道遞推公式是給出數(shù)列的一種方法.(數(shù)學抽象)
2.能根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列.(邏輯推理)
3.會應用數(shù)列的前n項和公式求數(shù)列的通項公式.(邏輯推理、數(shù)學運算)
【自主預習】
1.什么是數(shù)列的遞推公式
【答案】　如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫作這個數(shù)列的遞推公式.
2.由數(shù)列的遞推公式能否寫出數(shù)列的任意項
【答案】　能.根據(jù)數(shù)列的首項(或前幾項)以及遞推關系,可以求出這個數(shù)列中的每一項.
3.什么是數(shù)列a1,a2,…,an的和
【答案】　把a1+a2+…+an稱為數(shù)列{an}的前n項和.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)遞推公式是表示數(shù)列的一種方法. (　　)
(2)所有的數(shù)列都有遞推公式. (　　)
(3)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則an=Sn-Sn-1,n∈N+. (　　)
(4)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則a1=S1. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.數(shù)列1,,,,…的遞推公式可以是(　　).
A.an=(n∈N+)
B.an=(n∈N+)
C.an+1=an(n∈N+)
D.an+1=2an(n∈N+)
【答案】　C
【解析】　由題意可知C選項符合題意,故選C.
3.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2,則a2=　　　　.
【答案】　3
【解析】　a2=S2-S1=4-1=3.
4.已知數(shù)列{an}滿足an+2=an+1+2an,且a1=1,a2=2,寫出該數(shù)列的前5項.
【解析】　由題意得a3=a2+2a1=4,a4=a3+2a2=8,a5=a4+2a3=16,
故該數(shù)列的前5項依次為1,2,4,8,16.
【合作探究】
探究1　數(shù)列的遞推關系
　　2022年2月12日,冬奧會中國體育代表團開幕式旗手高亭宇以34秒32的成績打破速度滑冰男子500米項目的奧運紀錄,奪得金牌.已知某冰雪項目看臺有30排座位,第一排有20個座位,從第二排起,后一排都比前一排多2個座位.
問題1:寫出前五排的座位數(shù).
【答案】　20,22,24,26,28.
問題2:第n排與第n+1排的座位數(shù)有何關系
【答案】　第n+1排比第n排多2個座位.
問題3:能用等式表示出第n排座位數(shù)an與第n+1排座位數(shù)an+1的關系嗎
【答案】　能,an+1=an+2.
問題4:僅由數(shù)列{an}的關系式an+1=an+2(n≥2,n∈N+)就能確定這個數(shù)列嗎
【答案】　不能.數(shù)列的遞推公式是由首項和相鄰幾項的遞推關系確定的,如果只有遞推關系而無首項,那么這個數(shù)列是不能確定的.
新知生成
若已知數(shù)列的　首項　(或前幾項),且數(shù)列的相鄰兩項或兩項以上的關系都可以用　一個公式　來表示,則稱這個公式為數(shù)列的遞推關系(也稱為遞推公式或遞歸公式).
注意:數(shù)列遞推公式與通項公式的關系
遞推公式 通項公式
區(qū)別 表示an與它的前一項an-1(或前幾項)之間的關系 表示an與n之間的關系
聯(lián)系 (1)都是表示數(shù)列的一種方法; (2)由遞推公式求出前幾項可歸納猜想出通項公式
新知運用
一、遞推關系
例1　請分別用通項公式法、遞推公式法、列表法表示數(shù)列2,4,6,8,10,12,….
【解析】　①通項公式法:an=2n.
②遞推公式法:
③列表法:
n 1 2 3 … k …
an 2 4 6 … 2k …
二、根據(jù)遞推關系求數(shù)列中的項
例2　在數(shù)列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2,n∈N+),寫出數(shù)列{an}的前五項.
【解析】　a1=1;a2=a1+=;
a3=a2+=;a4=a3+=;
a5=a4+=.
三、數(shù)列的遞推公式與通項公式的關系
例3　設數(shù)列{an}是首項為1的正項數(shù)列,且an+1=an(n∈N+),求數(shù)列的通項公式.
【解析】　 (法一:歸納猜想法)因為an+1=an,a1=1,所以a2=×1=,a3=×=,a4=×=,…,猜想an=.
(法二:迭代法)因為an+1=an,
所以an=an-1=·an-2=…=··…·a1,從而an=.
(法三:轉化法)因為an+1=an,所以=1,
故數(shù)列{nan}是常數(shù)列,nan=a1=1,所以an=.
四、周期性數(shù)列
例4　已知數(shù)列{an}滿足an+1·(1-an)=1,且a1=-,則a2023=(　　).
A.3 B.- C. D.
【答案】　B
【解析】　∵an+1·(1-an)=1,且a1=-,∴a2=,a3=3,a4=-,…,∴數(shù)列{an}的周期T=3,∵2022=674×3,∴a2023=a1=-.
【方法總結】　　遞推公式一般可以通過觀察數(shù)列的前n項的變化規(guī)律得到,利用遞推公式可以求解數(shù)列中的其他項.
1.數(shù)列1,3,6,10,15,…的一個遞推公式是(　　).
A.
B.
C.
D.
【答案】　B
【解析】　將數(shù)列前n項分別代入四個選項驗證,可知B選項符合.
2.在數(shù)列{an}中,a1=1,an·an+1=-2(n=1,2,3,…),那么a8=(　　).
A.-2 B.- C.1 D.2
【答案】　A
【解析】　由a1=1,an·an+1=-2可得,a2=-2,a3=1,a4=-2,所以數(shù)列{an}的周期為2,所以a8=-2.
3.已知數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=(n∈N*),則a503=(　　).
A.-1 B. C.+1 D.2
【答案】　A
【解析】　∵a1=>1,∴a2=a1-1=-1∈(0,1),∴a3==+1>1,∴a4=a3-1=>1,∴a5=a4-1=-1∈(0,1),…,
依此類推,可知數(shù)列是周期為3 的周期數(shù)列,∴a503=a3×167+2=a2=-1.
探究2　an與Sn的關系及應用
　　在對數(shù)列的研究中,求數(shù)列某些項的和是主要問題之一.我們把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和,稱為數(shù)列{an}的前n項和,記作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.
問題:若前n-1項和Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),寫出an與Sn和Sn-1的關系.
【答案】　an=Sn-Sn-1(n≥2).
新知生成
如果數(shù)列{an}的前n項和Sn與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫作這個數(shù)列的前n項和公式.
我們有an=
新知運用
例5　已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且log3(Sn+1)=n+1,則數(shù)列{an}的通項公式為　　　　　.
方法指導　先求Sn,再利用an=求an.
【答案】　an=
【解析】　由log3(Sn+1)=n+1,得Sn+1=3n+1.
當n=1 時,a1=S1=8;
當n≥2 時,an=Sn-Sn-1=2·3n .
所以數(shù)列{an}的通項公式為an=
【方法總結】　　任何一個數(shù)列,它的前n項和Sn與通項an都存在關系:an=若a1適合Sn-Sn-1,則應把它們統(tǒng)一起來,否則就用分段函數(shù)表示.
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn.
(1)若Sn=(-1)n+1·n,求a5+a6及an;
(2)若Sn=3n+2n+1,求an.
【解析】　(1)a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2.
當n=1時,a1=S1=1;
當n≥2時,
an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1)
=(-1)n+1·[n+(n-1)]
=(-1)n+1·(2n-1).
當n=1時,a1=1也適合上式,
所以an=(-1)n+1·(2n-1).
(2)當n=1時,a1=S1=6;
當n≥2時,
an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]=2·3n-1+2.
當n=1時,a1=6不適合上式,
所以an=
探究3　斐波那契數(shù)列
　　意大利數(shù)學家斐波那契在十三世紀初提出了一個關于兔子繁殖的問題:假設每對新生的小兔子2個月后就長成大兔子,且從第3個月起每個月都生1對小兔子,兔子均不死亡.由1對新生的小兔子開始,記每個月的兔子對數(shù)構成的數(shù)列為{Fn}.
問題1:試寫出F1,F2,F3,F4,F5,F6.
【答案】　根據(jù)題意可知,前2個月內,小兔子都還沒有長成大兔子,因此F1=F2=1.
第3個月時,第1個月的那對小兔子會生1對小兔子,因此F3=1+1=2.
第4個月時,第1個月的那對小兔子還會再生1對小兔子,因此F4=2+1=3.
第5個月時,前3個月的兔子會生2對小兔子,因此F5=3+2=5.
第6個月時,前4個月的兔子會生3對小兔子,因此F6=5+3=8.
問題2:當n≥3時,第n個月的兔子對數(shù)是多少
【答案】　一般地,當n≥3時,第n個月的兔子對數(shù)Fn應該等于第n-1個月的兔子對數(shù)Fn-1加上新生的兔子對數(shù),又因為第n-2個月的那對兔子到了第n個月都能生1對兔子,因此有Fn=Fn-1+Fn-2.
新知生成
一般地,若數(shù)列{Fn} 滿足遞推關系則稱數(shù)列{Fn} 為斐波那契數(shù)列.
新知運用
例6　意大利數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖為例,引入“兔子數(shù)列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N+),此數(shù)列在很多領域都有著廣泛的應用.若此數(shù)列的各項除以2的余數(shù)構成一個新數(shù)列{an},則數(shù)列{an}的前2023項的和為(　　).
A.2020 B.1348 C.1349 D.672
方法指導　根據(jù)“兔子數(shù)列”的特征,先確定數(shù)列{an},然后判斷該數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列,由此可解得【答案】.
【答案】　C
【解析】　由數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…各項除以2的余數(shù),可得一個新數(shù)列{an}為1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,…,∴{an}是周期為3的周期數(shù)列,且一個周期中三項的和為1+1+0=2,
∵2023=674×3+1,∴數(shù)列{an}的前2023項的和為674×2+1=1349.
　　“斐波那契”數(shù)列是由十三世紀意大利數(shù)學家斐波那契發(fā)現(xiàn)的,數(shù)列中的一系列數(shù)字常被人們稱為“神奇數(shù)”,具體數(shù)列為1,1,2,3,5,8,…,即從該數(shù)列的第三項數(shù)字開始,每個數(shù)字等于前兩個相鄰數(shù)字之和.已知數(shù)列{an}為“斐波那契”數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,若S2021=m,則a2023=(　　).
A.2m B.m2-1 C.m+1 D.m-1
【答案】　C
【解析】　∵an+2=an+an+1=an+an-1+an=an+an-1+an-2+an-1=an+an-1+an-2+an-3+an-2=…=an+an-1+an-2+an-3+…+a2+a1+a2=Sn+1,∴a2023=S2021+1=m+1.
【隨堂檢測】
1.已知數(shù)列{an}的第1項是1,第2項是2,通項公式an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),則該數(shù)列的第5項為(　　).
A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9
【答案】　C
【解析】　∵a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),
∴a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.
2.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2-2n+1,則數(shù)列{an}的通項公式為(　　).
A.an=6n-5
B.an=
C.an=6n+1
D.an=
【答案】　B
【解析】　當n=1時,a1=S1=3-2+1=2.
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5.　(*)
又當n=1時,不滿足(*)式,
∴an=故選B.
3.若數(shù)列{an}滿足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2,n∈N+),且a1=1,則a100=　　　　.
【答案】　5050
【解析】　由(n-1)an=(n+1)an-1,得=,
則a100=a1···…·=1×××…××=5050.
4.斐波那契數(shù)列的前7項是1,1,2,3,5,8,13,則該數(shù)列的第10項為　　　　.
【答案】　55
【解析】　根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義知,從第3項起,每一項均為前2項的數(shù)字之和,8+13=21,13+21=34,21+34=55,則該數(shù)列的第10項為55.
25.1.2　數(shù)列中的遞推
【學習目標】
1.了解數(shù)列遞推公式的概念,知道遞推公式是給出數(shù)列的一種方法.(數(shù)學抽象)
2.能根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列.(邏輯推理)
3.會應用數(shù)列的前n項和公式求數(shù)列的通項公式.(邏輯推理、數(shù)學運算)
【自主預習】
1.什么是數(shù)列的遞推公式
2.由數(shù)列的遞推公式能否寫出數(shù)列的任意項
3.什么是數(shù)列a1,a2,…,an的和
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)遞推公式是表示數(shù)列的一種方法. (　　)
(2)所有的數(shù)列都有遞推公式. (　　)
(3)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則an=Sn-Sn-1,n∈N+. (　　)
(4)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則a1=S1. (　　)
2.數(shù)列1,,,,…的遞推公式可以是(　　).
A.an=(n∈N+)
B.an=(n∈N+)
C.an+1=an(n∈N+)
D.an+1=2an(n∈N+)
3.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2,則a2=　　　　.
4.已知數(shù)列{an}滿足an+2=an+1+2an,且a1=1,a2=2,寫出該數(shù)列的前5項.
【合作探究】
探究1　數(shù)列的遞推關系
　　2022年2月12日,冬奧會中國體育代表團開幕式旗手高亭宇以34秒32的成績打破速度滑冰男子500米項目的奧運紀錄,奪得金牌.已知某冰雪項目看臺有30排座位,第一排有20個座位,從第二排起,后一排都比前一排多2個座位.
問題1:寫出前五排的座位數(shù).
問題2:第n排與第n+1排的座位數(shù)有何關系
問題3:能用等式表示出第n排座位數(shù)an與第n+1排座位數(shù)an+1的關系嗎
問題4:僅由數(shù)列{an}的關系式an+1=an+2(n≥2,n∈N+)就能確定這個數(shù)列嗎
新知生成
若已知數(shù)列的　首項　(或前幾項),且數(shù)列的相鄰兩項或兩項以上的關系都可以用　一個公式　來表示,則稱這個公式為數(shù)列的遞推關系(也稱為遞推公式或遞歸公式).
注意:數(shù)列遞推公式與通項公式的關系
遞推公式 通項公式
區(qū)別 表示an與它的前一項an-1(或前幾項)之間的關系 表示an與n之間的關系
聯(lián)系 (1)都是表示數(shù)列的一種方法; (2)由遞推公式求出前幾項可歸納猜想出通項公式
新知運用
一、遞推關系
例1　請分別用通項公式法、遞推公式法、列表法表示數(shù)列2,4,6,8,10,12,….
二、根據(jù)遞推關系求數(shù)列中的項
例2　在數(shù)列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2,n∈N+),寫出數(shù)列{an}的前五項.
三、數(shù)列的遞推公式與通項公式的關系
例3　設數(shù)列{an}是首項為1的正項數(shù)列,且an+1=an(n∈N+),求數(shù)列的通項公式.
四、周期性數(shù)列
例4　已知數(shù)列{an}滿足an+1·(1-an)=1,且a1=-,則a2023=(　　).
A.3 B.- C. D.
【方法總結】　　遞推公式一般可以通過觀察數(shù)列的前n項的變化規(guī)律得到,利用遞推公式可以求解數(shù)列中的其他項.
1.數(shù)列1,3,6,10,15,…的一個遞推公式是(　　).
A.
B.
C.
D.
2.在數(shù)列{an}中,a1=1,an·an+1=-2(n=1,2,3,…),那么a8=(　　).
A.-2 B.- C.1 D.2
3.已知數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=(n∈N*),則a503=(　　).
A.-1 B. C.+1 D.2
探究2　an與Sn的關系及應用
　　在對數(shù)列的研究中,求數(shù)列某些項的和是主要問題之一.我們把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和,稱為數(shù)列{an}的前n項和,記作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.
問題:若前n-1項和Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),寫出an與Sn和Sn-1的關系.
新知生成
如果數(shù)列{an}的前n項和Sn與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫作這個數(shù)列的前n項和公式.
我們有an=
新知運用
例5　已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且log3(Sn+1)=n+1,則數(shù)列{an}的通項公式為　　　　　.
方法指導　先求Sn,再利用an=求an.
【方法總結】　　任何一個數(shù)列,它的前n項和Sn與通項an都存在關系:an=若a1適合Sn-Sn-1,則應把它們統(tǒng)一起來,否則就用分段函數(shù)表示.
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn.
(1)若Sn=(-1)n+1·n,求a5+a6及an;
(2)若Sn=3n+2n+1,求an.
探究3　斐波那契數(shù)列
　　意大利數(shù)學家斐波那契在十三世紀初提出了一個關于兔子繁殖的問題:假設每對新生的小兔子2個月后就長成大兔子,且從第3個月起每個月都生1對小兔子,兔子均不死亡.由1對新生的小兔子開始,記每個月的兔子對數(shù)構成的數(shù)列為{Fn}.
問題1:試寫出F1,F2,F3,F4,F5,F6.
問題2:當n≥3時,第n個月的兔子對數(shù)是多少
新知生成
一般地,若數(shù)列{Fn} 滿足遞推關系則稱數(shù)列{Fn} 為斐波那契數(shù)列.
新知運用
例6　意大利數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖為例,引入“兔子數(shù)列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N+),此數(shù)列在很多領域都有著廣泛的應用.若此數(shù)列的各項除以2的余數(shù)構成一個新數(shù)列{an},則數(shù)列{an}的前2023項的和為(　　).
A.2020 B.1348 C.1349 D.672
方法指導　根據(jù)“兔子數(shù)列”的特征,先確定數(shù)列{an},然后判斷該數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列,由此可解得【答案】.
　　“斐波那契”數(shù)列是由十三世紀意大利數(shù)學家斐波那契發(fā)現(xiàn)的,數(shù)列中的一系列數(shù)字常被人們稱為“神奇數(shù)”,具體數(shù)列為1,1,2,3,5,8,…,即從該數(shù)列的第三項數(shù)字開始,每個數(shù)字等于前兩個相鄰數(shù)字之和.已知數(shù)列{an}為“斐波那契”數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,若S2021=m,則a2023=(　　).
A.2m B.m2-1 C.m+1 D.m-1
【隨堂檢測】
1.已知數(shù)列{an}的第1項是1,第2項是2,通項公式an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),則該數(shù)列的第5項為(　　).
A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9
2.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2-2n+1,則數(shù)列{an}的通項公式為(　　).
A.an=6n-5
B.an=
C.an=6n+1
D.an=
3.若數(shù)列{an}滿足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2,n∈N+),且a1=1,則a100=　　　　.
4.斐波那契數(shù)列的前7項是1,1,2,3,5,8,13,則該數(shù)列的第10項為　　　　.
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