資源簡介

5.2.1　課時1等差數列的定義及通項公式
【學習目標】
1.能夠通過實際問題理解等差數列、公差的概念,提升分析問題、解決問題的能力.(數學抽象)
2.掌握等差數列的通項公式及其推導方法,并能夠靈活地進行運算.(邏輯推理、數學運算)
3.掌握等差數列的判定方法,能運用定義法證明等差數列.(數學抽象、邏輯推理)
【自主預習】
1.等差數列是如何定義的
2.觀察所給的兩個數之間,插入一個什么數后三個數就會成為一個等差數列.
(1)2,4;(2)-1,5;(3)a,b;(4)0,0.
3.由等差數列的通項公式可以看出,要求等差數列an的通項公式,需要哪幾個條件
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)數列4,4,4,…是等差數列. (　　)
(2)若一個數列的前4項分別為1,2,3,4,則{an}(n>4)一定是等差數列. (　　)
(3)在等差數列{an}中,a1,n,d,an任意給出三個,可求剩下的一個. (　　)
(4)等差數列{an}的通項公式是關于n的一次函數. (　　)
2.下列數列不是等差數列的為(　　).
A.6,6,6,6,6 B.-2,-1,0,1,2
C.5,8,11,14 D.0,1,3,6,10
3.已知在等差數列{an}中,首項a1=4,公差d=-2,則通項公式an=　　　　.
4.在等差數列{an}中,若a2=1,a5=3,則公差d=　　　　.
【合作探究】
探究1　等差數列的定義
　　奧林匹克運動會(Olympic Games,簡稱奧運會),是國際奧林匹克委員會主辦的世界規模最大的綜合性運動會,每四年一屆,會期不超過16日,是世界上影響力最大的體育盛會.奧林匹克運動會發源于兩千多年前的古希臘,因舉辦地在奧林匹亞而得名.小明為了更加了解奧運會,通過互聯網查詢到了第23屆到第31屆奧運會的年份依次為1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008,2012,2016.
　　問題:這個數列有什么規律
新知生成
一般地,若數列{an}從第　2　項起,每一項與它的前一項之差都等于同一個常數d,即　an+1-an=d　恒成立,則稱{an}為等差數列,其中d稱為等差數列的　公差　.
注意:等差數列定義的理解
(1)“每一項與它的前一項之差”這一運算的要求是指“相鄰且后項減去前項”,強調了作差的順序且這兩項必須相鄰.
(2)定義中的“同一常數”是指全部的后項減去前一項都等于同一個常數,否則這個數列不能稱為等差數列.
新知運用
例1　判斷下列數列是否為等差數列.
(1)在數列{an}中,an=3n+2;
(2)在數列{an}中,an=n2+n.
【方法總結】　　定義法是判定(或證明)數列{an}是等差數列的基本方法,其步驟如下:
(1)作差an+1-an.
(2)對差式進行變形.
(3)當an+1-an是一個與n無關的常數時,數列{an}是等差數列;當an+1-an不是常數,是與n有關的代數式時,數列{an}不是等差數列.
已知等差數列{an}的首項為a1,公差為d,數列{bn}中,bn=3an+4.問:數列{bn}是否為等差數列 并說明理由.
探究2　等差數列的通項公式
　　一座樓房第一層的每級臺階與地面的高度(單位: cm)依次為16,32,48,64,80,96,112,128,…,320.
問題1:這個數列是等差數列嗎 如果是,它的公差是多少
問題2:你能歸納出這個數列的通項公式嗎
新知生成
若{an}是等差數列,則其通項公式an=a1+(n-1)d.
①{an}是等差數列 an=pn+q,其中p=d,q=a1-d,點(n,an)是直線y=dx+(a1-d)上一群孤立的點.
②單調性:當d>0時,{an}為遞增數列;當d<0時,{an}為遞減數列;當d=0時,{an}為常數列.
新知運用
例2　(1)解答《九章算術》中的“竹九節”問題:現有一根9節的竹子,自上而下各節的容積成等差數列,上面4節的容積共3升,下面3節的容積共4升,則第5節的容積是　　　　升.
(2)已知在等差數列{an}中,a1+a6=12,a4=7,求an.
【方法總結】　　1.等差數列{an}的通項公式an=a1+(n-1)d中共含有四個參數,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三個數,那么就可以由通項公式求出第四個數,這一求未知量的過程,我們通常稱為“知三求一”.
2.熟練掌握等差數列是關于n的一次函數這一結構特征,并且公差d是一次項系數,它的符號決定了數列的單調性,當d>0時,數列{an}為遞增數列,當d=0時,數列{an}為常數列,當d<0時,數列{an}為遞減數列.
1.設{an}是等差數列,下列結論中正確的是(　　).
A.若a1+a2>0,則a2+a3>0
B.若a1+a3<0,則a1+a2<0
C.若0
D.若a1<0,則(a2-a1)(a2-a3)>0
2.在等差數列{an}中,已知a15=33,a45=153,則an=　　　　.
探究3　等差中項
　　某種卷筒衛生紙繞在盤上,空盤時盤芯直徑為40 mm,滿盤時直徑為100 mm,已知衛生紙的厚度為0.2 mm,將繞在盤上的衛生紙近似地看作是一組同心圓,則從最內層到最外層衛生紙所在圓的半徑分別為20.2 mm,20.4 mm,20.6 mm,20.8 mm,21.0 mm,…,50.0 mm.
問題:觀察上面這個數列,其任意連續三項之間有什么樣的關系
新知生成
如果三個數x,A,y成等差數列,那么A叫作x與y的等差中項,這三個數滿足的關系式是A=.
新知運用
例3　已知b是a,c的等差中項,且lg(a+1),lg(b-1),lg(c-1)成等差數列,若a+b+c=15,求a,b,c的值.
【方法總結】　　三個數a,b,c成等差數列的條件是b=(或2b=a+c),這個條件可用來解決等差數列的判定問題或有關等差中項的計算問題.如若要證明數列{an}為等差數列,則可證明2an+1=an+an+2(n∈N+).
在-1與7之間順次插入三個數a,b,c,使這五個數成等差數列,求此數列.
探究4　等差數列的判定與證明
　　問題1:對于給定的等差數列{an},從第二項起的每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項和后一項的等差中項嗎
問題2:問題1的結論可以給我們什么樣的啟示
問題3:若數列{an}的通項公式為an=kn+b,則該數列是等差數列嗎
新知生成
等差數列的判定方法有以下三種:
(1)定義法:an+1-an=d(常數)(n∈N+) 數列{an}為等差數列.
(2)等差中項法:2an+1=an+an+2(n∈N+) 數列{an}為等差數列.
(3)通項公式法:an=an+b(a,b是常數,n∈N+) 數列{an}為等差數列.
新知運用
例4　(2023·安徽卓越第二次月考)已知數列{an}的前n 項積為Tn,且an+2Tn=1,n∈N*.
(1)求證:數列是等差數列.
(2)求數列{an} 的通項公式.
【方法總結】　　對于等差數列的判定與證明,關鍵是根據題干給出的相關材料,選擇合適的判定方法.
　　已知數列{an}滿足a1=,an-an+1=2anan+1.
(1)證明:數列是等差數列.
(2)求數列{an}的通項公式.
【隨堂檢測】
1.在等差數列{an}中,a3=0,a7-2a4=-1,則公差d=(　　).
A.-2 B.- C. D.2
2.若a=,b=,則a,b的等差中項為(　　).
A. B. C. D.
3.在等差數列{an}中,已知a5+a10=12,則3a7+a9=(　　).
A.12 B.18 C.24 D.30
4.等差數列1,-3,-7,…的通項公式為　　　　,其第20項是　　　　.
5.已知數列{an}和{bn}是兩個無窮等差數列,公差分別為d1和d2,求證:數列{an+bn}是等差數列,并求它的公差.
25.2.1　課時1等差數列的定義及通項公式
【學習目標】
1.能夠通過實際問題理解等差數列、公差的概念,提升分析問題、解決問題的能力.(數學抽象)
2.掌握等差數列的通項公式及其推導方法,并能夠靈活地進行運算.(邏輯推理、數學運算)
3.掌握等差數列的判定方法,能運用定義法證明等差數列.(數學抽象、邏輯推理)
【自主預習】
1.等差數列是如何定義的
【答案】　如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數,那么這個數列就叫作等差數列.
2.觀察所給的兩個數之間,插入一個什么數后三個數就會成為一個等差數列.
(1)2,4;(2)-1,5;(3)a,b;(4)0,0.
【答案】　(1)3;(2)2;(3);(4)0.
3.由等差數列的通項公式可以看出,要求等差數列an的通項公式,需要哪幾個條件
【答案】　只要求出等差數列的首項a1和公差d,代入公式an=a1+(n-1)d即可.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)數列4,4,4,…是等差數列. (　　)
(2)若一個數列的前4項分別為1,2,3,4,則{an}(n>4)一定是等差數列. (　　)
(3)在等差數列{an}中,a1,n,d,an任意給出三個,可求剩下的一個. (　　)
(4)等差數列{an}的通項公式是關于n的一次函數. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.下列數列不是等差數列的為(　　).
A.6,6,6,6,6 B.-2,-1,0,1,2
C.5,8,11,14 D.0,1,3,6,10
【答案】　D
【解析】　A中給出的是常數列,是等差數列,公差為0;
B中給出的數列是等差數列,公差為1;
C中給出的數列是等差數列,公差為3;
D中給出的數列中,第2項減去第1項等于1,第3項減去第2項等于2,故此數列不是等差數列.
3.已知在等差數列{an}中,首項a1=4,公差d=-2,則通項公式an=　　　　.
【答案】　6-2n
【解析】　∵a1=4,d=-2,∴an=4+(n-1)×(-2)=6-2n.
4.在等差數列{an}中,若a2=1,a5=3,則公差d=　　　　.
【答案】　
【解析】　由題意得d===.
【合作探究】
探究1　等差數列的定義
　　奧林匹克運動會(Olympic Games,簡稱奧運會),是國際奧林匹克委員會主辦的世界規模最大的綜合性運動會,每四年一屆,會期不超過16日,是世界上影響力最大的體育盛會.奧林匹克運動會發源于兩千多年前的古希臘,因舉辦地在奧林匹亞而得名.小明為了更加了解奧運會,通過互聯網查詢到了第23屆到第31屆奧運會的年份依次為1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008,2012,2016.
　　問題:這個數列有什么規律
【答案】　1988-1984
=1992-1988
=1996-1992
=2000-1996
=2004-2000
=2008-2004
=2012-2008
=2016-2012
=4.
因此可以發現,從第二項起,每一項與前一項的差等于同一個常數4.
新知生成
一般地,若數列{an}從第　2　項起,每一項與它的前一項之差都等于同一個常數d,即　an+1-an=d　恒成立,則稱{an}為等差數列,其中d稱為等差數列的　公差　.
注意:等差數列定義的理解
(1)“每一項與它的前一項之差”這一運算的要求是指“相鄰且后項減去前項”,強調了作差的順序且這兩項必須相鄰.
(2)定義中的“同一常數”是指全部的后項減去前一項都等于同一個常數,否則這個數列不能稱為等差數列.
新知運用
例1　判斷下列數列是否為等差數列.
(1)在數列{an}中,an=3n+2;
(2)在數列{an}中,an=n2+n.
【解析】　(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+).由等差數列的定義知,這個數列為等差數列.
(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常數,所以這個數列不是等差數列.
【方法總結】　　定義法是判定(或證明)數列{an}是等差數列的基本方法,其步驟如下:
(1)作差an+1-an.
(2)對差式進行變形.
(3)當an+1-an是一個與n無關的常數時,數列{an}是等差數列;當an+1-an不是常數,是與n有關的代數式時,數列{an}不是等差數列.
已知等差數列{an}的首項為a1,公差為d,數列{bn}中,bn=3an+4.問:數列{bn}是否為等差數列 并說明理由.
【解析】　數列{bn}是等差數列.理由如下:
∵數列{an}是首項為a1,公差為d的等差數列,
∴an+1-an=d(n∈N+),
∴bn+1-bn=(3an+1+4)-(3an+4)=3(an+1-an)=3d,
∴根據等差數列的定義知,數列{bn}是等差數列.
探究2　等差數列的通項公式
　　一座樓房第一層的每級臺階與地面的高度(單位: cm)依次為16,32,48,64,80,96,112,128,…,320.
問題1:這個數列是等差數列嗎 如果是,它的公差是多少
【答案】　是,公差為16.
問題2:你能歸納出這個數列的通項公式嗎
【答案】　因為從第2項起,后一項與前一項的差都為16,且這個數列的首項為16,所以an=16+(n-1)×16=16n(1≤n≤20,n∈N+).
新知生成
若{an}是等差數列,則其通項公式an=a1+(n-1)d.
①{an}是等差數列 an=pn+q,其中p=d,q=a1-d,點(n,an)是直線y=dx+(a1-d)上一群孤立的點.
②單調性:當d>0時,{an}為遞增數列;當d<0時,{an}為遞減數列;當d=0時,{an}為常數列.
新知運用
例2　(1)解答《九章算術》中的“竹九節”問題:現有一根9節的竹子,自上而下各節的容積成等差數列,上面4節的容積共3升,下面3節的容積共4升,則第5節的容積是　　　　升.
(2)已知在等差數列{an}中,a1+a6=12,a4=7,求an.
【答案】　(1)
【解析】　(1)根據題意得,該竹子自上而下各節的容積形成等差數列{an},
設其首項為a1,公差為d,由題意可得
所以解得所以a5=a1+4d=+4×=,
即第5節竹子的容積為 升.
(2)由題意知解得
所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.
【方法總結】　　1.等差數列{an}的通項公式an=a1+(n-1)d中共含有四個參數,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三個數,那么就可以由通項公式求出第四個數,這一求未知量的過程,我們通常稱為“知三求一”.
2.熟練掌握等差數列是關于n的一次函數這一結構特征,并且公差d是一次項系數,它的符號決定了數列的單調性,當d>0時,數列{an}為遞增數列,當d=0時,數列{an}為常數列,當d<0時,數列{an}為遞減數列.
1.設{an}是等差數列,下列結論中正確的是(　　).
A.若a1+a2>0,則a2+a3>0
B.若a1+a3<0,則a1+a2<0
C.若0
D.若a1<0,則(a2-a1)(a2-a3)>0
【答案】　C
【解析】　選項A中,當等差數列的前三項是4,1,-2時,結論不成立;選項B中,當等差數列的前三項是4,-1,-6時,結論不成立;選項C中,設公差為d(d≠0),則>-d2=(a2-d)(a2+d)=a1·a3,因為0,結論成立;選項D中,設公差為d,則(a2-a1)(a2-a3)=d·(-d)=-d2≤0.故選C.
2.在等差數列{an}中,已知a15=33,a45=153,則an=　　　　.
【答案】　4n-27
【解析】　設首項為a1,公差為d,依條件得
解得
所以an=-23+(n-1)×4=4n-27.
探究3　等差中項
　　某種卷筒衛生紙繞在盤上,空盤時盤芯直徑為40 mm,滿盤時直徑為100 mm,已知衛生紙的厚度為0.2 mm,將繞在盤上的衛生紙近似地看作是一組同心圓,則從最內層到最外層衛生紙所在圓的半徑分別為20.2 mm,20.4 mm,20.6 mm,20.8 mm,21.0 mm,…,50.0 mm.
問題:觀察上面這個數列,其任意連續三項之間有什么樣的關系
【答案】　前一項與后一項的和是中間項的2倍.
新知生成
如果三個數x,A,y成等差數列,那么A叫作x與y的等差中項,這三個數滿足的關系式是A=.
新知運用
例3　已知b是a,c的等差中項,且lg(a+1),lg(b-1),lg(c-1)成等差數列,若a+b+c=15,求a,b,c的值.
【解析】　因為b是a,c的等差中項,所以2b=a+c.
又因為a+b+c=15,所以3b=15,所以b=5.
設a,b,c的公差為d,
則a=5-d,c=5+d.
由題意可知2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1),
所以2lg 4=lg(5-d+1)+lg(5+d-1),
所以16=25-(d-1)2,即(d-1)2=9.
所以d-1=-3或d-1=3,即d=-2或d=4.
所以a,b,c的值分別為7,5,3或1,5,9.
【方法總結】　　三個數a,b,c成等差數列的條件是b=(或2b=a+c),這個條件可用來解決等差數列的判定問題或有關等差中項的計算問題.如若要證明數列{an}為等差數列,則可證明2an+1=an+an+2(n∈N+).
在-1與7之間順次插入三個數a,b,c,使這五個數成等差數列,求此數列.
【解析】　由題意知,-1,a,b,c,7成等差數列,
所以b是-1與7的等差中項,
則b==3,
又a是-1與b的等差中項,
所以a===1.
又c是b與7的等差中項,
所以c===5.
所以該數列為-1,1,3,5,7.
探究4　等差數列的判定與證明
　　問題1:對于給定的等差數列{an},從第二項起的每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項和后一項的等差中項嗎
【答案】　是,根據等差數列的概念知an+1-an=an-an-1(n≥2),即an=(n≥2).
所以由等差中項的概念知,對于給定的等差數列{an},從第二項起的每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項和后一項的等差中項.
問題2:問題1的結論可以給我們什么樣的啟示
【答案】　可以用等差中項的定義來證明一個數列是等差數列,即證明2an+1=an+an+2.
問題3:若數列{an}的通項公式為an=kn+b,則該數列是等差數列嗎
【答案】　是.因為an+1-an=k(n+1)-kn=k,所以數列{an}是等差數列.
新知生成
等差數列的判定方法有以下三種:
(1)定義法:an+1-an=d(常數)(n∈N+) 數列{an}為等差數列.
(2)等差中項法:2an+1=an+an+2(n∈N+) 數列{an}為等差數列.
(3)通項公式法:an=an+b(a,b是常數,n∈N+) 數列{an}為等差數列.
新知運用
例4　(2023·安徽卓越第二次月考)已知數列{an}的前n 項積為Tn,且an+2Tn=1,n∈N*.
(1)求證:數列是等差數列.
(2)求數列{an} 的通項公式.
【解析】　(1)∵數列{an}的前n 項積為Tn,∴ T1=a1,Tn=a1a2·…·an,Tn+1=a1a2·…·an+1,∴an+1=,
又∵ an+2Tn=1,∴當n=1 時,a1+2T1=1,即a1+2a1=1,解得T1=a1=,
∴an+1+2Tn+1=1,∴+2Tn+1=1,即-=2,又=3,故數列是以3為首項,2為公差的等差數列.
(2)由(1)知=3+(n-1)×2=2n+1,
∴Tn=,當n≥2且n∈N+時,an===.
當n=1時,a1=滿足上式,∴an=.
【方法總結】　　對于等差數列的判定與證明,關鍵是根據題干給出的相關材料,選擇合適的判定方法.
　　已知數列{an}滿足a1=,an-an+1=2anan+1.
(1)證明:數列是等差數列.
(2)求數列{an}的通項公式.
【解析】　(1)由已知得,=2,-===2,
所以數列是以2為首項,2為公差的等差數列.
(2)由(1)知,=+2(n-1)=2n,所以an=.
【隨堂檢測】
1.在等差數列{an}中,a3=0,a7-2a4=-1,則公差d=(　　).
A.-2 B.- C. D.2
【答案】　B
【解析】　由題意得
解得
2.若a=,b=,則a,b的等差中項為(　　).
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　由題意知a,b的等差中項為+=(-++)=.
3.在等差數列{an}中,已知a5+a10=12,則3a7+a9=(　　).
A.12 B.18 C.24 D.30
【答案】　C
【解析】　設等差數列{an}的首項為a1,公差為d,
因為a5+a10=12,
所以2a1+13d=12,
所以3a7+a9=3(a1+6d)+a1+8d=4a1+26d=2(2a1+13d)=2×12=24.
4.等差數列1,-3,-7,…的通項公式為　　　　,其第20項是　　　　.
【答案】　an=-4n+5　-75
【解析】　∵d=-3-1=-4,a1=1,
∴an=1-4(n-1)=-4n+5,
∴a20=-80+5=-75.
5.已知數列{an}和{bn}是兩個無窮等差數列,公差分別為d1和d2,求證:數列{an+bn}是等差數列,并求它的公差.
【解析】　由題意得,當n∈N+時,an+1-an=d1,bn+1-bn=d2,所以當n∈N+時,an+1+bn+1-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2,故數列{an+bn}是等差數列,且公差為d1+d2.
2

展開更多......

收起↑