資源簡介

5.2.1 課時2　等差數列的性質及其應用
【學習目標】
1.理解等差中項的概念,并能夠利用等差中項進行解題.(數學抽象)
2.熟悉等差數列的相關性質,并能夠應用該知識靈活地進行運算.(邏輯推理、數學運算)
3.能夠應用等差數列解決一些生活中的實際問題.(邏輯推理、數學建模、數學運算)
【自主預習】
1.取出等差數列的奇數項能不能構成一個新數列 這個數列是不是等差數列
【答案】　能構成新數列,是等差數列.
2.在有窮等差數列{an}中,與首末兩項“等距離”的兩項之和與首項與末項的和是否相等
【答案】　相等,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….
3.在等差數列{an}中,如果m+n=2k(m,n,k∈N+),那么am+an=2ak是否成立 給出證明.
【答案】　成立.因為當m+n=2k時,am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d=2a1+(2k-2)d=2[a1+(k-1)d]=2ak.
4.若{an}為等差數列,且m+n=p(m,n,p∈N+),則am+an=ap一定成立嗎
【答案】　不一定.如常數列{an},1+2=3,而a1+a2=2a3.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在等差數列{an}中,必有a10=a1+a9. (　　)
(2)若{|an|}是等差數列,則{an}也是等差數列. (　　)
(3)若{an}是等差數列,則{|an|}也是等差數列. (　　)
(4)若{an}是等差數列,則對任意n∈N+,都有2an+1=an+an+2. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.在等差數列{an}中,若a3=5,a5=7,則a7=(　　).
A.-1 B.9 C.1 D.6
【答案】　B
【解析】　由題意可知a3+a7=2a5,∴a7=2a5-a3=14-5=9,故選B.
3.在等差數列{an}中,已知a4+a8=16,則a2+a10=(　　).
A.12 B.16 C.20 D.24
【答案】　B
【解析】　在等差數列{an}中,由性質可得a2+a10=a4+a8=16.
【合作探究】
探究1　等差數列的性質
　　觀察等差數列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,….
問題1:說出8是哪兩項的等差中項.并找到它們滿足的規律.
【答案】　8是6和10的等差中項,也是4和12的等差中項,還是2和14的等差中項.對于任一等差數列{an},有a4===,即a3+a5=a2+a6=a1+a7=2a4 .
問題2:觀察項的角標滿足什么關系 由此你能得到什么固定的結論嗎
【答案】　3+5=2+6=1+7=4+4.若p+q=s+t,則ap+aq=as+at .
問題3:如圖,這是上述性質的一種情形,你能從幾何的角度進行解釋嗎
【答案】　當d≠0時,等差數列是一次函數f(x)=dx+(a1-d)在x∈N+的函數值,其圖象是均勻分布在某一條直線上的點,所以圖中的ap,aq 和as,at 可以分別看作直角梯形的兩條底邊的長,ap+aq 和as+at 可以看作這兩個梯形的中位線的二倍,由于p+q=s+t,所以這兩個梯形有相同的中位線,所以ap+aq=as+at .
新知生成
等差數列一些常見的性質
(1)通項公式的推廣公式:an=am+(n-m)d(n,m∈N+) d=(n≠m).
(2)若數列{an}為等差數列,且m+n=p+q=2w,則am+an=ap+aq=2aw(m,n,p,q,w∈N+).
(3)若數列{an}是等差數列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)是公差為md的等差數列.
(4)若數列{an},{bn}是等差數列,則數列{pan+qbn}也是等差數列.
新知運用
例1　(1)已知等差數列{an},a5=10,a15=25,求a25的值;
(2)已知等差數列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值;
(3)已知數列{an},{bn}都是等差數列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.
【解析】　(1)(法一)設{an}的公差為d,則解得故a25=a1+24d=4+24×=40.
(法二)因為5+25=2×15,所以在等差數列{an}中有a5+a25=2a15,從而a25=2a15-a5=2×25-10=40.
(法三)因為5,15,25成等差數列,所以a5,a15,a25也成等差數列,因此a25-a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40.
(2)由等差數列的性質,得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,解得a5=14,故a1+a9=2a5=28.
(3)令cn=an-bn,因為數列{an},{bn}都是等差數列,所以{cn}也是等差數列.設數列{cn}的公差為d,由已知得c1=a1-b1=5,由a7-b7=c7=17,得5+6d=17,解得d=2,故a19-b19=c19=5+18×2=41.
【方法總結】　　1.利用等差數列的通項公式列關于a1和d的方程組,求出a1和d,進而解決問題是處理等差數列問題的基本方法.
2.巧妙地利用等差數列的性質,可以大大簡化解題過程.
3.通項公式可變形為an=am+(n-m)d(m,n∈N+),又可變形為d=,應注意把握,并學會應用.
　　在公差為d的等差數列{an}中.
(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;
(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求d.
【解析】　(法一)(1)將已知條件化成關于a1和d的方程,得(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48,
即4(a1+12d)=48,∴4a13=48,∴a13=12.
(2)將已知條件化成關于a1和d的方程組,得
解得或
∴d=3或d=-3.
(法二)(1)根據已知條件a2+a3+a23+a24=48,a2+a24=a3+a23=2a13,得4a13=48,∴a13=12.
(2)由a2+a3+a4+a5=34,a3+a4=a2+a5,得2(a2+a5)=34,即a2+a5=17.
由得或
∴d===3或d===-3.
探究2　等差數列的綜合問題
　　問題1:對于三個數成等差數列,某班同學給出了以下三種設法:
(1)設這三個數分別為a,b,c.
(2)設該數列的首項為a,公差為d,則這三個數分別為a,a+d,a+2d.
(3)設該數列的中間項為b,公差為d,則這三個數分別為b-d,b,b+d.
哪種方法在計算中可能更便捷一些
【答案】　方法(3)可能更便捷一些.
問題2:如果四個數成等差數列,那么如何設這四個數更方便運算
【答案】　可以設四個數分別為a-3d,a-d,a+d,a+3d.
新知生成
1.當已知數列有2n項時,可設為a-(2n-1)d,…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,a+(2n-1)d,此時公差為2d.
2.當已知數列有(2n+1)項時,可設為a-nd,a-(n-1)d,…,a-d,a,a+d,…,a+(n-1)d,a+nd,此時公差為d.
新知運用
一、等差數列的設法與求解
例2　已知四個數成等差數列,它們的和為26,中間兩項的積為40,求這四個數.
【解析】　(法一)設這四個數分別為a,b,c,d,
根據題意得解得或
∴這四個數分別為2,5,8,11或11,8,5,2.
(法二)設此等差數列的首項為a1,公差為d,根據題意得化簡得解得或∴這四個數分別為2,5,8,11或11,8,5,2.
(法三)設這四個數分別為a-3d,a-d,a+d,a+3d,根據題意,
得
化簡得解得
∴這四個數分別為2,5,8,11或11,8,5,2.
【方法總結】　　等差數列項的常見設法:(1)通項法;(2)對稱項設法.對稱項設法的優點是:若有n個數構成等差數列,利用對稱項設法設出這個數列,則其各項和為na.
二、求等差數列中的項
例3　已知數列{an}是等差數列,且a1+a2+a3=12,a8=16.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)若從數列{an}中,依次取出第2項,第4項,第6項,…,第2n項,按原來順序組成一個新數列{bn},試求出數列{bn}的通項公式.
【解析】　(1)設等差數列{an}的公差為d.
因為a1+a2+a3=12,
所以a2=4.
因為a8=a2+(8-2)d,
所以16=4+6d,所以d=2,
所以an=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n.
(2)由(1)知a2=4,a4=8,a6=12,a8=16,…,a2n=2×2n=4n.
當n>1時,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4.
所以數列{bn}是以4為首項,4為公差的等差數列.
所以bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.
【方法總結】　　1.已知等差數列{an}的基本量后,求解由{an}的部分項構成的數列{bn}的通項公式,首先要搞清{bn}中的項是由{an}中的哪些項構成的,從而確定數列{bn}的特性(公差),這是解決本題的關鍵.
2.有關兩個等差數列公共項問題,處理辦法有兩種,一是將公共項組成等差數列;二是從通項公式入手,利用最小公倍數,建立am=bn這樣的方程,再求一定范圍內的整數解.
1.若三個數成等差數列,其和為9,前兩項之積為后一項的6倍,求這三個數.
【解析】　設這三個數依次為a-d,a,a+d,
則解得
∴這三個數分別為4,3,2.
2.已知無窮等差數列{an},首項a1=3,公差d=-5,依次取出項的序號被4除余3的項組成數列{bn}.
(1)求b1和b2.
(2)求數列{bn}的通項公式.
(3)數列{bn}中的第110項是數列{an}中的第幾項
【解析】　(1)由題意知,等差數列{an}的通項公式為an=3-5(n-1)=8-5n,
設數列{bn}的第n項是數列{an}的第m項,則需滿足m=4n-1,n∈N+,
所以b1=a3=8-5×3=-7,b2=a7=8-5×7=-27.
(2)由(1)知,bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20,
所以數列{bn}也為等差數列,且首項b1=-7,公差d'=-20,
所以bn=b1+(n-1)d'=-7+(n-1)·(-20)=13-20n.
(3)由(1)知m=4n-1,n∈N+,所以當n=110時,m=4×110-1=439,
所以數列{bn}中的第110項是數列{an}中的第439項.
探究3　等差數列的實際應用問題
　　《孫子算經》是我國南北朝時期(公元5世紀)的數學著作.在《孫子算經》中有“物不知其數”問題,其中記載:有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,問物幾何 即一個整數除以三余二,除以五余三,求這個整數.
問題1:上述問題中,3與5的最小公倍數是多少
【答案】　3與5的最小公倍數是15.
問題2:設這個正整數為a,當a∈[1,100]時,符合條件的所有a的個數是多少
【答案】　 當a∈[1,100]時,滿足條件的整數a組成一個等差數列,首項為8,公差為3與5的最小公倍數15,令1≤8+15k≤100(k∈N),所以-≤k≤,又因為k∈N,所以符合條件的所有a的個數為7.
新知生成
1.在實際問題中,若涉及一組與順序有關的數的問題,可考慮利用數列方法解決,若這組數依次成直線上升或下降,則可考慮利用等差數列方法解決.
2.在利用數列方法解決實際問題時,一定要分清首項、項數等關鍵量.
新知運用
例4　(2023·湖南邵陽期末)古代中國數學輝煌燦爛,在《張丘建算經》中記載:“今有十等人,大官甲等十人官賜金,以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中央三人未到者,亦依等次更給.問:各得金幾何及未到三人復應得金幾何 ”則該問題中未到三人共得金　　　　斤.
【答案】　
【解析】　設十人得金按等級依次設為a1,a2,…,a10,則a1,a2,…,a10成等差數列,且
設等差數列a1,a2,…,a10的公差為d,則解得d=-,
所以a4+a5+a6=(a1+a2+a3)+9d= .
【方法總結】　　解答等差數列的實際應用問題的基本步驟
　　(2023·湖南邵陽期末)甲、乙兩人連續6年對某縣農村養雞業規模進行調查,提供兩個不同的信息圖,如圖所示.甲調查表明:從第1年每個養雞場出產1萬只雞上升到第6年平均每個養雞場出產2萬只雞;乙調查表明:由第1年養雞場個數30個減少到第6年10個.
請你根據提供的信息回答問題.
(1)第2年養雞場的個數及全縣出產雞的總只數;
(2)到第6年這個縣的養雞業規模比第1年是擴大了還是縮小了 并說明理由.
【解析】　由題圖可知,從第1年到第6年平均每個養雞場出產的雞數成等差數列,記為{an},公差為d1,且a1=1,a6=2;從第1年到第6年的養雞場個數也成等差數列,記為{bn},公差為d2,且b1=30,b6=10;從第1年到第6年全縣出產雞的總只數記為數列{cn},則cn=anbn.
(1)由a1=1,a6=2,得解得
∴a2=1.2;
由b1=30,b6=10,得解得
∴b2=26,
∴c2=a2b2=1.2×26=31.2,即第2年養雞場有26個,全縣出產雞31.2萬只.
(2)∵c6=a6b6=2×10=20【隨堂檢測】
1.如果在等差數列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a7=(　　).
A.4 B.6 C.8 D.12
【答案】　C
【解析】　在等差數列{an}中,由a3+a4+a5=12,可得3a4=12,解得a4=4,所以a1+a7=2a4=8.故選C.
2.在等差數列{an}中,a1+3a8+a15=120,則2a9-a10的值是(　　).
A.20 B.22 C.24 D.-8
【答案】　C
【解析】　∵a1+3a8+a15=5a8=120,∴a8=24,∴2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.故選C.
3.若四個數成遞增等差數列,中間兩數的和為2,首末兩項的積為-8,則這四個數分別為　　　　.
【答案】　-2,0,2,4
【解析】　設這四個數分別為a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差為2d),
依題意得2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,
∴d2=1,即d=1或d=-1.
又四個數成遞增等差數列,∴d=1.
故所求的四個數分別為-2,0,2,4.
4.若a,x1,x2,x3,b與a,y1,y2,y3,y4,y5,b均為等差數列,則=　　　　.
【答案】　
【解析】　∵a,x1,x2,x3,b成等差數列,∴其公差d1=.又∵a,y1,y2,y3,y4,y5,b成等差數列,∴其公差d2=,
∴===·=.
5.某市出租車的計價標準為1.2元/km,起步價為10元,即最初的4 km(不含4 km)計費10元.如果某人乘坐該市的出租車去往14 km處的目的地,且一路暢通,等候時間為0,需要支付車費　　　　元.
【答案】　23.2
【解析】　根據題意,當該市出租車的行程大于或等于4 km時,每增加1 km,乘客需要多支付1.2元,所以可以建立一個等差數列{an}來計算車費.令a1=11.2,表示4 km處的車費,公差d=1.2,那么當出租車行至14 km處時,n=11,此時需要支付車費a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).
25.2.1 課時2　等差數列的性質及其應用
【學習目標】
1.理解等差中項的概念,并能夠利用等差中項進行解題.(數學抽象)
2.熟悉等差數列的相關性質,并能夠應用該知識靈活地進行運算.(邏輯推理、數學運算)
3.能夠應用等差數列解決一些生活中的實際問題.(邏輯推理、數學建模、數學運算)
【自主預習】
1.取出等差數列的奇數項能不能構成一個新數列 這個數列是不是等差數列
2.在有窮等差數列{an}中,與首末兩項“等距離”的兩項之和與首項與末項的和是否相等
3.在等差數列{an}中,如果m+n=2k(m,n,k∈N+),那么am+an=2ak是否成立 給出證明.
4.若{an}為等差數列,且m+n=p(m,n,p∈N+),則am+an=ap一定成立嗎
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在等差數列{an}中,必有a10=a1+a9. (　　)
(2)若{|an|}是等差數列,則{an}也是等差數列. (　　)
(3)若{an}是等差數列,則{|an|}也是等差數列. (　　)
(4)若{an}是等差數列,則對任意n∈N+,都有2an+1=an+an+2. (　　)
2.在等差數列{an}中,若a3=5,a5=7,則a7=(　　).
A.-1 B.9 C.1 D.6
3.在等差數列{an}中,已知a4+a8=16,則a2+a10=(　　).
A.12 B.16 C.20 D.24
【合作探究】
探究1　等差數列的性質
　　觀察等差數列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,….
問題1:說出8是哪兩項的等差中項.并找到它們滿足的規律.
問題2:觀察項的角標滿足什么關系 由此你能得到什么固定的結論嗎
【
問題3:如圖,這是上述性質的一種情形,你能從幾何的角度進行解釋嗎
新知生成
等差數列一些常見的性質
(1)通項公式的推廣公式:an=am+(n-m)d(n,m∈N+) d=(n≠m).
(2)若數列{an}為等差數列,且m+n=p+q=2w,則am+an=ap+aq=2aw(m,n,p,q,w∈N+).
(3)若數列{an}是等差數列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)是公差為md的等差數列.
(4)若數列{an},{bn}是等差數列,則數列{pan+qbn}也是等差數列.
新知運用
例1　(1)已知等差數列{an},a5=10,a15=25,求a25的值;
(2)已知等差數列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值;
(3)已知數列{an},{bn}都是等差數列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.
【方法總結】　　1.利用等差數列的通項公式列關于a1和d的方程組,求出a1和d,進而解決問題是處理等差數列問題的基本方法.
2.巧妙地利用等差數列的性質,可以大大簡化解題過程.
3.通項公式可變形為an=am+(n-m)d(m,n∈N+),又可變形為d=,應注意把握,并學會應用.
　　在公差為d的等差數列{an}中.
(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;
(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求d.
探究2　等差數列的綜合問題
　　問題1:對于三個數成等差數列,某班同學給出了以下三種設法:
(1)設這三個數分別為a,b,c.
(2)設該數列的首項為a,公差為d,則這三個數分別為a,a+d,a+2d.
(3)設該數列的中間項為b,公差為d,則這三個數分別為b-d,b,b+d.
哪種方法在計算中可能更便捷一些
問題2:如果四個數成等差數列,那么如何設這四個數更方便運算
新知生成
1.當已知數列有2n項時,可設為a-(2n-1)d,…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,a+(2n-1)d,此時公差為2d.
2.當已知數列有(2n+1)項時,可設為a-nd,a-(n-1)d,…,a-d,a,a+d,…,a+(n-1)d,a+nd,此時公差為d.
新知運用
一、等差數列的設法與求解
例2　已知四個數成等差數列,它們的和為26,中間兩項的積為40,求這四個數.
【方法總結】　　等差數列項的常見設法:(1)通項法;(2)對稱項設法.對稱項設法的優點是:若有n個數構成等差數列,利用對稱項設法設出這個數列,則其各項和為na.
二、求等差數列中的項
例3　已知數列{an}是等差數列,且a1+a2+a3=12,a8=16.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)若從數列{an}中,依次取出第2項,第4項,第6項,…,第2n項,按原來順序組成一個新數列{bn},試求出數列{bn}的通項公式.
【方法總結】　　1.已知等差數列{an}的基本量后,求解由{an}的部分項構成的數列{bn}的通項公式,首先要搞清{bn}中的項是由{an}中的哪些項構成的,從而確定數列{bn}的特性(公差),這是解決本題的關鍵.
2.有關兩個等差數列公共項問題,處理辦法有兩種,一是將公共項組成等差數列;二是從通項公式入手,利用最小公倍數,建立am=bn這樣的方程,再求一定范圍內的整數解.
1.若三個數成等差數列,其和為9,前兩項之積為后一項的6倍,求這三個數.
2.已知無窮等差數列{an},首項a1=3,公差d=-5,依次取出項的序號被4除余3的項組成數列{bn}.
(1)求b1和b2.
(2)求數列{bn}的通項公式.
(3)數列{bn}中的第110項是數列{an}中的第幾項
探究3　等差數列的實際應用問題
　　《孫子算經》是我國南北朝時期(公元5世紀)的數學著作.在《孫子算經》中有“物不知其數”問題,其中記載:有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,問物幾何 即一個整數除以三余二,除以五余三,求這個整數.
問題1:上述問題中,3與5的最小公倍數是多少
問題2:設這個正整數為a,當a∈[1,100]時,符合條件的所有a的個數是多少
新知生成
1.在實際問題中,若涉及一組與順序有關的數的問題,可考慮利用數列方法解決,若這組數依次成直線上升或下降,則可考慮利用等差數列方法解決.
2.在利用數列方法解決實際問題時,一定要分清首項、項數等關鍵量.
新知運用
例4　(2023·湖南邵陽期末)古代中國數學輝煌燦爛,在《張丘建算經》中記載:“今有十等人,大官甲等十人官賜金,以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中央三人未到者,亦依等次更給.問:各得金幾何及未到三人復應得金幾何 ”則該問題中未到三人共得金　　　　斤.
【方法總結】　　解答等差數列的實際應用問題的基本步驟
　　(2023·湖南邵陽期末)甲、乙兩人連續6年對某縣農村養雞業規模進行調查,提供兩個不同的信息圖,如圖所示.甲調查表明:從第1年每個養雞場出產1萬只雞上升到第6年平均每個養雞場出產2萬只雞;乙調查表明:由第1年養雞場個數30個減少到第6年10個.
請你根據提供的信息回答問題.
(1)第2年養雞場的個數及全縣出產雞的總只數;
(2)到第6年這個縣的養雞業規模比第1年是擴大了還是縮小了 并說明理由.
【隨堂檢測】
1.如果在等差數列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a7=(　　).
A.4 B.6 C.8 D.12
2.在等差數列{an}中,a1+3a8+a15=120,則2a9-a10的值是(　　).
A.20 B.22 C.24 D.-8
3.若四個數成遞增等差數列,中間兩數的和為2,首末兩項的積為-8,則這四個數分別為　　　　.
4.若a,x1,x2,x3,b與a,y1,y2,y3,y4,y5,b均為等差數列,則=　　　　.
5.某市出租車的計價標準為1.2元/km,起步價為10元,即最初的4 km(不含4 km)計費10元.如果某人乘坐該市的出租車去往14 km處的目的地,且一路暢通,等候時間為0,需要支付車費　　　　元.
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