資源簡介

5.2.2　課時1　等差數列的前n項和
【學習目標】
1.了解等差數列前n項和公式的推導過程.(邏輯推理、數學運算)
2.掌握等差數列前n項和的公式及其應用.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
　　據說,二百多年前,高斯的算術老師提出了下面的問題:
1+2+3+…+100=
當其他同學忙于把100個數逐項相加時,10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案
(1+100)+(2+99)+…+(50+51)
=101×50
=5050.
高斯的算法實際上解決了求等差數列1,2,3…,n,…前100項的和的問題.
1.閱讀材料后回答,高斯是如何快速求1+2+3+…+100的和的 他抓住了問題的什么特征
2.等差數列的前n項和公式是什么 它與什么量有關
3.等差數列的通項公式與等差數列的前n項和公式中共涉及幾個量 如何求這些量
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)已知等差數列的首項、公差,可求S10. (　　)
(2)已知等差數列的首項a1、末項a17,可求S17. (　　)
(3)若等差數列{an}的前n項和為Sn,則S10+S20=S30. (　　)
2.若在等差數列{an}中,a1=1,d=1,則Sn=(　　).
A.n B.n(n+1) C.n(n-1) D.
3.已知在等差數列{an}中,S10=120,則a1+a10=(　　).
A.10 B.12 C.20 D.24
4.已知{an}是等差數列,a1=10,前10項和S10=70,則其公差d=　　　　.
【合作探究】
探究1　等差數列的前n項和公式
　　泰姬陵坐落于印度古都阿格拉,它宏偉壯觀,純白大理石砌建而成的主體建筑令人心醉神迷.傳說陵寢中有一個三角形圖案,以相同大小的寶石鑲飾而成,共有100層.
問題1:上述情境的圖案中,第1層到第21層一共有多少顆寶石 你能不能快速地求出呢
問題2:你能推出一般的等差數列的前n項和公式嗎
新知生成
等差數列前n項和公式Sn==na1+,其推導方法是倒序相加法.
注意:兩個公式應靈活選用.當已知a1,an時,用Sn=;當已知a1,d時,用Sn=na1+d.
新知運用
例1　在等差數列{an}中,
(1)已知a6=10,S5=5,求a8和S10;
(2)已知a1=4,S8=172,求a8和d;
(3)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.
【方法總結】　　等差數列中的基本計算
(1)利用基本量求值:
等差數列的通項公式與前n項和公式中有五個量a1,d,n,an和Sn,這五個量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組,解出a1和d,便可解決問題.解題時注意整體代換思想的應用.
(2)結合等差數列的性質解題:
等差數列的常用性質:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),則am+an=ap+aq,常與求和公式Sn=結合使用.
已知在等差數列{an}中,
(1)a1=1,a4=7,求S9;
(2)a1=,an=-,Sn=-5,求n和d.
探究2　等差數列前n項和的性質
　　已知等差數列{an}的公差為d,前n項和為Sn.
問題1:從函數的觀點分析Sn關于n的函數具有什么特點
問題2:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m具有什么特征 采用從特殊到一般的思想進行思考分析.
問題3:an與S2n-1之間有什么等量關系 利用等差中項和等差數列求和公式進行推導.
問題4:S奇為數列{an}所有奇數項的和,S偶為所有偶數項的和,它們之間具有什么關系 對n分類討論.
問題5:數列是什么數列
新知生成
已知等差數列{an}的前n項和為Sn,公差為d.
1.Sn=An2+Bn,其中A=,B=a1-.
2.數列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N+)也是等差數列,公差為m2d.
3.S2n-1=(2n-1)an,S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1).
4.當項數為偶數2n時,S偶-S奇=nd,S奇∶S偶=an∶an+1;當項數為奇數2n-1時,S奇-S偶=a中,S奇∶S偶=n∶(n-1).
5.若{an}是等差數列,則也是等差數列,其首項與{an}的首項相同,公差是{an}的公差的.
新知運用
例2　(1)已知等差數列{an}的前n項和為Sn,且S10=10,S20=30,則S30=　　　　.
(2)已知兩個等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn,且=,則使得為整數的正整數n的個數是　　　　.
(3)(2023·甘肅張掖市期中校際聯(lián)考)已知數列{an} 的前n 項和為Sn,且Sn=n2+2n.
①求數列{an} 的通項公式;
②求證:數列 是等差數列.
【方法總結】　　(1)已知等差數列{an}的前n項和為Sn,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,S4m-S3m,…是等差數列;(2)通過等差數列前n項和與通項的關系即可求得的表達式;(3)數列 是等差數列,公差為數列{an}的公差的.
1.已知{an}為等差數列,若a1+a2+a3=5,a7+a8+a9=10,則a19+a20+a21=　　　　.
2.一個等差數列前12項的和為354,前12項中偶數項的和與奇數項的和的比為32∶27,則該數列的公差為　　　.
【隨堂檢測】
1.已知等差數列{an}的前9項和為27,a10=8,則a100=(　　).
A.100 B.99 C.98 D.97
2.已知在等差數列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,則此數列前20項和等于(　　).
A.160 B.180 C.200 D.220
3.設Sn是等差數列{an}的前n項和,若=,則=(　　).
A.1 B.-1 C.2 D.
4.(2023·云南昆明五華區(qū)質量檢測)設數列{an} 的前n 項和為Sn,已知a1=1,an≠0,anan+1=6Sn-2.
(1)證明:an+2-an=6.
(2)求Sn .
25.2.2　課時1　等差數列的前n項和
【學習目標】
1.了解等差數列前n項和公式的推導過程.(邏輯推理、數學運算)
2.掌握等差數列前n項和的公式及其應用.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
　　據說,二百多年前,高斯的算術老師提出了下面的問題:
1+2+3+…+100=
當其他同學忙于把100個數逐項相加時,10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案
(1+100)+(2+99)+…+(50+51)
=101×50
=5050.
高斯的算法實際上解決了求等差數列1,2,3…,n,…前100項的和的問題.
1.閱讀材料后回答,高斯是如何快速求1+2+3+…+100的和的 他抓住了問題的什么特征
【答案】　高斯的計算方法:(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5050.高斯抓住了與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首項與末項的和這個特征.
2.等差數列的前n項和公式是什么 它與什么量有關
【答案】　等差數列的前n項和公式Sn=na1+d與首項a1,公差d和項數n這三個量有關;公式Sn=與首項a1,末項an和項數n這三個量有關.
3.等差數列的通項公式與等差數列的前n項和公式中共涉及幾個量 如何求這些量
【答案】　在這些公式中共含有5個量,即a1,d,n,an,Sn,只需知道其中的3個量就可以通過解方程組求出另外的2個量.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)已知等差數列的首項、公差,可求S10. (　　)
(2)已知等差數列的首項a1、末項a17,可求S17. (　　)
(3)若等差數列{an}的前n項和為Sn,則S10+S20=S30. (　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×
2.若在等差數列{an}中,a1=1,d=1,則Sn=(　　).
A.n B.n(n+1) C.n(n-1) D.
【答案】　D
【解析】　Sn=na1+d=n+==,故選D.
3.已知在等差數列{an}中,S10=120,則a1+a10=(　　).
A.10 B.12 C.20 D.24
【答案】　D
【解析】　由S10==120,得a1+a10=24.
4.已知{an}是等差數列,a1=10,前10項和S10=70,則其公差d=　　　　.
【答案】　-
【解析】　S10=10a1+d=70,又a1=10,所以d=-.
【合作探究】
探究1　等差數列的前n項和公式
　　泰姬陵坐落于印度古都阿格拉,它宏偉壯觀,純白大理石砌建而成的主體建筑令人心醉神迷.傳說陵寢中有一個三角形圖案,以相同大小的寶石鑲飾而成,共有100層.
問題1:上述情境的圖案中,第1層到第21層一共有多少顆寶石 你能不能快速地求出呢
【答案】　S21==231.
問題2:你能推出一般的等差數列的前n項和公式嗎
【答案】　設Sn是等差數列{an}的前n項和.
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,
Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1,
又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=…,
∴2Sn=(a1+an)·n,
由此可得等差數列{an}的前n項和公式為Sn=.
新知生成
等差數列前n項和公式Sn==na1+,其推導方法是倒序相加法.
注意:兩個公式應靈活選用.當已知a1,an時,用Sn=;當已知a1,d時,用Sn=na1+d.
新知運用
例1　在等差數列{an}中,
(1)已知a6=10,S5=5,求a8和S10;
(2)已知a1=4,S8=172,求a8和d;
(3)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.
【解析】　(1)
解得
∴a8=a6+2d=10+2×3=16,
S10=10a1+d=10×(-5)+5×9×3=85.
(2)由已知得S8===172,
解得a8=39,
又∵a8=4+(8-1)d=39,
∴d=5.
(3)S7==7a4=42,∴a4=6,∴Sn====510,∴n=20.
【方法總結】　　等差數列中的基本計算
(1)利用基本量求值:
等差數列的通項公式與前n項和公式中有五個量a1,d,n,an和Sn,這五個量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組,解出a1和d,便可解決問題.解題時注意整體代換思想的應用.
(2)結合等差數列的性質解題:
等差數列的常用性質:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),則am+an=ap+aq,常與求和公式Sn=結合使用.
已知在等差數列{an}中,
(1)a1=1,a4=7,求S9;
(2)a1=,an=-,Sn=-5,求n和d.
【解析】　(1)設等差數列{an}的公差為d,則a4=a1+3d=1+3d=7,所以d=2.故S9=9a1+d=9+×2=81.
(2)由題意得,Sn===-5,解得n=15.
又a15=+(15-1)d=-,所以d=-.
探究2　等差數列前n項和的性質
　　已知等差數列{an}的公差為d,前n項和為Sn.
問題1:從函數的觀點分析Sn關于n的函數具有什么特點
【答案】　Sn=na1+d=n2+n=An2+Bn,其中A=,B=a1-,
故Sn關于n的函數解析式是一個常數項為0的二次函數解析式.
問題2:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m具有什么特征 采用從特殊到一般的思想進行思考分析.
【答案】　當m=2時,S2=a1+a2,S4-S2=a3+a4=a1+2d+a2+2d=(a1+a2)+4d,S6-S4=a5+a6=a1+4d+a2+4d=(a1+a2)+8d,所以S2,S4-S2,S6-S4成等差數列,公差為4d.
同理可得S2m-Sm=(a1+a2+…+a2m)-(a1+a2+…+am)=am+1+am+2+…+a2m=(a1+a2+…+am)+m2d,
S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+…+a3m=(a1+a2+…+am)+2m2d,
所以Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數列,公差為m2d.
問題3:an與S2n-1之間有什么等量關系 利用等差中項和等差數列求和公式進行推導.
【答案】　S2n-1==(2n-1)an.
問題4:S奇為數列{an}所有奇數項的和,S偶為所有偶數項的和,它們之間具有什么關系 對n分類討論.
【答案】　若項數為2n,則S偶-S奇=a2+a4+…+a2n-a1-a3-…-a2n-1=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)=d+d+…+d=nd,===;
若項數為2n-1,由等差數列的性質可知,a2+a2n-2=a1+a2n-1=…=2an,所以S偶=a2+a4+…+a2n-2=(a2+a2n-2)=·2an=(n-1)an,S奇=a1+a3+…+a2n-1=(a1+a2n-1)=·2an=nan,所以S奇-S偶=nan-(n-1)an=an(這里an=a中,a中是中間項),==.
問題5:數列是什么數列
【答案】　已知數列{an}的公差為d,則Sn=na1+n(n-1)d,所以有=+,=+.因為-=+--=,所以數列是首項為a1,公差為的等差數列.
新知生成
已知等差數列{an}的前n項和為Sn,公差為d.
1.Sn=An2+Bn,其中A=,B=a1-.
2.數列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N+)也是等差數列,公差為m2d.
3.S2n-1=(2n-1)an,S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1).
4.當項數為偶數2n時,S偶-S奇=nd,S奇∶S偶=an∶an+1;當項數為奇數2n-1時,S奇-S偶=a中,S奇∶S偶=n∶(n-1).
5.若{an}是等差數列,則也是等差數列,其首項與{an}的首項相同,公差是{an}的公差的.
新知運用
例2　(1)已知等差數列{an}的前n項和為Sn,且S10=10,S20=30,則S30=　　　　.
(2)已知兩個等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn,且=,則使得為整數的正整數n的個數是　　　　.
(3)(2023·甘肅張掖市期中校際聯(lián)考)已知數列{an} 的前n 項和為Sn,且Sn=n2+2n.
①求數列{an} 的通項公式;
②求證:數列 是等差數列.
【答案】　(1)60　(2)5
【解析】　(1)∵S10,S20-S10,S30-S20成等差數列,且S10=10,S20=30,S20-S10=20,∴S30-30=20×2-10=30,∴S30=60.
(2)由等差數列前n項和的性質知,====7+,
∴當n=1,2,3,5,11時,為整數,
∴使得為整數的正整數n的個數是5.
(3)①由題意知Sn=n2+2n,∴S1=a1=3,
當n≥2 時,an=Sn-Sn-1 =n2+2n-(n-1)2-2(n-1) =2n+1,
將n=1 代入上式可得a1=3,故a1滿足上式,∴an=2n+1.
②由題意知Sn=n2+2n,∴=n+2,∴-=n+2-(n-1)-2=1,且=3,
∴數列 是以3為首項,1為公差的等差數列,=n+2.
【方法總結】　　(1)已知等差數列{an}的前n項和為Sn,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,S4m-S3m,…是等差數列;(2)通過等差數列前n項和與通項的關系即可求得的表達式;(3)數列 是等差數列,公差為數列{an}的公差的.
1.已知{an}為等差數列,若a1+a2+a3=5,a7+a8+a9=10,則a19+a20+a21=　　　　.
【答案】　20
【解析】　(法一)設數列{an}的公差為d,則a7+a8+a9=a1+6d+a2+6d+a3+6d=5+18d=10,所以18d=5,故a19+a20+a21=a7+12d+a8+12d+a9+12d=10+36d=20.
(法二)由等差數列的性質可知,S3,S6-S3,S9-S6,…,S21-S18成等差數列,設此數列的公差為D,
所以5+2D=10,所以D=,
所以a19+a20+a21=S21-S18=5+6D=5+15=20.
2.一個等差數列前12項的和為354,前12項中偶數項的和與奇數項的和的比為32∶27,則該數列的公差為　　　.
【答案】　5
【解析】　設等差數列前12項中奇數項的和為S奇,偶數項的和為S偶,等差數列的公差為d.
由已知條件,得解得
又S偶-S奇=6d,所以d==5.
【隨堂檢測】
1.已知等差數列{an}的前9項和為27,a10=8,則a100=(　　).
A.100 B.99 C.98 D.97
【答案】　C
【解析】　∵{an}是等差數列,設其公差為d,∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.又∵a10=8,∴解得∴a100=a1+99d=-1+99×1=98.故選C.
2.已知在等差數列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,則此數列前20項和等于(　　).
A.160 B.180 C.200 D.220
【答案】　B
【解析】　∵a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,
∴a1+a20=a2+a19=a3+a18=18,∴S20==10×18=180.
3.設Sn是等差數列{an}的前n項和,若=,則=(　　).
A.1 B.-1 C.2 D.
【答案】　A
【解析】　因為S2n-1=(2n-1)an,
所以==×=1.
4.(2023·云南昆明五華區(qū)質量檢測)設數列{an} 的前n 項和為Sn,已知a1=1,an≠0,anan+1=6Sn-2.
(1)證明:an+2-an=6.
(2)求Sn .
【解析】　(1)由題意知anan+1=6Sn-2,an+1an+2=6Sn+1-2,
作差可得an+1(an+2-an)=6an+1,
∵an≠0,∴an+1≠0,an+2-an=6.
(2)由(1)知an+2-an=6,又由條件可得a1a2=6S1-2,得a2=4,
∴{an} 的奇數項構成首項為1,公差為6的等差數列,
{an} 的偶數項構成首項為4,公差為6的等差數列.
又a2-a1=3,∴數列{an} 是首項為1,公差為3的等差數列,an=1+3(n-1)=3n-2,Sn=·n=-.
2

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